2020-2021学年上海市徐汇区位育初级中学九年级上学期期中数学试卷(含解析)

2020-2021学年上海市徐汇区位育初级中学九年级上学期期中数学试

一、选择题（本大题共6小题，共24.0分）

1.在1：1000000的地图上，A,B两地之间的距离是3cm,则4,B两地的实际距离为（）

A.3kmB.30kmC.300kmD.3000km

2.如图，是。。的直径，点C在4B的延长线上，过C作。。的切线

CD,切点为D,连接/D,若00的半径为6,tanC=1,则线段4c的

4

长为（）

A.10

B.12

C.16

D.20

3.如图，弦4BJ.0C,垂足为点C,连接。力，若OC=4,AB=6,则s讥4等

B.A

4.如图，已知△ACDSAADB,AC=4,AD=2,则4B的长为（）

A.1

5.如图，AABC中，点。为BC边上一点，点E在4）上，过点E作

EF“BD交AB于点F,过点E作EG〃4c交CD于点G,下列结论错

误的是（）

DG

EF_CG

A.BD-GD

AC_AD

B.EG-DE

BF_DG

C.AF-GC

EG.EF-

D.---1---=1

ACBD

6.如图，在正方形4BCD中，对角线4C,BD相交于点。，点E在BC边上，且CE=2BE,连接4E交

B。于点G,过点B作BF14E于点F,连接OF并延长，交BC于点M,过点。作OP，OF交DC于占

N，S四边形MONC=?现给出下列结论:①竿=g；②sin/BOF=空;③。尸=学;④。G=BG；

•s1。5

其中正确的结论有（）

A.①②③B.②③④C.①②④D.①③④

二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）

7.的三条边长分别为3、4、5,与AABC相似的△的最长边的长是15,则6y

最短边的长为

8.计算：（-》T+2SE60°+|9-遮|=

9.如图，4c是高为30米的某一建筑，在水塘

的对面有一段以BD为坡面的斜坡，小明在

4点观察点D的俯角为30。，在4点观察点B

的俯角为45。，若坡面BD的坡度为1：6,

贝IJB。的长为.

10.如图4,4D〃BC,AC、BD相交于点。，且SMOD：SAB0C=1：4.设方=方,

DC=b，那么向量而=.（用向量本3表示）

B

11.△力BC中，tanB=|,BC=6,过点4作BC边上的高，垂足为点。，且满足BD：CD=2：1,

则仆ABC面积的所有可能值为.

12.如图，沿正三角形三边中点连线折起，可拼得一个.A

13.如图，E为平行四边形4BCD的对角线BD上一点，AE的延长线交边CD于点凡在不添加辅助线的

情况下，请写出图中一对相似三角形：.

14.在半径为1的。。中，弦AB长金，弦AC的长为y，贝吐B4C的度数为.

15.已知某矩形的一组邻边之比等于黄金比，且较短的一边长为1,则较长的一边长为.

16.在A4BC中，AB=AC,点E是AC中点，点。是BC上一点，连接DE,AAED=45°,连接4D,

乙BAD=2/COE,tmz.BAD=EF1AB,EF=4,则8。=______.

4

如图所示，D,E分别是△ABC的边AB,AC的中点，且BC=7,则DE=

18.在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点，请你观察图中正方形为B1G01，

A2B2C2D2,4383c3D3.每个正方形四条边上的整点的个数.按此规律推算出正方形

42019B2019C2019D2019四条边上的整点共有-

X

三、计算题(本大题共1小题，共12.0分)

19.如图，从点4(0,2)发出的一束光，经%轴反射，过点B(4,3),求这束

光从点4到点B所经过路径的长.

四、解答题(本大题共6小题，共66.0分)

20.计算I一1|一（3—兀）°+代++2cos60°

21.图①、图②都是6x6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1,每个小正方形的顶点叫做格

点，线段AB的端点都在格点上，仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图，保留作图痕迹.

(1)在图①中画出一个以AB为一边的等腰△ABC,使点C在格点上，且面积为当;

(2)在图②中画出一个以4B为一边的等腰△ABD,使点。在格点上，且tan4ZMB=3,并直接写出△

4BD底边上的高.

22.如图，在菱形中4BCD中，入48c=60。，点F为4。边上一点，连接BF交对角线AC于点G.

(1)如图1,己知CFL40于F,菱形的边长为6,求线段FG的长度；

(2)如图2,已知点E为AB边上一点，连接CE交线段BF于点H,且满足NFHC=60°,CH=2BH,求

证：AH1CE.

23.如图，已知4B为。。直径，AC是。。的切线，连接BC交0。于点F,取“的中点”，连接力D交

BC于点E,过点E作EHJ.AB于H.

(1)求证：4HBEFABC；

(2)若CF=4,BF=5,求AC和EH的长.

24.在Rt/kABC中，44cB=90。，/.ABC=a,点P在△ABC的内部.

(1)如图1,AB=2AC,PB=3,点M、N分别在力B、BC边上，贝kosa=,APMN周长的最

小值为;

(2)如图2,若条件4B=24。不变，而24=鱼，PB=同，PC=1,求△4BC的面积；

(3)若PA=zn,PB=n,PC=k,且k=mcosa=nsina,直接写出乙4PB的度数.

25.如图，已知正比例函数y=2x和反比例函数的图象交于点力(犯一2).

(1)求反比例函数的解析式;

(2)若双曲线上点C(2,n)沿04方向平移4个单位长度得到点B,判断四边形0ABe的形状并证明你的

结论.

参考答案及解析

1.答案：B

解析：解：设4B两地的实际距离是X,根据题意:

1_3

loooooo-X)

解得：x=3000000cm=30km.

故选：B.

根据比例尺=图上距离：实际距离，列方程直接求得结果.

此题主要考查了比例线段，能够根据比例尺的概念进行正确计算，注意单位的转换.

2.答案：C

解析：解：连接OD,

•••CD切O0于点D,

•••OD1CD,

：.Z.ODC=90°,

3

vtanC=OD=6,

4

6_3

DC-4’

DC=8,

:.OC=V824-62=10,

AC=AO+OC=16,

故选：C.

连接OD,则易证△ODC为直角三角形，利用已知数据可求出CO的长，在利用勾股定理可求出。。的

长，进而可求出线段4C的长.

本题考查了切线的性质定理的运用、勾股定理的运用以及锐角三角函数的定义，熟练运用和圆有关

的各种性质定理是解题的关键.

3.答案：C

解析：解：•••弦48_LOC,AB=4,OC=2,

：,AC=-AB=3,

2

・•・OA=VOC24-AC2=V424-32=5，

故选：c.

先根据垂径定理得出4C的长，再根据勾股定理得到04然后根据三角函数的定义即可得到结论.

本题考查的是垂径定理，熟知平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关

键.

4.答案：A

解析：解：■.-^ACD-^ADB,

ACAD

:■A--D----A-B-,

.cAD2_

AB=—

AC=1,

故选：A.

根据相似三角形的性质列出比例式，代入计算即可.

本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应边的比相等是解题的关键.

5.答案：A

解析：解：A、VEF//BD,

・•・△AEF~>ADB,

EFAE

—=—,

BDAD

•・•EG//AC,

.・・”=些,

GDDE

・・・霁工品故本选项符合题意；

DU(JD

B、vGE//AC,

DEGs二DAC9

.•考=缁故本选项不符合题意；

EGDE

C、♦:EF//BD,EG//AC,

J._B_F___D_E_D_E—DG

•,AF-AE"AE~CG9

.•噂=:，故本选项不符合题意；

AFGC

D.-GE//AC,EF//BD,

AEF^^ADBf△DEG~ADAC,

tEG_DEEF_AE

**AC~ADfBD-AD9

.•噂+葛=案+*=1,故本选项不符合题意；

故选：A.

根据相似三角形的判定得出△AEF-AADB,ADEGsADAC,再根据相似三角形的性质和平行线分

线段成比例定理逐个判断即可.

本题考查了平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质和判定，能得出正确的比例式是解此题的

关键.

6.答案：D

解析：解：如图，过点。作OH〃BC交4E于点儿过点。作。QJ.BC交BC于点Q,过点B作BK10M交

0M的延长线于点K,

•.•四边形4BCD是正方形,

11

:.OB=；BD,0C=^AC,AC=BD/OBM=(OCN=45°,OB10CfAD//BC,

・・・OB=0C,乙BOC=90°,

・・・4BOM+4Moe=90°.

•・•OP1OF,

・•・乙MON=90°,

・・,4coN+lM0C=90。,

・•・(BOM=乙CON,

••.△BOM三△C0N(4SA),

•••S〉BOM=S&CON，

19

"S四边形MONC=SABOC=-OB-OC=-,

••・°B=OC=竽

•・・■=苧x/=3.

・,CE=2BE,

..BE=”C=1,

•・AE=ylAB24-BE2=VlO.

・•BF1AE,

■--AE-BF=-AB-ME,

22

..吁甯,

.•'=办B2—=粤

•・HF=-2-v-H-,E„F„=—Vio

5io

.OF_HF_OH4,

'FM~EF~ME

ME=-OH=-xl=-

4449

33

■-BM=-,BQ=-.

:AD]IBC,

g=s=?故①正确;

・•OH//BC,

OH_AO*""°G=4GBE,

EC-AC

・・OH=ME,AH=HEy/10

2

・•Z.HGO=乙EGB,

*'.△HOG=△EBG,

・•,OG=BG,故④正确；

・・・OQ2+MQ2=OM2,

OM=yjOQ2+MQ2=哈

.•.OF=Wxg=¥，故③正确;

•••|OM•BK=^BM-OQ,

nnl375133

即一X------BnKrz=-X-X

24242

BK=―,

10

.1,smz.BOF=—=—,故②错误；

OB10J

・•・正确的有①③④.

故选：D.

①直接根据平行线分线段成比例即可判断正误；②过点0作OH〃BC交AE于点、H,过点。作OQ1BC

交BC于点Q,过点8作BK1OM交OM的延长线于点K,首先根据四边形MONC的面积求出正方形的

边长，利用勾股定理求出4E,AF,EF的长度，再利用平行线分线段成比例分别求出0M,BK的长

度，然后利用sin/BOF=器即可判断；③利用平行线分线段成比例得出罂=4,然后利用勾股定理

求出OM的长度，进而OF的长度可求；④直接利用平行线的性质证明△HOG三AEBG,即可得出结

论.

本题主要考查了四边形综合，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定及性质，平行线分线段成

比例和锐角三角函数是解题的关键

7.答案：9

解析：••・△ABC与AAB'C'相似且△ABC最长边为5,△4'B'C'最长边为15,令△4'B'C'的最短边为x

A5：15=3：x

•,•%=15x3-j-5=9

故填9.

8.答案：7

解析：解：原式=-2+2x?+9-百

=7.

故答案为：7.

直接利用负指数累的性质以及特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别化简得出答案.

此题主要考查了实数运算，正确化筒各数是解题关键.

9.答案：（30-10遥）米

解析：解：延长CB、AD,交于点F,过点。作DE1BF,

•••力点观察点。的俯角为30。，在4点观察点B的俯角为45。,

BE

/.2LABC=45°,^LAFC=30°,

・・・CF="c==30\/3；

tanz/lCFtan3O°

BC=AC=30,

•••BF=30V3-30，

设DE=x,

・•・坡面BD的坡度为1：V3,

BE=y/3x，BD=2x,EF==V3x,

V3x+V3x=30V3—30，

解得：x=15—5V3,

BD=30-10遍（米）；

故答案为：（30-10遍）米.

先延长CB、AD,交于点F,过点。作DE1BF,先求出〃BC和41FC的度数，再求出CF和BC、4c的

值，然后求出BF,再设DE=X,根据坡面B。的坡度为1：V3,得出BE=V3x>BD=2x,EF=陋x,

列出方程，求出支的值，即可得出答案.

本题考查了解直角三角形的应用，用到的知识点是俯角、特殊角的三角函数值、平行线的性质，在

解题时要能作出辅助线构造直角三角形.

10.答案：|a+~b

解析：

根据已知条件得到AADO-ACBO,根据相似三角形的性质得到手=（第2=：,得到甯=；,求

S&COBCO4CO2

得黎=!,根据已知条件得到前=云+石，于是得到结论.本题考查了相似三角形的判定和性质，平

面向量，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键.

解：-AD//BC,

•••△ADO~ACBO,

.S&AOD_CA0\2_1

•,SACOB-（C。）一〃

AO1

•••苍=3'

,,,AO_1―，

AC3

AD=a>DC=b>

・•・~Kc=N+b，

・•・AO=-AC=-a+-/?,

333

故答案为：/日+gb.

11.答案:8或24

解析：

本题考查了解直角三角形，以及三角函数的定义，三角形面积，分类讨论思想的运用是解本题的关

键.

分两种情况，根据已知条件确定高2。的长，然后根据三角形面积公式即可求得.

解：如图1所示：

vBC=6,BD：CD=2：1,

・•・BD=4,

2

vAD1.BC,tanB=

3

・•・一AD=2

BD3

oo

AD=-BD=

33

・••S-8C寸C♦9X6X,=8；

如图2所示：

•:BC=6,BD：CD=2：1,

:.BD=12,

2

vADLBC,tanB=

3

AD2

,••__—_,

BD3

2

・•・AD=-BD=8,

3

•••s4ABe=^BC-AD=1x6x8=24；

综上，△ABC面积的所有可能值为8或24,

故答案为8或24.

12.答案：三棱锥

解析：解：沿正三角形三边中点连线折起，可拼得一个三棱锥.

根据展开面的特征作答.

此题主要考查三棱锥的展开面及学生的立体思维能力.

13.答案：△ABE-^FDE

解析：解：・••ABCC是平行四边形，

.-.AB//CD.

・，・Z-ABD=Z.CDB.

•・・Z-AEB=乙FED,

ABE^LFDE,

根据平行四边形的性质得到力B〃CD,从而可推出乙4BD=NCDB,已知对顶角相等，根据有两组角

相等的两个三角形相似，从而得到△ABEfFDE.

此题主要考查平行四边形的性质及相似三角形的判定方法的综合运用.

14.答案：75。或15。

解析：解：有两种情况：

①如图所示：连接。4过。作0E_L4B于E,OFlAC^-F,

：.Z.OEA=N。兄4=90°,

由垂径定理得：AE=BE=—，AF=CF=%

22

八A「AE\[3八.—AFV2

COSZ.0AE=——=——，COSZ.0AF=—=——，

OA2OA2

・・・Z.OAE=30°,Z.OAF=45°,

・・・^LBAC=30°+45°=75°；

②如图所示：

连接。力，过。作0EJ.4B于E,OFLAC^F,

・•・/,OEA=^OFA=90°,

由垂径定理得：AE=BE=旦,AF=CF=Z，

22

，八4r.AEV3,nAi-4尸V2

OA2OA2

・•・Z.OAE=30°,Z.OAF=45°,

AZ.BAC=45°-30°=15°,

故答案为：75。或15。.

连接04,过。作0E14B于E,0F14。于尸，根据垂径定理求出AE、R4值，根据解直角三角形的知

识求出/04B和/OAC,然后分两种情况求出NB4c即可.

本题考查了特殊角的三角函数值和垂径定理的应用.此题难度适中，解题的关键是根据题意作出图

形，求出符合条件的所有情况.此题比较好，但是一道比较容易出错的题目.

15.答案：四

2

解析：解：•.•某矩形的一组邻边之比等于黄金比，且较短的一边长为1,

所以较长的一边长为每1,

2

故答案为：匹±1

2

根据黄金分割的定义解答即可.

本题考查了黄金分割的定义：线段上一点把线段分成两段，其中较长线段是较短线段和整个线段的

比例中项，即较长线段是整个线段的正二倍，那么这个点就是这条线段的黄金分割点.

2

16.答案：3V5

解析：解：如图，作于M,AN1AB交BC于N,DHJ.AN于H.

•・•Z.AED=45°=乙CDE+乙C,

/.2zC-F2zCD£,=90°,

•:AB=AC,

・•・Z-B=zC,

vZ.FAC=乙B+Z.C=2zC,乙BAD=2乙CDE,

・・・^LFAE+乙BAD=90°,

・・・Z.DAE=90°,

・・.△4)E是等腰直角三角形，

・•・AD—AE,

v乙DMA=z.F=Z.DAE=90°,

:.Z.ADM+乙DAM=90°,Z.DAM+/.FAE=90°,

:.Z.FAE=Z.ADM,

・•.△ADM=AEAF,

:.AM=EF=4,

cAcDM3

vtanZ.BAD=—=-,

AM4

・・.DM=3,AD=g+42=5，

・・・(BAN=Z.CAD=90°,Z.B=ZC,

・・・乙ANB=Z.ADC,

/.AN=AD=5,

・・•四边形DAMH是矩形，

・・・AH=DM=3,HN=2,AM=DH=4,

・・・DN=J42+22=2V5,

・・•DM//AN,

BD_DM

BD+DN~AN

BD_3

BD+2V5-5

BD=3V5

故答案为3遍.

如图，作DM1于M,ANA.AB^BC^N,DH1AN于H.首先证明△ADE是等腰直角三角形，利

用全等三角形的性质可得4M=EF=4,再根据三角函数的定义求出DM=3,ADAN=5,再利

用平行线分线段成比例定理即可解决问题.

本题考查解直角三角形、等腰三角形的性质、锐角三角函数、矩形的判定和性质、勾股定理、全等

三角形的判定和性质等知识，解题的关键是发现特殊三角形这个突破点，属于中考填空题中的压轴

题.

17.答案：3.5

解析：解："D,E分别是△ABC的边48,4C的中点，

•1.DE是△ABC的中位线，

•••DE=-BC=-x7=3.5,

22

故答案为：3.5.

根据三角形中位线定理即可得到结论.

本题考查了三角形中位线定理，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键.

18.答案:16152

解析：解：；每条边上的整点共有：2x1+1=3个，

出B2c2。2每条边上的整点共有；2x2+1=5个，

正方形4383c3。3每条边上的整点的个数有：2x3=1=7个，

•.•冬8道1历四条边上的整点共有8个，即4+4x1=8,

4282c2。2四条边上的整点共有16个，即4+4X3=16,

正方形4383c3D3四条边上的整点的个数有4+4x5=24,

二第律个正方形上的整点个数是：4+4(2n-1)=8n,

•••正方形4019B2019c2019D2019四条边上的整点的个数=2019X8=16152,

故答案为：16152.

根据题意可知：4B1GD1四条边上的整点共有4+4X1=8,2c2。2四条边上的整点共有4+4X

3=16,正方形4383c3。3四条边上的整点的个数有4+4x5=24,寻找规律：第九个正方形上的整

点个数是：4+4(2n-1)=8n,进而可求出正方形4019B2019c2019D2019四条边上的整点的个数・

本题主要考查对有关正方形的性质和网格题问题的理解和掌握，总结出规律是解此题的关键.

19.答案：解：如图，过点B作BDlx轴于D,

•••4(0,2),8(4,3),

・••OA=2,BD=3,OD=4,

根据题意得：Z.ACO=/.BCD,

v/-AOC=(BDC=90°,

•••△AOC^LBDCf

AOA：BD=OC：DC=AC：BC=2：3,

OC=-OD=-x4=

555

AC=y/OA2+OC2=争，

亚，

5

AC+BC=同.即这束光从点4到点B所经过的路径的长为"L

解析：首先过点B作BOlx轴于D,由4(0,2),5(4,3),即可得(M=2,BO=3,OD=4,由题意

易证得△AOCsABOC,根据相似三角形的对应边成比例，即可得04：BD=OC：DC=AC-.BC=2：

3,又由勾股定理即可求得这束光从点4到点B所经过的路径的长.

本题考查的是勾股定理的应用，解此题的关键是掌握辅助线的作法，掌握入射光线与反射光线的关

系.

20.答案：解：原式=1-1+4+(—2)+2x-

=3.

解析：直接利用绝对值的性质以及零指数幕的性质和负整数指数塞的性质、特殊角的三角函数值分

别化简得出答案.

此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键.

图①图②

(1)如图①：

SMBC=：X5X3=£.

・•.△ABC即为所求作的图形；

(2)如图②：AABD即为所求作的图形.

作于点。，。/_148于点/，

11

•1,S^ABD=5%BE=-AB,DF

・•・V10-BE=5x3

3V10

:.BDZE?=-----.

2

所以△AB。底边上的高为双友.

2

解析：⑴根据勾股定理可知AC为3x4格对角线，即可在图①中画出一个以4B为一边的等腰△4BC,

使点C在格点上，且面积为奉

(2)根据tan/ZMB=3,即可在图②中画出一个以4B为一边的等腰△ABD,使点。在格点上，且

tanZ.DAB=3,△480底边上的高为3的三角形.

本题考查了作图-应用与设计作图、三角形的面积、等腰三角形的判定、解直角三角形，解决本题

的关键是准确画出图形.

22.答案：解:(1)如图1,・・,四边形4BCD是菱形,

・・・AD=CD9Z.D=Z.ABC=60°,

・•・△4CD是等边三角形，

•・•CFLAD,

：・AF=DF=3,

由勾股定理得：CF=V62-32=3^3»

-AD//BC,

・•・Z,BCF=乙CFD=90°,

vBC=6,

RMBCF中，BF=162+(3次尸=3近，

-AF//BC,

."_FG_1

•・BC~BG~29

BG=2FG,

AFG=1^F=V7,

(2)如图2,・・・4FHC=60。，

:.(BHC=120°,

vAD//BC,/.ABC=60°,

・•・匕BAD=120°=乙BHC,

^LAFC=(HBC,

图2

*'•△BHCs>FAB,

.BH_AF

,,，

CHAB

•・・CH=2BH,

.-.AB=2AF,

..F是AD的中点，

•••△4DC是等边三角形，

A£.ACF=-A.ACD=30°,

2

•・•Z.CAF=乙FHC=60°,

・・・4、H、C、F四点共圆，

.%Z,AHC+/-AFC=180°,

•・・Z,AFC=90°,

・・・Z,AHC=90°,

・•・AH1CE.

解析：(1)先根据有一个角为60。的等腰三角形是等边三角形可得：△4CZ)是等边三角形，利用勾股

定理得：CF=府二用=3V3,BF=旧+(3百尸=3夕，利用秤行线分线段成比例定理得：亲=

*=3求得FG的长；

D(JZ

(2)如图2,先证明ABHCs△凡4B,得瞿=%F是4D的中点，根据A/WC是等边三角形，得乙ACF=

CnAB

\^ACD=30°,证明4、H、C、F四点共圆，则乙4HC+/4FC=180。，可得结论.

本题考查的是相似三角形的判定和性质的应用、菱形的性质的应用、勾股定理、平行线分线段成比

例定理、四点共圆的判定和性质，灵活运用相关的定理是解题的关键，第二问有难度，证明ABHCsA

F4B是关键.

23.答案：解：(1)「AC是。。的切线，

:.CA1/8,vEH1AB,

・・・乙EHB=乙CAB,・・•乙EBH=Z.CBA,

・••△HBE〜公ABC.

(2)连接AF.

••,AB是直径，

:.Z.AFB=90°,

vzC=Z-C>乙CAB=Z-AFC,

CAF^/s.CBA,

・・・CA2=CFCB=36,

•­­CA=6,AB=ylBC2-AC2=3店,AF=>JAB2-BF2=2遥，

DF=BD

A^EAF=Z.EAH,vEF1AF,EHLAB,

:・EF=EH,-AE=AE,

ARt△AEF=Rt△AEH,

.・.AF-AH=2A/5，设E尸=EH=x,

又HB=AB-AH=3层-2展=县,

则在RMEHB中,(5-x)2=x2+(V5)2,

•*,x-2,

・・・EH=2.

解析：本题考查相似三角形的判定和性质、圆周角定理、切线的性质、角平分线的性质等知识，解

题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找相似三角形解决问题.

(1)根据切线的性质即可证明：ACAB=AEHB,由此即可解决问题；

(2)连接4孔由ACA尸一△C84推出C42=C/Z・CB=36,推出CA=6,AB=\/BC2-AC2=3V5，

AF=y/AB2-BF2=26，由Rt△AEF=Rt△AEH,推出AF=AH=2而，设EF=EH=x,在RtA

EHB中，根据勾股定理列方程(5—x)2=x2+(遥)2,解方程即可解决问题.

24.答案：⑴*3；

(2)如图2,分别将AP/IB、4PBC、APAC沿直线力B、BC、4c翻折，点P的对称点分别是点0、E、

F,连接DE、DF,

则4PAB^XDAB»△PCBm4ECB»△PAC=^FAC.

AD=AP=AF,BD=BP=BE,CE=CP=CF.

•••由(1)知4ABC=30。，Z.BAC=60°,AACB=90°,

乙DBE=2Z.ABC=60°,4DAF=2484c=120°,

乙FCE=2Z.ACB=180°.

•••△。8片是等边三角形，点尸、C、E共线.

・•・DE=BD=BP=V10,EF=CECF=2CP=2.

•••△/DF中，AD=AF=V2，/-DAF=120°,

・・•Z.ADF=乙AFD=30°.

・•・DF=V3AD=V6.

・・,E~2+。产=I。=*

・・・乙DFE=90°.

S多边形BDAFE=2SAABC=S^DBE+S〉DFE+^^DAF，

・•,2s△.Be=日x(VTO)2+1xV6x2+|xV6x=3^/3+A/6.

.e_3V3+V6

••=2.

(3)4APB=150°.

解析：解：(1)・・•AB=2AC,PB=3,乙ACB=90°,(ABC=a,

.1

・••sina=

2

・•・a=30°,

V3

Acosa=一，

2

如图1,作P点关于AB以及BC的对称点P',P",

BP=BP"=BP',△PMN的周长最小值等于P'P"的长，

•••4ABC=30°,

AAP'BP"=60°,

.•.△BP'P"是等边三角形,

BP'=BP"=3,

.••△PMN周长的最小值为：3；

故答案为：—,3：