湖南省湖湘名校教育联合体2024-2025学年高二上学期10月大联考数学试题

2024-2025学年湖南省“湖湘名校教育联合体”高二10月大联考数学❖一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知a=(1,1,0)，b=(-1,1,2)，则a⋅A.-1 B.0 C.1 2.将直线l1:x-y+1=0绕点(0,1)逆时针旋转90∘得到直线A.x+y-2=0 B.x+y3.圆C1:x2+yA.内含 B.内切 C.外离 D.相交4.若椭圆x2λ+y25=1的右焦点坐标为A.1 B.1或3 C.9 D.1或95.已知O是空间任意一点，A，B，C，D四点共面，且任意三点不共线，若OD=12OA+xOBA.12 B.14 C.186.如图，正四棱锥P-ABCD的所有棱长均为2，M，N分别为AB，BC的中点，则点M到直线PN的距离为(

)

A.153 B.203 C.7.已知函数f(x)=-x,x≥0A.[-3,1] B.(-∞,-3]∪[1,+∞)

C.[0,2] D.(-∞,0]∪[2,+∞)8.在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.如图所示，某同学利用两个完全一样的半圆柱，得到了一个三棱锥A-BCD，该三棱锥为鳖臑，O1，O2为半圆柱的圆心，半径为2，BD=4，∠AO2C=60∘，动点Q在△ACD内运动A.2π B.3π C.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9.函数f(x)=Acos(A.ω=2 B.φ=π3

C.x=-π6是曲线y10.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为8，E，F，G，M分别为AA1，A.直线EF与MB为异面直线

B.向量EM在向量FG上的投影向量为12FG

C.若Q为CA1上靠近点A1的四等分点，则4AQ=AB+AD11.设圆C:(x-1)2+(y-1)2=2，直线l:x+y+1=0，PA.若圆心C到直线AB的距离为22，则|AB|=6

B.直线AB恒过定点(13,13)

C.若线段AB的中点为M三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知事件A与事件B相互独立，且P(A)=0.4，P(B)=0.513.已知点M(1,-2)，N(0,-2)，P是直线l:x+2y-14.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(0<b<a≤3b2)的左，右焦点分别为F四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(1)求角A的大小;(2)若a=27，b=2，角A的平分线交BC于点D，求线段16.(本小题12分)已知圆C的圆心在y轴上，且经过点A(2,0)，(1)求圆C的标准方程;(2)若圆C上存在一点P满足△ABP的面积为5，求直线BP的方程.17.(本小题12分)

图1是棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1，E，F，E1，F1分别是CD，AD，C1D1，A1D1的中点，截去三棱柱EDF-E1D1F1和三棱柱BCE-B1(1)求线段FM的长;(2)求平面A1B1G与平面18.(本小题12分)在直角坐标系xOy中，点E1(-2,0)，E2(2,0)，动点T(1)求Γ的方程，并说明Γ是什么曲线;(2)过左焦点F1且与坐标轴不垂直的直线l，与曲线Γ相交于A，B两点，AB的中点为M，直线OM与曲线Γ相交于C，D两点.求四边形ACBD面积的取值范围.19.(本小题12分)已知集合S={1,2,3,⋯,n}，n为正整数且n≥5，M为集合S的子集，记card(1)当n=5时，card((2)当n=15时，对任意的x，y，z∈M，(x,y,z(3)若M1，M2，⋯，Mn，Mn+1均为S的子集，且card(Mi答案和解析1.【答案】B

【解析】【分析】本题考查空间向量的数量积运算，属于基础题。

由空间向量的数量积运算法则求解即可.【解答】

解：因为a=(1,1,0)，b=(-1,1,2)，

所以

a⋅2.【答案】B

【解析】【分析】本题考查直线的一般式方程与直线的垂直关系，属于基础题．

因为l2过(0,1)且直线l2与直线l1【解答】

解：由题知，点(0,1)在直线l2上，逆时针旋转90∘，

直线l2与直线l1垂直，斜率为-1，

则直线l2的方程为y-1=-x3.【答案】D

【解析】【分析】本题考查圆与圆的位置关系，属于基础题.

由圆的标准方程可得r1，r2及两圆心之间的距离，与两半径比较即可得圆C1与圆【解答】

解：圆

C1:x2+y2=4的圆心

C1(0,0)，半径

r1=2，

圆

C2:(x-2)2+(y4.【答案】C

【解析】【分析】本题考查椭圆的焦点，属于基础题.

利用椭圆的方程，通过焦点坐标为(2,0)，求解λ即可．【解答】

解：椭圆

x2λ+y25=1λ>0的右焦点坐标为(2,0)，5.【答案】C

【解析】【分析】本题考查了空间向量基本定理的应用，利用基本不等式求最值，属于基础题.

x+y【解答】

解：∵O为空间任意一点，A，B，C，D四点共面，且任意三点不共线，

OD=12OA+xOB+yOC，

∴x6.【答案】A

【解析】【分析】本题主要考查利用空间向量求点线之间的距离，线面垂直的判定，余弦定理，线面垂直的性质，属于中档题.

方法一：建立空间直角坐标系，求向量

MN

在

PN

上的投影的大小，再求点M到直线PN的距离；方法二：利用余弦定理解三角形即可；

方法三：AC∩BD=O，连接MO，过O作OH⊥PN于H，易证PN⊥平面OMH，则线段【解答】

解：方法一：正四棱锥P-ABCD的棱长均为2，M，N分别为AB，BC的中点，

记AC∩BD=O，根据正四棱锥的性质可得，点P在底面ABCD的投影为点O，即PO⊥底面ABCD，

而AO，OB⊂底面ABCD，故PO⊥AO，PO⊥OB，

而由底面ABCD为正方形的性质可得，AO⊥OB，

故建立如图所示的空间直角坐标系，

正四棱锥P-ABCD的所有棱长均为2，则AC=BD=22，

则AO=OC=OD=OB=OP=2，

则A(2,0,0)，B(0,2,0)，C(-2,0,0)，

P(0,0,2)，M(22,22,0)，N(-22,22,0)，MN=(-2,0,0)，7.【答案】B

【解析】【分析】本题主要考查利用函数的单调性解不等式，属于中档题.

先把f(a-x2)≥2f(【解答】

解：由题可知，f(x)=-x,x≥0-x,x<0，

所以f(a-x2)≥2f(x)可转化为f8.【答案】A

【解析】【分析】本题考查圆柱、棱锥的结构特征，属于中档题.

根据已知得到△ABD为等腰直角三角形，过M向DC作垂线，垂足为N，得到点Q在以M为圆心，2【解答】

解：由题可知AO2=2，AB=4，△ABD为等腰直角三角形.

则AD=42，AC=23，

∵动点Q在△ACD内运动，BQ=10，过点B向AD作垂线，垂足为点M，BM=22，

因为AC⊥AB，AC⊥BD，BD∩AB=B，BD，AB⊂平面ABD，

则AC⊥平面ABD，又AC⊂平面ACD，则平面ACD⊥平面ABD，

又平面ACD∩平面ABD=AD，BM⊂平面ABD，所以BM⊥9.【答案】AD

【解析】【分析】本题主要考查由部分图象求三角函数解析式，正弦型函数性质，属于基础题.

根据图象可得ω，φ，依此结合选项判断即可.【解答】

解：对于A选项，A=2，12T=11π12-5π12=π2，T=π，ω=2，A正确;

对于B选项，将点(5π12,-2)代入解析得，-2=2cos(2×5π12+φ)，又φ<π2，

解得φ=π6，10.【答案】ABC

【解析】【分析】本题主要考查空间向量的投影向量、线面平行的向量表示等，属于中档题.

分别利用空间中直线与直线的位置关系、空间向量的投影向量、空间向量的线性运算、线面平行的向量表示等一一判断即可.【解答】

解：对于A选项，过E，M，B三点在同一个平面，F在平面外，

直线EF与MB为异面直线，A正确;

对于B选项，以点D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，

因为正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为8，所以正方体的棱长为2，

所以E(2,0,1)，F(1,0,0)，G(0,2,1)，M(2,1,2)，

EM=(0,1,1)，FG=(-1,2,1)，

则向量EM在向量FG上的投影向量为：EM⋅FG|FG|⋅FG|FG|=12FG，故B正确;

对于C选项，AQ=AA1+14A1C=AA1+14(A1A+AB+BC)，

11.【答案】ABD

【解析】【分析】本题主要考查圆的切点坐标、切线长、直线与圆的位置关系中的最值问题等，属于中档题.

利用题目给出的条件，结合圆的切点坐标、切线长、直线过定点问题、直线与圆的位置关系中的最值问题等一一判断即可.【解答】

解：对于A选项，圆C的圆心为(1,1)，半径为2，|AB|=2R2-d2=6，故A正确;

对于B选项，圆C:(x-1)2+(y-1)2=2①，

设点P(t,-1-t)，以CP为直径的圆的方程为(x-1)(x-t)+(y-1)(y+1+t)=0，

化简为x2-(t+1)x+y2+ty-1=0②，

②-①得切点弦AB的方程为t(x-y)+1-x-2y=0，与t无关，

得x-y=01-x-2y=0，解之得x=13y=13，B正确;

对于C12.【答案】0.7

【解析】【分析】本题考查相互独立事件的概率乘法公式，属于基础题.

利用任意两个事件的和事件的概率计算公式以及相互独立事件的概率乘法公式即可求解.【解答】解：因为事件A与事件B相互独立，P(A)=0.4所以P(所以P13.【答案】5

【解析】【分析】本题考查点、直线间的对称问题，两点之间的距离公式，属于基础题.

求出

M(1,-2)关于直线l:x+2y-2=0【解答】

解：M(1,-2)，N(0,-2)两点在直线

l:x+2y-2=0的同一侧.

设M(1,-2)关于直线l:x+2y-2=0对称的点的坐标为M'(x',y')，

则y'14.【答案】5【解析】【分析】本题考查椭圆的概念及标准方程、椭圆的性质及几何意义，属于中档题.

由题意可得四边形MF1NF【解答】

解：由题意，0<b<a≤3b2⇒ba≥23⇒(ba)2≥49，

所以离心率e=c2a2=a2-b2a2=1-b2a2≤59=53①.

如图，连接MF2，NF2，因为MF1⋅NF1=0⇔∠MF1N=90∘，

故四边形MF115.【答案】解：(1)因为b(1-cosA)=3asinB，

由正弦定理可得sinB(1-cosA)=3sinAsinB.

又因为B∈(0,π)，则sinB≠0，

所以1-cosA=3sinA.整理得2sin(A+π6)=1，即sin(A+π6)=12.

因为A∈(0,π)，所以A+π6∈(π6,7π6【解析】本题主要考查正、余弦定理，属于中档题.

(1)由正余弦定理及辅助角公式，结合角的范围可得解；

(2)方法1，由余弦定理及等面积法，可得线段AD的长.

方法2，由余弦定理及内角平分线定理，可得线段AD的长.16.【答案】解：(1)由题意，设圆C的标准方程为x2+(y-b)2=r2，

圆C经过点A(2,0)，B(1,3)，则4+b2=r21+(3-b)2=r2⇒b=1r2=5，

故圆C的标准方程为x2+(y-1)2=5.

(2)解法一：直线AB的斜率为3-01-2=-3，

所以直线AB的方程为y=-3x-2，即3x+y-6=0，

|AB|=2-12+0-32=10，

由S△ABP=5得点P到直线AB的距离d=2×510=10，

设P(x0,y0)，则|3x0+y0-6|10=10x02+(y0-1)2=5，

解得x0=-2y0=2或x0=-1y0=-1即P(-2,2)或P(-1,-1)，

当P(-2,2)时，直线BP的方程为x-3y+8=0，

当P(-1,-1)时，直线BP的方程为2x-y+1=0，

综上直线BP的方程为x-3y+8=0或2x-y+1=0.

解法二：直线AB的方程为3x+y-6=0【解析】本题考查圆的方程的，圆中三角形的面积，属于中档题．

(1)设圆C的标准方程为x2+(y-b)2=r2，求出b和17.【答案】解：(1)在下图中，延长BA与EF相交于K，延长B1A1与E1F1相交于K1，

延长BH与K1K相交于I，连接GI交F1F于M，

由△ABH∽△KBI，

得AHBA=KIBK，求得KI=32，MF=12(KI+EG)=54.

(2)在下图中，以A为坐标原点，分别以AF，AB，AA1所在直线为x，y，z轴，

建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，

平面α即平面BGH(尽量用已知点)，

则B(0,2,0)，G(2,1,1)，H(0,0,1)，HG=(2,1,0)，HB=(0,2,-1)，

设面α的法向量是m=(x,y,z)，有m⋅HG=2x【解析】本题主要考查平面与平面所成角的向量求法等，属于中档题.

(1)延长BA与EF相交于K，延长B1A1与E1F1相交于K1，延长BH与K1K相交于I，连接GI交

F1F于M，然后利用△ABH∽△KBI，得到KI=32，MF=12(KI+EG)=18.【答案】解：(1)直线TE1的斜率为yx+2(x≠-2)，直线TE2的斜率为yx-2(x≠2)，

由题意可知：yx+2⋅yx-2=-12⇒x2+2y2=2(x≠±2)，

所以曲线Γ是以坐标原点为中