2024届云南省红河州云南市蒙自一中高三期末预热联考数学试题

2024届云南省红河州云南市蒙自一中高三期末预热联考数学试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．在中，角的对边分别为，，若，，且，则的面积为（）A． B． C． D．2．已知为两条不重合直线，为两个不重合平面，下列条件中，的充分条件是（）A．∥ B．∥C．∥∥ D．3．设P＝{y|y＝－x2＋1，x∈R}，Q＝{y|y＝2x，x∈R}，则A．PQ B．QPC．Q D．Q4．若关于的不等式有正整数解，则实数的最小值为（）A． B． C． D．5．已知集合A={x|–1<x<2}，B={x|x>1}，则A∪B=A．（–1，1） B．（1，2） C．（–1，+∞） D．（1，+∞）6．若复数为虚数单位在复平面内所对应的点在虚轴上，则实数a为（）A． B．2 C． D．7．已知复数，为的共轭复数，则（）A． B． C． D．8．在平面直角坐标系中，若不等式组所表示的平面区域内存在点，使不等式成立，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．9．已知双曲线（，）的左、右顶点分别为，，虚轴的两个端点分别为，，若四边形的内切圆面积为，则双曲线焦距的最小值为（）A．8 B．16 C． D．10．复数的虚部为（）A．—1 B．—3 C．1 D．211．如图所示，已知某几何体的三视图及其尺寸（单位：），则该几何体的表面积为()A． B．C． D．12．正方体，是棱的中点，在任意两个中点的连线中，与平面平行的直线有几条（）A．36 B．21 C．12 D．6二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知数列是各项均为正数的等比数列，若，则的最小值为________.14．已知随机变量服从正态分布，，则__________．15．正方体中，是棱的中点，是侧面上的动点，且平面，记与的轨迹构成的平面为．①，使得；②直线与直线所成角的正切值的取值范围是；③与平面所成锐二面角的正切值为；④正方体的各个侧面中，与所成的锐二面角相等的侧面共四个．其中正确命题的序号是________．（写出所有正确命题的序号）16．在中，角，，所对的边分别边，且，设角的角平分线交于点，则的值最小时，___.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在中，角的对边分别为，且.（1）求角的大小；（2）已知外接圆半径,求的周长.18．（12分）已知函数（1）求f(x)的单调递增区间；（2）△ABC内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若且A为锐角，a=3，sinC=2sinB，求△ABC的面积.19．（12分）已知函数（1）当时，若恒成立，求的最大值；（2）记的解集为集合A，若，求实数的取值范围.20．（12分）已知动点到定点的距离比到轴的距离多.（1）求动点的轨迹的方程；（2）设，是轨迹在上异于原点的两个不同点，直线和的倾斜角分别为和，当，变化且时，证明：直线恒过定点，并求出该定点的坐标.21．（12分）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）曲线在点处的切线斜率为.（i）求；（ii）若，求整数的最大值.22．（10分）已知椭圆经过点，离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线交椭圆于、两点，若，在线段上取点，使，求证：点在定直线上.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】

由，可得，化简利用余弦定理可得，解得．即可得出三角形面积．【详解】解：，，且，，化为：．，解得．．故选：．【点睛】本题考查了向量共线定理、余弦定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．2、D【解析】

根据面面垂直的判定定理，对选项中的命题进行分析、判断正误即可.【详解】对于A，当，，时，则平面与平面可能相交，，，故不能作为的充分条件，故A错误；对于B，当，，时，则，故不能作为的充分条件，故B错误；对于C，当，，时，则平面与平面相交，，，故不能作为的充分条件，故C错误；对于D，当，，，则一定能得到，故D正确.故选：D.【点睛】本题考查了面面垂直的判断问题，属于基础题.3、C【解析】

解：因为P={y|y=-x2+1，x∈R}={y|y1}，Q={y|y=2x，x∈R}={y|y>0},因此选C4、A【解析】

根据题意可将转化为，令，利用导数，判断其单调性即可得到实数的最小值．【详解】因为不等式有正整数解，所以，于是转化为，显然不是不等式的解，当时，，所以可变形为．令，则，∴函数在上单调递增，在上单调递减，而，所以当时，，故，解得．故选：A．【点睛】本题主要考查不等式能成立问题的解法，涉及到对数函数的单调性的应用，构造函数法的应用，导数的应用等，意在考查学生的转化能力，属于中档题．5、C【解析】

根据并集的求法直接求出结果.【详解】∵，∴，故选C.【点睛】考查并集的求法，属于基础题.6、D【解析】

利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为求得值．【详解】解：在复平面内所对应的点在虚轴上，，即．故选D．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．7、C【解析】

求出，直接由复数的代数形式的乘除运算化简复数.【详解】.故选：C【点睛】本题考查复数的代数形式的四则运算，共轭复数，属于基础题.8、B【解析】

依据线性约束条件画出可行域，目标函数恒过，再分别讨论的正负进一步确定目标函数与可行域的基本关系，即可求解【详解】作出不等式对应的平面区域，如图所示：其中，直线过定点，当时，不等式表示直线及其左边的区域，不满足题意；当时，直线的斜率，不等式表示直线下方的区域，不满足题意；当时，直线的斜率，不等式表示直线上方的区域，要使不等式组所表示的平面区域内存在点，使不等式成立，只需直线的斜率，解得.综上可得实数的取值范围为，故选：B.【点睛】本题考查由目标函数有解求解参数取值范围问题，分类讨论与数形结合思想，属于中档题9、D【解析】

根据题意画出几何关系，由四边形的内切圆面积求得半径，结合四边形面积关系求得与等量关系，再根据基本不等式求得的取值范围，即可确定双曲线焦距的最小值.【详解】根据题意，画出几何关系如下图所示：设四边形的内切圆半径为，双曲线半焦距为，则所以，四边形的内切圆面积为，则，解得，则，即故由基本不等式可得，即，当且仅当时等号成立.故焦距的最小值为.故选：D【点睛】本题考查了双曲线的定义及其性质的简单应用，圆锥曲线与基本不等式综合应用，属于中档题.10、B【解析】

对复数进行化简计算，得到答案.【详解】所以的虚部为故选B项.【点睛】本题考查复数的计算，虚部的概念，属于简单题.11、C【解析】

由三视图知，该几何体是一个圆锥，其母线长是5，底面直径是6，据此可计算出答案.【详解】由三视图知，该几何体是一个圆锥，其母线长是5，底面直径是6，该几何体的表面积.故选：C【点睛】本题主要考查了三视图的知识，几何体的表面积的计算.由三视图正确恢复几何体是解题的关键.12、B【解析】

先找到与平面平行的平面，利用面面平行的定义即可得到.【详解】考虑与平面平行的平面，平面，平面，共有，故选：B.【点睛】本题考查线面平行的判定定理以及面面平行的定义，涉及到了简单的组合问题，是一中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、40【解析】

设等比数列的公比为，根据，可得，因为，根据均值不等式，即可求得答案.【详解】设等比数列的公比为，，，等比数列的各项为正数，，，当且仅当，即时，取得最小值.故答案为：.【点睛】本题主要考查了求数列值的最值问题，解题关键是掌握等比数列通项公式和灵活使用均值不等式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.14、0.22.【解析】

正态曲线关于x＝μ对称，根据对称性以及概率和为1求解即可。【详解】【点睛】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，是一个基础题．15、①②③④【解析】

取中点,中点,中点,先利用中位线的性质判断点的运动轨迹为线段,平面即为平面,画出图形,再依次判断:①利用等腰三角形的性质即可判断；②直线与直线所成角即为直线与直线所成角,设正方体的棱长为2,进而求解；③由,取为中点,则,则即为与平面所成的锐二面角,进而求解；④由平行的性质及图形判断即可.【详解】取中点,连接,则,所以,所以平面即为平面,取中点,中点,连接,则易证得,所以平面平面,所以点的运动轨迹为线段,平面即为平面.①取为中点,因为是等腰三角形,所以,又因为,所以,故①正确；②直线与直线所成角即为直线与直线所成角,设正方体的棱长为2,当点为中点时,直线与直线所成角最小,此时,；当点与点或点重合时,直线与直线所成角最大,此时,所以直线与直线所成角的正切值的取值范围是,②正确；③与平面的交线为,且,取为中点,则即为与平面所成的锐二面角,,所以③正确；④正方体的各个侧面中,平面,平面,平面,平面与平面所成的角相等,所以④正确．故答案为:①②③④【点睛】本题考查直线与平面的空间位置关系,考查异面直线成角,二面角,考查空间想象能力与转化思想.16、【解析】

根据题意，利用余弦定理和基本不等式得出，再利用正弦定理，即可得出.【详解】因为，则，由余弦定理得：，当且仅当时取等号，又因为，，所以.故答案为：.【点睛】本题考查余弦定理和正弦定理的应用，以及基本不等式求最值，考查计算能力.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）3+3【解析】

（1）利用余弦的二倍角公式和同角三角函数关系式化简整理并结合范围0＜A＜π，可求A的值．（2）由正弦定理可求a，利用余弦定理可得c值，即可求周长．【详解】（1），即又（2）,∵，∴由余弦定理得a2＝b2+c2﹣2bccosA，∴，∵c＞0，所以得c=2,∴周长a+b+c=3+3．【点睛】本题考查三角函数恒等变换的应用，正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于中档题．18、（1）（2）【解析】

（1）利用降次公式、辅助角公式化简解析式，根据三角函数单调区间的求法，求得的单调递增区间.（2）先由求得，利用正弦定理得到，结合余弦定理列方程，求得，由此求得三角形的面积.【详解】（1）函数，，由，得.所以的单调递增区间为.（2）因为且为锐角，所以.由及正弦定理可得，又，由余弦定理可得，解得，.【点睛】本小题主要考查三角恒等变换，考查三角函数单调区间的求法，考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，属于中档题.19、（1）；（2）【解析】

（1）当时，由题意得到，令，分类讨论求得函数的最小值，即可求得的最大值.（2）由时，不等式恒成立，转化为在上恒成立，得到，即可求解.【详解】（1）由题意，当时，由，可得，令，则只需，当时，；当时，；当时，；故当时，取得最小值，即的最大值为.（2）依题意，当时，不等式恒成立，即在上恒成立，所以，即，即，解得在上恒成立，则，所以，所示实数的取值范围是.【点睛】本题主要考查了含绝对值的不等式的解法，以及不等式的恒成立问题的求解与应用，着重考查了转化思想，以及推理与计算能力.20、（1）或；（2）证明见解析，定点【解析】

（1）设，由题意可知，对的正负分情况讨论，从而求得动点的轨迹的方程；（2）设其方程为，与抛物线方程联立，利用韦达定理得到，所以，所以直线的方程可表示为，即，所以直线恒过定点．【详解】（1）设，动点到定点的距离比到轴的距离多，，时，解得，时，解得.动点的轨迹的方程为或（2）证明：如图，设，，由题意得（否则）且，所以直线的斜率存在，设其方程为，将与联立消去，得，由韦达定理知，，①显然，，，，将①式代入上式整理化简可得：，所以，此时，直线的方程可表示为，即，所以直线恒过定点.【点睛】本题主要考查了动点轨迹，考查了直线与抛物线的综合，是中档题．21、（1）在上增；在上减；（2）（i）；（ii）2【解析】

（1）求导求出，对分类讨论，求出的解，即可得出结论；（2）（i）由，求出的值；（ii）由（i）得所求问题转化为，恒成立，设，，只需，根据的单调性，即可求解.【详解】（1）当时，，即在上增；当时，，，，，即在上增；在上减；（2）（i），.（ⅱ），即，即，只需.当时，，在单调递增，所以满足题意；当时，，，，所以在上减，在上增，令，..在单调递减，所以所以在上单调递减，，综上可知，整数的最大值为.【点睛】本题考查函数导数的综合应用，涉及函数的单调性、导数的几何意义、极值最值