2021年辽宁省阜新某中学高考数学六模试卷附答案解析

2021年辽宁省阜新第二高级中学高考数学六模试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）

1.已知集合4={%|%2一%一2>0},B={x\y=ln（l-x）},则（。4）口8=（）

A.a,b,cB.（1,2]C.[—1,1）D,（-1,1）

2.复数z=l—i,则对应的点所在的象限为（）

S'

A.第一象限B.第二象限C.第三象跟D.第四象限

3.已知一组数据为-3,0,6,7,6,9,11,则这组数据的众数和中位数分别是（）

A.6和7B,6和6C.7和6D.6和11

4.函数/'（X）=血/-X+1在（-00,+8）上是减函数的一个充分不必要条件是（）

A.m<0B,m<0C.m<1D.m<1

5,给出下列命题：

①函数y=cos（y-2x）是偶函数；

②函数y=sin（x+》在闭区间[一%上是增函数；

③直线久=；是函数y=sin（2x+拳）图象的一条对称轴；

④将函数丫=85（2》一》的图象向左平移W单位，得到函数丫=（;。52%的图象，其中正确的命题的个

数为（）

A.1B.2C.3D.4

6.在平行四边形ABC。中，E为对角线4c上一点，且2荏=配，则前=（）

A.-AB--ADB.--AB+-ADC.-AB+-ADD.-AB--AD

33333333

7.设。=『（1-3/）心+4,则二项式/+且6的展开式中不含炉项的系数和是（）

A.-160B.160C.161D.-160

8.若％6（0,今时总有108“2一|（1-2无）>0,则实数（1的取值范围是（）

A.|a|<1B.|a|<V2C.\a\>V2D.1<|a|<V2

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）

9.已知双曲线的方程E：?_y2=i,则下列说法正确的是（）

A.E的虚轴长为1

B.E的渐近线方程为丫=±^工

C.E的焦距为2百

D.E的渐近线上的点到右焦点的距离的最小值为1

10.已知正四面体P4BC的棱长为2,M、N分别为P4、PB的中点.下列说法正确的有（）

A.该正四面体的体积为企

B.异面直线BM与PC所成角的余弦值为立

6

C.MN1PC

D.该正四面体的内切球体积为亚兀

27

11.设a>0,b>0,称学为a,b的算术平均数，病为a,b的几何

平均数，篝为a,b的调和平均数，称法正为a,b的加权平均数.\

如图，C为线段4B上的点，且|4C|=a,|CB|=6,。为AB中点，

以4B为直径作半圆.过点C作AB的垂线交半圆于O,连结。D,AD,BD,过点C作0。的垂线，垂

足为E.取弧箱的中点为广，连接FC,则在图中能体现出的不等式有（）

A.』病B.叵U小

C.嘤2痛D.巧还,随

a+b72-a+b

12.下列说法正确的是（）

A.已知直线，_L平面a,直线m〃平面仪则“a〃优’是“，1小”的必要不充分条件

B.“存在两条异面直线a,b,aua,bu0,b//an是"a〃优'的充分条件

C."a,b是正数”是“a+b22夜”的充分不必要条件

D.函数y=隼箸的最小值为4

）疡+2

三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.若等差数列｛。工满足。2+=6,则。3=.

14.从3名男生和2名女生中选出2名学生参加某项活动，则选出的2人中至少有1名女生的概率为

15.己知曲线y=/-1在x=X。点处的切线与曲线y=1-/在x=出处的切线互相平行，则无o的

值为.

16.已知椭圆,+看=1(%>0也>0)的长轴长、短轴长、焦距长成等比数列，离心率为ei；双曲

线器一g=>o也>0)的实轴长、虚轴长、焦距长也成等比数列，离心率为02.则e©=

四、解答题(本大题共6小题，共72.0分)

17.设neN*,圆的：M+y2=服(%>0)与y轴正半轴的交点为“，与曲线y=4的交点为

直线MN与x轴的交点为4(a.0).

(1)用?I表示治和册；

(2)求证：an>an+1>2；

(3)设%=%+。2+。3+…+即，〃=l+；+g+“・+；，求证：!<^^<|.

ZO71DG4

18.在△ABC中，角4,B,C的对边分别为a,b,c,已知a(sin4+s讥C)+csinC=bsinB.

(1)求角B；

(2)若卜=&1，△4BC的面积为百，求△ABC的周长.

19.2021年，辽宁省将实施新高考，2018年暑期入学的高一学生是新高考首批考生，新高考不再分

文理科，采用3+3模式，其中语文、数学、外语三科为必考科目，满分各150分，另外考生还

要依据想考取的高校及专业的要求，结合自己的兴趣爱好等因素，在思想政治、历史、地理、

物理、化学、生物6门科目中自选3门参加考试(6选3),每科目满分100分.

为了应对新高考，某高中从高一年级1000名学生(其中男生550人，女生450人)中，采用分层抽样的

方法从中抽取n名学生进行调查.

(1)已知抽取的n名学生中含女生45人，求n的值及抽取到的男生人数；

(2)学校计划在高一上学期开设选修中的“物理”和“地理”两个科目，为了了解学生对这两个科目

的选课情况，对在(1)的条件下抽取到71名学生进行问卷调查(假定每名学生在这两个科目中必须

选择一个科目且只能选择一个科目)，下表是根据调查结果得到的2x2列联表：

选择“物理”选择“地理”总计

男生10

女生25

总计

请将上面的列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为选择科目与性别有关？说明你的理

由;

(3)在抽取到的45名女生中按分层抽样再抽出9名女生，了解女生对“历史”的选课意向情况,

在这9名女生中再抽取4人，设这4人中含选择“地理”的人数为X,求X的分布列及期望.

P(K2>ko)0.050.01

3.8416.635

2

参考公式：K2-n(ad-bc')

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

20.如图，三棱柱ABC-4181cl中，侧棱垂直底面，乙4cB=90。，AC=BC=^AAr,。是棱A4的

中点.

(I)证明：DC11平面BOC

(11)平面8。的分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比

(IB)画出平面BDQ与平面4BC的交线.

21.如图，过点N(0,l)和W0)的动直线，与抛物线C：x2=

2py交于P、Q两点(点P在M、N之间)，。为坐标原点.

(1)若p=2,m=2,求AOrQ的面积S；

(2)对于任意的动直线I,是否存在常数p,总有NM0P=4PON?若存在,

求出p的值；若不存在，请说明理由.

22.已知函数_/(x)=x-alnx(ae&).

(1)设函数双x)=/(x)+匕2，求函数应X)的单调区间；

X

(2)若g(x)=—匕巴，在[l,e](e=2.71828…)上存在一点为，使得了(湎)Wg(x。)成立，求

X

实数以的取值范围.

参考答案及解析

1.答案：c

解析：解：由4中不等式变形得：。-2)(x+l)>0,

解得：x<—1或x>2,即4=(—8,—1)u(2,4-co),

•••CRA=[-1,2],

由B中y=ln(l—x),得到1—x>0,即x<1,

•••B=(-oo,1),

则(CR4)CB=[-1,1),

故选：C.

求出/中不等式的解集确定出4求出B中x的范围确定出8,找此4补集与B的交集即可.

此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键.

2.答案：D

解析：试题分析：有复数学=工一盛，得士存2=上一«-2=3*：1一。=±一士a又有复数

富』一雇工一?寓售

M务工=2-工点与复平面上的点d”一当一一对应，所以复数工WM对应的点在第四象限.

考点：复数的运算及几何意义.

3.答案：B

解析：解：将这组数据按照从小到大的顺序排列为：-3,0,6,6,7,9,11,

所以中位数是6,众数为6；

故选8.

根据众数和中位数的定义进行解答.

本题考查了众数、中位数的求法；关键明确定义，由定义解答，属于基础题.

4.答案：A

解析：

本题考查了充分必要条件，考查二次函数的性质，是一道基础题.

将问题转化为只需尸(x)<0即可，结合二次函数的性质，从而求出m的范围.

解：vf'M=3mx2-1,

若函数f(%)=mx3一%+1在(-8,4-oo)上是减函数，

则只需/'(%)40即可,

若m=0,则/'(x)=-1<0,成立；

若m二0,则函数尸Q)是二次函数，

根据二次函数的性质得m<0,

综上，当mW0时，f'(x)<0,

而m<0是m<0的充分不必要条件，

故选4.

5.答案：B

解析：解：①函数y=sing-2x)=sin2x,它是奇函数，不正确；

②函数y=sinQ+力的单调增区间是［一号+2k植+2何，kEZ,在闭区间［―昊］上是增函数，

正确；

③直线”飘入函数y=sin(2%+乎)=—1,所以％图象的一条对称轴，正确；

④将函数丫=85(2》一令的图象向左平移：单位，得到函数丫=85(2乂+9的图象，所以④不正确.

故选：B.

利用诱导公式化简①，然后判断奇偶性；求出函数、=sin(x+1)的增区间，判断②的正误；

直线》=之代入函数丫=5皿2刀+争是否取得最值，判断③的正误；利用平移求出解析式判断④的

正误即可.

本题是基础题，考查函数的性质的综合应用，奇偶性、单调性、对称轴、图象的平移，掌握基本函

数的基本性质，才能有效的解决问题.

6.答案：。

解析：解：如图所示，

V2AE=EC>

―，—►―►—,1—►—»1—►—►2—>1―►

・•・EB=AB-AE=AB--AC=4B—7Q4B+AD)=-AB--AD

33、J33

故选：D.

根据三角形法则和平行四边形法则即可求解.

本题考查了平面向量基本定理和平面向量的线性运算，属于基础题.

7.答案：C

=[/一2)，展开式的通项公式为图+1=以

解析：a=(x—炉)0+4=—2,所以

x12-2r(-2)rx-r=(-2)r|CJx12-3r.令12—3r=3,得r=3,故展开式中/的系数为一8x20=

-160.又因为展开式所有项的系数之和为1,故不含二项的系数之和为1-(-160)=161.

8.答案：D

解析：解：：log“2-i(l-2x)>0

log«2-l(l—2%)>loga2.ll,

当时，函数是一个增函数，不等式的解是1-2%>1,ox<0,不符合题意；

当0<a2—l<l时，函数是一个减函数，根据函数的单调性有0<l-2x<1,«%e(0,|)

故0<a?-1<1,解得1<|a|<V2.

故选。.

先把0变成1的对数，1变成底数的对数，再讨论底数与1的关系，确定函数的单调性，根据函数的单

调性整理出关于a的不等式，得到结果，把两种情况求并集得到结果.

本题主要考查对数函数单调性的应用、不等式的解法等基础知识，本题解题的关键是对于底数与1的

关系，这里应用分类讨论思想来解题.

9.答案：BD

解析：解：双曲线的方程E：—y2=1,可得a=2,b=1,c=晒,

所以虚轴长为：2,渐近线方程为：y=±1x,焦距为2遥，

E的渐近线上的点到右焦点的距离的最小值为：需1，

所以正确，

故选：BD.

利用双曲线方程，求解虚轴长以及渐近线方程，焦距，焦点到渐近线的距离，判断选项的正误即可.

本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查.

10.答案：BCD

解析：解：对于4：过点P作PHJ•平面ZBC于点H,

由四面体性质可知，H为△4BC的中心，

计算可得PH=7PBz-BH2=』PB2一©BE)2=

七=辿，

勺33

所以该四面体的体积为V=|s/1=|x|x2xV3x

逗二逗,故A错误；

33

对于8：取4c中点E,连接ME,

由PC〃ME,可知异面直线与PC所成角即为/BME,

在A8ME中，ME=1,BE=BM=点,

由余弦定理计算可得COSNBME=色与=叵,故B正确;

2X1XV36

对于C：由于正四面体的相对棱互相垂直可知，

MN//AB,则MN1PC,故C正确；

对于C：设四面体的内切球半径为r.

由等体积V=：S/t=：xSxrx4,可知「=三「”=遗，

3346

该四面体的内切球体积为^=±兀「3=渔兀，故。正确，

327

故选：BCD.

由四面体的性质，逐个判断即可得出答案.

本题考查线面的位置关系，解题中需要理清思路，属于中档题.

11.答案：ABD

解析：解：由题意可得：0C=’T，CD=VaF，OD=

由射影定理可得：DE=胃=品=黑,

在RtzkOCD中,

2

CF=7OF2+0C2=J苧2+（券2=

在Rt△OCF中,由勾股定理可得:

利用直角三角形的边的关系，可得CF>0。>CD>DE.

当。和C重合时，CF=0D=CD=DE,

所以>^>VHb>->

72—2——a+b

结合选项可知AB。正确.

故选：ABD.

根据题意及圆的性质、勾股定理用a,b分别表示CF,OD,CD,DE,由直角三角形三边大小关系判

断即可.

本题主要考查了圆的性质、射影定理、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档

题.

12.答案:BC

解析：解:对于4已知直线，1平面a,直线m〃平面口，则“a〃/?”是的充分不必要条

件，故A错误；

对于8：“存在两条异面直线a,b,aua,bu0,当十/a时，得到a〃/?，但是《;〃0时，不一定b〃a,

故8正确；

对于C：“a,b是正数”时，“a+b22病”成立，但是，当a+b22病”成立时，(伤一声产？0,

a和b可能都等于0,故C正确；

对于D：函数y=笔等=2(0^2=2旧41+鼻,设«E=t(tN奁)，故f(t)=2t+g

Jx/x2+2Vx2+2Vx2+2、7t

由于对勾函数在te(1,+8)单调递增，故f(t)的最小正值为2近+9=3四，故。错误.

故选：BC.

直接利用线面垂直的判定和性质，线面平行的判定和性质，基本不等式的的应用，对勾函数的性质

的应用判断4、B、C、。的结论.

本题考查的知识要点：线面垂直的判定和性质，线面平行的判定和性质，基本不等式的的应用，对

勾函数的性质，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题.

13.答案：3

解析：解：等差数列｛即｝满足。2+。4=6,则。3=+。4)=3,

故答案为：3

根据等差数列的性质即可求出.

本题考查了等差数列的性质，属于基础题.

14.答案:]

解析：解：记事件4=“选出的2人中至少有1名女生”，所以可能的情况有一男一女或者两个都是

女生。

从5名学生中选出2名，总共有量=10种不同的选法，事件4的选法共有玛©+废=7种

所以，所求概率为P(A)=M

故答案为：

分别计算出从5名学生中选出2名总共包含的基本事件的个数，以及选出的2人中至少有1名女生包含

的基本事件的个数，将两者相除，即得本题的概率.

本题在“3男2女”中选2个代表，求至少有一个女生的概率，着重考查了排列组合与计数原理和随机

事件的概率等知识，属于基础题.

15.答案：洵=。或%。=一|

解析：解：,•,对于函数y=x2-l,y，=2x,

,•,对于函数y=l—*3,...y=-3x2,

由题意可得2比=一3诏，

解得&=0或&=一|.

函数在某点的切线斜率等于函数在该点的导数值，故2个函数在X。点处的导数值相等.

本题主要考查求函数在某一点的导数，利用了函数在某点的切线斜率等于函数在该点的导数值，属

于基础题.

16.答案：1

解析：解：设出椭圆的焦距、短轴长、长轴长分别为2q,2瓦，2a.,

•••椭圆的长轴长、短轴长、焦距长成等比数列，

2ar,2瓦，2cl成等比数列，

*'•=2cZ],2cl,bj=a1■c]，

:.b1=al—cl=ar-cr,

两边同除以讲得：黄+ei—l=0,

解得，e[=吞二，

双曲线实轴的长度、虚轴的长度和焦距成等比数列，

***=Q2c2，

・,・培一堵=a2c2，

二多一—1=0，

,:e2>1,

ele2=1

故答案为：1.

设出椭圆的焦距、短轴长、长轴长，通过等比数列建立状=%Yi，求出椭圆的离心率；根据双曲

线实轴的长度、虚轴的长度和焦距成等比数列，b^=a2c2,从而可求双曲线的离心率，即可得出结

论.

本题考查椭圆、双曲线的离心率，等比数列性质的应用，考查计算能力，属于中档题.

17.答案：（1）解：•••N（；,yn）在曲线丫=收上，

代入圆/+y2=服，可得/^二殍，等）

•.,直线MN与x轴的交点为久与,0）.

（2）证明：:l+W

11

CL=1d---F11d-->1+

nnJn

,•QJI>Q?i+i>2;

(3)证明：先证当OWxWl时，1+(&-1)X4VFTMw1+彳

事实上，1+(在一1)X<VT+^<1+；等价于口+(V2-l)x]2<1+x<(1+|)2

等价于1+2(V2-l)x4-(3-2V2)x2<1+x<1+%+^

等价于(2或-3)x+(3-2V2)x2<0<y

后一个不等式显然成立，前一个不等式等价于-xwo,upo<x<1

•••当0WxW1时，1+(或一l)xWTlTx<1+|

2+V2xi<an=l+i+J1+；<2+*(等号仅在n=1时成立)

求和得2n+V2XTn<Sn<2n+lTn

二<曰三

5Tn2

22

解析：(1)确定N、M的坐标，利用N在圆的：x+y=/?2±,直线MN与x轴的交点为4(an,0),即

可用n表示心和与；

(2)利用1+；>1+左>1,Jl+l>小+^>L即可证得结论；

(3)先证当0<%<1时，1+(V2-l)x<VTT^<1+f,进而可得1+(V2-l)xi<<1+

；，从而2+&'24即=1+工+fl7i<2+-,求和即可证得结论.

2nn71ny/n2n

本题考查数列与函数的综合，考查数列的通项，考查不等式的证明，证题的关键是证明当OSxS1

时，1+(或一1次1+全属于难题.

18.答案：解：(1)a^sinA+sinC)+csinC=bsinB,

所以，a(a+c)+c?=炉，则a?+c?-匕2=_

222

na+c-bac1

AcosB=---2a-c--2ac2

0<B<Jr,因此，B=~

⑵△ABC的面积为SMBC=gacsinB=^acs讥与=fac=遮，所以，ac=4,

由余弦定理可得炉=a2+c2-2accosB=(a+c)2—2ac—2ac-(—|)

=(a+c)2—ac=(a+c)2—4=21,1a+c=5,

因此，ZiABC的周长为a+b+c=5+VH.

解析：(1)利用边角互化思想得矶a+c)+c2=廿，由余弦定理求出cosB的值，从而得出角B的值;

(2)由三角形的面积公式得出ac的值，再由余弦定理可计算出a+c的值，再加上b的值，即可得出4

力BC的周长.

本题考查正弦定理、余弦定理与三角形的面积公式，根据已知条件类型，选择合适的公式与定理，

是解本题的关键，属于中等题.

19.答案：解：(1)由题意得：焉=念，解得n=100,

男生人数为：550x^=55人.

(2)2x2列联表为:

选择“物理”选择“地理”总计

男生451055

女生252045

总计7030100

2=_______Mad-be-_______

(a+b)(c4-d)(Q+c)(b+d)

100x(45x20—25x1,0)2

«8,1289>6.635,

55X45X70X30

所以有99%的把握认为选择科目与性别有关.

(3)从45名女生中分层抽样抽9名女生，所以这9名女生中有5人选择物理，4人选择地理,

9名女生中再选择4名女生，则这4名女生中选择地理的人数X可为0,1,2,3,4.

则P(x=。)号=展，

P(x=l)=叫"=4，

1712663

P(X=2)=*裁若,

P(X=3)=粤=空="，

',或12663

P(X=4)=号瞑，

LgIZO

X的分布列为：

X01234

52010101

P

126632163126

期望E(X)=—+—x2+—x3+—x4=-.

IJ1261261261269

解析：本题考查分层抽样、独立检验的应用，考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法，考

查排列组合、古典概型等基础知识，是中档题.

(1)由分层抽样的性质能求出n和抽取的男生人数.

(2)作出2x2列联表，求出火x8.1289>6.635,从而有99%的把握认为选择科目与性别有关.

(3)从45名女生中分层抽样抽9名女生，这9名女生中有5人选择物理，4人选择地理，9名女生中再选

择4名女生，则这4名女生中选择地理的人数X可为0,1,2,3,4.分别求出相应的概率，由此能求

出X的分布列和期望E(X).

20.答案：(I)证明：由题设知BC_LCG，BC1AC,CQCl:R

1

二BC_L平面/：'、、、

/•、

/I、

又。Gu平面4CCi4,OG1BC,D"：\

由题设知乙410cl=乙4£»。=45°,/B

:.乙CDCi=90°,即DCilOC,/

又DCnBC=C,二DC】J"平面BDC,又OC】u平面BDC［，

故平面BDQ1•平面BDC.K

(H)解：设棱锥B-ZMCG的体积为匕，AC=1,

由题意得匕=：x等xlxl=±

又三棱锥4BC—4aG的体积U=1.

(V-匕)：匕=1：1,

・•・平面BDQ分此棱柱所得两部分的体积的比为1：1.

(HI)解：延长G。、CA,交于点E,连结BE,

直线BE就是平面BDCi与平面ABC的交线.

解析：(I)由题设知BC_LCQ,BC1AC,从而BC1平面4。6人,进而DC】_LBC,由此能证明平面

BD0平面8OC.

(U)设棱锥B-LMCC1的体积为匕，AC=1,

由题意得匕=：x?x1xl=i,由此能示出平面BCG分此棱柱所得两部分的体积的比.

(HI)延长G。、CA,交于点E,连结BE,直线BE就是平面BOQ与平面力BC的交线.

本题考查直线与平面垂直的证明，考查面棱柱得到两部分体积的比的求法，考查平面与平面的交线

的画法.解题时要注意空间思维能力的培养.

21.答案：解：(1)由题意，直线［的方程为y=—x+l.设点P(x1,yi),<?(x2,y2)>

由『J®得/+八_4=0,

(y=-%+1

则％14-%2=-4，xtx2=-4,

.■.S=^\ON\\X1-X2\

=+尤2尸-4XI%2

=1J(-4)2-4x(-4)

=2夜；---(6分)

(2)设点PQo，y。)，则、0=看

由M、P、N三点共线，得小=卢I一(7分)

i-yo

由NMOP=乙PON,

得点P到y轴距离与到直线OM：x+my=0距离相等,

即风|=舒!

2

%o+诏=%o+myo+2mxoyo,

即机诏=myl+2%oy（）；----（9分）

护心=逋=卫^=刍竺2-代入

dLy-fm

°2pi-y02P-抬代人，

zp4pxoxg_4吟.筮+2勺•就

守2P-就