专题07解题技巧专题：勾股定理与面积、网格、折叠问题(原卷版+解析)(重点突围)

专题07解题技巧专题：勾股定理与面积、网格、折叠问题【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【考点一三角形中，利用面积求斜边上的高】 1【考点二巧妙割补求面积】 7【考点三“勾股树”及其拓展类型求面积】 12【考点四勾股定理与网格问题】 18【考点五勾股定理与折叠问题】 23【典型例题】【考点一三角形中，利用面积求斜边上的高】例题：（2021·云南·双柏县教师进修学校二模）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，则点C到AB的距离是________．【变式训练】1．（2022·全国·八年级课时练习）一个直角三角形的两条直角边边长分别为6和8，则斜边上的高为（

）A．4.5 B．4.6 C．4.8 D．52．（2022秋·浙江杭州·八年级统考期中）直角三角形两直角边长度为5，12，则斜边上的高为（

）A．6 B．8 C．13 D．3．（2022·黑龙江牡丹江·八年级期中）在由边长为1的小正方形构成网格中的位置如图所示，则边上的高是（

）A．5 B． C．6 D．4．（2022秋·陕西西安·八年级西安市第二十六中学校考阶段练习）如图，在边长为1的正方形网格中，A、B、C均在正方形格点上，则C点到AB的距离为（

）A． B． C． D．5．（2022秋·山西运城·八年级统考期末）如图，的顶点，，在边长为的正方形网格的格点上，则边长的高为（

）A． B． C． D．6．（2022·全国·八年级课时练习）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1．点A、B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为__________．7．（2022秋·广东佛山·八年级樵北中学校考阶段练习）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，的三个顶点均在格点上，则边上的高为________．8．（2023春·八年级单元测试）如图，在中，，于点，，．求：(1)的长；(2)的长．【考点二巧妙割补求面积】例题：（2022·全国·八年级专题练习）如图，是一块草坪，已知AD=12m，CD=9m，∠ADC=90°，AB=39m，BC=36m，求这块草坪的面积．【变式训练】1．（2021·宁夏中宁县第三中学八年级期中）如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝6，AD＝8，BC＝24，DC＝26，求四边形ABCD的面积．2．（2021·陕西师大附中八年级阶段练习）如图，在5×5的方格纸中，每一个小正方形的边长都为1（1）线段BC＝，线段CD＝；（2）求四边形ABCD的面积．（可以根据需要添加字母）3．（2022·全国·八年级课时练习）如图，方格纸中小正方形的边长为1，△ABC的三个顶点都在小正方形格点上，（1）边AC、AB、BC的长；（2）求△ABC的面积；（3）点C到AB边的距离4．（2022秋·重庆沙坪坝·八年级重庆市第七中学校校考期末）如图，一块四边形花圃中，已知，，，，.(1)求四边形花圃的面积；(2)求到的距离．【考点三“勾股树”及其拓展类型求面积】例题：（2022·全国·八年级课时练习）如图，该图形是由直角三角形和正方形构成，其中最大正方形的边长为7，则正方形A、B、C、D的面积之和为__________．【变式训练】1．（2022·河南洛阳·八年级期末）如图，在中，以AC为直角边向外作，分别以AB，BC，CD，DA为直径向外作半圆，面积分别记为S1，S2，S3，S4，已知，，，则S4为（

）A．2 B．3 C． D．2．（2022·贵州铜仁·八年级期中）如图，以的三边向外作正方形，其面积分别为且，则___________；以的三边向外作等边三角形，其面积分别为，则三者之间的关系为___________．3．（2022春·八年级课时练习）如图，已知所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大正方形的边长为．(1)求A，B，C，D四个正方形的面积之和．(2)若其中每个直角三角形的最短边与最长边的长度之比都为3：5，求正方形A，B，C，D的面积．4．（2022·全国·八年级专题练习）如图②，它可以看作是由边长为a、b、c的两个直角三角形（如图①C为斜边）拼成的，其中A、C、D三点在同一条直线上，(1)请从面积出发写出一个表示a、b、c的关系的等式；（要求写出过程）(2)如图③④⑤，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有_______个．(3)如图⑥，直角三角形的两直角边长分别为3，5，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为_______．【考点四勾股定理与网格问题】例题：（2022秋·四川成都·八年级校考期中）如图，每个小正方形的边长为1，若A、B、C是小正方形的顶点，则度数为（

）A． B． C． D．【变式训练】1．（2022秋·辽宁辽阳·八年级校考阶段练习）如图，正方形网格中，每一小格的边长为1．网格内有，则的度数是（

）A． B． C． D．2．（2022春·浙江台州·八年级统考期末）如图，在的网格中，每个小正方形的边长都为1，的三个顶点都在格点上．(1)______，______；(2)仅用无刻度的直尺作出边上的高．（保留作图痕迹）3．（2022秋·福建三明·八年级统考期中）如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形．(1)在图1中，画一个三角形，使它的三边长都是有理数；(2)在图2中，画一个三角形，使它的三边长都是无理数．4．（2022秋·江苏·八年级姜堰区实验初中校考周测）如图，在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．如图点A、B、C、D均为格点．请用无刻度的直尺完成下列作图．(1)图中的是等腰三角形吗？_______．（填“是”或“不是”）(2)在图中找一格点E，使平分．(3)点P、点Q分别为线段上的动点，连接，作出当最小时，点P位置．【考点五勾股定理与折叠问题】例题：（2022秋·重庆沙坪坝·八年级重庆市第七中学校校考期末）把一张长方形纸片按如图方式折叠，使顶点和点重合，折痕为．若，，则的长度是（

）A． B． C． D．【变式训练】1．（2022秋·浙江金华·八年级统考期中）如图，在长方形中，，，将沿对角线翻折，点落在点处，交于点，则线段的长为________．2．（2022秋·辽宁·八年级校考期末）如图，在长方形中，，在上存在一点E，沿直线把折叠，使点D恰好落在边上的点F处，若的面积为，那么折痕长为___________．3．（2022秋·山东烟台·七年级统考期中）长方形纸片中，，，点E是边上一动点，连接，把∠B沿折叠，使点B落在点F处，连接，当为直角三角形时，的长为______．4．（2023春·八年级单元测试）如图，△ABC中，，，，为上一点，连接，将沿折叠，点C落在边上的D点处，求的长．5．（2022秋·广东河源·八年级校考期末）如图，在长方形纸片中，，把长方形纸片沿直线折叠，点B落在点正处，交于点F，若，连接．(1)的长为；(2)求的面积；(3)试问与的位置关系，并说明理由．6．（2022秋·四川资阳·八年级统考期末）如图，在中，，把沿直线折叠，使与重合．(1)若，则的度数为；(2)当，的面积为时，的周长为（用含的代数式表示）；(3)若，，求的长．7．（2022秋·江苏·八年级期中）在中，点是上一点，将沿翻折后得到，边交线段于点．(1)如图1，当，时．和有怎样的位置关系，为什么？若，，求线段的长．(2)如图2，若，折叠后要使和，这两个三角形其中一个是直角三角形而另一个是等腰三角形．求此时的度数．专题07解题技巧专题：勾股定理与面积、网格、折叠问题【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【考点一三角形中，利用面积求斜边上的高】 1【考点二巧妙割补求面积】 7【考点三“勾股树”及其拓展类型求面积】 12【考点四勾股定理与网格问题】 18【考点五勾股定理与折叠问题】 23【典型例题】【考点一三角形中，利用面积求斜边上的高】例题：（2021·云南·双柏县教师进修学校二模）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，则点C到AB的距离是________．【答案】##7.2##【解析】【分析】设点C到斜边AB的距离是h，根据勾股定理求出AB的长，再根据三角形的面积公式即可得出结论．【详解】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得：，设点C到斜边AB的距离是h，∵，∴，解得：．故答案为：．【点睛】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．【变式训练】1．（2022·全国·八年级课时练习）一个直角三角形的两条直角边边长分别为6和8，则斜边上的高为（

）A．4.5 B．4.6 C．4.8 D．5【答案】C【解析】【分析】根据勾股定理求出斜边的长，再根据面积法求出斜边的高．【详解】解：设斜边长为c，高为h．由勾股定理可得：c2=62+82，则c=10，直角三角形面积S=×6×8=×c×h，可得h=4.8，故选：C．【点睛】本题考查了勾股定理，利用勾股定理求直角三角形的边长和利用面积法求直角三角形的高是解决此类题的关键．2．（2022秋·浙江杭州·八年级统考期中）直角三角形两直角边长度为5，12，则斜边上的高为（

）A．6 B．8 C．13 D．【答案】D【分析】利用勾股定理和等积法进行求解即可．【详解】解：由题意得：直角三角形的斜边长为：，设斜边上的高为：，由直角三角形的面积相等可得：，解得：；故选D．【点睛】本题考查的勾股定理的应用，求直角三角形斜边上的高．熟练掌握等积法是解题的关键．3．（2022·黑龙江牡丹江·八年级期中）在由边长为1的小正方形构成网格中的位置如图所示，则边上的高是（

）A．5 B． C．6 D．【答案】C【解析】【分析】根据图形先求出的面积，然后过点B作AC边的垂线BD，根据三角形的面积公式得出边上的高即可．【详解】如图，过点B作AC边的垂线，垂足为D，∵，∴，∵由勾股定理知：，∴，∴．故答案选：C．【点睛】本题主要考查网格图中图形的面积的计算，勾股定理和三角形面积公式，正确算出图形的面积与底边的长度是解答本题的关键．4．（2022秋·陕西西安·八年级西安市第二十六中学校考阶段练习）如图，在边长为1的正方形网格中，A、B、C均在正方形格点上，则C点到AB的距离为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】连接、，利用割补法求出，根据勾股定理求出，设C点到的距离为h，根据，即可求出h的值．【详解】解：如图，连接、，，，设C点到的距离为h，∵，∴．故选：D．【点睛】本题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．也考查了三角形的面积和二次根式的运算．5．（2022秋·山西运城·八年级统考期末）如图，的顶点，，在边长为的正方形网格的格点上，则边长的高为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据勾股定理解答即可．【详解】解：，，边长的高，故选：C．【点睛】此题考查勾股定理，关键是根据如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么解答．6．（2022·全国·八年级课时练习）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1．点A、B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为__________．【答案】##【解析】【分析】根据勾股定理计算AC的长，利用面积差可得三角形ABC的面积，由三角形的面积公式即可得到结论．【详解】】解：由勾股定理得：AC=，∵S△ABC=3×4-×1×2-×3×2-×2×4=4，∴AC•BD=4，∴×2BD=4，∴BD=，故答案为：．【点睛】本题考查了勾股定理，三角形的面积的计算，掌握勾股定理是解题的关键．7．（2022秋·广东佛山·八年级樵北中学校考阶段练习）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，的三个顶点均在格点上，则边上的高为________．【答案】【分析】先求解，再利用勾股定理求解，再利用等面积法建立方程即可．【详解】解：由题意可得：，上的高为2，∴，由勾股定理可得：，设上的高为，∴，∴，∴边上的高为．故答案为：．【点睛】本题考查的是网格三角形的面积的计算，等面积法的应用，勾股定理的应用，二次根式的除法应用，熟练的求解网格三角形的面积是解本题的关键．8．（2023春·八年级单元测试）如图，在中，，于点，，．求：(1)的长；(2)的长．【答案】(1)(2)【分析】（1）在Rt中，由勾股定理得的长，再根据等面积法即可求出的长；（2）直接由勾股定理求解即可．【详解】（1）解：在Rt中，由勾股定理得，，，，，故的长为：12；（2）解：在Rt中，由勾股定理得，，故的长为：9．【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．【考点二巧妙割补求面积】例题：（2022·全国·八年级专题练习）如图，是一块草坪，已知AD=12m，CD=9m，∠ADC=90°，AB=39m，BC=36m，求这块草坪的面积．【答案】216平方米【解析】【分析】连接AC，根据勾股定理计算AC，根据勾股定理的逆定理判定三角形ABC是直角三角形，根据面积公式计算即可．【详解】连接AC，∵AD＝12，CD＝9，∠ADC＝90°，∴AC==15，∵AB＝39，BC＝36，AC=15∴，∴∠ACB=90°，∴这块空地的面积为：==216（平方米），故这块草坪的面积216平方米．【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握定理并灵活运用是解题的关键．【变式训练】1．（2021·宁夏中宁县第三中学八年级期中）如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝6，AD＝8，BC＝24，DC＝26，求四边形ABCD的面积．【答案】144【解析】【分析】连接BD，根据勾股定理求出BD，根据勾股定理的逆定理求出△BCD是直角三角形，分别求出△ABD和△BCD的面积，即可得出答案．【详解】解：连接BD，在△ABD中，∵∠A=90°，AB=6，AD=8，∴BD==10，S△ABD=AB•AD=×6×8=24，在△BCD中，∵CD=26，BC=24，BD=10，∴BD2+BC2=CD2，∴△BCD是直角三角形，∴S△BCD=BC•BD=×10×24=120．∴四边形ABCD的面积=S△ABD+S△BCD=24+120=144．【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理的应用，解此题的关键是能求出△ABD和△BCD的面积，注意：如果一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．2．（2021·陕西师大附中八年级阶段练习）如图，在5×5的方格纸中，每一个小正方形的边长都为1（1）线段BC＝，线段CD＝；（2）求四边形ABCD的面积．（可以根据需要添加字母）【答案】（1），；（2）14.5【解析】【分析】（1）在网格中利用勾股定理进行求解即可；（2）如图所示，由此求解即可．【详解】解：（1）由题意得：，，故答案为：，；（2）如图所示，．【点睛】本题主要考查了勾股定理，以及四边形的面积，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．3．（2022·全国·八年级课时练习）如图，方格纸中小正方形的边长为1，△ABC的三个顶点都在小正方形格点上，（1）边AC、AB、BC的长；（2）求△ABC的面积；（3）点C到AB边的距离【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）根据勾股定理计算，求出边AC、AB、BC的长；（2）根据三角形的面积公式，正方形的面积公式，结合图形计算；（3）根据三角形的面积公式计算．【详解】解：（1），，；（2）△ABC的面积；（3）点C到AB边的距离为h，则，即，解得，．【点睛】本题考查的是勾股定理，坐标与图形性质，解题关键是掌握如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．4．（2022秋·重庆沙坪坝·八年级重庆市第七中学校校考期末）如图，一块四边形花圃中，已知，，，，.(1)求四边形花圃的面积；(2)求到的距离．【答案】(1)(2)【分析】（1）连接，勾股定理求出，利用勾股定理逆定理证明是直角三角形，且，再根据面积公式四边形花圃的面积计算即可；（2）过点C作于E，利用面积法求出即可．【详解】（1）解：连接，∵，，，∴m，∵，，∴，∴是直角三角形，且，∴四边形花圃的面积∴四边形花圃的面积是；（2）过点C作于E，∵，∴，∴，∴到的距离是．【点睛】此题考查了勾股定理及勾股定理的逆定理，三角形的面积公式，正确掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键．【考点三“勾股树”及其拓展类型求面积】例题：（2022·全国·八年级课时练习）如图，该图形是由直角三角形和正方形构成，其中最大正方形的边长为7，则正方形A、B、C、D的面积之和为__________．【答案】49【解析】【分析】根据正方形A，B，C，D的面积和等于最大的正方形的面积，求解即可求出答案．【详解】如图对所给图形进行标注：因为所有的三角形都是直角三角形，所有的四边形都是正方形，所以正方形A的面积，正方形B的面积，正方形C的面积，正方形D的面积．因为，，所以正方形A，B，C，D的面积和．故答案为：49．【点睛】本题主要考查了勾股定理、正方形的性质，面积的计算，掌握勾股定理是解本题的关键．【变式训练】1．（2022·河南洛阳·八年级期末）如图，在中，以AC为直角边向外作，分别以AB，BC，CD，DA为直径向外作半圆，面积分别记为S1，S2，S3，S4，已知，，，则S4为（

）A．2 B．3 C． D．【答案】B【解析】【分析】以AB，BC，CD，DA为直径向外作半圆的面积分别为S1，S2，S3，S4，再分别用含AB、BC、CD、AD的式子表示S1，S2，S3，S4，结合可得S1＋S2＝S3﹣S4，从而可得答案．【详解】解：∵以AB，BC，CD，DA为直径向外作半圆的面积分别为S1，S2，S3，S4，∴，，∴，，∵∠ABC＝∠CAD＝90°，∴∴，∴S1＋S2＝S3﹣S4，∵S1＝3，S2＝1，S3＝7，∴3＋1＝7﹣S4，∴S4＝3，故选：B．【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，利用勾股定理建立面积之间的关系是解题的关键．2．（2022·贵州铜仁·八年级期中）如图，以的三边向外作正方形，其面积分别为且，则___________；以的三边向外作等边三角形，其面积分别为，则三者之间的关系为___________．【答案】

12；

s1+s2=s3【解析】【分析】首先根据正方形面积公式得到三个正方形的面积与Rt△ABC的三边关系，然后根据勾股定理找到Rt△ABC的三边之间的关系，并由此得到三个正方形的面积关系，最后算出S3的值；第二空同理根据正三角形面积公式与勾股定理，得到S1，S2，S3三者之间的关系，完成解答．【详解】解：∵AC、BC、AB都是正方形的边长，∴S1=AC2，S2=BC2，S3=AB2，又∵△ABC是直角三角形，∴AC2+BC2=AB2，∴S3=4+8=12，又∵Rt△ABC三边向外作等边三角形，其面积为S1，S2，S3，∴S1==×AC2，同理可得：S2=×BC2，S3=×AB2，∵△ABC是直角三角形，∴AC2+BC2=AB2，∴S1+S2=S3．故答案是：12，S1+S2=S3．【点睛】本题考查勾股定理和正方形、正三角形的计算，解题的关键在于灵活运用勾股定理．3．（2022春·八年级课时练习）如图，已知所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大正方形的边长为．(1)求A，B，C，D四个正方形的面积之和．(2)若其中每个直角三角形的最短边与最长边的长度之比都为3：5，求正方形A，B，C，D的面积．【答案】(1)(2)正方形，，，的面积分别为：，，，【分析】（1）按照图形，根据勾股定理解答即可；（2）根据勾股定理，列方程解答即可．【详解】（1）解：如图所示：依次设三个空白正方形为，，由勾股定理可得：正方形的面积正方形的面积正方形的面积，正方形的面积正方形的面积正方形的面积；正方形的面积正方形的面积正方形的面积，，，，四个正方形的面积之和正方形的面积，答：，，，四个正方形的面积之和为；（2）解：每个直角三角形的最短边与最长边的长度之比都为，设中间的直角三角形的较短的直角边为，斜边为，由题意得：，解得，较短的直角边为，另一直角边为，设的边长为，的边长为，则，解得：，的面积是：；的面积是：，同理：设的边长为，的边长为，则，解得：，的面积是；；的面积是：，答：正方形，，，的面积分别为：，，，．【点睛】本题考查了勾股定理在计算中的应用，数形结合并正确列式是解题的关键．4．（2022·全国·八年级专题练习）如图②，它可以看作是由边长为a、b、c的两个直角三角形（如图①C为斜边）拼成的，其中A、C、D三点在同一条直线上，(1)请从面积出发写出一个表示a、b、c的关系的等式；（要求写出过程）(2)如图③④⑤，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有_______个．(3)如图⑥，直角三角形的两直角边长分别为3，5，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为_______．【答案】(1)(2)3(3)7.5【解析】【分析】（1）梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和．即可得：；（2）根据勾股定理可得三个图形中面积关系满足的有3个；（3）根据半圆面积和勾股定理即可得结论：，进而求解．(1)解：四边形ABED的面积可以表示为：，也可以表示为，所以，整理得；(2)设直角三角形的三条边按照从小到大分别为a，b，c，则，图③，∵，∴，图④，∵∴，图⑤，∵∴，故答案为：3．(3)∵，∴，∵，∴．【点睛】本题考查了勾股定理的证明，解决本题的关键是掌握勾股定理．【考点四勾股定理与网格问题】例题：（2022秋·四川成都·八年级校考期中）如图，每个小正方形的边长为1，若A、B、C是小正方形的顶点，则度数为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】在格点三角形中，根据勾股定理即可得到，，的长度，继而可得出的度数．【详解】解：根据勾股定理可得：，，，即，是等腰直角三角形．．故选：B．【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，判断是等腰直角三角形是解决本题的关键，注意在格点三角形中利用勾股定理．【变式训练】1．（2022秋·辽宁辽阳·八年级校考阶段练习）如图，正方形网格中，每一小格的边长为1．网格内有，则的度数是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】延长到点，使得，连接，根据勾股定理的逆定理可得为等腰直角三角形，即可求解．【详解】解：延长到点，使得，连接，如下图：由勾股定理得：，，，∴，，∴为等腰直角三角形，∴，∴，故选：B．【点睛】此题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形外角的性质，解题的关键是利用相关性质，构造出等腰直角三角形，正确进行求解．2．（2022春·浙江台州·八年级统考期末）如图，在的网格中，每个小正方形的边长都为1，的三个顶点都在格点上．(1)______，______；(2)仅用无刻度的直尺作出边上的高．（保留作图痕迹）【答案】(1)，(2)见解析【分析】（1）利用勾股定理求解即可；（2）取格点T，连接BT交AC于点D，线段BD即为所求．（1）解：，故答案为，．（2）解：如图，线段BD即为所求．【点睛】本题主要考查了作图——应用与设计作图、勾股定理等知识，掌握利用数形结合的思想是解答本题的关键．3．（2022秋·福建三明·八年级统考期中）如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形．(1)在图1中，画一个三角形，使它的三边长都是有理数；(2)在图2中，画一个三角形，使它的三边长都是无理数．【答案】(1)图见解析（答案不唯一）(2)图见解析（答案不唯一）【分析】（1）利用勾股定理：，画一个三边分别为：的三角形；（2）画出一个三边分别为：的三角形．【详解】（1）解：如图，即为所求；（答案不唯一）此时：；（2）解：如图，即为所求；（答案不唯一）此时：．【点睛】本题考查网格中作三角形．熟练掌握勾股定理，以及无理数的定义，是解题的关键．4．（2022秋·江苏·八年级姜堰区实验初中校考周测）如图，在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．如图点A、B、C、D均为格点．请用无刻度的直尺完成下列作图．(1)图中的是等腰三角形吗？_______．（填“是”或“不是”）(2)在图中找一格点E，使平分．(3)点P、点Q分别为线段上的动点，连接，作出当最小时，点P位置．【答案】(1)是(2)见解析(3)见解析【分析】（1）利用勾股定理求出的长，证明即可得到答案；（2）如图所示，取格点E，同理可证是等腰三角形，得到，再由，推出，则平分；（3）取格点F，连接交于P，点P即为所求【详解】（1）解：由题意得，∴，∴是等腰三角形；（2）解：如图所示，点E即为所求；（3）解：如图所示，点P即为所求；在上取一点M使得，连接，易证明∴，∴，∴当B、P、M三点共线且时有最小值，即有最小值；【点睛】本题主要考查了勾股定理，全等三角形的性质与判定，轴对称最短路径问题，垂线段最短，等腰三角形的判定，平行线的性质等等，熟知相关知识是解题的关键．【考点五勾股定理与折叠问题】例题：（2022秋·重庆沙坪坝·八年级重庆市第七中学校校考期末）把一张长方形纸片按如图方式折叠，使顶点和点重合，折痕为．若，，则的长度是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由折叠可知，，，设，则，，在中，由勾股定理得，求出即为所求．【详解】解：由折叠可知，，，∵，∴，设，∵，∴，在中，∴，解得，∴，故选：D．【点睛】本题考查折叠的性质，熟练掌握折叠的性质、灵活应用勾股定理是解题的关键．【变式训练】1．（2022秋·浙江金华·八年级统考期中）如图，在长方形中，，，将沿对角线翻折，点落在点处，交于点，则线段的长为________．【答案】【分析】根据将沿对角线翻折，点落在点处，交于点，可得到，从而得到，在中，利用勾股定理即可解答．【详解】∵在长方形中，，，∴，∴，∵将沿对角线翻折，点落在点处，交于点，∴，∴，∴，设，则，在中，，∴，解得：，∴．故答案为：【点睛】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，解题的关键是灵活运用矩形的折叠结合勾股定理解答问题．2．（2022秋·辽宁·八年级校考期末）如图，在长方形中，，在上存在一点E，沿直线把折叠，使点D恰好落在边上的点F处，若的面积为，那么折痕长为___________．【答案】【分析】由面积法可求的长，由勾股定理可求的长，即可求的长，由勾股定理可求的长，即可求解．【详解】解：四边形是长方形，，，，，在中，，沿直线把折叠，使点恰好落在边上的点处，，，，，在中，，，，，即折叠的的面积为．【点睛】本题考查了翻折变换，勾股定理，三角形的面积公式，求出的长是本题的关键．3．（2022秋·山东烟台·七年级统考期中）长方形纸片中，，，点E是边上一动点，连接，把∠B沿折叠，使点B落在点F处，连接，当为直角三角形时，的长为______．【答案】或3【分析】当为直角三角形时，有两种情况：①当点F落在矩形内部时，如答图1所示．连接，先利用勾股定理计算出，根据折叠的性质得，而当为直角三角形时，只能得到，所以点A、F、C共线，即沿折叠，使点B落在对角线上的点F处，则，，可计算出，设，则，然后在中运用勾股定理可计算出x．②当点F落在边上时，如答图2所示．此时为正方形．【详解】解：当为直角三角形时，有两种情况：当点F落在矩形内部时，如答图1所示．连接，在中，，∴，∵∠B沿折叠，使点B落在点F处，∴，当为直角三角形时，只能得到，∴点A、F、C共线，即沿折叠，使点B落在对角线上的点F处，∴，∴，设，则，在中，∵，∴解得：；②当点F落在边上时，如答图2所示．此时为正方形，∴．故答案为：或3；【点睛】本题考查了折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等．也考查了矩形的性质以及勾股定理．注意本题有两种情况，需要分类讨论，避免漏解．4．（2023春·八年级单元测试）如图，△ABC中，，，，为上一点，连接，将沿折叠，点C落在边上的D点处，求的长．【答案】的长是3．【分析】先利用勾股定理求出的长，再利用折叠的性质得到角、边的大小，在中，利用勾股定理求解即可．【详解】解：在中，由勾股定理可知：∴由折叠的性质得：，，设，则，，∴在中，∴解得∴的长是3．【点睛】此题考查了勾股定理，翻折变换（折叠问题），解题的关键是熟练掌握相关基础性质．5．（2022秋·广东河源·八年级校考期末）如图，在长方形纸片中，，把长方形纸片沿直线折叠，点B落在点正处，交于点F，若，连接．(1)的长为；(2)求的面积；(3)试问与的位置关系，并说明理由．【答案】(1)12(2)(3)，理由见解析【分析】（1）由折叠得：，根据平行线性质得：，再求出，利用勾股定理求出的长，即的长；（