专题13三角形相似-5年(2018~2022)中考1年模拟数学分项汇编(北京专用)(原卷版+解析)

专题13三角形相似一、填空题1．（2018·北京·中考真题）如图，在矩形中，是边的中点，连接交对角线于点，若，，则的长为________．二、解答题2．（2021·北京·中考真题）如图，在中，为的中点，点在上，以点为中心，将线段顺时针旋转得到线段，连接．（1）比较与的大小；用等式表示线段之间的数量关系，并证明；（2）过点作的垂线，交于点，用等式表示线段与的数量关系，并证明．3．（2021·北京·中考真题）如图，是的外接圆，是的直径，于点．（1）求证：；（2）连接并延长，交于点，交于点，连接．若的半径为5，，求和的长．一、填空题1．（2022·北京市三帆中学模拟预测）如图，在△ABC中，P，Q分别为AB，AC的中点．若S△APQ=1，则S四边形PBCQ=____．2．（2022·北京市师达中学模拟预测）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC，若AD=1，AB=4，则_____．3．（2022·北京通州·一模）如图，在△ABC中点D在AB上（不与点A，B重合），连接CD．只需添加一个条件即可证明△ACD与△ABC相似，这个条件可以是______（写出一个即可）．4．（2022·北京·二模）如图，在边长为1的正方形网格中，A、B、C、D为格点，连接AB、CD相交于点E，则AE的长为____．5．（2022·北京朝阳·一模）如图，在中，，点D在上（不与点A，C重合），只需添加一个条件即可证明和相似，这个条件可以是____________（写出一个即可）．6．（2022·北京东城·二模）据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了世界上第1个“小孔成像”的实验，阐释了光的直线传播原理，如图（1）所示。如图（2）所示的小孔成像实验中，若物距为10cm，像距为15cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是6cm，则蜡烛火焰的高度是_________cm．7．（2022·北京师大附中模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝10，点E在边BC上，DF⊥AE，垂足为F，若DF＝6，则线段EF的长为_____．8．（2022·北京北京·二模）如图，为估算某鱼塘的宽的长，在陆地上取点C，D，E，使得A，C，D在同一条直线上，B，C，E在同一条直线上，且．若测得的长为，则的长为____________m．9．（2022·北京房山·二模）如图，切于A，B两点．连接，连接交于点C，若，，则半径为__________，的长为__________．10．（2022·北京大兴·一模）如图，△ABC中，D、E分别是AB、AC边上一点，连接DE，请你添加一个条件，使△ADE∽△ABC，则你添加的这一个条件可以是___________（写出一个即可）.11．（2022·北京·清华附中一模）如图，⊙O的半径为3，A，P两点在⊙O上，点B在⊙O内，tan∠APB＝，AB⊥AP．如果OB⊥OP，那么OB的长为_____．12．（2022·北京朝阳·模拟预测）如图，∠A＝∠B＝90°，AB＝7，AD＝2，BC＝3，在边AB上取点P，使得△PAD与△PBC相似，则满足条件的AP长_____．13．（2022·北京昌平·模拟预测）如图，为了测量两个路灯之间的距离，小明在夜晚由路灯AB走向路灯CD，当他走到点E时，发现身后他头顶部F的影子刚好接触到路灯AB的底部A处，当他向前再步行15m到达G点时，发现身前他头顶部H的影子刚好接触到路灯CD的底部C处，已知小明同学的身高是1.7m，两个路灯的高度都是8.5米，则AC＝_____m．14．（2022·北京·北理工附中模拟预测）如图，正方形，是上一点，，于，则的长为______．二、解答题15．（2022·北京十一学校一分校模拟预测）如图1，在中，于点，连接在上截取，使连接直接判断与的位置关系如图2，延长交于点，过点作交于点，试判断与之间的数量关系，并证明；在的条件下，若，求的长．16．（2022·北京·二模）如图，在四边形中，，过点D作于E，若．（1）求证：；（2）连接交于点，若，求DF的长．17．（2022·北京·中国人民大学附属中学朝阳学校一模）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，E是AC中点，连接DE．（1）判断DE与⊙O的位置关系并说明理由；（2）设CD与OE的交点为F，若AB=10，BC=6，求OF的长．18．（2022·北京昌平·模拟预测）如图，ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D在BC上，满足BD＝2DC，BP⊥AD，说明：∠BPC＝∠APC＝135°．19．（2022·北京顺义·一模）如图，在四边形ABCD中，，，垂足为O，过点D作BD的垂线交BC的延长线于点E．(1)求证：四边形ACED是平行四边形；(2)若AC=4，AD=2，，求BC的长．20．（2022·北京西城·一模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点F在弧BC上，AF与CD交于点G，点H在DC的延长线上，且HG=HF，延长HF交AB的延长线于点M．(1)求证：HF是⊙O的切线；(2)若，BM=1，求AF的长．21．（2022·北京丰台·一模）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，连接AC．过点B作⊙O的切线，交AC的延长线于点D，在AD上取一点E，使AE＝AB，连接BE，交⊙O于点F，连接AF．(1)求证：∠BAF＝∠EBD；(2)过点E作EG⊥BD于点G．如果AB＝5，BE＝2，求EG，BD的长．22．（2022·北京石景山·一模）如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，=，连接AC，BC，AD，BD，过点D作DE//AB交CB的延长线于点E．(1)求证：直线DE是⊙O的切线；(2)若AB=10，BC=6，求AD，BE的长．23．（2022·北京东城·二模）如图，在中，，，在上截取，过点作于点，连接AD，以点为圆心、的长为半径作．(1)求证：是⊙A的切线；(2)若，，求的长．24．（2022·北京·北理工附中模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，对于点P，Q和图形G，给出如下定义：若图形G上存在一点C，使∠PQC＝90°，则称点Q为点P关于图形G的一个“直角联络点”，称Rt△PCQ为其对应的“联络三角形”．如图为点P关于图形G的一个“直角联络点”及其对应的“联络三角形”的示例．（1）已知点A（4，0），B（4，4）①在点Q1（2，2），Q2（4，﹣1）中，点O关于点A的“直角联络点”是；②点E的坐标为（2，m），若点E是点O关于线段AB的“直角联络点”，直接写出m的取值范围；（2）⊙T的圆心为（t，0），半径为，直线y＝﹣x+2与x，y轴分别交于H，K两点，若在⊙T上存在一点P，使得点P关于⊙T的一个“直角联络点”在线段HK上，且其对应的“联络三角形”是底边长为2的等腰三角形，直接写出t的取值范围．25．（2022·北京朝阳·模拟预测）如图①，RtABC和RtBDE重叠放置在一起，∠ABC＝∠DBE＝90°，且AB＝2BC，BD＝2BE．(1)观察猜想：图①中线段AD与CE的数量关系是，位置关系是；(2)探究证明：把BDE绕点B顺时针旋转到图②的位置，连接AD，CE，判断线段AD与CE的数量关系和位置关系如何，并说明理由；(3)拓展延伸：若BC＝，BE＝1，当旋转角α＝∠ACB时，请直接写出线段AD的长度．26．（2022·北京一七一中一模）如图，在中，，是的角平分线.的垂直平分线交AB于点O，以点O为圆心，OA为半径作，交AB于点F.(1)求证：BC是的切线；(2)若，，求的半径的值.27．（2022·北京朝阳·模拟预测）如图，在等腰直角△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC＝4．动点P以每秒2个单位长度的速度沿射线AB运动，过点P作PF⊥AC于点F，以AF，AP为邻边作▱FAPG；▱FAPG与等腰直角△ABC的重叠部分面积为y（平方单位），y＞0，点F与点C重合时运动停止，设点P的运动时间为x秒．(1)直接写出点G落在BC边上时x的值．(2)求y与x的函数关系式．(3)直接写出点G与△ABC各顶点的连线平分△ABC面积时x的值．专题13三角形相似一、填空题1．（2018·北京·中考真题）如图，在矩形中，是边的中点，连接交对角线于点，若，，则的长为________．【答案】【解析】解：∵四边形是矩形，∴，//，，在中，，∴，∵是中点，∴，∵//，∴，∴．故答案为：．二、解答题2．（2021·北京·中考真题）如图，在中，为的中点，点在上，以点为中心，将线段顺时针旋转得到线段，连接．（1）比较与的大小；用等式表示线段之间的数量关系，并证明；（2）过点作的垂线，交于点，用等式表示线段与的数量关系，并证明．【答案】（1），，理由见详解；（2），理由见详解．【解析】（1）证明：∵，∴，∴，由旋转的性质可得，∵，∴，∴，∵点M为BC的中点，∴，∵，∴；（2）证明：，理由如下：过点E作EH⊥AB，垂足为点Q，交AB于点H，如图所示：∴，由（1）可得，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴．3．（2021·北京·中考真题）如图，是的外接圆，是的直径，于点．（1）求证：；（2）连接并延长，交于点，交于点，连接．若的半径为5，，求和的长．【答案】（1）见详解；（2），【解析】（1）证明：∵是的直径，，∴，∴；（2）解：由题意可得如图所示：由（1）可得点E为BC的中点，∵点O是BG的中点，∴，∴，∴，∵，∴，∵的半径为5，∴，∴，∴．一、填空题1．（2022·北京市三帆中学模拟预测）如图，在△ABC中，P，Q分别为AB，AC的中点．若S△APQ=1，则S四边形PBCQ=____．【答案】3．【解析】∵P，Q分别为AB，AC的中点，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，故答案为：3．2．（2022·北京市师达中学模拟预测）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC，若AD=1，AB=4，则_____．【答案】【解析】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，故答案为：．3．（2022·北京通州·一模）如图，在△ABC中点D在AB上（不与点A，B重合），连接CD．只需添加一个条件即可证明△ACD与△ABC相似，这个条件可以是______（写出一个即可）．【答案】∠ACD=∠B（答案不唯一，或∠ADC=∠ACB或均可）【解析】解：∵∠A=∠A∴添加∠ACD=∠B或∠ADC=∠ACB或．故答案是：∠ACD=∠B或∠ADC=∠ACB或（答案不唯一）．4．（2022·北京·二模）如图，在边长为1的正方形网格中，A、B、C、D为格点，连接AB、CD相交于点E，则AE的长为____．【答案】【解析】解：根据题意可知：AB＝3，AC∥BD，AC＝2，BD＝3，∴△AEC∽△BED，∴＝，∴＝，解得AE＝．故答案为：．5．（2022·北京朝阳·一模）如图，在中，，点D在上（不与点A，C重合），只需添加一个条件即可证明和相似，这个条件可以是____________（写出一个即可）．【答案】∠A=∠CBD或∠ABC=∠BDC或或BC2=AC·DC（答案不唯一）【解析】解：∵∠C=∠C∴添加∠A=∠CBD或∠ABC=∠BDC或或BC2=AC·DC．故答案为：∠A=∠CBD或∠ABC=∠BDC或或BC2=AC·DC（答案不唯一）．6．（2022·北京东城·二模）据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了世界上第1个“小孔成像”的实验，阐释了光的直线传播原理，如图（1）所示。如图（2）所示的小孔成像实验中，若物距为10cm，像距为15cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是6cm，则蜡烛火焰的高度是_________cm．【答案】4【解析】解：设蜡烛火焰的高度是xcm，由相似三角形的性质得到：．解得x＝4．即蜡烛火焰的高度是4cm．故答案为：4．7．（2022·北京师大附中模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝10，点E在边BC上，DF⊥AE，垂足为F，若DF＝6，则线段EF的长为_____．【答案】3【解析】解：∵四边形ABCD为矩形，∴AB＝CD＝3，BC＝AD＝10，，∴∠AEB＝∠DAF，∴△AFD∽△EBA，∴，∵DF＝6，∴，∴，∴AE＝5，∴EF＝AF－AE＝8－5＝3，故答案为：3．8．（2022·北京北京·二模）如图，为估算某鱼塘的宽的长，在陆地上取点C，D，E，使得A，C，D在同一条直线上，B，C，E在同一条直线上，且．若测得的长为，则的长为____________m．【答案】20【解析】解：∵，∴，∴，又，∴，∴，∵，∴，故答案为：209．（2022·北京房山·二模）如图，切于A，B两点．连接，连接交于点C，若，，则半径为__________，的长为__________．【答案】

【解析】解：∵切于A，B两点，∴∠OAP=∠OBP=90°，∵OA=OB，OP=OP，∴Rt△OAP≌Rt△OBP（HL），∴∠AOC=∠BOC，又OA=OB，∴OC⊥AB，AC=BC=4，在Rt△OAC中，，∵∠OCA=∠OAP=90°，∠AOC=∠AOP，∴△AOC∽△POA，∴即，解得：PA=，故答案为：，．10．（2022·北京大兴·一模）如图，△ABC中，D、E分别是AB、AC边上一点，连接DE，请你添加一个条件，使△ADE∽△ABC，则你添加的这一个条件可以是___________（写出一个即可）.【答案】【解析】根据“两角对应相等的两三角形相似”，可添加故答案为11．（2022·北京·清华附中一模）如图，⊙O的半径为3，A，P两点在⊙O上，点B在⊙O内，tan∠APB＝，AB⊥AP．如果OB⊥OP，那么OB的长为_____．【答案】1【解析】解：如图，连接OA，作AM⊥OB交OB的延长线于M，作PN⊥MA交MA的延长线于N．则四边形POMN是矩形．∵∠POB＝∠PAB＝90°，∴P、O、B、A四点共圆，∴∠AOB＝∠APB，∴tan∠AOM＝tan∠APB＝＝，设AM＝4k，OM＝3k，在Rt△OMA中，（4k）2+（3k）2＝32，解得k＝（负根已经舍弃），∴AM＝，OM＝，AN＝MN﹣AM＝，∵∠MAB+∠ABM＝90°，∠MAB+∠PAN＝90°，∴∠ABM＝∠PAN，∵∠AMB＝∠PNA＝90°，∴△AMB∽△PNA，∴＝，∴＝，∴BM＝，∴OB＝OM﹣BM＝1．故答案为112．（2022·北京朝阳·模拟预测）如图，∠A＝∠B＝90°，AB＝7，AD＝2，BC＝3，在边AB上取点P，使得△PAD与△PBC相似，则满足条件的AP长_____．【答案】2.8或1或6【解析】设AP=x，则有PB=AB−AP=7−x，当△PDA∽△CPB时,,即，解得：x=1或x=6，当△PDA∽△PCB时,,即，解得：x=.故答案为x=1或x=6或2.8.13．（2022·北京昌平·模拟预测）如图，为了测量两个路灯之间的距离，小明在夜晚由路灯AB走向路灯CD，当他走到点E时，发现身后他头顶部F的影子刚好接触到路灯AB的底部A处，当他向前再步行15m到达G点时，发现身前他头顶部H的影子刚好接触到路灯CD的底部C处，已知小明同学的身高是1.7m，两个路灯的高度都是8.5米，则AC＝_____m．【答案】25【解析】解：∵EF∥CD，∴△AEF∽△ACD，∴＝，即＝，即AE+15+CG＝5AE，∵GH∥AB，∴△CGH∽△CAB，∴＝，即＝，即AE+15+CG＝5CG，∴AE＝CG＝5，∴AC＝5+15+5＝25（m）．故答案为25．14．（2022·北京·北理工附中模拟预测）如图，正方形，是上一点，，于，则的长为______．【答案】【解析】∵四边形是正方形，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，故答案为．二、解答题15．（2022·北京十一学校一分校模拟预测）如图1，在中，于点，连接在上截取，使连接直接判断与的位置关系如图2，延长交于点，过点作交于点，试判断与之间的数量关系，并证明；在的条件下，若，求的长．【答案】（1）；（2），证明见解析；（3）1【解析】解：（1）；理由如下：如图，，，，，，，，∵，∴，即，故答案为：；（2）；过点作交于点，，，，，，，，，为等腰直角三角形，，，，，，又，，，，，，，；（3），为等腰直角三角形，，，，，，，，设，，，，，，，经检验：符合题意．．16．（2022·北京·二模）如图，在四边形中，，过点D作于E，若．（1）求证：；（2）连接交于点，若，求DF的长．【答案】（1）见解析；（2）【解析】解：（1）过D作BC的垂线，交BC的延长线于点G，连接BD，∵∠DEB=∠ABC=∠G=90°，DE=BE，∴四边形BEDG为正方形，∴BE=DE=DG，∠BDE=∠BDG=45°，∵∠ADC=90°，即∠ADE+∠CDE=∠CDG+∠CDE=90°，∴∠ADE=∠CDG，又DE=DG，∠AED=∠G=90°，∴△ADE≌△CDG（ASA），∴AD=CD；（2）∵∠ADE=30°，AD=6，∴AE=CG=3，DE=BE==，∵四边形BEDG为正方形，∴BG=BE=，BC=BG-CG=-3，设DF=x，则EF=-x，∵DE∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴，即，解得：x=，即DF的长为．17．（2022·北京·中国人民大学附属中学朝阳学校一模）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，E是AC中点，连接DE．（1）判断DE与⊙O的位置关系并说明理由；（2）设CD与OE的交点为F，若AB=10，BC=6，求OF的长．【答案】（1）DE与⊙O相切，证明见解析；（2）【解析】（1）DE与⊙O相切，连接OD、CD、OE∵BC为⊙O的直径∴∠CDA＝∠CDB＝90°∵E是AC中点∴ED＝EC∵OC＝OD，OE＝OE∴ΔOCE≌ΔODE（HL）∴∠ODE＝∠OCE＝90°∴OD⊥DE∴DE与⊙O相切（2）∵∠ACB=90°，AB=10，BC=6∴AC=8，∵E是AC中点，为的中点∴，由勾股定理可得：∵DE、CE与⊙O相切∴DE=CE，∠CEO=∠DEO又∵∴垂直平分∴又∵∴，∴∴∵∴∴18．（2022·北京昌平·模拟预测）如图，ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D在BC上，满足BD＝2DC，BP⊥AD，说明：∠BPC＝∠APC＝135°．【答案】见解析【解析】解：过点C作CE⊥AD，交AD的延长线于点E，∵∠BAC＝90°，∴∠CAE+∠BAE=90°，∵∠ABP+∠BAE=90°，∴∠CAE＝∠ABP，∵∠APB＝∠AEC＝90°，AB＝AC，∴△ABP≌△CAE（AAS），∴AP＝CE，BP＝AE，∵BP⊥AD，CE⊥AD，∴BP∥CE，∴△BPD∽△CED，∴，∴BP＝2CE，∴AE＝AP+PE＝2CE，∴PE＝CE，∴∠EPC＝45°，∴∠BPC＝∠BPD+∠EPC＝90°+45°＝135°，∴∠APC＝360°﹣90°﹣135°＝135°，即∠BPC＝∠APC＝135°．19．（2022·北京顺义·一模）如图，在四边形ABCD中，，，垂足为O，过点D作BD的垂线交BC的延长线于点E．(1)求证：四边形ACED是平行四边形；(2)若AC=4，AD=2，，求BC的长．【答案】(1)证明见解析(2)BC的长为【解析】(1)证明：，，，，在四边形ABCD中，，四边形ACED是平行四边形；(2)解：在中，，设，，在中，，，，，，即，解得（舍弃）或，．20．（2022·北京西城·一模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点F在弧BC上，AF与CD交于点G，点H在DC的延长线上，且HG=HF，延长HF交AB的延长线于点M．(1)求证：HF是⊙O的切线；(2)若，BM=1，求AF的长．【答案】(1)见解析(2)【解析】(1)证明：连接OF，∵CD⊥AB，∴∠AEG=90°，∴∠A+∠AGE=90°，∵HG=HF，∴∠HFG=∠HGF，∵∠HGF=∠AGE，∴∠HFG=∠AGE，∵OA=OF，∴∠A=∠OFA，∴∠OFA+∠HFG=90°，即∠OFH=90°，∴HF是⊙O的切线；(2)解：如图，连接BF，由（1）得：∠OFM=90°，∴∠BFO+∠BFM=90°，∵AB是⊙O的直径，∴∠AFB=90°，∴∠A+∠ABF=90°，∵OB=OF，∴∠ABF=∠BFO，∴∠BFM=∠A，∵∠M=∠M，∴△BFM∽△FAM，∴，∵，∴，∵BM=1，OB=OF，∴，解得：OF=4，∴OM=5，AM=9，AB=8，∴FM=，∴，∴，∵，∴，解得：．21．（2022·北京丰台·一模）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，连接AC．过点B作⊙O的切线，交AC的延长线于点D，在AD上取一点E，使AE＝AB，连接BE，交⊙O于点F，连接AF．(1)求证：∠BAF＝∠EBD；(2)过点E作EG⊥BD于点G．如果AB＝5，BE＝2，求EG，BD的长．【答案】(1)证明见解析(2)，【解析】(1)证明：∵是的直径∴∵是的切线∴∵，∴．(2)解：如图，∵，∴∵∴∴即解得在中，由勾股定理得∵，∴∴即解得∴EG的长为2，BD的长为．22．（2022·北京石景山·一模）如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，=，连接AC，BC，AD，BD，过点D作DE//AB交CB的延长线于点E．(1)求证：直线DE是⊙O的切线；(2)若AB=10，BC=6，求AD，BE的长．【答案】(1)见解析(2)AD=5，BE=．【解析】(1)证明：连接OD，∵AB为⊙O的直径，点D是半圆AB的中点，∴∠AOD=∠AOB=90°，∵DE∥AB，∴∠ODE=90°，∴OD⊥DE，∴直线DE是⊙O的切线；(2)解：连接CD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=∠ACB=90°，∵=，∴DB=AD，∴△ABD是等腰直角三角形，∵AB=10，∴AD=10sin∠ABD=10sin45°=10×=5，∵AB=10，BC=6，∴AC==8，∵四边形ACBD是圆内接四边形，∴∠CAD+∠CBD=180°，∵∠DBE+∠CBD=180°，∴∠CAD=∠DBE，由（1）知∠AOD=90°，∠OBD=45°，∴∠ACD=45°，∵DE∥AB，∴∠BDE=∠OBD=45°，∴∠ACD=∠BDE，∴△ACD∽△BDE，∴，∴，解得：BE=．23．（2022·北京东城·二模）如图，在中，，，在上截取，过点作于点，连接AD，以点为圆心、的长为半径作．(1)求证：是⊙A的切线；(2)若，，求的长．【答案】(1)见解析(2)【解析】(1)过点作于，如图所示，，，，，，，，，，在和中，，，，且为的半径，是的半径，是的切线．(2)，，，，，，，，解得，的长为．24．（2022·北京·北理工附中模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，对于点P，Q和图形G，给出如下定义：若图形G上存在一点C，使∠PQC＝90°，则称点Q为点P关于图形G的一个“直角联络点”，称Rt△PCQ为其对应的“联络三角形”．如图为点P关于图形G的一个“直角联络点”及其对应的“联络三角形”的示例．（1）已知点A（4，0），B（4，4）①在点Q1（2，2），Q2（4，﹣1）中，点O关于点A的“直角联络点”是；②点E的坐标为（2，m），若点E是点O关于线段AB的“直角联络点”，直接写出m的取值范围；（2）⊙T的圆心为（t，0），半径为，直线y＝﹣x+2与x，y轴分别交于H，K两点，若在⊙T上存在一点P，使得点P关于⊙T的一个“直角联络点”在线段HK上，且其对应的“联络三角形”是底边长为2的等腰三角形，直接写出t的取值范围．【答案】（1）①点Q1；②；（2）．【解析】解：（1）①如图1，作Q1H⊥OA于H，∵A（4，0），Q1（2，2），∴Q1H=AH=OH=2，∴∠OQ1A＝90°，∴点Q1是点O关于点A的“直角联络点”，∵A（4，0），Q2（4，-1），∴∠OAQ2＝90°，∴∠OQ2A≠90°，∴点Q2不是点O关于点A的“直角联络点”，故答案是：点Q1②如图2，当点E1是点O关于线段AB的“直角联络点”时，由①可知，点E1与点Q1关于OA对称，所以当点E1的坐标是（2，-2）；当点E2是点O关于线段AB的“直角联络点”时，∠OE2B＝90°，作BP⊥Q1H于P，∴∠OE2H+∠BE2P＝90°，∠OE2H+∠E2OH＝90°，∴∠BE2P=∠E2OH，∴△OE2H∽△E2BP，∴，∴，∴E2H=或E2H=（不合题意，舍去），∴m的取值范围是；故答案是：．（2）如图3，点P1关于⊙T1的“直角联络点”是点K，对应的“联络三角形”是△P1KM，点P2关于⊙T2的“直角联络点”是点H，对应的“联络三角形”是△P2HN，∵直线y＝﹣x+2与x，y轴分别交于H，K两点，∴H（2，0），K(0，2)，∵△P1KM是底边长为2的等腰三角形，且∠P1KM=90°，T1P1=T1M=，∴T1K是P1M的垂直平分线，∴P1G=GM=KG=1，∴T1G=，∴T1K=T1G+GK=3+1=4，∴T1O=，∴t1=，同理可得HS=1，T2S=3，∴T2O=3+1+2=6，∴t2=6，∴t的取值范围是．25．（2022·北京朝阳·模拟预测）如图①，RtABC和RtBDE重叠放置在一起，∠ABC＝∠DBE＝90°，且AB＝2BC，BD＝2BE．(1)观察猜想：图①中线段AD与CE的数量关系是，位置关系是；(2)探究证明：把BDE绕点B顺时针旋转到图②的位置，连接AD，CE，判断线段AD与CE的数量关系和位置关系如何，并说明理由；(3)拓展延伸：若BC＝，BE＝1，当旋转角α＝∠ACB时，请直接写出线段AD的长度．【答案】(1)AD＝2CE，AD⊥CE(2)AD＝2CE，AD⊥CE，见解析(3)4【解析】(1)∵AB＝2BC，BD＝2BE，∴＝＝2，∵∠ABC＝∠DBE＝90°，∴△BDE∽△BAC，∴∠BDE＝∠A，∴DE∥AC，∴∴＝＝2，即AD=2CE，∵∠B＝90°，∴AD⊥CE，故答案为：AD＝2CE，AD⊥CE；(2)AD＝2DE，AD⊥CE，理由：∵把△BDE绕点B顺时针旋转到图②的位置，∴∠CBE＝∠ABD，∵AB＝2BC，BD＝2BE．∴＝＝2，∴△BCE∽△BAD，∴＝＝2，∠BEC＝∠BDA，∴AD＝2CE，延长CE交AD于H，∴∠CEB+∠BEH＝180°，∴∠BEH+∠BDA＝180°，∴∠DHE+∠DBE＝180°，∵∠DBE＝90°，∴∠DHE＝90°，∴CE⊥AD；(3)如图③，过D作DG⊥AB于G，由（2）知，△BCE∽△BAD，∴，∠CBE＝∠ABD，∵BC＝，BE＝1，∴AB＝，BD＝2，∴AC＝＝5，∵∠CBE＝∠ACB＝∠ABD，∠DGB＝∠ABC＝90°，∴△ABC∽△DGB，∴＝＝，∴＝＝，∴BG＝，DG＝，∴AG＝，∴AD＝＝＝4．26．（2022·北京一七一中一模）如图，在中，，是的角平分线.的垂直平分线交AB于点O，以点O为圆心，OA为半径作，交AB于点F.(1)求证：BC是的切线；(2)若，，求的半径的值.【答案】(1)证