数字信号处理 - DFT的性质

数字信号处理Lecture7:PropertiesofDiscreteFourierTransformationTuesday,October15,20242DFT的性质Tuesday,October15,20243已知：线性特性：a、b为任意常数DFT的性质周期性：Tuesday,October15,20244循环移位特性特性1：时域中循环移位引起频域产生相移Proof：Tuesday,October15,20245循环移位特性特性2：频域中循环移位引起时域相移Proof：Tuesday,October15,20246循环移位特性特性2：频域中循环移位引起时域相移Tuesday,October15,20247Parseval定理平均功率功率密度谱P141，Ex3-9频域计算方法时域计算方法Tuesday,October15,20248复序列DFT的对称性

复序列可以写成实部与虚部的和复序列也可以写成周期共轭对称与周期共轭反对称的和Tuesday,October15,20249

复序列的共轭分解10证明：复序列DFT的对称性性质1：复序列x(n)共轭的DFT等于序列DFT共轭的循环折叠11性质2：证明：复序列x(n)的共轭做循环折叠后的DFT是原序列DFT的共轭复序列DFT的对称性12证明：性质3：复序列x(n)实部的DFT等于序列DFT的周期共轭对称分量复序列DFT的对称性13推论3：实序列x(n)的DFT即X(k)是周期共轭对称序列性质3：复序列x(n)实部的DFT等于序列DFT的周期共轭对称分量复序列DFT的对称性14证明：性质4：复序列x(n)虚部的DFT等于序列DFT的周期共轭反对称分量复序列DFT的对称性15推论：纯虚数序列的DFT是一个周期共轭反对称序列性质4：复序列x(n)虚部的DFT等于序列DFT的周期共轭反对称分量复序列DFT的对称性16性质5：性质6：复序列DFT的对称性Tuesday,October15,202417实序列的DFT对称性

Niseven周期共轭对称性（循环折叠=共轭）：注意DTFT的共轭对称性（折叠=共轭）：推论3Tuesday,October15,202418例7.1已知连续时间信号x(t)，设定采样频率为8000Hz，求采样序列x(n)，计算8点DFT并画出频谱和DFT的实部与虚部，计算分析频率。Solution：Tuesday,October15,202419例7.1已知连续时间信号x(t)，设定采样频率为8000Hz，求采样序列x(n)，计算8点DFT并画出频谱和DFT的实部与虚部，计算分析频率。Solution：利用DFT的对称性，8点DFT只需计算前4个点的值Tuesday,October15,202420分析频率：例7.1已知连续时间信号想x(t)，设定采样频率为8000Hz，求采样序列x(n)，计算8点DFT并画出频谱和DFT的实部与虚部，计算分析频率。Tuesday,October15,202421DFT的应用一计算长度为N的两个实序列x(n)和y(n)的DFT，利用实序列DFT的对称性质，只需做一次DFT，同时得到两个序列的DFT变换值1.两个实序列构造一个复序列2.复序列共轭分解3.实序列DFT用共轭分解的形式表达Tuesday,October15,2024225.把上述结论代入第3步的线性方程组，得到结论：DFT的应用一4.求复序列的DFTTuesday,October15,202423例7.2已知两个序列，计算各自的DFTSolution：1.两个实序列构造一个复序列2.求复序列的DFT3.利用对称性质求解两个序列的DFTTuesday,October15,202424例7.2已知两个序列，计算各自的DFTSolution：Tuesday,October15,202425序列的循环卷积（CircularConvolution）两个长为N的序列x(n)及h(n)，N点循环卷积定义为计算过程：将其中一个序列如h(i)进行循环折叠；将折叠后的序列循环移位n；移位后的序列取样值与另一序列的取样值对应相乘;将所有乘积求和；NTuesday,October15,202426序列的循环卷积（CircularConvolution）定理：如果将序列x(n)及h(n)进行周期拓，则循环卷积也可表示为延拓后两个周期序列线性卷积取主值：N两个长为N的序列x(n)及h(n)，N点循环卷积定义为Tuesday,October15,202427循环卷积的矩阵计算方法NinTuesday,October15,202428线性卷积的矩阵计算方法线性卷积：Tuesday,October15,202429例7.3已知两个序列，计算他们的线性卷积和3点循环卷积Solution:3点循环卷积线性卷积长度为5Tuesday,October15,202430卷积定理时域循环卷积与频域DFT乘积构成变换对时域卷积定理NN这一定理给出了一种求时域循环卷积的方法：求的两个序列的DFT；两个DFT逐项相乘；对乘积求IDFTTuesday,October15,202431例7.3已知两个序列，计算他们的线性卷积和3点循环卷积Solution:1.计算DFT2.计算频域乘积3.计算IDFTTuesday,October15,202432卷积定理时域循环卷积与频域DFT乘积构成变换对时域卷积定理NN频域循环卷积与时域乘积也构成变换对频域卷积定理NTuesday,October15,202433DFT的应用二：用循环卷积计算线性卷积设x(n)和h(n)分别为长度为L和M的有限长序列，他们的线性卷积长度为N=L+M-1，现对x(n)和h(n)分别补零，使得两个序列的长度都变为N，补零后的序列如下：此时，这两个序列可以进行循环卷积：34循环卷积是线性卷积的周期为N的延拓在主值区间上，xN(n)和hN(n)的循环卷积与x(n)和h(n)的线性卷积相等，因此可以用循环卷积来计算线性卷积！NTuesday,October15,202435操作如下：周期延拓；折叠；移位；在[0,N-1]内取出一个周期；两个序列xN(n)和hN(n)补零使得长度相等，他们的循环卷积与x(n)和h(n)的线性卷积相等！从图中可以看出，对于循环移位和循环折叠序列等效于折叠周期序列后者又可以用取代DFT的应用二：用循环卷积计算线性卷积Tuesday,October15,202436P174

Ex3-15取N=4Solution:第一步：补零补M-1个零补L-1个零N点DFTN点IDFTN点DFTDFT的应用二：用循环卷积计算线性卷积Tuesday,October15,202437第二步：求DFT第三步：逐项相乘Tuesday,October15,202438第四步：求IDFT直接计算卷积：Tuesday,October15,202439DFT的应用三：计算分段卷积必要性：数字信号处理中，需要处理的输入信号序列很长，滤波器的冲击响应长度有限；采样与存储需要大量的时间和硬件缓存器；输入数据需要实时处理；解决方案：把输入数据截断，依次与滤波器冲击响应求卷积，利用卷积的线性叠加特性在重新组合，得到完整的卷积和*输入序列滤波器冲击响应=期望的输出序列Tuesday,October15,202440DFT的应用三：计算分段卷积设有两个序列：对长序列进行等间隔截断：利用卷积的线性叠加特性：Tuesday,October15,202441DFT的应用三：计算分段卷积设有两个序列：第i段卷积和：自变量n取值范围是iL~(i+1)L-1自变量n取值范围是0~M-1n取值范围是iL~iL+L+M-2第i+1段卷积和：自变量n取值范围是(i+1)L~(i+2)L-1自变量n取值范围是0~M-1n取值范围是iL+L~iL+2L+M-2Tuesday,October15,202442DFT的应用三：计算分段卷积卷积和最后M-1个点与开始的M-1个点重合，重叠范围是：重叠相加法:Tuesday,October15,202443DFT的应用三：计算分段卷积最后M-1个点的数值不是卷积和的真实值。的部分，因此由于被截断，在第i段卷积和n取值范围：