专题02二次根式计算的两种压轴题全攻略(原卷版+解析)

专题02二次根式计算的两种压轴题全攻略类型一、分母有理化问题例．已知，则的值为___________．【变式训练1】阅读下列材料，然后回答问题．①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：以上这种化简的步骤叫做分母有理化．②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知ab2，ab3，求．我们可以把ab和ab看成是一个整体，令xab，yab，则．这样，我们不用求出a，b，就可以得到最后的结果．(1)计算：；(2)m是正整数，a，b且．求m．(3)已知，求的值．【变式训练2】在进行二次根式化简时，我们有时会遇到形如，这样的式子可以用如下的方法将其进一步化简：；以上这种化简的方法叫做分母有理化．(1)化简：①＝，②＝，③＝；(2)已知n是正整数，化简＝；(3)利用（2）的启示，请化简：；(4)联系与拓广：，则．【变式训练3】先阅读，再解答:由可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如：，请完成下列问题：(1)的有理化因式是_______；(2)化去式子分母中的根号：_____．（直接写结果）(3)（填或）(4)利用你发现的规律计算下列式子的值：【变式训练4】小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：，善于思考的小明利用完全平方公式进行了以下探索：．请你仿照小明的方法解决下列问题：（1），则______，_______；（2）已知是的算术平方根，求的值；（3）当时，化简_______．【变式训练5】阅读下述材料：我们在学习二次根式时，熟悉的分母有理化以及应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”，与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式，比如：，分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较和的大小．可以先将它们分子有理化如下：，

，因为，所以．再例如：求的最大值．做法如下：解：由可知，而，当时，分母有最小值2，所以y的最大值是2．解决下述问题：（1）比较和的大小；（2）求的最大值和最小值．类型二、规律性问题例．阅读材料已知下面一列等式：；；；(1)请用含的等式表示你发现的规律___________________；(2)证明一下你写的等式成立；(3)利用等式计算：；(4)计算：．【变式训练1】阅读下列材料，解答后面的问题：；；(1)写出下一个等式；(2)计算的值；(3)请求出的运算结果．【变式训练2】观察下列各式及证明过程：①；②；③．验证：；．（1）按照上述等式及验证过程的基本思想，猜想的变形结果，并进行验证；（2）针对上述各式反映的规律，写出用（为正整数，且）表示的等式．【变式训练3】观察下列一组式的变形过程，然后回答问题：，，，…（1）填空：＝；（2）请你用含n（n为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律．并证明你的结论．（3）利用上面的结论，求下列式子的值：．【变式训练4】（1）用计算器计算：________________；_______________；_____________；____________．（2）观察（1）中各式的计算结果，你能发现什么规律？（3）试运用发现的规律猜想出下式的结果，并用计算器验证你的猜想__________．专题02二次根式计算的两种压轴题全攻略类型一、分母有理化问题例．已知，则的值为___________．【答案】【详解】解：∵，∴，∴故答案为：【变式训练1】阅读下列材料，然后回答问题．①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：以上这种化简的步骤叫做分母有理化．②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知ab2，ab3，求．我们可以把ab和ab看成是一个整体，令xab，yab，则．这样，我们不用求出a，b，就可以得到最后的结果．(1)计算：；(2)m是正整数，a，b且．求m．(3)已知，求的值．【答案】(1)(2)m=2(3)【详解】（1）原式，（2）∵a，b，∴，∵，∴，∴，∴，∴2，∵m是正整数，∴m=2．（3）由得出，∴，∵，∵，∴．【变式训练2】在进行二次根式化简时，我们有时会遇到形如，这样的式子可以用如下的方法将其进一步化简：；以上这种化简的方法叫做分母有理化．(1)化简：①＝，②＝，③＝；(2)已知n是正整数，化简＝；(3)利用（2）的启示，请化简：；(4)联系与拓广：，则．【答案】(1)；；(2)(3)(4)727【详解】（1）解：①;②;③故答案为：；；;（2）解：=；（3）==；（4）解：∵，∴，∴，∴，∴，∴，故答案为：727．【变式训练3】先阅读，再解答:由可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如：，请完成下列问题：(1)的有理化因式是_______；(2)化去式子分母中的根号：_____．（直接写结果）(3)（填或）(4)利用你发现的规律计算下列式子的值：【答案】（1）+1；（2）；（3）<；（4）2017.【详解】解：（1）-1的有理化因式是+1；（2）；（3），，∵∴>∴<；（4）原式===2018-1=2017．【变式训练4】小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：，善于思考的小明利用完全平方公式进行了以下探索：．请你仿照小明的方法解决下列问题：（1），则______，_______；（2）已知是的算术平方根，求的值；（3）当时，化简_______．【答案】（1）2，1；（2）－2018；（3）2．【详解】解：（1）∵，∴a＝2，b＝1；故答案为：2,1（2）∵是的算术平方根，∴，∴；（3）∵，∴，，．故答案为：2【变式训练5】阅读下述材料：我们在学习二次根式时，熟悉的分母有理化以及应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”，与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式，比如：，分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较和的大小．可以先将它们分子有理化如下：，

，因为，所以．再例如：求的最大值．做法如下：解：由可知，而，当时，分母有最小值2，所以y的最大值是2．解决下述问题：（1）比较和的大小；（2）求的最大值和最小值．【答案】（1）；（2）的最大值为2，最小值为．【详解】解：（1），，而，，，；（2）由，，得，，∴当时，有最小值，则有最大值1，此时有最大值1，所以的最大值为2；当时，有最大值，则有最小值，此时有最小值0，所以的最小值为．类型二、规律性问题例．阅读材料已知下面一列等式：；；；(1)请用含的等式表示你发现的规律___________________；(2)证明一下你写的等式成立；(3)利用等式计算：；(4)计算：．【答案】(1)(2)见解析(3)(4)【详解】（1）解：根据题意，由规律可得：它的一般性等式为；（2）证明：原式成立；（3）解：；（4）解：．【变式训练1】阅读下列材料，解答后面的问题：；；(1)写出下一个等式；(2)计算的值；(3)请求出的运算结果．【答案】(1)(2)(3)【详解】（1）解：（2）解：．（3）解：【变式训练2】观察下列各式及证明过程：①；②；③．验证：；．（1）按照上述等式及验证过程的基本思想，猜想的变形结果，并进行验证；（2）针对上述各式反映的规律，写出用（为正整数，且）表示的等式．【答案】（1），验证见解析；（2）（为正整数，）．【详解】解：（1）猜想：验证：；（2）（为正整数，）．【变式训练3】观察下列一组式的变形过程，然后回答问题：，，，…（1）填空：＝；（2）请你用含n（n为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律．并证明你的结论．（3）利用上面的结论，求下列式子的值：．【答案】（1）；（2）（n为正整数），证明见解析；（3）2007【详解】解：（1）原式＝=；故答案为：；（2）规律为（n为正整数）．证明如下：=＝=（n为正整数）；（3）原式＝()＝（﹣1）（+1）＝2008﹣1＝2007.【变式训练4】（1）用计算器计算：________________；_______________；_____________；____________．（2）观察（1）中各式的计算结果，你能发现什么规律？（3）试运用发现的规律猜想