2020-2021学年鞍山市九年级上学期期末数学试卷

2020-2021学年鞍山市九年级上学期期末数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）

下列图案中不是轴对称图形的是（

2.把抛物线y=-2/先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得函数的表达式为

（）

A.y=-2(jK+l)z+2B.y=-2-2

C.y=-2+1；4-2D.y=-2+i;-2

如图，四边形ABC。内接于O0,若N80D=160°,则/BCD=（

A.160°

B.100°

D.20°

4.已知：如图，在口△力BC中，点％是斜边48的中点，过4作441RC于纥，连结码交困

于2；过2作耳与J_AC于&,连结码交于A；过A作鼻纭_LAC于旗，…，如此

继续，可以依次得到点A，A，…，D.,分别记△RqgABA&△sqg,…，的

面积为，，&，£,..Z.设△4BC的面积为1,则用为（）.

1

A.4M

5.已知一元二次方程/+尢-1=0,嘉淇在探究该方程时，得到以下结论:

①该方程有两个不相等的实数根；②该方程有一个根为1；③该方程的根是整数；④该方程有一个

根小于-1.则其中正确结论的序号为（）

A.①③B.②④C.①④D.②③

_m

6.已知函数了=工的图象如图，以下结论：

①m<0；

②在每个分支上y随工的增大而增大；

③若点4（T，a）、点B（2,3）在图象上，则a<.

④若点p（x，y）在图象上，则点P<一x，—力也在图象上。

其中正确的个数是（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

7.抛物线y=—x2+bx+c经过（0,—3）,对称轴为直线x=-1,关于x的方程—/+b%4-c—n=0

在-4<x<1的范围内有实数根，则n的取值范围为（）

A.-11<<-2B.—6<?!<-3C.-11</I<-2D.-11<n<-6

8.如图，△ABC内接于O。，AD1BC于点D,AD=2cm,AB=4cm,AC=

3cm,则。。的直径是（）

A.2cm

B.4cm

C.6cm

D.8cm

二、填空题(本大题共8小题，共24.0分)

9.已知二次函数y=-/+2%-2,当-24%W2时，函数值y的取值范围是.

10.如图，AB//CD//EF,如果4c=2,CE=3,BD=1.5,那么BF的长是.---兴平一

7E

11.为执行“二免一补”政策，某地区2008年投入教育经费5000万元，预计2010年投入7200万元，

设这两年投入教育经费的年平均增长百分率为工,由题意可列方程为.

12.一个等腰三角形的两边长分别为4cm和8cm,则周长是cm.

13.如图，Rt△4BC纸片中，ZC=90°,AC=6,BC=8,点。在边BC上，'卜

以4。为折痕△ABD折叠得到△AB'D,力B'与边BC交于点E.若△DEB'为V\\s

直角三角形，则B。的长是.\\

CE\IDB

VR,

14.已知B(2,l),4B〃y轴，AB=3,则点4的坐标为.

15.已知40141)8(%2,%)是反比例函数y=一1图象上的两个点，yi<y2<0则工i与％2的大小关系

为(用“>”或填写)

16.如图，在平面直角坐标系中，点N1(1,1)在直线八y=x±,过点N1作N1M1JU,交x轴于点MI；

过点Mi作Mi21x轴，交直线于N2；过点N2作N2M21I,交x轴于点M2；过点作M2N31x轴，

交直线E于点N3；…，按此作法进行下去，则点M2021的坐标为.

三、计算题(本大题共1小题，共10.0分)

17.如图，在平面直角坐标系xOy中，点4(6,0),B(0,6A/5)，点P为线段4B

上的动点，「。1。4于。PD1OB于。，当矩形PC。。面积最大时，

求点P的坐标.

四、解答题(本大题共9小题，共92.0分)

电⑴解方程组:cm

<2x+l3x+21

(2)解不等式组：工厂<1,并写出它的整数解.

(3-%>2

19.△ABC的面积为4cm2,周长为10cm.求该三角形的内切圆的半径.

20.如图，△ABC是一块锐角三角形材料，BC=10,AABC的BC边

上的高为6,用这块材料剪出一个矩形DEFG,其中，点0,G分

别在4B,4C上，点E,F在BC上.

(1)若DE=DG,求黑需的值；

(2)剪出的矩形DEFG的面积能等于|SA48c吗？为什么？

21.关于x的方程(a-1)/+(2a-4)x+a+1=0有两个不相等的实数根%i，x2.

(1)求a的取值范围.

(2)是否存在实数a,使方程两实数根互为相反数？如果存在，求出a的值；如不存在，说明理由.

22.如图，△力BC中，AB=9,D在4B上，AD=4,Z.B=ZACD,求4c的长.

23.如图，已知一次函数y=-x+1的图象与反比例函数y=£的图象交点4(-3,7n)和B(?i,-3),直

线与x轴，y轴分别交于点C、点D.

(1)求反比例函数；

(2)求△力0B的面积；

(3)结合函数图象直接写出不等式一x+1-§>0的解集.

24.(1)如图1,在△々△ABC中，ZC=90°,AC=2,BC=1,可求得4B=.

(2)如图2,直径为1个单位长度的圆从原点0沿数轴向右滚动一周，圆上的一点P(滚动时与点。重合)

由原点到达点。'，则0。'的长度是.

(3)如图3,ZiABC是一个等腰直角三角形，它的面积是2,把它沿着斜边的高线剪开拼成如图正方形

EBDC,则这个正方形的边长是.

(4)请你在5x6的网格图4中(每个小正方形边长均为1),画出一条长为VTU的线段；

(5)学习了实数后，我们知道数轴上的点与实数是一一对应的关系.那么请你在图5的数轴上画出表

示-花的点(保留作图痕迹).

25.如图，在等腰直角三角形4BC中，^ACB=90°,AC=BC=4,

。是4B的中点，E、F分另IJ是AC、BC上的点(点E不与端点4、C重

合)，连接EF并取EF的中点0,连接。。并延长至点G,使G。=OD,

连接DE、GE、GF.

(1)求证：四边形EDFG是平行四边形；

(2)若4E=CF,探究四边形EDFG的形状？

(3)在(2)的条件下，当E点在何处时，四边形EOFG的面积最小，并求出最小值.

(3)在(2)的条件下，M为第一象限内对称轴右侧的抛物线上一点，作MElx轴于点E,交直线BC于

点。，点?在线段上，作交直线于点且

FN1BCMDN,当:MN?-1=2S^Q0B,MF=DF+NF

时，求N坐标.

参考答案及解析

1.答案：B

解析：解：4、是轴对称图形，故本选项不合题意；

8、不是轴对称图形，故本选项符合题意；

C、是轴对称图形，故本选项不合题意；

。、是轴对称图形，故本选项不合题意；

故选:B.

根据轴对称图形的定义直接判断得出即可.

本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合.

2.答案：C

解析：由“左加右减、上加下减”的原则解答即可.

把抛物线y=-2/先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得函数的表达式为y=

-2(%+I)2+2.

故选：C.

3.答案：B

解析：解：•••四边形4BCD内接于。。，

/LBAD+乙BCD=180°；

又乙BAD=三乙BOD=80°,

乙BCD=180°-4BAD=100°；

故选：B.

根据同弧所对的圆周角与圆心角的关系，易求得圆周角4840的度数；由于圆内接四边形的内对角互

补，则4BAD+乙BCD=180°,由此得解.

此题主要考查了圆内接四边形的性质及圆周角定理的综合应用能力.

4答案:D

解析：由于"侬=辍"，遇是斜边的中点，琳鸣,1•您好，易知D1EJ/BC,

.•.△8。亚1与ACDiEi同底同高，面积相等，以此类推；

=­S^ABC,

根据直角三角形的性质以及相似三角形的性质可知：D.E.=-BC,CE.=-AC,SI=WJSAABC；

S篝方

.•.在AACB中，。2为其重心，

又为三角形的中位线，[D[EJ/BC,

D2DrE^LCD2B,且相似比为1：2,

•・•△ABC的面积为1,

“S"一标普而

故选D

5.答案：C

解析：解：••一元二次方程产+支一1=0,

I2-4x1x(-1)=5>0,

此方程有两个不相等的实数根，故①正确;

•••a=1,b=1,c=—1

-l±y[5-1±V5

/.X=---------=---------9

2x12

—i—Vsq—I+VS

X1=~<-1，%2=2>A0，

故②③错误，④正确,

即正确的有①④,

故选：C.

先求出△=5>0,判断出①正确，再求出此方程的两个实数根，即可判断出②③错误，④正确，

即可得出结论.

此题主要考查了一元二次方程根的判别式，用求根公式解一元二次方程，实数的比较大小，掌握一

元二次方程的求根公式是解本题的关键.

6.答案：B

解析：试题分析：本题考查反比例函数的图像及性质。由反比例函数的图像及性质知，巾<0,且

在每个分支上y随x的增大而增大。故①②正确。若点4（一1，幻、点由2,力在图象上，那么

1m_m

7=一最/=万，由于mvO,因此Q>0,bVO.故a>b.③错误。若点P（xj）在图象上，则>二工

m

即一^二二；。那么点生（一兀一丁）也在图象上。④正确。故选瓦

7.答案：c

解析：解：由题意得"=一13,解得仁二;,

（c=-3

故抛物线的表达式为y=-/一2x-3,

则抛物线的顶点坐标为（-L-2）,

%=-4比x=1离对称轴远，故关于x的方程一x2+bx+c-n=。在一4<x<1的范围内有实数根,

则n在y=—11和顶点之间,

即一11<nW—2,

故选：C.

x=一4比％=1离对称轴远，故关于X的方程一/+bx+c-n=。在一4cx<1的范围内有实数根,

则n在y=-11和顶点之间，进而求解.

本题考查了二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答.

8.答案：C

解析：

本题利用了同圆中同弧所对的圆周角相等、相似三角形的判定和性质.

连接CE,根据同圆中同弧所对的圆周角相等，可知乙4EC=N4BC,由于4E是直径、401BC可知

乙4CE==90。，利用相似三角形的判定可证△ABDsAAEC,再利用相似三角形的性质可得

比例线段，利用比例线段可求力E.

解：作直径4E,连接CE,

A

E

••TE是直径，AD1BC,

•••上ADB=Z.ACE=90°,

又；4AEC=4WC,

ABD~>AEC,

••AC：AE=AD：AB9

•・•AD=2cm,AB=4cm,AC=3cm,

・•・3：AE=2：4,

解得AE=6cm.

故选C.

9.答案：-10<y<-1

解析：解：由二次函数y=-/+2%-2=-。-1）2-1可知：抛物线开口向下，顶点为（1,一1）,

・,・函数有最大值y=-1,

,・•当X=-2时，y=-10,当％=2时，y=-2,

・・・当-2<%<2时,y的取值范围是一10<y<-1,

故答案为：

求得顶点坐标，得出最大值，然后求出％=-2,%=2时丫的值，就可得到y的取值范围.

本题主要考查了二次函数的性质，抛物线的对称轴、顶点坐标与抛物线解析式的关系，抛物线的顶

点式：y=。（％-九）2+匕顶点坐标为（儿k）,对称轴％=儿

10.答案：Y

4

解析：解：VAB//CD//EF,AC=2,CE=3,BD=1.5,

•.•—AC=_—BD,

AEBF

r即tri一2=—1.5,

2+3BF

解得：=

4

故答案为：争.

4

根据平行线分线段成比例定理解答即可.

本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键.

11.答案:5000(1+X)2=7200

解析：解：设这两年投入教育经费的年平均增长百分率为，

依题意,得：5000(1+x)2=7200.

故答案为：5000(1+x)2=7200.

设这两年投入教育经费的年平均增长百分率为工,根据该地区2008年及2010年投入的教育经费，即

可得出关于x的一元二次方程，此题得解.

本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键.

12.答案：20

解析：解：等腰三角形的两边长分别为4cm和8cm,

当腰长是4cm时，则三角形的三边是4cm,4cm,8cm,4cm+4cm=8cm不满足三角形的三边关系：

当腰长是8cm时，三角形的三边是8cm,8cm,4cm,8cm+4cm>8cm,满足三角形的三边关系,

三角形的周长是8+8+4=20(cm).

故答案为：20.

根据等腰三角形的性质，本题要分情况讨论.当腰长为4cm或是腰长为8cm两种情况.

本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种

情况，进行分类讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的

关键.

13.答案：2或5

解析：

先依据勾股定理求得4B的长，然后由翻折的性质可知：AB'=10,DB=DB',接下来分为NB'DE=

90。和zB'ED=90。，两种情况画出图形，设DB=DB'=%,然后依据勾股定理列出关于x的方程求

解即可.

本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理的应用，根据勾股定理列出关于x的方程是解题的关键.

解：•••Rt△4BC纸片中，ZC=90°,AC=6,BC=8,

•••AB=10,

•••以4。为折痕△48。折叠得到^AB'D,

:.BD=DB',AB'=AB=10.

如图1所示：当NB'DE=90。时，过点夕作B'FJ.AF,垂足为F.

设BC=DB'=x,则AF=6+x,FB'=8-x.

在RtAAFB'中，由勾股定理得：AB'2=AF2+FB'2,B|J(6+x)2+(8-x)2=102.

解得：X[=2,丫2=0(舍去).

・•・BD—2.

如图2所示：当NB'ED=90。时，C与点E重合.

•••B'E=4.

设BD=DB'=X,则CD=8-x.

在RtA'BOE中，DB'2=DE2+B'E2,BRx2=(8-x)2+42.

解得：x=5.

BD=5.

综上所述，BO的长为2或5.

故答案为：2或5.

14.答案:(2,4)或(2,-2)

解析：

根据平行于y轴的点的横坐标相等求出点4的横坐标，再分点4在点B的上方与下方两种情况求出点B

的纵坐标，即可得解.

本题考查了坐标与图形性质，主要利用了平行于y轴的点的横坐标相等，难点在于要分情况讨论.

解：7B(2,l),4B〃y轴，

.••点4的横坐标为2,

点4在点B的上方时，1+3=4,

点4在点8的下方时，1—3=—2,

二点B的坐标为(2,4)或(2,-2).

故答案为:(2,4)或(2,-2).

15.答案:<

解析：解：,••反比例函数y=-[中k-1<0,

•••此函数的图象在二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大，

yi<y2<°，

二月、8两点均在第四象限，

・•・xt<x2.

故答案为：V.

先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限及在每一象限内函数的增减性，再根据yi<

丫2<0判断出4、B两点所在的象限，故可得出结论.

本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，先根据题意判断出函数图象所在的象限是解答此题

的关键.

16.答案:(22021,0)

解析：解：如图1,过N1作NiE1x轴于N,过N1作N[Fly轴于尸，

・・.N]E=N]F=1,

:•乙N\OMi=45°,

・・・4MOM=4NIML。=45°,

.•.△MOMi是等腰直角三角形，

・・・N]F=OF=FMi=1,

:.0Ml=2,

：•%(2,0),

同理，△“2。%是等腰直角三角形，

OM2=2。%=4>

“2(4,0),

3

同理，0M3=2OM2=220Ml=2,

3

M3(2,0),

4

0M4=2OM3=2,

4

•••M4(2,0),

依次类推，故M2021(22°21,0),

故答案为（22。21,0）.

因为直线解析式为y=x,故可以证明直线，是第一象限的角平分线，所以4N10M1=45。，所以可以

证明△MOM1为等腰直角三角形，可以利用NI的坐标求出OMi的长度，得到其坐标，用同样的方法

求得“2,“3,…，即可解决.

本题是一道一次函数图象上的点的坐标特征，考查了点的坐标规律，利用直线y=x是第一象限的角

平分线是解决本题的突破口.

17.答案：解：设点P的横坐标为3则OC=PC=t,

,:OA=6、OB=65/3,OA1.OB,

•••4B=30°,PC10B,

,••四=焉=全=除,

3

•••OC=OB-BC=6>/3-屈,

^S^OCPD=ODOC=t(6V3-V3t)=-V3t2+6痘t=-V3(t-3)2+9限

•',当t=3时，S矩0（CPD取得最大值,

当t=3时，OC=6a一3痘=35

所以点P的坐标为(3,3%).

解析：设点P的横坐标为3则0。=PC=3由04=6、。8=6%知4B=30°,据此可得BC=编=

V3ts0C=OB-BC=6y/3-V3t,利用矩形的面积公式列出函数解析式，配方成顶点式得出取最

大值时t的值即可得出答案.

本题主要考查二次函数的应用，解题的关键熟练掌握三角函数的应用、矩形的面积公式及二次函数

的性质.

18.答案:解:⑴住小厂(俄

\2x-5y=6⑵

①一②得6y=12,解得y=2

代入①得2x+2=18,解得x=8.

故原方程组的解为

"一.①

(2)32〜，

,3-x>2(2)

由①得x>-2,

由②得x<1,

故不等式组的解集为-2<xW1,

故原不等式的整数解为x=-1或0或1.

解析：(1)先用加减消元法再用代入法即可；

(2)分别求出各不等式的解集，再求其公共解集，根据其解集的范围找出其整数解.

考查的是解二元一次方程组的方法及求一元一次不等式组解集的方法.要熟练掌握加减消元法解方

程组和不等式的基本性质以及不等式组的解集的求法.

19.答案：解：如图，三角形4BC切圆。于点。、E、F,

连接。0、0E、0F、。4、0B、0C,

0DA.AB,0E1BC,OF1AC,

设内切圆的半径为r,

三角形三边BC、AC、AB分别为a、b、c,

则Q+b+c=10,

^^ABC=S〉AOB+S^BOC+S"OC

111

=—AB•OD+—BC-OE+—AC-OF

222

=|r(a+b+c),

则1x10=4,

解得r=|=0.8(cm).

答：该三角形的内切圆的半径为0.8cm

解析：本题考查三角形的内切圆与内心，切线的性质，三角形的面积,

作出图形，设内切圆的半径为r,三角形三边BC、AC,4B分别为a、b、c,可得a+b+c=10,根

据SfBC=SA4O8+SA8℃+SAAOC，列出方程即可求出该三角形的内切圆的半径.

20.答案：解：(1)过点A作力M1BC,垂足为M,交DG于点N,

•••四边形DEFG是矩形，

DG//BC,

・•・Z-ADG=(B,Z.AGD=ZC>

ADG~AABC,

fAN_DG

••AM-BC'

根据题意可知：AM=6,BC=10.

设DE=x,则AN=6—x,DG=x,

・•・-6-x=一x,

610

解得：x=f，

4

・•・-A-D-+-D-G-+-A-G=—DG=-.3

AB+BC+ACBC8

(2)不能，理由如下：

设。E=y,则AN=6—y,

~rANDGaDG6-V

由(1)可知：一=—,即n一=一乙，

―AMBC106

/.DG=|(6-y)=-|y+10.

依题意得：x(—|x+10)=|x|x10x6,

化简得：%2—6%+12=0,

•・,△=b2-4ac=(-6)2—4x1x12=—12<0,

・・・此方程没有实数根，

・•・剪出的矩形OEFG的面积不能等于|S-BC-

解析：(1)过点4作4M1BC,垂足为M,交DG于点、N,由四边形。EFG是矩形及可得出DG〃BC,进

而可得出^ADG*ABC,利用相似三角形的性质可得出黑=器,设DE=x,则4V=6-x,DG=x,

AMBC

代入警=窃中可求出％的值，再结合=寥即可得出结论；

AMBCAB+BC+ACBC

(2)设DE=y,则AN=6-y,由翳=竟可用含y的代数式表示出DG的长，由矩形DEFG的面积等于

|SM8C，即可得出关于y的一元二次方程，由根的判别式△=-12<0,可得出此方程没有实数根，

进而可得出剪出的矩形CEFG的面积不能等于：SMBC-

本题考查了相似三角形的判定与性质、一元二次方程的应用、根的判别式以及列代数式，解题的关

键是：(1)利用相似三角形的性质，求出DG的长；(2)找准等量关系，正确列出一元二次方程.

21.答案：解：(1)丫关于》的方程缶一1)%2+(2£1-4)%+。+1=0有两个不相等的实数根，

・•・4=(2a-4)2—4(Q—l)(a+1)>0,且a—1工0,

即：-16a+20>0,且aW1,

・,・a<9且QH1；

4

(2)由题意，%i+x2=—\

Q—1

若方程两实数根互为相反数，则-铝=0,

a-1

解得，a=2,

因为2>：,

4

即a=2时，原方程没有实数根，

所以不存在实数，使方程两实数根互为相反数.

解析：本题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系.(2)易错，只关注求a的值而忽略a的

范围.

(1)由题意，方程需满足：根的判别式大于0且二次项系数不为0,求不等式的解即可；

(2)根据互为相反数的两数和等于0得方程，求解并判断即可.

22.答案：解：LB=Z.ACD,^BAC=/.CAD,

BACs二CAD,

•••AC=6或4c=-6(不合题意，舍去).

解析：由NB=^ACD,^BAC=NC4D可证出△B4C7ED,根据相似三角形的性质可得出哼=萼

代入AD、48的长度即可求出4C的长度.

本题考查了相似三角形的判定与性质，根据相似三角形的性质找出与=白是解题的关键.

4AC

23.答案：解：(1)・・•点4(-3,771)在一次函数y=-x+l的图象上，

Am=-1x(—3)+1=4,

・・・力(-3,4).

•.•点4(-3,4)在反比例函数y=:的图象上，

4=合，解得：k=-12,

・••反比例函数解析式为y=-*

(2)令y=-x+1中y=0,则x=1,

，C(l,0),

117

・•・SXAOB=S&AOC+S^BOC=5。。,(为-VB)=aX1x[4-(-3)]=-.

(3),••点8(上一3)在一次函数y=-％+1的图象上，

-3=-n+1,解得：n=4,

・・・B(4,-3).

观察函数图象发现：当％<-3或0V%<4时，一次函数图象在反比例函数图象的上方，

・,•不等式一x+1-->0的解集为％<一3或0<X<4.

X

解析：(1)由点a的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出m值，从而得出点/的坐标，再

根据点4的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征求出反比例函数解析式；

OB

(2)将y=0代入直线48解析式中求出点C的坐标，再结合三角形的面积公式以及S-=SAX0C+

SAB℃即可得出结论；

(3)由点B的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出n值，从而得出点B的坐标，再根据两

函数图象的上下位置关系即可得出不等式的解集.

本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、三角形的面积以及一次函数图象上点的坐标特征，解

题的关键是：(1)求出点4的坐标；(2)根据SAAOB=SA4℃+SA80c求出AHOB的面积；(3)根据两函

数图象上下位置关系解不等式.本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据一次函数图

象上点的坐标特征求出点的坐标是关键.

24.答案：(1)花；(2)71；(3)72;

u-1---1---L>

2345

解析：解：（1）在中，ZC=90°,AC=2,BC=1,

•••AB=yj22+I2=V5:

故答案为：V5;

(2)直径为1个单位长度的圆从原点。沿数轴向右滚动一周，圆上的一点P(滚动时与点。重合)由原点

到达点。'，则00'的长度是兀，

故答案为：7T;

(3)这个正方形的边长是鱼，

故答案为：72；

(4)见答案;

(5)见答案.

(1)根据勾股定理即可得到结论；

(2)根据圆的周长公式即可得到结论；

(3)根据算术平方根的定义即可得到结论;

(4)根据题意画出线段即可；

(5)-6为两边长为1，2的长方形的对角线的长，在数轴上位于负半轴.

此题考查的知识点是实数与数轴，关键运用勾股定理求出所表示的无理数，无理数也可以在数轴上

表示出来，一般应把它整理为直角边长为有理数的斜边的长.

25.答案：(1)证明：•・•。是EF的中点，

・•・0E=OF,

v0G=0D,

，四边形EDFG是平行四边形；

(2)解：四边形EDFG是正方形，理由是：

连接CD,如图1所示，

图1

・・・△4BC为等腰直角三角形，^ACB=90°,。是4B的中点,

:.=乙DCF=45°,AD=CD.

在△ADE和△CD尸中，

AE=CF

=乙DCF,

AD=CD

MADE三ACDF(SAS),

・・・DE=DF,/-ADE=/-CDF.

vZ.ADE+乙EDC=90°,

・•・乙EDC+乙CDF=乙EDF=90°,

由(1)知：四边形EDFG是平行四边形；

，四边形EDFG是正方形；

(3)解：过点。作OE'l力C于E',如图2所示.

G

图2

ABC为等腰直角三角形，Z.ACB=90°,AC=BC=4,

DE'=；BC=2,AB=4或，点9为4c的中点,

2<DE<2四(点E与点E'重合时取等号).

4-S四边形EDFG=DE?<8.

••・当点E为线段4c的中点时，四边形EDFG的面积最小，该最小值为4.

解析：(1)根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得结论；

(2)连接C。，根据等腰直角三角形的性质可得出N4=乙DCF=45。、AD=CD,结合HE=CF可证出

△ADE三△CDF(SAS),根据全等三角形的性质可得出DE=DF、ADE=/.CDF,通过角的计算可得

出4EDF=90。，再根据(1)中的结论，由此即可证出四边形EDFG是正方形；

(3)过点。作。E'1AC于E',根据等腰直角三角形的性质可得出DE'的长度，从而得出2<DE<2VL

再根据正方形的面积公式即可得出四边形EDFG的面积的最小值.

本题是四边形的综合题，考查了正方形的判定与性质、等腰直角三角形以及全等三角形的判定与性

质，解题的关键是：第二问证明△ADEmACDF：第三问确定四边形EDFG的面积最小时点E的位置.

26.答案：解：⑴•••直线y=-|%+6与x轴交于点B,与y轴交于点C,

.♦.令y=0,得一|x+6=0,解得x=9,则8(9,0)；

令x=0,得y=-|x0+6=6,则C(0,6).

•••抛物线y=ax2+bx-27a过点8(9,0)、C(0,6),

.CO=92a+9b—27a

"[6=-27a

・••a、b的值分别为一:、

(2)延长PQ交x轴于点G,如图1.

设点P的横坐标为t,则点Q的横坐标也为t.

•・・P点在抛物线y=+：%+6上，点Q在直线y=-|x+6±,

933

•••VP=一|严+?+6,yQ=—|t+6,

・•・PQ=—彳尸+[+6一(一|《+6)=一“2+2亡.

•・・B(9,0),C(0,6),G(t,O),

・•・OB=9,OC=6,BG=9—3

・•・BC=y/OB2