易错点07图形的变化(原卷版+解析)

易错点07图形的变化尺规作图视图与投影图形的对称、平移、旋转易错分析易错分析01轴对称、轴对称图形概念和性质把握不准。在叙述轴对称图形的对称轴时，错把对称轴当成射线或线段，导致叙述错误。（2018春·江苏淮安·九年级阶段练习）下列剪纸作品都是轴对称图形．其中对称轴条数最多的作品是（）A． B． C．D．【答案】B【思路点拨】答案有误，根据对称轴的概念求解．【规范解答】解：A．有3条对称轴；B．有4条对称轴；C．有2条对称轴；D．有6条对称轴．故选D．【考点评析】本题考查轴对称图形．【变式训练01】（2022秋·江苏徐州·九年级校考阶段练习）下列说法中正确的是(

)A．平分弦的直径垂直于弦 B．三角形的外心到三角形各顶点的距离相等C．同圆中等弦所对的圆周角相等 D．圆是轴对称图形，对称轴是圆的直径【变式训练02】（2022秋·江苏·九年级泰州市姜堰区第四中学校考专题练习）如图，以AB为直径的半圆沿弦BC折叠后，AB与弧CB相交于点D，若弧CD=弧BD，则∠B=________.【变式训练03】（2022秋·江苏无锡·九年级校考期中）在中，，点、分别是边、上的两个点，点关于直线的对称点恰好落在边上且满足．(1)请你利用无刻度的直尺和圆规画出对称轴；（保留作图痕迹，不写作法）(2)若，，则线段______．易错分析易错分析02中心对称、中心对称图形概念和性质把握不准。把一个图形绕着一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点成中心对称.把一个图形绕着某一点旋转180°后，能与原来位置的图形重合，这个图形叫作中心对称图形.两者不可混淆。（2022秋·江苏苏州·九年级校考阶段练习）如图，正五边形和正三角形都内接于，则5．（2020·江苏扬州·校考三模）有五张背面完全相同的卡片，其正面分别画有等边三角形、平行四边形、矩形、正方形、圆，将这五张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，卡片上的图形是中心对称图形的概率是_____．【答案】【思路点拨】答案以有误，直接利用中心对称图形的性质结合概率求法直接得出答案．【规范解答】∵等边三角形、平行四边形、矩形、正方形、圆中，平行四边形、矩形、正方形、圆都是中心对称图形，∴从中随机抽取一张，卡片上的图形是中心对称图形的概率是．故答案为：．【考点评析】本题考查简单的概率计算，先判断哪些是中心对称图形再用概率公式计算时本题的解题思．路【变式训练01】（2022·江苏苏州·苏州市第十六中学校考一模）有四张反面完全相同的纸牌A，B，C，D，其正面分别画有四个不同的几何图形，将四张纸牌洗匀正面朝下随机放在桌面上．(1)从四张纸牌中随机摸出一张，摸出的牌面图形是中心对称图形的概率是______．(2)小明和小亮约定做一个游戏，其规则为：先由小明随机摸出一张，不放回．再由小亮从剩下的纸牌中随机摸出一张，若摸出的两张牌面图形既是轴对称图形又是中心对称图形，则小亮获胜，否则小明获胜．这个游戏公平吗？请用列表法或画树状图说明理由．【变式训练02】（2022·江苏盐城·校考一模）小明在学习完九年级下册的“统计和概率的简单应用”后，有意识的关注生活中的概率问题，他发现家里浴室中有一块如图所示的3×3的正方形地板砖，阴影部分是涂黑5个小正方形所形成的图案，他通过思考后提出这样的两个问题，请你帮他解决：(1)如果将一粒米随机地抛在这个正方形地板砖上，那么米粒落在阴影部分的概率是______；(2)现将方格内空白的小正方形（A，B，C，D）中任取2个涂黑，得到新图案，请用列表或画树状图的方法求出新图案是中心对称图形的概率．【变式训练03】（2022春·江苏苏州·九年级苏州中学校考阶段练习）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，Rt△ABC的三个顶点分别为A（﹣2，2），B（0，5），C（0，2）．(1)画△A1B1C，使它与△ABC关于点C成中心对称；(2)平移△ABC，使点A的对应点A2坐标为（﹣2，﹣6），画出平移后对应的△A2B2C2；(3)若将△A1B1C绕某一点旋转可得到△A2B2C2，则旋转中心的坐标为______．易错分析易错分析03图形的轴对称或旋转问题，要充分运用其性质解题，即运用图形的“不变性”，在轴对称和旋转中角的大小不变，线段的长短不变。在旋转的过程中，转动的角叫作旋转角.对应角是指旋转前后两个图形的对应角。（2019·江苏苏州·苏州高新区实验初级中学校考一模）如图，将绕点C顺时针旋转，点B的对应点为点E，当点E恰好落在边上时，连接，则的度数是（）A． B． C． D．【答案】B【思路点拨】答案有误，根据旋转的性质可得，，进而根据等边对等角的性质求解即可．【规范解答】解：由题意知，，∴，故选D．【考点评析】本题考查了旋转的性质和等边对等角的性质，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．【变式训练01】（2023秋·江苏徐州·九年级统考期末）如图，将边长为的正方形绕其中心旋转，则两个正方形公共部分（阴影部分）的面积为_____．【变式训练02】（2022秋·江苏宿迁·九年级校考阶段练习）如图，是等边三角形，E是的中点，D是直线上一动点，线段绕点E逆时针旋转，得到线段，当点D运动时，若，则的最小值为______．【变式训练03】（2022秋·江苏淮安·九年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，．(1)将绕原点顺时针旋转后得到，在所给图形中画出；(2)请写出、、三点的坐标：，，；(3)求点旋转到点的弧长为．易错分析易错分析04坐标与图形变化—轴对称，关于原点对称点的坐标。（2022秋·江苏苏州·九年级校考期中）将抛物线以原点为中心旋转180度得到的抛物线解析式为___________．【答案】【思路点拨】答案有误，求出绕原点旋转180度所得抛物线的顶点坐标，然后根据顶点式写出即可．【规范解答】解：∵抛物线的顶点为，绕原点旋转180度后变为，且开口相反，∴得到的抛物线解析式为，故答案为：．【考点评析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知二次函数的图象旋转及平移的法则是解答此题的关键．【变式训练01】（2020秋·江苏南通·九年级校考期中）在平面直角坐标系中，点P（﹣2，﹣5）关于原点对称的点的坐标是

___________________．【变式训练02】（2020秋·江苏南通·九年级南通田家炳中学校考期中）如图，在10×10的网格中建立平面直角坐标系，△ABC是格点三角形（顶点在网格线的交点上）．（1）先作△ABC关于原点O的成中心对称的△A1B1C1，再把△A1B1C1向上平移4个单位得到△A2B2C2；（2）A2点的坐标为；（3）请直接写出CC1+C1C2＝．【变式训练03】（2022·江苏泰州·统考二模）已知，在平面直角坐标系中，有反比例函数y=的函数图像：(1)如图1，点A是该函数图像第一象限上的点，且横坐标为a（a＞0），延长AO使得AO=A'O，判断点A'是否为该函数图像第三象限上的点，并说明理由；(2)如图2，点B、C均为该函数图像第一象限中的点，连接BC，点D为线段BC的中点，请仅用一把无刻度的直尺作出点D关于点O的对称点D'．（不写作图过程，保留作图痕迹）易错分析易错分析05平移、旋转综合题计算。（2023秋·江苏泰州·九年级统考期末）如图，四边形内接于，，，则17．（2022·江苏徐州·徐州市第十三中学校考三模）如图，的顶点C在反比例函数的图像上，且点A坐标为，点B坐标为，则k的值为_________．【答案】4【思路点拨】答案有误，由于四边形OABC为平行四边形，根据平移的性质，结合点O、A、B的坐标可确定点C的坐标为（4，2），将其代入带反比例函数解析式求k值即可．【规范解答】解：∵四边形OABC为平行四边形，∴，，∵A坐标为，点B坐标为，点O坐标为，由平移的性质可知，点C的坐标为（4，2），∴将点C（4，2）代入到函数中，可得，解得．故答案为：8．【考点评析】本题主要考查了反比例函数图像上点的坐标特征、平行四边形的性质及平移的性质，解题关键是确定C点的坐标．【变式训练01】（2022秋·江苏南通·九年级校考期中）如图，在平面直角坐标系内，的顶点坐标分别为，，．(1)平移，使点C移到点，画出平移后的；(2)将绕点旋转180°，得到，画出旋转后的；(3)与是否关于某点成中心对称？若是，直接写出对称中心的坐标：若不是，请写出理由．【变式训练02】（2022秋·江苏苏州·九年级校考期中）如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-1,3)，B(-4,0)，C(0,0)(1)写出△ABC的外心坐标；(2)将△ABC绕原点O顺时针方向旋转90°得到，画出(3)在（2）的基础上，求A旋转路径的长度【变式训练03】（2020秋·江苏扬州·九年级统考阶段练习）如图1，在等腰Rt中，，点D、E分别在边、上，，连接，点M、P、N分别为、、的中点．(1)观察猜想：图1中，线段与的数量关系是______，位置关系是______；(2)探究证明：把绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接，，判断的形状，并说明理由；(3)拓展延伸：把绕点A在平面内自由旋转，若，，求面积的最大值．易错分析易错分析06图形投影及相关计算。注意点：由平行的光线所形成的投影是平行投影.在平行投影中，如果投射线垂直于投影面，那么这种投影叫作正投影，正投影属于平行投影的一种。（2022春·江苏·九年级专题练习）如图所示，一电线杆AB的影子落在地面和墙壁上，同一时刻，小明在地面上竖立一根1米高的标杆（PQ），量得其影长（QR）为0.5米，此时他又量得电线杆AB落在地面上的影子BD长为3米，墙壁上的影子CD高为2米，小明用这些数据很快算出了电线杆AB的高为（）A．5米 B．6米 C．7米 D．8米【答案】B【思路点拨】答案有误，在同一时刻，物体的实际高度和影长成比例，据此列方程即可解答．【规范解答】解：如图：假设没有墙CD，则影子落在点E，∵杆高与影长成正比例，∴CD：DE=1：0.5，∴DE=1米，∴AB：BE=1：0.5，∵BE=BD+DE=4，∴，∴AB=8米．故选：D．【考点评析】本题主要考查相似三角形的应用，解题的关键是知道在同一时刻同一地点任何物体的高与其影子长的比值相同这个结论．【变式训练01】（2022春·江苏·九年级专题练习）如图，小树在路灯的照射下形成投影．若树高，树影，路灯的高度为，则为（

） B． C． D．【变式训练02】（2022春·江苏·九年级专题练习）如图，身高1.6m的小王晚上沿箭头方向散步至一路灯下，他想通过测量自己的影长来估计路灯的高度，具体做法如下；先从路灯底部向东走20步到M处，发现自己的影子端点刚好在两盏路灯的中间点P处，继续沿刚才自己的影子走5步到P处，此时影子的端点在Q处．(1)根据题意画图，找出路灯的位置．(2)求路灯的高和影长．【变式训练03】（2022秋·江苏徐州·九年级校考期末）某校数学综合实践小组运用所学知识测量物体的高度．(1)如图1，小明将镜子放在距离旗杆底部的点处（即），然后看着镜子沿直线前后移动，直到看到旗杆顶端在镜子中的像与点重合，此时小明同学站在点处，测得，若小明的眼睛离地面的高度为，求旗杆的高度．（温馨提示：测量时，所使用的平面镜的大小和厚度均忽略不计，根据光的反射定律，反射角等于入射角，法线，）(2)已知在阳光下，测得一根与地面垂直、长为1米的竹竿的影长为2米．如图2，小东发现树的影子一部分落在地面上，还有一部分影子落在教学楼的墙壁上，量得墙壁上的影长为3.5米，落在地面上的影长为6米，求树的高度．易错分析易错分析07三视图的相关计算。注意点：一个物体在3个相互垂直的投影面内进行正投影，在正面内得到的由前向后观察物体的视图是主视图，在水平面内得到的由上向下观察物体的视图是俯视图，在侧面内得到的由左向右观察物体的视图是左视图（2022秋·江苏镇江·九年级统考期中）已知圆锥的主视图是底边长为，底边上的高为的等腰三角形，则这个圆锥的侧面积是_____．（结果保留）【答案】【思路点拨】答案有误，首先根据题意，求得底面的周长、利用勾股定理求得圆锥的母线长，然后利用扇形的面积公式即可求得圆锥的侧面积．【规范解答】解：依题意底面周长是，底面积是：．母线长是：，则圆锥的侧面积是：．故答案是：．【考点评析】本题考查三视图，圆锥的计算，勾股定理，圆的面积公式，圆的周长公式和扇形面积公式求解．【变式训练01】（2022·江苏盐城·校考三模）一个由相同小立方块搭成的几何体，从正面、左面、上面看到的形状图如图所示，则搭成这个几何体的小立方块的个数为（

）A．4个 B．5个 C．6个 D．7个【变式训练02】（2022春·江苏·九年级专题练习）一个几何体是由若干个棱长为2cm的小正方体搭成的，从正面、左面、上面看到的几何体的形状如图所示：(1)在“从上面看”的图中标出各个位置上小正方体的个数；(2)求该几何体的体积．【变式训练03】（2022春·江苏·九年级专题练习）如图是由一些大小相同的小正方体组合成的简单几何体．(1)画出该几何体的主视图和左视图；(2)如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持俯视图和左视图不变，那么最多可以再添加块小正方体．一、选择题1．（2022春·江苏·九年级专题练习）如图，，平分，交于，交于，若，则等于（

）A．5 B．4 C．3 D．22．（2022春·江苏·九年级专题练习）如图，，，，均为网格图中的格点，线段与相交于点，则的正切值为()A． B． C． D．3．（2022秋·江苏扬州·九年级统考期中）如图，以点O为位似中心，作四边形的位似图形，已知，若四边形的周长是2，则四边形的周长是（）A．4 B．6 C．16 D．184．（2022秋·江苏苏州·九年级统考期末）如图，C为⊙O上一点，是⊙O的直径，，，现将绕点B按顺时针方向旋转30°后得到，交⊙O于点D，则图中阴影部分的面积为（

）A． B． C． D．5．（2023秋·江苏泰州·九年级统考期末）如图，在正方形网格中：、的顶点都在正方形网格的格点上，则的度数为（） B． C． D．二、填空题6．（2023秋·江苏宿迁·九年级校考期末）如图，点是线段的黄金分割点，，和均是等边三角形．若表示的面积，表示的面积，则与的大小关系为______．7．（2022春·江苏·九年级专题练习）如图，在每个小正方形的边长为的网格中，点，点均落在格点上，为⊙的直径．（1）的长等于___________；（2）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出一个以为斜边、面积为的，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）___________．8．（2022春·江苏·九年级专题练习）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点A，B，C均在格点上（1）的大小为___________（度）；（2）在如图所示的网格中，P是边上任意一点，以A为中心，取旋转角等于，把点P逆时针旋转，点P的对应点为，当最短时，请用无刻度的直尺，画出点，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）___________．9．（2023秋·江苏扬州·九年级校考期末）如图，在中，，是边上的高，E、F分别为边，上的动点，且，射线与相交于点M，若连接，则线段的最小值为________．三、解答题10．（2022秋·江苏泰州·九年级校考阶段练习）如图，已知是坐标原点，、两点的坐标分别为、．(1)以点为位似中心在轴的左侧将放大到两倍即新图与原图的相似比为，画出图形；(2)分别写出、两点的对应点、的坐标；(3)如果内部一点的坐标为，写出的对应点的坐标．11．（2023·江苏·九年级专题练习）以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，图中的点A、B、C、D均在格点上．(1)在图①中，．(2)利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法．①如图②，在上找一点P，使．②如图③，在上找一点P，使．12．（2022秋·江苏无锡·九年级校联考阶段练习）已知如图：在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为、、(正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度)．(1)画出向下平移个单位长度得到的；(2)以点为位似中心，在网格内画出，使与位似，且位似比为：；(3)的面积是平方单位．13．（2022春·江苏·九年级专题练习）如图，身高的小王晚上在路灯灯柱下散步，他想通过测量自己的影长来估计路灯的高度，具体做法如下：先从路灯底部A向东走20步到M处，发现自己的影子端点落在P处，作记号后，继续沿刚才自己的影子走4步恰好到达点P处，此时影子的端点在Q处，已知小王和灯柱的底端在同一水平线上，且小王每步的间距相同．(1)请在图中画出路灯O和影子端点Q的位置．(2)估计路灯的高，并求影长合计的步数．14．（2022·江苏泰州·校联考一模）在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图的平面直角坐标系，的顶点都在格点上，请解答下列问题：(1)将向下平移5个单位长度，画出平移后的；(2)若点是内一点，其坐标为，点在内的对应点为，则点的坐标为______；(3)画出关于点的中心对称图形．15．（2022秋·江苏淮安·九年级校考期中）如图1，在中，，动点D、E同时从点B出发，点D以每秒3个单位的速度沿着B—A—C的路线匀速运动，点E以每秒4个单位的速度沿着B—C—A的路线匀速运动，当点D、E相遇时停止运动，点D的运动时间为t秒．(1)；当t=时，D、E两点相遇；(2)的面积为S，求S与t的函数表达式，并写出t的取值范围；(3)如图2，于点H，连接，作点B关于的对称点F，连接、，在D点的整个运动过程中，直接写出A、F、H三点共线时t的值．易错点07图形的变化尺规作图视图与投影图形的对称、平移、旋转易错分析易错分析01轴对称、轴对称图形概念和性质把握不准。在叙述轴对称图形的对称轴时，错把对称轴当成射线或线段，导致叙述错误。（2018春·江苏淮安·九年级阶段练习）下列剪纸作品都是轴对称图形．其中对称轴条数最多的作品是（）A． B． C．D．【答案】B【思路点拨】答案有误，根据对称轴的概念求解．【规范解答】解：A．有3条对称轴；B．有4条对称轴；C．有2条对称轴；D．有6条对称轴．故选D．【考点评析】本题考查轴对称图形．【变式训练01】（2022秋·江苏徐州·九年级校考阶段练习）下列说法中正确的是(

)A．平分弦的直径垂直于弦 B．三角形的外心到三角形各顶点的距离相等C．同圆中等弦所对的圆周角相等 D．圆是轴对称图形，对称轴是圆的直径【答案】B【思路点拨】利用垂径定理、三角形外心的性质、圆周角定理及对称轴的概念分别判断后即可确定正确的选项．【规范解答】解：A、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，原说法错误，不符合题意；B、三角形的外心到三角形各顶点的距离相等，正确，符合题意；C、在同圆或等圆中，等弦所对的圆周角相等或互补，原说法错误，不符合题意；D、圆是轴对称图形，对称轴是圆的直径所在的直线，原说法错误，不符合题意；故选：B．【考点评析】本题考查了垂径定理、三角形外心的性质、圆周角定理及对称轴的概念，熟练掌握基础知识是解题的关键．【变式训练02】（2022秋·江苏·九年级泰州市姜堰区第四中学校考专题练习）如图，以AB为直径的半圆沿弦BC折叠后，AB与弧CB相交于点D，若弧CD=弧BD，则∠B=________.【答案】##15度【思路点拨】如图，连接OC，首先证明，得出，根据圆周角定理即可求解．【规范解答】解：如图，连接OC，∵，，，∴，∴，∴，故答案为：．【考点评析】本题考查了圆周角定理，翻折变换等知识，正确的作出辅助线是解题的关键．【变式训练03】（2022秋·江苏无锡·九年级校考期中）在中，，点、分别是边、上的两个点，点关于直线的对称点恰好落在边上且满足．(1)请你利用无刻度的直尺和圆规画出对称轴；（保留作图痕迹，不写作法）(2)若，，则线段______．【答案】(1)见解析(2)【思路点拨】（1）作的角平分线，作线段的垂直平分线交于，交于，直线即为所求；（2）根据勾股定理，求得的长度，设，利用平行线分线段成比例定理，求解即可．【规范解答】（1）解：如图，直线即为所求作．（2），，，由作图可知，四边形是菱形，设，，，，，，，故答案为：．【考点评析】本题考查了作图——轴对称变换，勾股定理，菱形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．易错分析易错分析02中心对称、中心对称图形概念和性质把握不准。把一个图形绕着一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点成中心对称.把一个图形绕着某一点旋转180°后，能与原来位置的图形重合，这个图形叫作中心对称图形.两者不可混淆。（2022秋·江苏苏州·九年级校考阶段练习）如图，正五边形和正三角形都内接于，则5．（2020·江苏扬州·校考三模）有五张背面完全相同的卡片，其正面分别画有等边三角形、平行四边形、矩形、正方形、圆，将这五张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，卡片上的图形是中心对称图形的概率是_____．【答案】【思路点拨】答案以有误，直接利用中心对称图形的性质结合概率求法直接得出答案．【规范解答】∵等边三角形、平行四边形、矩形、正方形、圆中，平行四边形、矩形、正方形、圆都是中心对称图形，∴从中随机抽取一张，卡片上的图形是中心对称图形的概率是．故答案为：．【考点评析】本题考查简单的概率计算，先判断哪些是中心对称图形再用概率公式计算时本题的解题思．路【变式训练01】（2022·江苏苏州·苏州市第十六中学校考一模）有四张反面完全相同的纸牌A，B，C，D，其正面分别画有四个不同的几何图形，将四张纸牌洗匀正面朝下随机放在桌面上．(1)从四张纸牌中随机摸出一张，摸出的牌面图形是中心对称图形的概率是______．(2)小明和小亮约定做一个游戏，其规则为：先由小明随机摸出一张，不放回．再由小亮从剩下的纸牌中随机摸出一张，若摸出的两张牌面图形既是轴对称图形又是中心对称图形，则小亮获胜，否则小明获胜．这个游戏公平吗？请用列表法或画树状图说明理由．【答案】(1)(2)游戏不公平，理由见解析【思路点拨】（1）直接根据概率公式计算即可．（2）首先列表列出可能的情况，摸出的两张牌面图形既是轴对称图形又是中心对称图形的结果有2种，由概率公式得出小亮获胜的概率和小明获胜的概率，得出游戏不公平．【规范解答】（1）解：共有4张牌，正面是中心对称图形的情况有3种，从四张纸牌中随机摸出一张，摸出的牌面图形是中心对称图形的概率是；故答案为：；（2）游戏不公平，理由如下：列表得：ABCDAABACADBBABCBDCCACBCDDDADBDC共有12种结果，每种结果出现的可能性相同，摸出的两张牌面图形既是轴对称图形又是中心对称图形的结果有2种，∴P（两张牌面图形既是轴对称图形又是中心对称图形）＝，∴小亮获胜的概率为，小明获胜的概率为，∴游戏不公平．【考点评析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．正确利用树状图分析两次摸牌所有可能结果是关键，区分中心对称图形是要点．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．【变式训练02】（2022·江苏盐城·校考一模）小明在学习完九年级下册的“统计和概率的简单应用”后，有意识的关注生活中的概率问题，他发现家里浴室中有一块如图所示的3×3的正方形地板砖，阴影部分是涂黑5个小正方形所形成的图案，他通过思考后提出这样的两个问题，请你帮他解决：(1)如果将一粒米随机地抛在这个正方形地板砖上，那么米粒落在阴影部分的概率是______；(2)现将方格内空白的小正方形（A，B，C，D）中任取2个涂黑，得到新图案，请用列表或画树状图的方法求出新图案是中心对称图形的概率．【答案】(1)(2)【思路点拨】（1）直接由概率公式求解即可；（2）画树状图，共有12个等可能的结果，其中新图案是中心对称图形的结果有4个，再由概率公式求解即可．(1)解：∵9块地板砖上，阴影部分占5块，∴米粒落在阴影部分的概率是，故答案为：；(2)解：画树状图如图：共有12个等可能的结果，其中新图案是中心对称图形的结果有4个，∴新图案是中心对称图形的概率为．【考点评析】此题主要考查了列表法与树状图法求概率、中心对称图形的定义等知识，正确画出树状图得出所有的可能是解题关键．【变式训练03】（2022春·江苏苏州·九年级苏州中学校考阶段练习）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，Rt△ABC的三个顶点分别为A（﹣2，2），B（0，5），C（0，2）．(1)画△A1B1C，使它与△ABC关于点C成中心对称；(2)平移△ABC，使点A的对应点A2坐标为（﹣2，﹣6），画出平移后对应的△A2B2C2；(3)若将△A1B1C绕某一点旋转可得到△A2B2C2，则旋转中心的坐标为______．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)（0，﹣2）【思路点拨】(1)直接利用关于点C中心对称的性质得出△ABC的对应点进而画出即可；(2)利用平移的性质得出平移规律进而得出答案；(3)利用旋转对称图形得出对应点的连线的交点进而得出答案．（1）解：如图所示：△A1B1C即为所求；（2）解：如图所示：△A2B2C2即为所求；（3）解：将△A1B1C绕某一点旋转可得到△A2B2C2，连接A1A2，则旋转中心的坐标为：（0，﹣2）．故答案为：（0，﹣2）．【考点评析】此题主要考查了图形中心对称变换、平移变换和旋转变换，根据题意画出对应点的位置是解题关键．易错分析易错分析03图形的轴对称或旋转问题，要充分运用其性质解题，即运用图形的“不变性”，在轴对称和旋转中角的大小不变，线段的长短不变。在旋转的过程中，转动的角叫作旋转角.对应角是指旋转前后两个图形的对应角。（2019·江苏苏州·苏州高新区实验初级中学校考一模）如图，将绕点C顺时针旋转，点B的对应点为点E，当点E恰好落在边上时，连接，则的度数是（）A． B． C． D．【答案】B【思路点拨】答案有误，根据旋转的性质可得，，进而根据等边对等角的性质求解即可．【规范解答】解：由题意知，，∴，故选D．【考点评析】本题考查了旋转的性质和等边对等角的性质，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．【变式训练01】（2023秋·江苏徐州·九年级统考期末）如图，将边长为的正方形绕其中心旋转，则两个正方形公共部分（阴影部分）的面积为_____．【答案】【思路点拨】如图所示（见详解），设正方形的中心点为，利用正方形的性质得，，则，所以，再根据旋转的性质得，于是可判断和为全等的等腰直角三角形，所以，同理可得，，设，则，，，利用正方形的边长为得，解得的值，然后利用正方形的面积减去个三角形的面积即可得到两个正方形公共部分（阴影部分）的面积．【规范解答】解：如图所示，设正方形的中心点为，∵点和点到正方形的中心的距离相等，即，∴，而，∴，∴，∵正方形绕其中心旋转，∴，∴和为全等的等腰直角三角形，∴，同理可得，，设，则，，，∵，∴，解得，∴，∴两个正方形公共部分（阴影部分）的面积＝．故答案为：．【考点评析】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质．【变式训练02】（2022秋·江苏宿迁·九年级校考阶段练习）如图，是等边三角形，E是的中点，D是直线上一动点，线段绕点E逆时针旋转，得到线段，当点D运动时，若，则的最小值为______．【答案】【思路点拨】连接，延长到N，使，连接，过点A作于G，过点A作于H，由等边三角形的性质可得，，，，由旋转的性质可得，由可证，可得，可得点F在过点N且平行于的直线上，当时，AF的值最小，由直角三角形的性质可求线段的最小值．【规范解答】解：如图，连接，延长到N，使，连接，过点A作于G，过点A作于H，∵是等边三角形，E是的中点，且，∴，，，∴，∵线段绕点E逆时针旋转得到，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，∴，∴，∴点F在过点N且平行于的直线上，∴当时，的值最小，∵，∴，∴线段的最小值为，故答案为：．【考点评析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，确定点F的运动轨迹是本题的关键．【变式训练03】（2022秋·江苏淮安·九年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，．(1)将绕原点顺时针旋转后得到，在所给图形中画出；(2)请写出、、三点的坐标：，，；(3)求点旋转到点的弧长为．【答案】(1)图见解析(2)；；(3)【思路点拨】（1）利用网格特点和旋转的性质画出点，，的对应点分别为点，，即可；（2）根据图直接得出各点的坐标即可；（3）以点为圆心，圆心角为，为半径画弧得到点在旋转的过程中所经过的路线，然后根据弧长公式计算它的长度．【规范解答】（1）解：如图，为所作；（2）由图知：，，．故答案为：；；．（3）由题意知，点旋转到点的所在的圆的半径为，所对的圆心角为，∴的长为：．故答案为：．【考点评析】本题考查作图—旋转变换，弧长的计算．根据旋转的性质可知，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．理解和掌握旋转的性质及弧长的计算公式是解题的关键．易错分析易错分析04坐标与图形变化—轴对称，关于原点对称点的坐标。（2022秋·江苏苏州·九年级校考期中）将抛物线以原点为中心旋转180度得到的抛物线解析式为___________．【答案】【思路点拨】答案有误，求出绕原点旋转180度所得抛物线的顶点坐标，然后根据顶点式写出即可．【规范解答】解：∵抛物线的顶点为，绕原点旋转180度后变为，且开口相反，∴得到的抛物线解析式为，故答案为：．【考点评析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知二次函数的图象旋转及平移的法则是解答此题的关键．【变式训练01】（2020秋·江苏南通·九年级校考期中）在平面直角坐标系中，点P（﹣2，﹣5）关于原点对称的点的坐标是

___________________．【答案】（2，5）【思路点拨】根据关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数即可求解．【规范解答】解：点P（﹣2，﹣5）关于原点对称的点的坐标是（2，5）故答案为：（2，5）【考点评析】本题考查了关于原点对称的两个点的坐标特征，掌握“关于原点对称的点的横坐标、纵坐标分别互为相反数”是解题的关键．【变式训练02】（2020秋·江苏南通·九年级南通田家炳中学校考期中）如图，在10×10的网格中建立平面直角坐标系，△ABC是格点三角形（顶点在网格线的交点上）．（1）先作△ABC关于原点O的成中心对称的△A1B1C1，再把△A1B1C1向上平移4个单位得到△A2B2C2；（2）A2点的坐标为；（3）请直接写出CC1+C1C2＝．【答案】（1）见详解；（2）；（3）【思路点拨】（1）利用关于原点对称的点的坐标特征可写出、、，描点连线得到，然后利用点平移的坐标特征可写出、、，然后描点连线即可得到；（2）由（1）可得答案；（3）根据勾股定理求得，由平移规律求得，再相加即可得解．【规范解答】解：（1）∵观察图形可知，，∴与关于原点对称的的顶点坐标为，，∴由向上平移个单位得到的的顶点坐标为，，∴可在坐标系中描出各点，再顺次分别首尾连接，即可得到、，如图：；（2）由（1）可知：点的坐标为；（3）连接、，的中点这个格点标为点，如图：∵观察图形可得，为直角边分别为、的直角三角形的斜边∴∵向上平移个单位得到∴∴．【考点评析】本题考查了平移作图、中心对称作图、勾股定理、求坐标系中两点间的距离等知识点，熟练掌握相关知识点是解题的关键．【变式训练03】（2022·江苏泰州·统考二模）已知，在平面直角坐标系中，有反比例函数y=的函数图像：(1)如图1，点A是该函数图像第一象限上的点，且横坐标为a（a＞0），延长AO使得AO=A'O，判断点A'是否为该函数图像第三象限上的点，并说明理由；(2)如图2，点B、C均为该函数图像第一象限中的点，连接BC，点D为线段BC的中点，请仅用一把无刻度的直尺作出点D关于点O的对称点D'．（不写作图过程，保留作图痕迹）【答案】(1)点A'是该函数图像第三象限上的点，理由见解析(2)见解析【思路点拨】（1）过点A作AM⊥x轴于点M，过点作轴于点N，先求出点A的坐标，再证明，得出，即可得出结论；（2）连接BO、CO并延长，交反比例函数第三象限的图像于点、点，连接，连接DO并延长，交于点，即可得到点点．【规范解答】（1）点A'是该函数图像第三象限上的点，理由如下：过点A作AM⊥x轴于点M，过点作轴于点N，点A是反比例函数y=的图像第一象限上的点，且横坐标为a（a＞0），，即，，，，，，，点A'是该函数图像第三象限上的点；（2）连接BO并延长，交反比例函数第三象限的图像于点，连接CO并延长，交反比例函数第三象限的图像于点，连接，连接DO并延长，交于点，此时，点即为所求．【考点评析】本题考查了反比例函数的图像上的点的坐标特征，关于原点对称点的特点即作图，掌握知识点是解题的关键．易错分析易错分析05平移、旋转综合题计算。（2023秋·江苏泰州·九年级统考期末）如图，四边形内接于，，，则17．（2022·江苏徐州·徐州市第十三中学校考三模）如图，的顶点C在反比例函数的图像上，且点A坐标为，点B坐标为，则k的值为_________．【答案】4【思路点拨】答案有误，由于四边形OABC为平行四边形，根据平移的性质，结合点O、A、B的坐标可确定点C的坐标为（4，2），将其代入带反比例函数解析式求k值即可．【规范解答】解：∵四边形OABC为平行四边形，∴，，∵A坐标为，点B坐标为，点O坐标为，由平移的性质可知，点C的坐标为（4，2），∴将点C（4，2）代入到函数中，可得，解得．故答案为：8．【考点评析】本题主要考查了反比例函数图像上点的坐标特征、平行四边形的性质及平移的性质，解题关键是确定C点的坐标．【变式训练01】（2022秋·江苏南通·九年级校考期中）如图，在平面直角坐标系内，的顶点坐标分别为，，．(1)平移，使点C移到点，画出平移后的；(2)将绕点旋转180°，得到，画出旋转后的；(3)与是否关于某点成中心对称？若是，直接写出对称中心的坐标：若不是，请写出理由．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)是，【思路点拨】（1）首先确定点的平移规律，依此规律平移、两点，从而得到；（2）利用中心对称的性质作出、、的对应点、、即可；（3）连接，、，求出，的中点坐标即可求解．【规范解答】（1）如图，即为所求；（2）如图，即为所求；（3）与关于某点成中心对称，对称中心的坐标为【考点评析】本题考查了坐标的平移，中心对称图形的画法，求对称中心的坐标，解题的关键是根据题意画出图形．【变式训练02】（2022秋·江苏苏州·九年级校考期中）如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-1,3)，B(-4,0)，C(0,0)(1)写出△ABC的外心坐标；(2)将△ABC绕原点O顺时针方向旋转90°得到，画出(3)在（2）的基础上，求A旋转路径的长度【答案】(1)(2)见解析(3)【思路点拨】（1）根据网格的特点，作的垂直平分线，交于点，即△ABC的外心坐标为；（2）分别作出点A、B绕原点O顺时针方向旋转90°得到的对应点，再顺次连接即可得；（3）根据弧长公式计算可得；【规范解答】（1）如图所示，取的垂直平分线，交于点，即△ABC的外心坐标为，故答案为：；（2）如图所示，即为所求；（3）解：∵，∴A点旋转到点所经过的路径长为．【考点评析】本题考查了求三角形的外心坐标，画旋转图形，勾股定理与网格，求弧长，综合运用以上知识是解题的关键．【变式训练03】（2020秋·江苏扬州·九年级统考阶段练习）如图1，在等腰Rt中，，点D、E分别在边、上，，连接，点M、P、N分别为、、的中点．(1)观察猜想：图1中，线段与的数量关系是______，位置关系是______；(2)探究证明：把绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接，，判断的形状，并说明理由；(3)拓展延伸：把绕点A在平面内自由旋转，若，，求面积的最大值．【答案】(1)，(2)是等腰直角三角形，理由见解析(3)【思路点拨】（1）利用三角形的中位线定理得出，，进而得出，即可得出结论，再利用三角形的中位线定理得出，再得出，最后利用互余得出结论；（2）先判断出，得出，同（1）的方法得出，，即可得出，同（1）的方法即可得出结论；（3）由等腰直角三角形可知，当最大时，面积最大，而的最大值是，即可得出结论．【规范解答】（1）解：∵P、N分别为、的中点，∴，，∵点M、P分别为DE、DC的中点，∴，，∵，，∴，∴，∵，，∴，，∵，∴，∴，∴．故答案为：，．（2）解：是等腰直角三角形，理由如下．由旋转可知，，∵，，∴，∴，，由三角形的中位线定理得，，，∴，∴是等腰三角形，同（1）的方法可得，，，，，∵，∴，，∵，∴，∴是等腰直角三角形．（3）解：由（2）可知，是等腰直角三角形，，∴当最大时，面积最大，∴点D在的延长线上，∴，∴，∴．【考点评析】本题综合考查了三角形全等的判定与性质、旋转的性质及三角形的中位线定理，熟练应用相关知识是解决本题的关键．易错分析易错分析06图形投影及相关计算。注意点：由平行的光线所形成的投影是平行投影.在平行投影中，如果投射线垂直于投影面，那么这种投影叫作正投影，正投影属于平行投影的一种。（2022春·江苏·九年级专题练习）如图所示，一电线杆AB的影子落在地面和墙壁上，同一时刻，小明在地面上竖立一根1米高的标杆（PQ），量得其影长（QR）为0.5米，此时他又量得电线杆AB落在地面上的影子BD长为3米，墙壁上的影子CD高为2米，小明用这些数据很快算出了电线杆AB的高为（）A．5米 B．6米 C．7米 D．8米【答案】B【思路点拨】答案有误，在同一时刻，物体的实际高度和影长成比例，据此列方程即可解答．【规范解答】解：如图：假设没有墙CD，则影子落在点E，∵杆高与影长成正比例，∴CD：DE=1：0.5，∴DE=1米，∴AB：BE=1：0.5，∵BE=BD+DE=4，∴，∴AB=8米．故选：D．【考点评析】本题主要考查相似三角形的应用，解题的关键是知道在同一时刻同一地点任何物体的高与其影子长的比值相同这个结论．【变式训练01】（2022春·江苏·九年级专题练习）如图，小树在路灯的照射下形成投影．若树高，树影，路灯的高度为，则为（

）A． B． C． D．【答案】D【思路点拨】找出相似三角形，利用相似三角形的性质求解即可．【规范解答】解：∵，∴，∴，∴，∴，故选：D．【考点评析】本题考查中心投影以及相似三角形的应用．测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．【变式训练02】（2022春·江苏·九年级专题练习）如图，身高1.6m的小王晚上沿箭头方向散步至一路灯下，他想通过测量自己的影长来估计路灯的高度，具体做法如下；先从路灯底部向东走20步到M处，发现自己的影子端点刚好在两盏路灯的中间点P处，继续沿刚才自己的影子走5步到P处，此时影子的端点在Q处．(1)根据题意画图，找出路灯的位置．(2)求路灯的高和影长．【答案】(1)见解析(2)路灯高8米，影长为步【思路点拨】（1）连接，并延长相交于点，即为路灯的位置；（2）由，，可分别得，，根据三角形相似的性质，得到对应边成比例，列出比例式，代入数值计算即可．【规范解答】（1）解：如图，点O为路灯的位置；（2）解：作垂直地面，如图，步，步，，，∴，∴，即，解得，∵，∴，∴，即，解得答：路灯高为8米，影长为步．【考点评析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质应用，找到相似三角形列出比例式是解题的关键．【变式训练03】（2022秋·江苏徐州·九年级校考期末）某校数学综合实践小组运用所学知识测量物体的高度．(1)如图1，小明将镜子放在距离旗杆底部的点处（即），然后看着镜子沿直线前后移动，直到看到旗杆顶端在镜子中的像与点重合，此时小明同学站在点处，测得，若小明的眼睛离地面的高度为，求旗杆的高度．（温馨提示：测量时，所使用的平面镜的大小和厚度均忽略不计，根据光的反射定律，反射角等于入射角，法线，）(2)已知在阳光下，测得一根与地面垂直、长为1米的竹竿的影长为2米．如图2，小东发现树的影子一部分落在地面上，还有一部分影子落在教学楼的墙壁上，量得墙壁上的影长为3.5米，落在地面上的影长为6米，求树的高度．【答案】(1)(2)【思路点拨】（1）由题意易得，根据相似三角形的性质即可求得的长；（2）根据在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．经过树在教学楼上的影子的顶端作树的垂线和经过树顶的太阳光线以及树所成三角形，与竹竿，影子光线形成的三角形相似，这样就可求出垂足到树的顶端的高度，再加上墙上的影高就是树高．【规范解答】（1）解：∵法线，，∴，∵，∴，∴，∴，解得：．（2）解：设从墙上的影子的顶端到树的顶端的垂直高度是x米．则有，，解得，∴树的高度为．【考点评析】本题考查相似三角形的应用以及平行投影，解题的关键是从复杂的数学问题中整理出三角形并利用相似三角形求解．易错分析易错分析07三视图的相关计算。注意点：一个物体在3个相互垂直的投影面内进行正投影，在正面内得到的由前向后观察物体的视图是主视图，在水平面内得到的由上向下观察物体的视图是俯视图，在侧面内得到的由左向右观察物体的视图是左视图（2022秋·江苏镇江·九年级统考期中）已知圆锥的主视图是底边长为，底边上的高为的等腰三角形，则这个圆锥的侧面积是_____．（结果保留）【答案】【思路点拨】答案有误，首先根据题意，求得底面的周长、利用勾股定理求得圆锥的母线长，然后利用扇形的面积公式即可求得圆锥的侧面积．【规范解答】解：依题意底面周长是，底面积是：．母线长是：，则圆锥的侧面积是：．故答案是：．【考点评析】本题考查三视图，圆锥的计算，勾股定理，圆的面积公式，圆的周长公式和扇形面积公式求解．【变式训练01】（2022·江苏盐城·校考三模）一个由相同小立方块搭成的几何体，从正面、左面、上面看到的形状图如图所示，则搭成这个几何体的小立方块的个数为（

）A．4个 B．5个 C．6个 D．7个【答案】B【思路点拨】从俯视图中可以看出最底层小立方块的个数及形状，从主视图可以看出每一层小立方块的层数和个数，从左视图可看出每一行小立方块的层数和个数，从而算出总的个数．【规范解答】解：如图所示，由俯视图易得：最底层小立方块的个数为4，由其他视图可知第二层有1个小立方块，那么共有个小立方块．故选：B．【考点评析】本题考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．由三视图想象几何体的形状，首先，应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状．【变式训练02】（2022春·江苏·九年级专题练习）一个几何体是由若干个棱长为2cm的小正方体搭成的，从正面、左面、上面看到的几何体的形状如图所示：(1)在“从上面看”的图中标出各个位置上小正方体的个数；(2)求该几何体的体积．【答案】(1)见解析(2)该几何体的体积为80．【思路点拨】（1）根据“俯视图打地基，主视图疯狂盖，左视图拆违章”的原则解答即可得解；（2）根据每个正方体的体积乘正方体的个数即可得解．【规范解答】（1）解：如图所示：；（2）解：该几何体的体积为：×（2+3+2+1+1+1）=8×10=80（）．答：该几何体的体积为80．【考点评析】本题考查学生对三视图的掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，主视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案．【变式训练03】（2022春·江苏·九年级专题练习）如图是由一些大小相同的小正方体组合成的简单几何体．(1)画出该几何体的主视图和左视图；(2)如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持俯视图和左视图不变，那么最多可以再添加块小正方体．【答案】(1)见解析(2)5【思路点拨】（1）根据三视图的定义画出图形即可．（2）根据题目条件解决问题即可．【规范解答】（1）主视图和左视图如下图所示：（2）在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持俯视图和左视图不变，那么最多可以再添加5块小正方体．故答案为：5．【考点评析】本题考查作图-三视图，解题的关键是熟练掌握基本知识．一、选择题1．（2022春·江苏·九年级专题练习）如图，，平分，交于，交于，若，则等于（

）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】B【思路点拨】过D点作于G点，通过，DE⊥DF，可得，进而有，，即可得，易证得，即可求解．【规范解答】解：过D点作于G点，如图，∵平分，，∴，又∵，∴，，∴，∴，∴是等腰三角形，∴，，在中，有，∴，∵，，∴，∴，故选：B．【考点评析】本题考查了角平分线的性质、平行的相关的性质、等腰三角形的判定和性质以及特殊角的三角函数等知识，利用角平分线的性质是解答本题的关键．2．（2022春·江苏·九年级专题练习）如图，，，，均为网格图中的格点，线段与相交于点，则的正切值为()A． B． C． D．【答案】A【思路点拨】连接，，由题意得：，得出，勾股定理求得，根据正切的定义即可求解．【规范解答】解：连接，，由题意得：，，由题意得：，，，，的正切值为：，故选：A．【考点评析】本题考查了求正切，勾股定理与网格问题，数形结合是解题的关键．3．（2022秋·江苏扬州·九年级统考期中）如图，以点O为位似中心，作四边形的位似图形，已知，若四边形的周长是2，则四边形的周长是（）A．4 B．6 C．16 D．18【答案】B【思路点拨】根据位似的性质，得到，推出，进而求出四边形与四边形的相似比，利用周长比等于相似比，进行求解即可．【规范解答】∵，∴，∵四边形与四边形是位似图形，∴四边形四边形，，∴，∴，∴四边形的周长：四边形的周长，∵四边形的周长是2，∴四边形的周长为6，故选B．【考点评析】本题考查位似图形，相似三角形的判定和性质．熟练掌握位似图形的性质，证明三角形相似，是解题的关键．4．（2022秋·江苏苏州·九年级统考期末）如图，C为⊙O上一点，是⊙O的直径，，，现将绕点B按顺时针方向旋转30°后得到，交⊙O于点D，则图中阴影部分的面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【思路点拨】连接，，根据及旋转，得到，，从而得到是等边三角形，结合是⊙O的直径，即可得到，，从而得到是等边三角形，即可得到，根据扇形面积公式及三角形面积公式即可得到答案．【规范解答】解：连接，，过O作，∵是⊙O的直径，，∴，，∴是等边三角形，∵，∴，，∵绕点B按顺时针方向旋转30°后得到，∴，∴，是等边三角形，∴，，∵，∴，，∴阴影部分的面积为：，故选C．【考点评析】本题考查勾股定理，扇形面积公式，圆周角定理，解题的关键是添加辅助线，利用扇形面积减三角形面积求得阴影部分面积．5．（2023秋·江苏泰州·九年级统考期末）如图，在正方形网格中：、的顶点都在正方形网格的格点上，则的度数为（）A． B． C． D．【答案】B【思路点拨】根据网格的特点，利用勾股定理求得、各边长，进而证明，根据相似三角形的性质得出，即可求解．【规范解答】解：∵，，∵，∴，∴，，，故选：B．【考点评析】本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．二、填空题6．（2023秋·江苏宿迁·九年级校考期末）如图，点是线段的黄金分割点，，和均是等边三角形．若表示的面积，表示的面积，则与的大小关系为______．【答案】##【思路点拨】过P作于E，过Q作于F，根据黄金分割定义可得，再根据等边三角形的性质和相似三角形的判定与性质得到，然后利用三角形的面积公式求解即可．【规范解答】解：过P作于E，过Q作于F，∵点是线段的黄金分割点，，∴，∵和均是等边三角形，∴，∴，∴，∴，∴，故答案为：．【考点评析】本题考查黄金分割、等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握黄金分割的定义是解答的关键．7．（2022春·江苏·九年级专题练习）如图，在每个小正方形的边长为的网格中，点，点均落在格点上，为⊙的直径．（1）的长等于___________；（2）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出一个以为斜边、面积为的，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）___________．【答案】

见解析【思路点拨】（1）根据勾股定理计算即可；（2）取格点，连接；取格点，，连接与交于点．取格点，，连接并延长，交网格线于点，连接；取格点，连接与交于点．连接与⊙相交，得点．连接，，即为所求．【规范解答】解：（1），故答案为：；（2）如图取格点，连接；取格点，，连接与交于点．取格点，，连接并延长，交网格线于点，连接；取格点，连接与交于点．连接与⊙相交，得点．连接，，即为所求．故答案为（1）；（2）作图见解析，简要说明见解析．【考点评析】本题考查了勾股定理的应用，直径的性质，相似三角形的判定及性质，灵活运用相似三角形的判定及性质是解决本题的关键．8．（2022春·江苏·九年级专题练习）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点A，B，C均在格点上（1）的大小为___________（度）；（2）在如图所示的网格中，P是边上任意一点，以A为中心，取旋转角等于，把点P逆时针旋转，点P的对应点为，当最短时，请用无刻度的直尺，画出点，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）___________．【答案】

90

见解析【思路点拨】（1）运用勾股定理逆定理求解即可；（2）取格点D，E，连接交于点T；取格点M，N，连接交延长线于点G：取格点F，连接交延长线于点，则点即为所求；当边绕点A逆时针旋转时，点B与点F重合，点F在射线上，找到点C到FG的垂足即为．【规范解答】解：（1）由网格图可知，，，∵，∴由勾股定理逆定理，为直角三角形．∴，故答案为：90；（2）作图过程如下：取格点D，E，连接交于点T；取格点M，N，连接交延长线于点G：取格点F，连接交延长线于点，则点即为所求证明：连接，∵为正方形网格对角线，∴A、C、F共线，∴，由图形可知：，，∵，，∴,∴，∵，∴当边绕点A逆时针旋转时，点B与点F重合，点F在射线上．由作图可知T为中点，∴，∴，∴，此时，最短，故答案为：取格点D，E，连接DE交AB于点T；取格点M，N，连接交延长线于点G：取格点F，连接交延长线于点，则点即为所求．【考点评析】本题主要考查了直角三角形的证明、图形的旋转、三角形相似和最短距离的证明，找到线段旋转后所在成为解答本题的关键．9．（2023秋·江苏扬州·九年级校考期末）如图，在中，，是边上的高，E、F分别为边，上的动点，且，射线与相交于点M，若连接，则线段的最小值为________．【答案】##【思路点拨】连接，并延长交边于点G，证得点M在线段AB为直径的上，作以线段为直径的，取圆心O，连接交于点N，则当点O、M、C三点共线时，线段的最小值，利用勾股定理即可求解．【规范解答】解：如图1，连接，并延长交边于点G，∵在中，，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵是边上的高，∴，∴，

∴，∴，∴是的高，∵是的边上的高，∴是的边上的高，∴，∴，∴点M在线段AB为直径的上，如图2，作以线段为直径的，取圆心O，连接交于点N，则当点O、M、C三点共线时，线段的最小值，如图3，∵，点O是圆心，∴，∵，∴，∴线段的最小值即，故答案为：．【考点评析】本题考查了相似三角形的判定及性质、直角三角形的判定及性质、90度圆周角所对的弦是直径、勾股定理以及最短路径等知识，证得点M在线段AB为直径的上是解题的关键．三、解答题10．（2022秋·江苏泰州·九年级校考阶段练习）如图，已知是坐标原点，、两点的坐标分别为、．(1)以点为位似中心在轴的左侧将放大到两倍即新图与原图的相似比为，画出图形；(2)分别写出、两点的对应点、的坐标；(3)如果内部一点的坐标为，写出的对应点的坐标．【答案】(1)见解析(2)，(3)【思路点拨】（1）延长，到，使，的长度是，的倍．顺次连接三点即可；（2）从直角坐标系中，写出、的坐标；（3）从这两个相似三角形坐标位置关系来看，对应点的坐标正好是原坐标乘以的坐标，所以的坐标为，写出的对应点的坐标为．【规范解答】（1）解：如图，即为所求；（2）解：对应点、的坐标为，；（3）解：从这两个相似三角形坐标