专项03平行性质综合(原卷版+解析)

专项3：平行性质综合解答题1．（2020·四川资阳市·七年级期末）如图，直线和直线相交于点，连接，点分别在、、上，连接、，是上一点，已知

（1）求证：；（2）若平分，，求的度数．（用表示）2．（2021·甘肃酒泉市·八年级期末）如图，已知：∠DGA=∠FHC，∠A=∠F．求证：DF∥AC．（注：证明时要求写出每一步的依据）3．（2021·全国七年级）已知：如图，DE∥BC，BE∥FG．求证：∠1＝∠2．4．（2020·山东省青岛第五十九中学八年级期末）如图，已知，，．（1）请你判断与的数量关系，并说明理由；（2）若，平分，试求的度数．5．（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）如图，平分，点，分别在边，上，且，延长，交于点，求证：．6．（2020·黑龙江哈尔滨市·七年级期末）已知：直线分别与直线，交于点，．平分，平分，并且．（1）如图1，求证：；（2）如图2，，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个角，使写出的每个角的度数都为．7．（2020·浙江金华市·七年级期中）如图（1）所示是一根木尺折断后的情形，你可能注意过，木尺折断后的断口一般是参差不齐的，那么请你深入考虑一下其中所包含的一类数学问题，我们不妨取名叫“木尺断口问题”．

（1）如图（2）所示，已知，请问，，有何关系并说明理由；（2）如图（3）所示，已知，请问，，又有何关系并说明理由；（3）如图（4）所示，已知，请问与有何关系并说明理由．8．（2020·黑龙江哈尔滨市·七年级期末）三角形ABC中，D是AB上一点，交AC于点E，点F是线段DE延长线上一点，连接FC，．（1）如图1，求证：；（2）如图2，连接BE，若，，求的度数；（3）如图3，在（2）的条件下，点G是线段FC延长线上一点，若，BE平分，求的度数．9．（2021·福建泉州市·）问题情境：我市某中学班级数学活动小组遇到问题：如图1，AB∥，，，求度数．经过讨论形成的思路是：如图2，过P作∥，通过平行线性质，可求得度数．（1）按该数学活动小组的思路，请你帮忙求出度数；（2）问题迁移：如图3，∥，点在、两点之间运动时，，．请你判断、、之间有何数量关系？并说明理由；（3）拓展应用：如图4，已知两条直线∥，点在两平行线之间，且的平分线与的平分线相交于点Q，求的度数．绝密★启用前2020-2021学年度初中数学期末考试卷试卷副标题考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明一、解答题1．如图，直线和直线相交于点，连接，点分别在、、上，连接、，是上一点，已知

（1）求证：；（2）若平分，，求的度数．（用表示）【答案】（1）见解析（2）90°＋α【分析】（1）根据平行线的判定和性质解答即可；（2）根据平行线的性质解答即可．【详解】解：（1）∵∠3＋∠DFE＝180°，∠1＋∠3＝180°∴∠DFE＝∠1，∴AB∥EF，∴∠CEF＝∠EAD；（2）∵AB∥EF，∴∠2＋∠BDE＝180°又∵∠2＝α∴∠BDE＝180°−α又∵DH平分∠BDE∴∠1＝∠BDE＝（180°−α）∴∠3＝180°−（180°−α）＝90°＋α．【点睛】本题考查了角平分线定义，平行线的性质和判定等知识点，注意：①内错角相等，两直线平行，②两直线平行，同旁内角互补．2．如图，已知：∠DGA=∠FHC，∠A=∠F．求证：DF∥AC．（注：证明时要求写出每一步的依据）【答案】见解析．【分析】先根据∠DGA=∠EGC证出AE∥BF，再根据平行证明出∠F=∠FBC即可求证出结论．【详解】证明：∵∠DGA=∠EGC(对顶角相等)又∵∠DGA=∠FHC（已知）∴∠EGC=∠FHC（等量代换）∴AE∥BF(同位角相等，两直线平行）∴∠A=∠FBC(两直线平行，同位角相等)又∵∠A=∠F（已知）∴∠F=∠FBC(等量代换)∴DF∥AC(内错角相等,两直线平行)．【点睛】此题考查平行线的判定与性质：同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；内错角相等，两直线平行．3．已知：如图，DE∥BC，BE∥FG．求证：∠1＝∠2．【答案】证明见解析．【分析】由，利用“两直线平行，内错角相等”可得出，由，利用“两直线平行，同位角相等”可得出，进而可证出．【详解】证明：，．，，．【点睛】本题考查了平行线的性质，牢记平行线的各性质定理是解题的关键．4．如图，已知，，．（1）请你判断与的数量关系，并说明理由；（2）若，平分，试求的度数．【答案】（1）∠1=∠ABD，证明见解析；（2）∠ACF=55°．【分析】（1）先根据在平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行得出BC∥DE，再根据平行线的性质结合可得∠2=∠CBD，从而可得CF∥DB得出∠1=∠ABD；（2）利用平行线的性质以及角平分线的定义，即可得出∠2的度数，再根据∠ACB为直角，即可得出∠ACF．【详解】解：（1）∠1=∠ABD，理由：

∵BC⊥AE，DE⊥AE，

∴BC∥DE，

∴∠3+∠CBD=180°，

又∵∠2+∠3=180°，

∴∠2=∠CBD，

∴CF∥DB，

∴∠1=∠ABD．

（2）∵∠1=70°，CF∥DB，

∴∠ABD=70°，

又∵BC平分∠ABD，

∴，

∴∠2=∠DBC=35°，

又∵BC⊥AG，

∴∠ACF=90°-∠2=90°-35°=55°．【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．5．如图，平分，点，分别在边，上，且，延长，交于点，求证：．【答案】证明见解析．【分析】先根据角平分线的定义可得，从而可得，再根据平行线的判定与性质可得，从而可得，然后根据对顶角相等可得，最后根据等量代换即可得证．【详解】平分，，，，，，又，，由对顶角相等得：，．【点睛】本题考查了角平分线的定义、对顶角相等、平行线的判定与性质等知识点，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键．6．已知：直线分别与直线，交于点，．平分，平分，并且．（1）如图1，求证：；（2）如图2，，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个角，使写出的每个角的度数都为．【答案】（1）见解析；（2），，，【分析】（1）根据平行线的性质和判定可以解答；

（2）由已知及（1）的结论可知∠CFN=45°，然后结合图形根据角度的加减运算可以得到解答．【详解】（1）证明：∵，∴．∵平分，平分，∴，．∴．∴．（2）由（1）知ABCD，∴∠AEF+∠CFE=180°，∵∠AEF=2∠CFN=∠CFE，∴∠AEF=∠CFE=90°，∴∠CFN=∠EFN=∠FEM=∠BEM=45°，∠BEG=∠CFH=∠DFE=90°,∴∠AEM=∠GEM=∠HFN=∠DFN=90°+45°=135°，∴度数为135°的角有：、、、．【点睛】本题考查平行线的判定和性质及角平分线的综合运用，熟练掌握平行线的判定和性质定理及角平分线的意义是解题关键．7．如图（1）所示是一根木尺折断后的情形，你可能注意过，木尺折断后的断口一般是参差不齐的，那么请你深入考虑一下其中所包含的一类数学问题，我们不妨取名叫“木尺断口问题”．

（1）如图（2）所示，已知，请问，，有何关系并说明理由；（2）如图（3）所示，已知，请问，，又有何关系并说明理由；（3）如图（4）所示，已知，请问与有何关系并说明理由．【答案】（1），理由见解析；（2），理由见解析；（3），理由见解析【分析】（1）过点E作直线a与AB，CD互相平行，运用平行线的性质证明即可；（2）方法同（1），过E作直线b与AB，CD互相平行，运用平行线的性质证明即可；（3）可先分别过点E，F，G，作直线c，d，e与AB，CD互相平行，同样运用平行线的性质证明即可．【详解】（1），理由如下：如图所示，过点E作直线a，使得，则，，（两直线平行，内错角相等），∴，即：；（2），理由如下：如图所示，过点E作直线b，使得，则，，（两直线平行，同旁内角互补），∴，∵，∴，即：；（3），理由如下：如图所示，过点E，F，G作直线c，d，e，使得，则，，，，（两直线平行，内错角相等），∵，，∴，∴，即：．【点睛】本题考查平行线性质的运用，准确掌握平行线的性质并灵活运用是解题关键．8．三角形ABC中，D是AB上一点，交AC于点E，点F是线段DE延长线上一点，连接FC，．（1）如图1，求证：；（2）如图2，连接BE，若，，求的度数；（3）如图3，在（2）的条件下，点G是线段FC延长线上一点，若，BE平分，求的度数．【答案】（1）证明见解析；（2）100°；（3）12°．【分析】（1）根据平行线的判定及其性质即可求证结论；（2）过E作可得∥EK，再根据平行线的性质即可求解；（3）根据题意设，则，根据∠AED＋∠DEB＋BEC＝180°，可得关于x的方程，解方程即可求解．【详解】（1）证明：∵DE∥BC，∴，又∵∠BCF＋∠ADE＝180°，∴，∴，（2）解：过E作，∵，∴，∵，，∴，∵，，∴，又∵，∴，答：的度数是100°，（3）解：∵BE平分，，∴，∴，∴设，则，∵DE∥BC，∴，，∵，∴，∴，∴，又∵，∴，∴，答：的度数是12°．【点睛】本题考查平行线的判定及其性质，解题的关键是熟练掌握平行线的判定及其性质的有关知识．9．问题情境：我市某中学班级数学活动小组遇到问题：如图1，AB∥，，，求度数．经过讨论形成的思路是：如图2，过P作∥，通过平行线性质，可求得度数．（1）按该数学活动小组的思路，请你帮忙求出度数；（2）问题迁移：如图3，∥，点在、两点之间运动时，，．请你判断、、之间有何数量关系？并说明理由；（3）拓展应用：如图4，已知两条直线∥，点在两平行线之间，且的平分线与的平分线相交于点Q，求的度数．【答案】（1）110°；（2）∠CPD＝＋β，见解析；（3）360°【分析】（1）过P作PE∥AB，构造同旁内角，通过平行线性质，可得∠APC=50°+60°=110°．（2）过P作PE∥AD交CD于E，推出AD∥PE∥BC，根据平行线的性质得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案；（3）由（1）可得，再进行代入求解即可得出结论．【详解】解：（1）如图2，过点P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴PE∥AB∥CD．∴∠A＋∠APE＝180°，∠C＋∠CPE＝1