专题07动态几何问题(一元二次方程的应用)(原卷版+解析)

2022-2023学年浙教版八年级数学下册精选压轴题培优卷专题07动态几何问题（一元二次方程的应用）姓名：___________班级：___________考号：___________评卷人得分一、选择题(每题2分，共20分)1．(本题2分)（2022秋·河南郑州·九年级校考期中）如图，矩形中，，点E从点B出发，沿以的速度向点C移动，同时点F从点C出发，沿以的速度向点D移动，当E，F两点中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当是以为底边的等腰三角形时，则点运动时间为(

)A． B． C．6 D．2．(本题2分)（2022秋·山东德州·九年级统考阶段练习）如图，在中，，cm，cm．现有动点从点出发，沿向点方向运动，动点从顶点出发，沿线段向点方向运动，如果点的速度是2cm/s，点的速度是1cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动，当，两点运动秒时，的面积等于5cm2．A．1 B．3 C．3或5 D．1或53．(本题2分)（2022秋·广东韶关·九年级统考期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm．动点P，Q分别从点A，B同时开始移动，点P的速度为1cm/秒，点Q的速度为2cm/秒，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动．下列时间瞬间中，能使△PBQ的面积为15cm2的是（

）A．2秒钟 B．3秒钟 C．3秒钟或5秒钟 D．5秒钟4．(本题2分)（2022秋·全国·九年级专题练习）如图所示，A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB=16cm，AD=8cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3cm/s的速度向B移动，一直到达B为止；点Q以2cm/s的速度向D移动．当P，Q两点从出发开始几秒时，点P和点Q的距离是10cm．(若一点到达终点，另一点也随之停止运动)（

）A．2s或s B．1s或s C．s D．2s或s5．(本题2分)（2023春·八年级课时练习）如图，在中，，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为，点Q的速度为，点Q移动到C点后停止，点P也随之停止运动，当的面积为时，则点P运动的时间是（

）A． B．或 C． D．6．(本题2分)（2022秋·九年级课时练习）如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，同时另一个点从点开始沿以的速度移动，当的面积等于时，经过的时间是（

）A．或 B． C． D．7．(本题2分)（2023春·浙江·八年级专题练习）在中，，动点P从点A沿线段向点B移动，一动点Q从点B沿线段向点C移动，两点同时开始移动，点的速度为，点的速度为，当到达点时两点同时停止运动．若使的面积为，则点P运动的时间是（）A．1s B．4s C．5s或1s D．4s或1s8．(本题2分)（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，在中，，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为，点Q的速度为，点Q移动到C点后停止，点P也随之停止运动，当的面积为时，则点P运动的时间是（

）A． B．或 C． D．9．(本题2分)（2022秋·九年级课时练习）在平面直角坐标系中，一次函数的图像上有一点P，过点P分别向坐标轴作垂线段，若两垂线段与坐标轴围成面积为5的矩形，则符合条件的点P个数为（

）A．2 B．3 C．4 D．无数个10．(本题2分)（2022秋·九年级课时练习）如图，AB⊥BC，AB＝10cm，BC＝8cm，一只蝉从C点沿CB方向以每秒1cm的速度爬行，蝉开始爬行的同时，一只螳螂由A点沿AB方向以每秒2cm的速度爬行，当螳螂和蝉爬行x秒后，它们分别到达了M，N的位置，此时，△MNB的面积恰好为24cm2，由题意可列方程()A．2x·x＝24B．(10－2x)(8－x)＝24C．(10－x)(8－2x)＝24D．(10－2x)(8－x)＝48评卷人得分二、填空题(每题2分，共20分)11．(本题2分)（2022秋·福建宁德·九年级校考阶段练习）如图，在中，，，，点从A点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，则、分别从A、同时出发，经过________秒钟，使的面积等于．12．(本题2分)（2023春·八年级课时练习）如图，cm，OC是一条射线，，一只蚂蚁由A点以1cm/s速度向B点爬行，同时另一只蚂蚁由O点以2cm/s的速度沿OC方向爬行，则_______秒钟后，两只蚂蚁所处位置与O点组成的三角形面积为100．13．(本题2分)（2022秋·甘肃武威·九年级校联考阶段练习）如图，在矩形中，，点从点出发沿以的速度向点运动，同时点从点出发沿以的速度向点运动，点到达终点后，、两点同时停止运动，则__秒时，的面积是．14．(本题2分)（2022秋·九年级课时练习）如图，在中，，，，点从点开始沿边向点C以的速度移动，同时另一个点从点C开始沿以的速度移动，当△PCQ的面积等于450m2时，经过的时间是____．15．(本题2分)（2022秋·全国·九年级专题练习）如图，在等腰中，，动点P从点A出发沿折线向点终B以的速度运动，于点Q．设运动时间为，当_______s时，的面积为．16．(本题2分)（2022秋·山东菏泽·九年级校考阶段练习）如图，在中，，，，点从出发沿向点以厘米秒的速度匀速挪动；点从出发沿向点以厘米秒的速度匀速挪动点、分别从起点同时出发，挪动到某一位置时所需时间是为秒，当______时，的面积等于．17．(本题2分)（2022秋·辽宁沈阳·九年级统考期中）如图，在中，，，，动点从点出发，沿方向运动，动点从点出发，沿方向运动，如果点，同时出发，，的运动速度均为．那么运动_____秒时，它们相距．18．(本题2分)（2022春·山东淄博·八年级校考期中）如图，一艘船以40km/h的速度沿既定航线由西向东航行，途中接到台风警报，某台风中心正以20km/h的速度由南向北移动，距台风中心200km的圆形区域（包括边界）都属台风影响区，当这艘轮船接到台风警报时，它与台风中心的距离BC＝500km，此时台风中心与轮船既定航线的最近距离BA＝300km，如果这艘轮船会受到台风影响，那么从接到警报开始，经过______小时它就会进入台风影响区．19．(本题2分)（2022春·浙江绍兴·八年级校联考阶段练习）如图，在△ABC中，AB＝6cm，BC＝7cm，∠ABC＝30°，点P从A点出发，沿射线AB方向以1cm/s的速度移动，点Q从B点出发，沿射线BC方向以2cm/s的速度移动．如果P、Q两点同时出发，问：经过_________________秒后△PBQ的面积等于4cm2．20．(本题2分)（2023春·八年级课时练习）如图，已知AGCF，AB⊥CF，垂足为B，AB=BC=3，点P是射线AG上的动点（点P不与点A重合），点Q是线段CB上的动点，点D是线段AB的中点，连接PD并延长交BF于点E，连接PQ，设AP=2t，CQ=t，当△PQE是以PE为腰的等腰三角形时，t的值为_____．评卷人得分三、解答题(共60分)21．(本题6分)（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，在中，厘米，厘米，点从点开始沿边向点以厘米秒的速度移动，点从点开始沿边向点以厘米秒的速度移动，如果，分别是从，同时出发，设时间为秒．(1)经过几秒时，的面积等于平方厘米？(2)经过几秒时，的面积等于直角三角形面积的？22．(本题6分)（2022秋·江西南昌·九年级校联考期中）如图，在矩形ABCD中，，．点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/s的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0≤t≤6）．那么当t为何值时，的面积等于8？23．(本题8分)（2022秋·山东济南·九年级校考阶段练习）如图，在中，，，点P在上，从点B到点C运动（不包括点C），点P运动的速度为；点Q在上从点C运动到点A（不包括点A），速度为．若点P，Q分别从B，C同时运动，请解答下面的问题，并写出探索的主要过程．(1)经过几秒，P，Q两点的距离为？(2)经过几秒，的面积为？24．(本题8分)（2022秋·江苏连云港·九年级校考阶段练习）如图，已知等腰三角形，，，点从点出发，沿的方向以的速度向终点运动，同时点从点出发，沿的方向以的速度向终点运动，当点运动到点时，两点均停止运动，运动时间记为秒，请解决下列问题：(1)若点在边上，当为何值时，？(2)是否存在这样的值，使的面积为？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由．25．(本题8分)（2023春·八年级课时练习）如图，在中，，，，点从点开始沿射线向点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向点以的速度移动．如果、分别从、同时出发，运动的时间为秒．当点运动到点时，两点停止运动．(1)当点在线段上运动时，、两点之间的距离为______．（用含的代数式表示）(2)在运动的过程中，是否存在某一时刻，使得的面积是面积的．若存在，求的值；若不存在，说明理由．26．(本题8分)（2023春·全国·八年级专题练习）如图，矩形，cm，cm，点P以2cm/s的速度从顶点A出发沿折线A－B－C向点C运动，同时点Q以lcm/s的速度从顶点C出发向点D运动，当其中一个动点到达末端停止运动时，另一点也停止运动．(1)问两动点运动几秒，使四边形的面积是矩形面积的；(2)问两动点经过多长时间使得点P与点Q之间的距离为？若存在，求出运动所需的时间；若不存在，请说明理由．27．(本题8分)（2022秋·江苏常州·九年级校考阶段练习）在平面直角坐标系中，过原点O及点、作矩形OABC，的平分线交AB于点D，点P从点O出发，以每秒个单位长度的速度沿射线OD方向移动；同时点Q从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向移动．设移动时间为t秒，求当t为多少秒时，为直角三角形．28．(本题8分)（2022秋·广东清远·九年级统考期中）如图，在中，，，，点P从点A出发，以每秒1cm的速度沿向点B匀速运动，同时点Q从点B出发以每秒2cm的速度沿向点C匀速运动，到达点C后返回点B，当有一点停止运动时，另一点也停止运动，设运动时间为秒．(1)当时，直接写出P，Q两点间的距离．(2)是否存在，使得是等腰三角形，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．(3)是否存在，使得的面积等于，若存在，请求出的值：若不存在，请说明理由．2022-2023学年浙教版八年级数学下册精选压轴题培优卷专题07动态几何问题（一元二次方程的应用）姓名：___________班级：___________考号：___________评卷人得分一、选择题(每题2分，共20分)1．(本题2分)（2022秋·河南郑州·九年级校考期中）如图，矩形中，，点E从点B出发，沿以的速度向点C移动，同时点F从点C出发，沿以的速度向点D移动，当E，F两点中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当是以为底边的等腰三角形时，则点运动时间为(

)A． B． C．6 D．【答案】B【思路点拨】设点E运动的时间是．根据题意可得，根据勾股定理列出方程，解方程即可得到结论．【规范解答】解：∵，∴，设点E运动的时间是．根据题意可得，解得，，∵，∴两点运动了后停止运动．∴．故选∶B．【考点评析】本题考查了一元二次方程的应用，考查了矩形的性质，等腰三角形的判定及性质，勾股定理的运用．2．(本题2分)（2022秋·山东德州·九年级统考阶段练习）如图，在中，，cm，cm．现有动点从点出发，沿向点方向运动，动点从顶点出发，沿线段向点方向运动，如果点的速度是2cm/s，点的速度是1cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动，当，两点运动秒时，的面积等于5cm2．A．1 B．3 C．3或5 D．1或5【答案】D【思路点拨】由题意可得，，则利用三角形的面积公式即可求解．【规范解答】解：设运动的时间为，由题意得：，，，解得：，，即当或时，的面积等于．故选：D．【考点评析】本题考查了一元二次方程的应用，三角形的面积公式，正确地列出方程是解题的关键．3．(本题2分)（2022秋·广东韶关·九年级统考期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm．动点P，Q分别从点A，B同时开始移动，点P的速度为1cm/秒，点Q的速度为2cm/秒，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动．下列时间瞬间中，能使△PBQ的面积为15cm2的是（

）A．2秒钟 B．3秒钟 C．3秒钟或5秒钟 D．5秒钟【答案】B【思路点拨】设运动时间为t秒，则PB=（8-t）cm，BQ=2tcm，由三角形的面积公式结合△PBQ的面积为15cm2，即可得出关于t的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．【规范解答】解：设运动时间为t秒，则PB=（8-t）cm，BQ=2tcm，依题意，得：×2t•（8-t）=15，解得：t1=3，t2=5，∵2t≤6，∴t≤3，∴t=3．故选：B．【考点评析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．4．(本题2分)（2022秋·全国·九年级专题练习）如图所示，A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB=16cm，AD=8cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3cm/s的速度向B移动，一直到达B为止；点Q以2cm/s的速度向D移动．当P，Q两点从出发开始几秒时，点P和点Q的距离是10cm．(若一点到达终点，另一点也随之停止运动)（

）A．2s或s B．1s或s C．s D．2s或s【答案】D【思路点拨】设当P、Q两点从出发开始到x秒时，点P和点Q的距离是10cm，此时AP=3xcm，DQ=（16-2x）cm，利用勾股定理即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．【规范解答】解：设当P、Q两点从出发开始到xs时，点P和点Q的距离是10cm，此时AP=3xcm，DQ=（16-2x）cm，根据题意得：（16-2x-3x）2+82=102，解得：x1=2，x2=，答：当P、Q两点从出发开始到2s或s时，点P和点Q的距离是10cm．故选：D．【考点评析】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，利用勾股定理找出关于x的一元二次方程是解题的关键．5．(本题2分)（2023春·八年级课时练习）如图，在中，，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为，点Q的速度为，点Q移动到C点后停止，点P也随之停止运动，当的面积为时，则点P运动的时间是（

）A． B．或 C． D．【答案】A【思路点拨】设出动点P，Q运动t秒，能使的面积为，用t分别表示出BP和BQ的长，利用三角形的面积计算公式即可解答．【规范解答】解：设动点P，Q运动t秒，能使的面积为，则BP为(8-t)cm，BQ为2tcm，由三角形的面积公式列方程得(8-t)×2t=15，解得t1=3，t2=5（当t2=5，BQ=10，不合题意，舍去）∴动点P，Q运动3秒，能使的面积为．故选A．【考点评析】本题考查了一元二次方程的应用．借助三角形的面积计算公式来研究图形中的动点问题．6．(本题2分)（2022秋·九年级课时练习）如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，同时另一个点从点开始沿以的速度移动，当的面积等于时，经过的时间是（

）A．或 B． C． D．【答案】B【思路点拨】本题已知了、的速度，设秒后，的面积等于，根据路程=速度时间，可用时间表示出和的长，然后根据直角三角形的面积公式，得出方程，求出未知数，然后看看解是否符合题意，将不合题意的舍去即可得出时间的值．【规范解答】解：设秒后，的面积等于，依题意得：，∴，∴，，当时，，即不合题意，舍去．所以10秒后，的面积等于．故选B．【考点评析】本题主要考查了列一元二次方程来解决现实生活中的动点运动问题；解题的关键是准确表示出AP、PC、BQ、CQ关于时间x的代数式，再根据等量关系列出方程来求解．7．(本题2分)（2023春·浙江·八年级专题练习）在中，，动点P从点A沿线段向点B移动，一动点Q从点B沿线段向点C移动，两点同时开始移动，点的速度为，点的速度为，当到达点时两点同时停止运动．若使的面积为，则点P运动的时间是（）A．1s B．4s C．5s或1s D．4s或1s【答案】A【思路点拨】设点运动的时间为，则，，利用三角形的面积计算公式，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合当到达点时两点同时停止运动，即可得出点运动的时间．【规范解答】解：设点运动的时间为，则，，依题意得：，整理得：，解得：，，当到达点时两点同时停止运动，，，．故选：A．【考点评析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．8．(本题2分)（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，在中，，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为，点Q的速度为，点Q移动到C点后停止，点P也随之停止运动，当的面积为时，则点P运动的时间是（

）A． B．或 C． D．【答案】A【思路点拨】当运动时间为t秒时，cm，cm，根据的面积为，即可得出关于t的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．【规范解答】解：当运动时间为ts时，cm，cm，∴cm．依题意得：，即，整理得：，解得：，．当时，，符合题意；当时，，不符合题意，舍去．答：当的面积为时，点P运动的时间是2s．故选：A．【考点评析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．9．(本题2分)（2022秋·九年级课时练习）在平面直角坐标系中，一次函数的图像上有一点P，过点P分别向坐标轴作垂线段，若两垂线段与坐标轴围成面积为5的矩形，则符合条件的点P个数为（

）A．2 B．3 C．4 D．无数个【答案】A【思路点拨】设点P的坐标为（，），根据题意列出方程组，再根据的取值不同，分、、三种情况进行讨论，即可求解．【规范解答】解：设点P的坐标为（，），根据题意得：，∵点P的位置不确定，分三种情况进行讨论：①当时，则，则，解得：，（舍去）；②当时，，则，即，此时，此方程无解；③当时，，则，即，解得：（舍去），；故符合条件的P点坐标有2个，分别是（，）、（，）．【考点评析】本题考查一元二次方程在坐标中的运用，难度一般，根据题意列出方程组，再分情况讨论是顺利解题的关键．10．(本题2分)（2022秋·九年级课时练习）如图，AB⊥BC，AB＝10cm，BC＝8cm，一只蝉从C点沿CB方向以每秒1cm的速度爬行，蝉开始爬行的同时，一只螳螂由A点沿AB方向以每秒2cm的速度爬行，当螳螂和蝉爬行x秒后，它们分别到达了M，N的位置，此时，△MNB的面积恰好为24cm2，由题意可列方程()A．2x·x＝24B．(10－2x)(8－x)＝24C．(10－x)(8－2x)＝24D．(10－2x)(8－x)＝48【答案】D【规范解答】设x秒后，螳螂走了2x,蝉走了x,MB=10-2x,NC=8-x,由题意知(10－2x)(8－x)＝24,(10－2x)(8－x)＝48,选D.评卷人得分二、填空题(每题2分，共20分)11．(本题2分)（2022秋·福建宁德·九年级校考阶段练习）如图，在中，，，，点从A点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，则、分别从A、同时出发，经过________秒钟，使的面积等于．【答案】2或4##4或2【思路点拨】设经过秒，的面积等于，得出，，根据三角形的面积公式，得出关于的一元二次方程，解出即可得出结论．【规范解答】解：设经过秒，的面积等于，则，，根据题意，可得：，即，解得：，，∴经过或，的面积等于，故答案为：2或4．【考点评析】本题考查了一元二次方程的应用，解本题的关键在利用数形结合思想，找准等量关系，正确列出方程．12．(本题2分)（2023春·八年级课时练习）如图，cm，OC是一条射线，，一只蚂蚁由A点以1cm/s速度向B点爬行，同时另一只蚂蚁由O点以2cm/s的速度沿OC方向爬行，则_______秒钟后，两只蚂蚁所处位置与O点组成的三角形面积为100．【答案】10或【思路点拨】可以分两种情况进行讨论：（1）当蚂蚁在上运动；（2）当蚂蚁在上运动．根据三角形的面积公式即可列方程求解．【规范解答】解：有两种情况：（1）如图1，当蚂蚁在上运动时，设xs后两只蚂蚁与O点组成的三角形面积为100，由题意，得，整理，得，解得；（2）如图2，当蚂蚁在上运动时，设x秒钟后，两只蚂蚁与O点组成的三角形面积为100，由题意，得，整理，得，解得，（舍去）．答：10s或s后，两蚂蚁与O点组成的三角形的面积均为100．故答案为：10或．【考点评析】本题考查了一元二次方程的应用．分两种情况进行讨论是难点．13．(本题2分)（2022秋·甘肃武威·九年级校联考阶段练习）如图，在矩形中，，点从点出发沿以的速度向点运动，同时点从点出发沿以的速度向点运动，点到达终点后，、两点同时停止运动，则__秒时，的面积是．【答案】2或3##3或2【思路点拨】设t秒后的面积是，则，，列方程即可求解．【规范解答】解：设运动时间为秒，则，，依题意得：，整理得：，解得：，．或3秒时，的面积是．故答案为：2或3．【考点评析】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．14．(本题2分)（2022秋·九年级课时练习）如图，在中，，，，点从点开始沿边向点C以的速度移动，同时另一个点从点C开始沿以的速度移动，当△PCQ的面积等于450m2时，经过的时间是____．【答案】【思路点拨】设当△PCQ的面积等于450m2时，经过的时间是，根据题意得：，，从而得到，再由，可得到关于的方程，即可求解．【规范解答】解：设当△PCQ的面积等于450m2时，经过的时间是，根据题意得：，，∵，，∴，∵，∴，∵△PCQ的面积等于450m2，∴，解得：，∵点从点C开始沿以的速度移动，∴，∴，即当△PCQ的面积等于450m2时，经过的时间是．故答案为：【考点评析】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，得到关于的方程是解题的关键．15．(本题2分)（2022秋·全国·九年级专题练习）如图，在等腰中，，动点P从点A出发沿折线向点终B以的速度运动，于点Q．设运动时间为，当_______s时，的面积为．【答案】或【思路点拨】利用等腰直角三角形的性质求出AB，设时间为秒，分和两种情况结合三角形面积分别计算．【规范解答】解：∵在等腰中，，，∴，，．∵于点．∴设当时间为秒时，的面积为．当时，，，，即，解得：或（舍去）．当时，，，，即，解得：或（舍去）．综上所述：当或秒时，的面积为．故答案为：或．【考点评析】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，三角形面积公式，解一元二次方程，解题的关键是理解点的运动情况，注意分类讨论．16．(本题2分)（2022秋·山东菏泽·九年级校考阶段练习）如图，在中，，，，点从出发沿向点以厘米秒的速度匀速挪动；点从出发沿向点以厘米秒的速度匀速挪动点、分别从起点同时出发，挪动到某一位置时所需时间是为秒，当______时，的面积等于．【答案】2【思路点拨】首先用分别表示，的长度，然后利用三角形的面积公式即可列出关于的方程，解方程即可解决问题．【规范解答】解：，、，，，，当时，，故舍去，当时，的面积等于，故答案为：．【考点评析】此题考查了一元二次方程、三角形的面积公式，也是一个动点问题，用分别表示，的长度是解决问题的关键．17．(本题2分)（2022秋·辽宁沈阳·九年级统考期中）如图，在中，，，，动点从点出发，沿方向运动，动点从点出发，沿方向运动，如果点，同时出发，，的运动速度均为．那么运动_____秒时，它们相距．【答案】9或12【思路点拨】设运动秒时，，两点相距15厘米，利用勾股定理结合厘米，可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论．【规范解答】解：设运动秒时，，两点相距15厘米，依题意，得：，解得：，，运动9秒或12秒时，，两点相距15厘米；故答案为：9或12．【考点评析】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．18．(本题2分)（2022春·山东淄博·八年级校考期中）如图，一艘船以40km/h的速度沿既定航线由西向东航行，途中接到台风警报，某台风中心正以20km/h的速度由南向北移动，距台风中心200km的圆形区域（包括边界）都属台风影响区，当这艘轮船接到台风警报时，它与台风中心的距离BC＝500km，此时台风中心与轮船既定航线的最近距离BA＝300km，如果这艘轮船会受到台风影响，那么从接到警报开始，经过______小时它就会进入台风影响区．【答案】7【思路点拨】首先根据题意结合题目条件画出图形，进而利用勾股定理得出等式计算即可．【规范解答】解：由题意，作图如下：设x小时后，就进入台风影响区，根据题意得出：，AB⊥AC，∵在Rt△ABC中，BC=500km，AB=300km，∴，∴，∴在中，由勾股定理得：，∴解得：，（不符合题意，舍去）．故答案为：7．【考点评析】此题主要考查了一元二次方程的应用以及勾股定理等知识，根据题意得出关于x的等式是解题关键．19．(本题2分)（2022春·浙江绍兴·八年级校联考阶段练习）如图，在△ABC中，AB＝6cm，BC＝7cm，∠ABC＝30°，点P从A点出发，沿射线AB方向以1cm/s的速度移动，点Q从B点出发，沿射线BC方向以2cm/s的速度移动．如果P、Q两点同时出发，问：经过_________________秒后△PBQ的面积等于4cm2．【答案】2或4或【思路点拨】过点作于点，设时间，根据面积列方程即可求出答案．【规范解答】解：如图，过点作于点，则，，，设经过秒后的面积等于，则，，，当点在线段上运动时，，根据题意：，，，当点在的延长线上运动时，，根据题意：，，（舍，故经过2秒或4秒或秒后，的面积等于．故答案为：2秒或4秒或秒．【考点评析】本题考查一元二次方程的实际应用，解题的关键是要对分类讨论．20．(本题2分)（2023春·八年级课时练习）如图，已知AGCF，AB⊥CF，垂足为B，AB=BC=3，点P是射线AG上的动点（点P不与点A重合），点Q是线段CB上的动点，点D是线段AB的中点，连接PD并延长交BF于点E，连接PQ，设AP=2t，CQ=t，当△PQE是以PE为腰的等腰三角形时，t的值为_____．【答案】或【思路点拨】以B为原点、直线CF为x轴，直线AB为y轴，建立直角坐标系，先证明AP=BE，即可得E点坐标为(2t,0)，CQ=t，BQ=3-t，P点坐标为(-2t,3)，C点坐标为(-3,0)，A点坐标为(0,3)，Q点坐标为(t-2,0)，根据Q点在线段BC上，P点不与A点重合，可得0＜t＜3，进而有BE=2t，BQ=3-t，QE=BQ+EB=3+t，利用勾股定理有：，，，根据△PQE是以PE为腰的等腰三角形，分类讨论：当PQ=PE时，当QE=PE时两种情况，即可求解．【规范解答】以B为原点、直线CF为x轴，直线AB为y轴，建立直角坐标系，如图，∵，AB⊥CF，∴AB⊥AG，∴∠GAB=∠ABF=90°，∵D点为AB中点，∴AD=BD，∴结合∠ADP=∠BDE可得△APD≌△BED，∴AP=BE，∵AP=2t，∴BE=2t，∴E点坐标为(2t,0)，∵AB=BC=3，∴CQ=t，即BQ=3-t，P点坐标为(-2t,3)，C点坐标为(-3,0)，A点坐标为(0,3)，∴Q点坐标为(t-3,0)，∵Q点在线段BC上，P点不与A点重合，∴0＜t＜3，∵BE=2t，BQ=3-t，∴QE=BQ+EB=3+t，∴利用勾股定理有：，，，根据△PQE是以为腰的等腰三角形，分类讨论：当PQ=PE时，有，整理：，解得（负值舍去），当QE=PE时，有，整理：，解得（0舍去），综上所述：t的值可以为，．故答案为：，．【考点评析】本题考查了等腰三角形的性质、构建直角坐标系、勾股定理、全等三角形的判定与性质、一元二次方程的应用等知识，构建直角坐标系是快速解答此题的关键．解答时，需注意分类讨论的思想．评卷人得分三、解答题(共60分)21．(本题6分)（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，在中，厘米，厘米，点从点开始沿边向点以厘米秒的速度移动，点从点开始沿边向点以厘米秒的速度移动，如果，分别是从，同时出发，设时间为秒．(1)经过几秒时，的面积等于平方厘米？(2)经过几秒时，的面积等于直角三角形面积的？【答案】(1)秒或秒(2)秒或秒【思路点拨】（1）设经过秒时，的面积等于8平方厘米，则厘米，厘米，根据三角形的面积公式结合的面积等于8平方厘米，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论；（2）设经过秒时，的面积等于矩形面积的，则厘米，，根据三角形、矩形的面积公式及的面积等于矩形面积的，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论．【规范解答】（1）设经过秒时，的面积等于8平方厘米，则厘米，厘米，根据题意，得，整理，得

，解得

，．故经过2秒或4秒时，的面积等于8平方厘米．（2）设经过秒时，的面积等于矩形面积的，则厘米，厘米，根据题意，得

，整理，得，解得

，．故经过秒或秒时，的面积等于直角三角形面积．【考点评析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．22．(本题6分)（2022秋·江西南昌·九年级校联考期中）如图，在矩形ABCD中，，．点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/s的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0≤t≤6）．那么当t为何值时，的面积等于8？【答案】2s或4s【思路点拨】当运动时间为ts时，，，利用三角形面积公式结合的面积等于8，列出关于t的一元二次方程解得即可．【规范解答】解：当运动时间为ts时，，，依题意得：，整理得：，解得：，，答：当t为2s或4s时，的面积等于8．【考点评析】本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．23．(本题8分)（2022秋·山东济南·九年级校考阶段练习）如图，在中，，，点P在上，从点B到点C运动（不包括点C），点P运动的速度为；点Q在上从点C运动到点A（不包括点A），速度为．若点P，Q分别从B，C同时运动，请解答下面的问题，并写出探索的主要过程．(1)经过几秒，P，Q两点的距离为？(2)经过几秒，的面积为？【答案】(1)经过1秒，P，Q两点的距离为(2)经过秒或秒，的面积为【思路点拨】（1）设经过秒，P，Q两点的距离为，勾股定理列式求解即可；（2）利用，列式计算即可．【规范解答】（1）解：设经过秒，P，Q两点的距离为，由题意，得：，∵在中，，，∴，由勾股定理，得：，即：，解得：，（舍去）；∴经过1秒，P，Q两点的距离为；（2）解：设经过秒，的面积为，此时：，则：，∴，解得：，∴经过秒或秒，的面积为．【考点评析】本题考查一元二次方程的应用，勾股定理．熟练掌握勾股定理，列出一元二次方程，是解题的关键．24．(本题8分)（2022秋·江苏连云港·九年级校考阶段练习）如图，已知等腰三角形，，，点从点出发，沿的方向以的速度向终点运动，同时点从点出发，沿的方向以的速度向终点运动，当点运动到点时，两点均停止运动，运动时间记为秒，请解决下列问题：(1)若点在边上，当为何值时，？(2)是否存在这样的值，使的面积为？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由．【答案】(1)，当时(2)存在；当或时，的面积为【思路点拨】（1）先根据已知条件求出的长度，再设经过秒，是直角三角形，此时，，当，，解方程即可；（2）设经过秒，的面积为，连接，作于，分类讨论点在边上和点在边上，，即可求解．【规范解答】（1）解：过点作，如图所示：∵等腰三角形，，，∴，∴，∴，设经过秒，是直角三角形，则，，当时，如图所示：∴，∴，解得：，若点在边上，当时（2）存在，理由如下：当点在边上，连接，过点作于，如图所示：设经过秒，的面积为，则，，∴，∴，∴，解得：，（舍），当点在边上，连接，，作于，如图所示：设经过秒，的面积为，则，，∴，∴，∴，解得：，（舍去），∴当或时，的面积为．【考点评析】本题考查了一元二次方程、一元一次方程的应用和三角形与动点问题的综合，分类讨论思想和数形结合的思想是解决本题的关键．25．(本题8分)（2023春·八年级课时练习）如图，在中，，，，点从点开始沿射线向点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向点以的速度移动．如果、分别从、同时出发，运动的时间为秒．当点运动到点时，两点停止运动．(1)当点在线段上运动时，、两点之间的距离为______．（用含的代数式表示）(2)在运动的过程中，是否存在某一时刻，使得的面积是面积的．若存在，求的值；若不存在，说明理由．【答案】(1)(2)当时，的面积是面积的．【思路点拨】（1）利用勾股定理求出，然后根据即可得出答案；（2）分两种情况：①当点在线段上，即时，②当点在线段的延长线上，即时，分别根据的面积是面积的列方程求解即可．【规范解答】（1）解：∵在中，，，，∴，∵点P从点A开始沿射线向点以的速度移动，∴，∴当点在线段上运动时，、两点之间的距离为，故答案为：；（2）解：，①当点在线段上，即时，∵，，∴，整理得：，∵，∴该一元二次方程无实数根，∴此情况不存在；②当点在线段的延长线上，即时，∵，，∴，整理得：，解得：或（舍去），综上所述，存在，当时，的面积是面积的．【考点评析】本题考查了勾股定理，列代数式，一元二次方程的应用，解答时利用三角形的面积公式建立一元二次方程是关键．26．(本题8分)（2023春·全国·八年级专题练习）如图，矩形，cm，cm，点P以2cm/s的速度从顶点A出发沿折线A－B－C向点C运动，同时点Q以lcm/s的速度从顶点C出发向点D运动，当其中一个动点到达末端停止运动时，另一点也停止运动．(1)问两动点运动几