第四章三角形(原卷版+解析)

2020-2021学年七年级数学下册高分数拔尖提优单元密卷（北师大版）考试时间：120分钟；满分：150分注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题)一、单选题(共40分)1．(本题4分)下列长度的三条线段能组成三角形的是()A．5cm

2cm

3cm B．5cm

2cm

2cm C．5cm

2cm

4cm D．5cm

12cm

6cm2．(本题4分)一个缺角的三角形ABC残片如图，量得∠A＝40°，∠B＝65°，则这个三角形残缺前的∠C的度数为()A．55° B．65° C．75° D．85°3．(本题4分)如图中，三角形的个数为()A．3个 B．4个 C．5个 D．6个4．(本题4分)若三角形的两个内角的和是85°，那么这个三角形是()A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定5．(本题4分)如图，△ABC≌△EDF，AF＝20，EC＝8，则AE等于()A．6 B．8 C．10 D．126．(本题4分)下列命题中，正确的是（）A．三角形的一个外角大任何一个内角B．等腰三角形的两个角相等C．三个角分别对应相等的两个三角形全等D．三角形的三条高可能在三角形内部7．(本题4分)根据下列已知条件，能画出唯一的△ABC的是()A．AB＝3，BC＝4，CA＝8 B．AB＝4，BC＝3，∠A＝30°C．∠A＝35°，∠B＝65°，AB＝7 D．∠C＝90°，AB＝88．(本题4分)如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，CD，BE相交于点O，BE＝CD，则图中全等的三角形共有()A．0对 B．1对C．2对 D．3对9．(本题4分)如图，为估计池塘岸边A，B的距离，小明在池塘的一侧选取一点O，测得OA=15米，OB=10米，A，B间的距离可能是（

）A．30米 B．25米 C．20米 D．5米10．(本题4分)如图，在△ABC中，AC⊥CB，CD平分∠ACB，点E在AC上，且CE＝CB，则下列结论：①DC平分∠BDE；②BD＝DE；③∠B＝∠CED；④∠A＋∠CED＝90°，其中正确的有()A．1个 B．2个 C．3个 D．4个第II卷（非选择题）二、填空题(共20分)11．(本题4分)小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形？应该带第_____块。12．(本题4分)如图，在△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB．若∠BOC=110°，则∠A=_____．13．(本题4分)如图，△ABC中，∠A=40°，∠B=72°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE，则∠CDF=_________度.14．(本题4分)若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，则图中以BC为公共边的“共边三角形”有________对15．(本题4分)如图，△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，动点P从A点出发，以1cm/s的速度，沿A﹣C﹣B向B点运动，同时，动点Q从C点出发，以2cm/s的速度，沿C﹣B﹣A向A点运动，当其中一点运动到终点时，两点同时停止运动．设运动时间为t秒，当t=_____秒时，△PCQ的面积等于8cm2．三、解答题(共90分)16．(本题8分)已知，如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，D为AB边上一点．求证：BD=AE．17．(本题8分)如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AE是BC边上的中线，过点C作CF⊥AE，垂足为F，过B作BD⊥BC交CF的延长线于D；若AC＝12cm，求BD的长；18．(本题8分)如图，AD平分∠BAC，AB=AC，试判断△ABD≌△ACD．并说明理由.19．(本题10分)如图，已知：点D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=EF，AE=CE；求证：∠B+∠BCF=180°；20．(本题10分)完成下面的说理过程．已知：如图，OA＝OB，AC＝BC．试说明：∠AOC＝∠BOC．解：在△AOC和△BOC中，因为OA＝______，AC＝______，OC＝______，所以________≌________(SSS)，所以∠AOC＝∠BOC(__________________)．21．(本题10分)如图，△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠CAB=50°，∠C=60°，求∠DAE和∠BOA的度数．22．(本题10分)如图，四边形ABCD中，点F是BC中点，连接AF并延长，交于DC的延长线于点E，且∠1=∠2．（1）求证：△ABF≌△ECF；（2）若AD∥BC，∠B=125°，求∠D的度数．23．(本题12分)如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC=4cm，若O是BC的中点，动点M在AB移动，动点N在AC上移动，且AN=BM．（1）证明：OM=ON；（2）四边形AMON面积是否发生变化，若发生变化说明理由；若不变，请你求出四边形AMON的面积．24．(本题14分)如图①，在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，过点A的直线l绕点A旋转，BD⊥l于D，CE⊥l于E.(1)试说明：DE＝BD＋CE.(2)当直线l绕点A旋转到如图②所示的位置时，(1)中结论是否成立？若成立，请说明；若不成立，请探究DE，BD，CE又有怎样的数量关系，并写出探究过程．2020-2021学年七年级数学下册高分数拔尖提优单元密卷（北师大版）参考答案与试题解析考试时间：120分钟；满分：150分注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题)一、单选题(共40分)1．(本题4分)下列长度的三条线段能组成三角形的是()A．5cm

2cm

3cm B．5cm

2cm

2cm C．5cm

2cm

4cm D．5cm

12cm

6cm【答案】C【详解】根据三角形任意两边的和大于第三边，得A中，3＋2＝5，不能组成三角形；B中，2＋2＝4＜5，不能组成三角形；C中，4＋2＝6＞5，能够组成三角形；D中，5＋6＝11＜12，不能组成三角形．故选：C．2．(本题4分)一个缺角的三角形ABC残片如图，量得∠A＝40°，∠B＝65°，则这个三角形残缺前的∠C的度数为()A．55° B．65° C．75° D．85°【答案】C【详解】解:∠A+∠B+∠C=180,∠C=180-(∠A+∠B)=180-(45+60)=75,故选:C.3．(本题4分)如图中，三角形的个数为()A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【答案】C【解析】根据图示知，图中的三角形有：△ABE，△ABC，△DEC，△DBC，△EBC，共有5个．故选C．4．(本题4分)若三角形的两个内角的和是85°，那么这个三角形是()A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定【答案】A【解析】试题分析：根据三角形的内角和定理可得：另外一个内角的度数为95°，则这个三角形就是钝角三角形，故选A．5．(本题4分)如图，△ABC≌△EDF，AF＝20，EC＝8，则AE等于()A．6 B．8 C．10 D．12【答案】A【解析】试题分析：根据三角形全等的性质可得：AC=EF，则AE=CF，根据AF=20，EC=8可得：AE=(20-8)÷2=6，故选A．6．(本题4分)下列命题中，正确的是（）A．三角形的一个外角大任何一个内角B．等腰三角形的两个角相等C．三个角分别对应相等的两个三角形全等D．三角形的三条高可能在三角形内部【答案】D【解析】选项A.三角形的一个外角大任何一个内角，钝角三角形不满足，错误.选项B.等腰三角形的两个底角相等，错误.选项C.三个角分别对应相等的两个三角形全等,可能相似,错误.选项D.三角形的三条高可能在三角形内部,正确.故选D.7．(本题4分)根据下列已知条件，能画出唯一的△ABC的是()A．AB＝3，BC＝4，CA＝8 B．AB＝4，BC＝3，∠A＝30°C．∠A＝35°，∠B＝65°，AB＝7 D．∠C＝90°，AB＝8【答案】C【详解】解:对于A,AB+BC=7＜CA,所以A选项不能构成三角形;对于B,所给的条件可画出两个三角形,即一个钝角三角形和一个锐角三角形;对于C,已知两个角度及其夹边的长,所以只可确定一个三角形;对于D,可构成无数个三角形.故选C.8．(本题4分)如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，CD，BE相交于点O，BE＝CD，则图中全等的三角形共有()A．0对 B．1对C．2对 D．3对【答案】C【详解】解：CD⊥AB,BE⊥AC,所以∠ADO=∠BDO=∠AEO=∠CEO=90.又知∠A=∠A,BE＝CD.在△ACD与△ABE中，,△ACD≌△ABE；AD=AE,AB=AC，BD=CE，在△BDO与△CEO中,△BDO≌△CEO，综上所述,共2对全等三角形.故本题正确答案为C.9．(本题4分)如图，为估计池塘岸边A，B的距离，小明在池塘的一侧选取一点O，测得OA=15米，OB=10米，A，B间的距离可能是（

）A．30米 B．25米 C．20米 D．5米【答案】C【解析】设A，B间的距离为x．根据三角形的三边关系定理，得：15-10＜x＜15+10，解得：5＜x＜25，所以，A，B之间的距离可能是20m．故选C．10．(本题4分)如图，在△ABC中，AC⊥CB，CD平分∠ACB，点E在AC上，且CE＝CB，则下列结论：①DC平分∠BDE；②BD＝DE；③∠B＝∠CED；④∠A＋∠CED＝90°，其中正确的有()A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【解析】解：在△CDB和△CDE中有所以两个三角形全等，根据三角形的性质可以得出①②③成立，由于∠B=∠CED，而∠B+∠A=90°，所以④也成立.故答案为D.第II卷（非选择题）二、填空题(共20分)11．(本题4分)小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形？应该带第_____块。【答案】4【详解】∵第1、2、3块不具备全等三角形的判定条件，∴不能带它们去∵第4块具有完整的两角及夹边，符合ASA，∴带第4块去能配一块与原来一样大小的三角形故填：4.12．(本题4分)如图，在△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB．若∠BOC=110°，则∠A=_____．【答案】40°【详解】解：∵BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，而∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°，∴∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=180°﹣（∠ABC+∠ACB），∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A，∴∠BOC=180°﹣（180°﹣∠A）=90°+∠A，而∠BOC=110°，∴90°+∠A=110°∴∠A=40°．故答案为40°．13．(本题4分)如图，△ABC中，∠A=40°，∠B=72°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE，则∠CDF=_________度.【答案】74°【详解】∵∠A=40°，∠B=70°，∴∠ACB=180°﹣∠A﹣∠B=70°．∵CE平分∠ACB，∴∠ACE=∠ACB=35°．∵CD⊥AB于D，∴∠CDA=90°，∠ACD=180°﹣∠A﹣∠CDA=50°．∴∠ECD=∠ACD﹣∠ACE=15°．∵DF⊥CE，∴∠CFD=90°，∴∠CDF=180°﹣∠CFD﹣∠DCF=75°．14．(本题4分)若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，则图中以BC为公共边的“共边三角形”有________对【答案】3【详解】图中以BC为公共边的”共边三角形”有△ABC，△DBC，△EBC，共3对.15．(本题4分)如图，△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，动点P从A点出发，以1cm/s的速度，沿A﹣C﹣B向B点运动，同时，动点Q从C点出发，以2cm/s的速度，沿C﹣B﹣A向A点运动，当其中一点运动到终点时，两点同时停止运动．设运动时间为t秒，当t=_____秒时，△PCQ的面积等于8cm2．【答案】2或4或【解析】设经过t秒钟，△PCQ的面积等于8．①当0＜t≤4时，P在AC上，Q在BC上，则PC=6-t，CQ=2t．∴△PCQ的面积=PC•CQ=，解得：t=2或t=4．②当4＜t≤6时，P在AC上，Q在AB上，如图，∵AC=6，BC=8，∴AC=10．过Q作QH⊥AC于H，则PC=6-t，BQ=2t-8，AQ=18-2t．∵QH∥BC，∴，∴，解得：QH=0.8（18-2t），∴△PCQ的面积=PC•QH=，解得：t=4或t=11．∵4＜t≤6，故两个答案都舍去．③当6＜t≤8时，P在BC上，Q在AB上，如图，∵AC=6，BC=8，∴AC=10．过Q作QH⊥BC于H，则PC=t-6，BQ=2t-8，AQ=18-2t．∵QH∥AC，∴，∴，解得：QH=0.6（2t-8），∴△PCQ的面积=PC•QH=，解得：t=或t=.∵6＜t≤8，故t=．故答案为2或4或．三、解答题(共90分)16．(本题8分)已知，如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，D为AB边上一点．求证：BD=AE．【答案】详见解析【详解】证明：∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∴AC=BC，CD=CE．∵∠ACD=∠DCE=90°，∴∠ACE+∠ACD=∠BCD+∠ACD，∴∠ACE=∠BCD．在△ACE和△BCD中，，∴△ACE≌△BCD（SAS）．∴BD=AE．17．(本题8分)如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AE是BC边上的中线，过点C作CF⊥AE，垂足为F，过B作BD⊥BC交CF的延长线于D；若AC＝12cm，求BD的长；【答案】6.【解析】试题解析：∵DB⊥BC，CF⊥AE，∴∠DCB+∠D=∠DCB+∠AEC=90°，∴∠D=∠AEC，又∵∠DBC=∠ECA=90°，且BC=CA，∴△DBC≌△ECA（AAS），∴BC=AC=12cm，BD=CE，又∵E为BC的中点，∴BD=CE=BC=6cm．18．(本题8分)如图，AD平分∠BAC，AB=AC，试判断△ABD≌△ACD．并说明理由.【答案】理由见解析.【详解】解：△ABD≌△ACD.理由如下：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD.在△ABD与△ACD中，AD=AD，∠BAD=∠CAD，AB=AC∴△ABD≌△ACD(SAS).19．(本题10分)如图，已知：点D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=EF，AE=CE；求证：∠B+∠BCF=180°；【答案】详见解析.【解析】试题解析：∵DE=FE，∠AED=∠CEF，AE=CE，∴△ADE≌△CFE，∴∠ADE=∠F，∴AB∥CF，∴∠B+∠BCF=180°．20．(本题10分)完成下面的说理过程．已知：如图，OA＝OB，AC＝BC．试说明：∠AOC＝∠BOC．解：在△AOC和△BOC中，因为OA＝______，AC＝______，OC＝______，所以________≌________(SSS)，所以∠AOC＝∠BOC(__________________)．【答案】OB；BC；OC；△AOC；△BOC；全等三角形的对应角相等.【详解】证明:在△AOC和△BOC中,,△AOC≌△BOC(SSS).∠AOC=∠BOC(全等三角形的对应角相等).故答案为:OB;BC;OC;△AOC;△BOC;全等三角形的对应角相等.21．(本题10分)如图，△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠CAB=50°，∠C=60°，求∠DAE和∠BOA的度数．【答案】∠DAE＝5°，∠BOA＝120°.【解析】∵∠A=50°,∠C=60°∴∠ABC=180°−50°−60°=70°，又∵AD是高，∴∠ADC=90°，∴∠DAC=180°−90°−∠C=30°，∵AE、BF是角平分线，∴∠CBF=∠ABF=35°,∠EAF=25°，∴∠DAE=∠DAC−∠EAF=5°，∠AFB=∠C+∠CBF=60°+35°=95°，∴∠BOA=∠EAF+∠AFB=25°+95°=120°，∴∠DAC=30°,∠BOA=120°.故∠DAE=5°,∠BOA=120°.22．(本题10分)如图，四边形ABCD中，点F是BC中点，连接AF并延长，交于DC的延长线于点E，且∠1=∠2．（1）求证：△ABF≌△ECF；（2）若AD∥BC，∠B=125°，求∠D的度数．【答案】（1）证明见解析（2）125°【解析】（1）证明：在△ABF和△ECF中，，∴△ABF≌△ECF（AAS）（2）解：∵∠1=∠2（已知），∴AB∥ED（内错角相等，两直线平行），∵AD∥BC（已知），∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边平行的四边形是平行四边形），∴∠D=∠B=125°（平行四边形的对角相等）．23．(本题12分)如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC=4cm，若O是BC的中点，动点M在AB移动，动点N在AC上移动，且AN=BM．（1）证明：OM=ON；（2）四边形AMON面积是否发生变化，若发生变化说明理由；若不变，请你求出四边形AMON的面积．【答案】（1）见解析（2）4ｃｍ２【解析】试题解析：(1)连接OA.(如图)∵在Rt△ABC中，AB=AC，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠ABC=45°，即∠ABO=45°，∵O是BC的中点，且△ABC是等腰直角三角形，∴AO⊥BC，∴在Rt△AOB中，∠OAB=90°-∠ABO=90°-45°=45°，∴∠OAB=∠ABO，∴OA=OB，∵O是BC的中点，且△AB