3.2 勾股定理的逆定理 苏科版数学八年级上册课件

3.2勾股定理的逆定理回顾旧知勾股定理

如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2＋b2＝c2我们知道直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.

反过来，如果一个三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形吗?如图3－7(1)，在△ABC中，a2＋b2＝c2，△ABC

是否为直角三角形?可以用如下方法证明△ABC

是直角三角形：画Rt△A′B′C′，使∠C

＝90，BC′＝a，AC′＝b(如图3－7(2)).根据勾股定理，可得AB2

＝a2＋b2因为AB2＝a2＋b2，所以A′B′2

＝AB2，A′B′＝

AB.根据“SSS”，可证△ABC≌△A′B′C′.于是，∠C＝∠C′＝90°，

△ABC

是直角三角形.勾股定理的逆定理如果三角形的三边长分别为a、b、c，且a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形.满足关系a2＋b2＝c2的3个正整数a、b、c

称为勾股数.练1判断满足下列条件的三角形是不是直角三角形：(1)在△ABC

中，∠A＝25°，∠C＝65°；(2)在△ABC

中，AC＝12，AB＝20，BC＝16；(3)一个三角形的三边长a、b、c

满足a∶b∶c＝3∶4∶5.判断一个三角形是不是直角三角形有两种方法：1.如果已知条件与角度有关，那么可借助三角形的内角和定理判断是否有一个内角是直角；2.如果已知条件与边有关，一般利用勾股定理的逆定理，通过计算得出三边的数量关系，判断三角形的形状.解法提醒:(1)在△ABC

中，∠A＝25°，∠C＝65°；解：在△ABC

中，∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，

∠A＝25°，∠C＝65°，∴∠B＝180°－25°－65°＝90°，∴△ABC

是直角三角形.(2)在△ABC

中，AC＝12，AB＝20，BC＝16；解：在△ABC

中，∵AC2＋BC2＝122＋162

＝202＝AB2，∴△ABC

是直角三角形.(3)一个三角形的三边长a、b、c

满足a∶b∶c

＝3∶4∶5.解：设a＝3x，则b＝4x，c＝5x.∵(3x)2＋(4x)2＝(5x)2，即a2＋b2＝c2，∴△ABC

是直角三角形.利用边的关系判定直角三角形的步骤(1)“找”：找出三角形三边中的最长边；(2)“算”：计算其他两边的平方和与最长边的平方；(3)

“判”：若两者相等，则这个三角形是直角三角

形，否则不是.练2已知a、b、c

为△ABC

的三边长，且满足：a2c2－b2c2＝a4－b4，试判断△ABC

的形状.解：∵a2c2－b2c2=a4－b4，∴c2(a2－b2)＝(a2－b2)(a2+b2),即(a2－b2)(a2+b2－c2)＝0.易错提醒：两个因式的积为0，则有一个因式为0和两个因式都为0两种情况；判断三角形形状时，不仅要考虑是否为直角三角形，还要考虑是否为等腰三角形.本题易丢掉情况(2)，在化简过程中没有考虑到a2－b2＝0的情况就直接在等式两边除以一个可能为0的数，从而导致了错误.(1)当a2－b2

≠0时，则有c2＝a2＋b2.∴△ABC是直角三角形.(2)当a2－b2＝0，即a＝b

时，若a2＋b2－c2≠0，则△ABC

是等腰三角形；若a2＋b2－c2＝0，则△ABC是等腰直

角三角形.

综上所述，△ABC是直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形.美国哥伦比亚大学图书馆收藏着一块编号为“普林顿322”(plimpton322)的古巴比伦泥板.“普林顿322”泥板泥板摹真图泥板上的一些神秘符号揭示了什么奥秘呢?经过专家的潜心研究，发现这块泥板文书实际是一张表格，表格里是些整数，计算考证表明，表格中的两列数字恰好分别是直角三角形的斜边和一条直角边的长，运用勾股定理算得另一条直角边的长(图中左边的一列)，竟然也是整数!图中的数组都是勾股数.现在，人们通过研究发现：勾股数有无数多组.勾股数必须同时满足两个条件：(1)三个数都是正整数；(2)两个较小数的平方和等于最大数的平方.判断一组数是否为勾股数的一般步骤(1)“看”：看是不是三个正整数；(2)“找”：找最大数；(3)“算”：计算最大数的平方与两个较小数的平方和；(4)

“判”：若两者相等，则这三个数是一组勾股数；

否则，不是一组勾股数.1.勾股数有无数组；2.如果a，b，c是一组勾股数，那么na，nb，nc(n

为正整数)也是一组勾股数.特别提醒练3下列四组数据，不是勾股数的是(

)A.3，4，5

B.5，6，7

C.6，8，10

D.9，40，41B练习1.如图，把12段同样长的绳子连成环状，拉直点B到点C

之间的5段绳子，然后在点A

处将绳子拉紧，

则∠BAC

为直角.你能说明其中的道理吗?解：∵AC2＋AB2＝32＋42

＝52＝BC2.∴△ABC

为直角三角形，且∠BAC＝90°.2.如果3条线段的长分别为a、b、c，且满足c2＝a2－b2，

那么由这3条线段组成的三角形是直角三角形吗?

为什么?解：是直角三角形.由c2＝a2－b2，移项，得b2＋c2＝a2，所以这3条线段组成的三角形是以a为斜边的直角三角形.3.下列各组数是勾股数吗?为什么?(1)12，15，18；(2)11，60，61；解：不是勾股数.因为122＋152≠182，所以12，15，18不是勾股数.解：是勾股数.因为112＋602＝612，所以11，60，61是勾股数.(3)15，36，39；(4)12