(冲刺高分必刷)专题14三角形和旋转综合压轴挑战突破(原卷版+解析)

冲刺高分必刷专题14三角形和旋转综合压轴挑战突破1．（2022•菏泽）如图1，在△ABC中，∠ABC＝45°，AD⊥BC于点D，在DA上取点E，使DE＝DC，连接BE、CE．（1）直接写出CE与AB的位置关系；（2）如图2，将△BED绕点D旋转，得到△B′E′D（点B′、E′分别与点B、E对应），连接CE′、AB′，在△BED旋转的过程中CE′与AB′的位置关系与（1）中的CE与AB的位置关系是否一致？请说明理由；（3）如图3，当△BED绕点D顺时针旋转30°时，射线CE′与AD、AB′分别交于点G、F，若CG＝FG，DC＝，求AB′的长．2．（2022•潍坊）【情境再现】甲、乙两个含45°角的直角三角尺如图①放置，甲的直角顶点放在乙斜边上的高的垂足O处．将甲绕点O顺时针旋转一个锐角到图②位置．小莹用作图软件Geogebra按图②作出示意图，并连接AG，BH，如图③所示，AB交HO于E，AC交OG于F，通过证明△OBE≌△OAF，可得OE＝OF．请你证明：AG＝BH．【迁移应用】延长GA分别交HO，HB所在直线于点P，D，如图④，猜想并证明DG与BH的位置关系．【拓展延伸】小亮将图②中的甲、乙换成含30°角的直角三角尺如图⑤，按图⑤作出示意图，并连接HB，AG，如图⑥所示，其他条件不变，请你猜想并证明AG与BH的数量关系．3．（2022•青岛）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到△ADE，连接CD．点P从点B出发，沿BA方向匀速运动、速度为1cm/s；同时，点Q从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为1cm/s．PQ交AC于点F，连接CP，EQ，设运动时间为t（s）（0＜t＜5）．解答下列问题：（1）当EQ⊥AD时，求t的值；（2）设四边形PCDQ的面积为S（cm2），求S与t之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t，使PQ∥CD？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．4．（2022•黑龙江）△ABC和△ADE都是等边三角形．（1）将△ADE绕点A旋转到图①的位置时，连接BD，CE并延长相交于点P（点P与点A重合），有PA+PB＝PC（或PA+PC＝PB）成立（不需证明）；（2）将△ADE绕点A旋转到图②的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？并加以证明；（3）将△ADE绕点A旋转到图③的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明．5．（2022•岳阳）如图，△ABC和△DBE的顶点B重合，∠ABC＝∠DBE＝90°，∠BAC＝∠BDE＝30°，BC＝3，BE＝2．（1）特例发现：如图1，当点D，E分别在AB，BC上时，可以得出结论：＝，直线AD与直线CE的位置关系是；（2）探究证明：如图2，将图1中的△DBE绕点B顺时针旋转，使点D恰好落在线段AC上，连接EC，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）拓展运用：如图3，将图1中的△DBE绕点B顺时针旋转α（19°＜α＜60°），连接AD、EC，它们的延长线交于点F，当DF＝BE时，求tan（60°﹣α）的值．6．（2022•湘潭）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线l经过点A，过点B、C分别作l的垂线，垂足分别为点D、E．（1）特例体验：如图①，若直线l∥BC，AB＝AC＝，分别求出线段BD、CE和DE的长；（2）规律探究：（Ⅰ）如图②，若直线l从图①状态开始绕点A旋转α（0＜α＜45°），请探究线段BD、CE和DE的数量关系并说明理由；（Ⅱ）如图③，若直线l从图①状态开始绕点A顺时针旋转α（45°＜α＜90°），与线段BC相交于点H，请再探线段BD、CE和DE的数量关系并说明理由；（3）尝试应用：在图③中，延长线段BD交线段AC于点F，若CE＝3，DE＝1，求S△BFC．7．（2022•达州）某校一数学兴趣小组在一次合作探究活动中，将两块大小不同的等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形CDE，按如图1的方式摆放，∠ACB＝∠ECD＝90°，随后保持△ABC不动，将△CDE绕点C按逆时针方向旋转α（0°＜α＜90°），连接AE，BD，延长BD交AE于点F，连接CF．该数学兴趣小组进行如下探究，请你帮忙解答：【初步探究】（1）如图2，当ED∥BC时，则α＝；（2）如图3，当点E，F重合时，请直接写出AF，BF，CF之间的数量关系：；【深入探究】（3）如图4，当点E，F不重合时，（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出推理过程；若不成立，请说明理由．【拓展延伸】（4）如图5，在△ABC与△CDE中，∠ACB＝∠DCE＝90°，若BC＝mAC，CD＝mCE（m为常数）．保持△ABC不动，将△CDE绕点C按逆时针方向旋转α（0°＜α＜90°），连接AE，BD，延长BD交AE于点F，连接CF，如图6．试探究AF，BF，CF之间的数量关系，并说明理由．8．（2021•锦州）在△ABC中，AC＝AB，∠BAC＝α，D为线段AB上的动点，连接DC，将DC绕点D顺时针旋转α得到DE，连接CE，BE．（1）如图1，当α＝60°时，求证：△CAD≌△CBE；（2）如图2，当tanα＝时，①探究AD和BE之间的数量关系，并说明理由；②若AC＝5，H是BC上一点，在点D移动过程中，CE+EH是否存在最小值？若存在，请直接写出CE+EH的最小值；若不存在，请说明理由．9．（2021•郴州）如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，点E，F分别为AB，AC的中点，H为线段EF上一动点（不与点E，F重合），将线段AH绕点A逆时针方向旋转90°得到AG，连接GC，HB．（1）证明：△AHB≌△AGC；（2）如图2，连接GF，HG，HG交AF于点Q．①证明：在点H的运动过程中，总有∠HFG＝90°；②若AB＝AC＝4，当EH的长度为多少时△AQG为等腰三角形？10．（2020•甘孜州）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，点D落在线段AB上，连接BE．（1）求证：DC平分∠ADE；（2）试判断BE与AB的位置关系，并说明理由；（3）若BE＝BD，求tan∠ABC的值．11．（2022•清丰县校级三模）如图，△ABC中，CA＝CB、∠ACB＝α，过点B作直线l∥AC，D为线段AB上一动点，连接CD，将射线DC绕点D顺时针旋转α，交直线l于点E．（1）如图1，当α＝90°时，线段CD和ED的数量关系是．（2）如图2，当0°＜α＜180°时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请仅就图2的情形给出证明；若不成立，请说明理由．（3）若α＝120°，AC＝，当△DEB为直角三角形时，请直接写出线段DE的长．12．（2022•武进区校级一模）在平面直角坐标系中，O为原点，点A（4，0），点B（0，3），（Ⅰ）连接AB，若把线段AB绕点B逆时针旋转90°，则得线段A0B，请在图①中用无刻度的直尺和圆规作出点A的对应点A0（不写作法，保留作图痕迹），直接写出点A0的坐标；（Ⅱ）若把△ABO绕点B逆时针旋转120°，得△A′BO′，点A，O旋转后的对应点分别为A′，O′，如图②，求点O′和点A′的坐标；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，边OA上的一点P旋转后的对应点为P′，求P′B+BA+AP的最小值．13．（2022•东丽区二模）在平面直角坐标系中，O为原点，点A（8，0），点B（0，6），把△ABO绕点A顺时针旋转，得△AB'O'，点B，O旋转后的对应点为B'，O'，记旋转角为α．（Ⅰ）如图①，若α＝90°，求BB'的长；（Ⅱ）如图②，若α＝120°，求点O'的坐标；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，边OB上有一点P，旋转后的对应点为P'，当AP'+O'P取得最小值时，求点P的坐标．（直接写出结果即可）14．（2022•湖北模拟）在Rt△AOB和Rt△COD中，∠AOB＝∠COD＝90°，直线AC与BD交于点M．（1）如图1，若∠OAB＝∠OCD＝45°，求的值；（2）如图2，若∠OAB＝∠OCD＝α，求的值（用含α的式子表示）；（3）若∠OAB＝∠OCD＝30°，OD＝2，OB＝4，将三角形OCD绕着点O在平面内旋转，直接写出当点A、C、D在同一直线上时，线段BD的长．15．（2022•六盘水模拟）[问题提出]如图1，在△ABC中，每个内角都小于120°，在△ABC内有一点P，请确定点P的位置，使PA+PB+PC最小．（1）[问题解决]如图2，把△CAP绕点C顺时针旋转60°得到△CED，连接PD和AE，当点B，P，D，E四点共线时，PA+PB+PC的最小值即为线段BE的长，此时∠APB＝度；（2）[问题拓展]如图3，在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点P是△ABC内一点，若∠APC＝135°，PA＝2，PC＝1，求PB的长；（3）[实际应用]如图4，△ABC是A，B，C三座城市位置的平面示意图，要在△ABC内规划建设一个物流基地（用点P表示），连接PA，PB，PC，并使PA+PB+PC最小；经测量：AC＝40km，BC＝30km，∠ACB＝60°，求PA+PB+PC的最小值．16．（2022•西青区一模）在平面直角坐标系中，点A（2，0），点B（0，2）分别是坐标轴上的点，连接AB．把△ABO绕点B逆时针旋转得△A′BO′．点A，O旋转后的对应点为点A′，O′．记旋转角为α．（Ⅰ）如图①，当点O′落在AB边上时，求α的值和点O′的坐标：（Ⅱ）如图②，当α＝60°时，求AA′的长和点O′的坐标：（Ⅲ）连接AO′，直接写出在旋转过程中△AO′A′面积的最大值．17．（2022•历下区二模）如图1，Rt△ABC中，∠C＝90°，点E是AB边上一点，且点E不与A、B重合，ED⊥AC于点D．（1）当∠B＝30°时，①＝；②当△ADE绕点A旋转到如图2的位置时（60°＜∠CAD＜90°），上述结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（2）当∠B＝45°时，将△ADE绕点A旋转，使得∠DEB＝90°，若AC＝5，AD＝，请直接写出线段CD的长．18．（2022•南关区校级模拟）【问题提出】如图①，在△ABC中，若AB＝8，AC＝4，求BC边上的中线AD的取值范围．【问题解决】解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E，使DE＝AD，再连结BE（或将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD），把AB、AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断．由此得出中线AD的取值范围是．【应用】如图②，在△ABC中，D为边BC的中点、已知AB＝10，AC＝6，AD＝4，求BC的长．【拓展】如图③，在△ABC中，∠A＝90°，点D是边BC的中点，点E在边AB上，过点D作DF⊥DE交边AC于点F，连结EF．已知BE＝5，CF＝6，则EF的长为．19．（2022•伊川县模拟）已知△ACB和△EDB均为直角三角形，∠ACB＝∠EDB＝90°，直线AE与直线CD交于点M．（1）观察猜想如图①，当∠ABC＝∠EBD＝45°时，线段AE和CD的数量关系是；∠AMC＝°．（2）探究证明如图②，当∠ABC＝∠EBD＝30°时，线段AE和CD的数量关系是什么？∠AMC的度数又是多少？请说明理由．（3）拓展延伸在（2）的条件下，若BC＝9，BD＝6，将△EDB绕点B旋转，在整个旋转过程中，当A、E、D三点共线时，请直接写出点C到直线AE的距离．20．（2022•息烽县二模）（1）问题发现：如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，当△DCE旋转至点A，D，E在同一直线上，连接BE，易证△BCE≌△ACD．则①∠BEC＝°；②线段AD、BE之间的数量关系是．（2）拓展研究：如图2，△ACB和△DCE均为等腰三角形，且∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同一直线上，若AE＝15，DE＝7，求AB的长度．（3）探究发现：如图3，P为等边△ABC内一点，且∠APC＝150°，且∠APD＝30°，AP＝5，CP＝4，DP＝8，求BD的长．21．（2021•东莞市校级二模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l经过点A，E为直线l上一点，将△ACE绕点C顺时针旋转90°至△BCE'的位置，且点E'恰好在直线l上．（1）求证：∠AE'B＝90°且E'C平分∠AE'B；（2）若AE'＝CE'＝2+，求证：△ACE≌△OAE'；（3）在（2）的条件下，求S△ABC．22．（2021•东港区校级一模）在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝α，点P是平面内不与A，C重合的任意一点，连接AP，将线段AP绕点P逆时针旋转α得到线段DP，连接AD，BD，CP．（1）观察猜想如图1，当α＝60°时，的值是，直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是．（2）类比探究如图2，当α＝90°时，请写出的值及直线BD与直线CP相交所成的小角的度数，并就图2的情形说明理由．（3）解决问题当α＝90°时，若点E，F分别是CA，CB的中点，点P在直线EF上，请直接写出点C，P，D在同一直线上时的值．23．（2022•立山区一模）在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°，点D是BC上一点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°，得到线段AE，连接DE．（1）如图①，当点E落在边BA的延长线上时，∠EDC＝90度（直接填空）；（2）如图②，当点E落在边AC上时，求证：BD＝EC；（3）当AB＝2，且点E到AC的距离EH＝﹣1时，直接写出AH的值．24．（2021•河北区模拟）在平面直角坐标系中，O为原点，点A（3，0），点B（0，4），把△ABO绕点B逆时针旋转，得△A'BO′．点A，O旋转后的对应点为A'，O'，记旋转角为α．（Ⅰ）如图①，若α＝90°，求AA'的长；（Ⅱ）如图②．若α＝45°，求点O'的坐标；（Ⅲ）若M为AB边上的一动点，在OB上取一点N（0，1），将△ABO绕点B逆时针旋转一周，求MN的取值范围（直接写出结果即可）．25．（2021•金东区校级模拟）【问题探索】如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D、E分别在AC、BC边上，DC＝EC，连接DE、AE、BD，点M、N、P分别是AE、BD、AB的中点，连接PM、PN、MN．探索BE与MN的数量关系．聪明的小华推理发现PM与PN的关系为，最后推理得到BE与MN的数量关系为．【深入探究】将△DEC绕点C逆时针旋转到如图2的位置，判断（1）中的BE与MN的数量关系是否仍然成立，如果成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由；【解决问题】若CB＝8，CE＝2，在将图1中的△DEC绕点C逆时针旋转一周的过程中，当B、E、D三点在一条直线上时，求MN的长度．冲刺高分必刷专题14三角形和旋转综合压轴挑战突破1．（2022•菏泽）如图1，在△ABC中，∠ABC＝45°，AD⊥BC于点D，在DA上取点E，使DE＝DC，连接BE、CE．（1）直接写出CE与AB的位置关系；（2）如图2，将△BED绕点D旋转，得到△B′E′D（点B′、E′分别与点B、E对应），连接CE′、AB′，在△BED旋转的过程中CE′与AB′的位置关系与（1）中的CE与AB的位置关系是否一致？请说明理由；（3）如图3，当△BED绕点D顺时针旋转30°时，射线CE′与AD、AB′分别交于点G、F，若CG＝FG，DC＝，求AB′的长．【解答】解：（1）如图1，延长CE交AB于H，∵∠ABC＝45°，AD⊥BC，∴∠ADC＝∠ADB＝90°，∠ABC＝∠DAB＝45°，∵DE＝CD，∴∠DCE＝∠DEC＝∠AEH＝45°，∴∠BHC＝∠BAD+∠AEH＝90°，∴CE⊥AB；（2）在△BED旋转的过程中CE′与AB′的位置关系与（1）中的CE与AB的位置关系是一致，理由如下：如图2，延长CE'交AB'于H，由旋转可得：CD＝DE'，B'D＝AD，∵∠ADC＝∠ADB＝90°，∴∠CDE'＝∠ADB'，又∵＝1，∴△ADB'∽△CDE'，∴∠DAB'＝∠DCE'，∵∠DCE'+∠DGC＝90°，∴∠DAB'+∠AGH＝90°，∴∠AHC＝90°，∴CE'⊥AB'；（3）如图3，过点D作DH⊥AB'于点H，∵△BED绕点D顺时针旋转30°，∴∠BDB'＝30°，B'D＝BD＝AD，∴∠ADB'＝120°，∠DAB'＝∠AB'D＝30°，∵DH⊥AB'，∴AD＝2DH，AH＝DH＝B'H，∴AB'＝AD，由（2）可知：△ADB'∽△CDE'，∴∠DCE'＝∠DAB'＝30°，∵AD⊥BC，CD＝，∴DG＝1，CG＝2DG＝2，∴CG＝FG＝2，∵∠DAB'＝30°，CE'⊥AB'，∴AG＝2GF＝4，∴AD＝AG+DG＝4+1＝5，∴AB'＝AD＝5．2．（2022•潍坊）【情境再现】甲、乙两个含45°角的直角三角尺如图①放置，甲的直角顶点放在乙斜边上的高的垂足O处．将甲绕点O顺时针旋转一个锐角到图②位置．小莹用作图软件Geogebra按图②作出示意图，并连接AG，BH，如图③所示，AB交HO于E，AC交OG于F，通过证明△OBE≌△OAF，可得OE＝OF．请你证明：AG＝BH．【迁移应用】延长GA分别交HO，HB所在直线于点P，D，如图④，猜想并证明DG与BH的位置关系．【拓展延伸】小亮将图②中的甲、乙换成含30°角的直角三角尺如图⑤，按图⑤作出示意图，并连接HB，AG，如图⑥所示，其他条件不变，请你猜想并证明AG与BH的数量关系．【解答】【情境再现】证明：由阅读材料知△OBE≌△OAF，∴BE＝AF，OE＝OF，∠BEO＝∠AFO，∴∠BEH＝∠AFG，∵OH＝OG，∴OH﹣OE＝OG﹣OF，即EH＝GF，在△BHE和△AGF中，，∴△BHE≌△AGF（SAS），∴BH＝AG；【迁移应用】解：猜想：DG⊥BH；证明如下：由【情境再现】知：△BHE≌△AGF，∴∠BHE＝∠AGF，∵∠HOG＝90°，∴∠AGF+∠GPO＝90°，∴∠BHE+∠GPO＝90°，∵∠GPO＝∠HPD，∴∠BHE+∠HPD＝90°，∴∠HDP＝90°，∴DG⊥BH；【拓展延伸】解：猜想：BH＝AG，证明如下：设AB交OH于T，OG交AC于K，如图：由已知得：△ABC，△HOG是含30°角的直角三角形，AO⊥BC，∴∠AOB＝90°，∴OB＝AO，∠OBA＝∠OAC＝30°，∠BOT＝90°﹣∠AOT＝∠AOK，∴△BOT∽△AOK，∴＝＝＝，∠BTO＝∠AKO，∴OT＝OK，BT＝AK，∠BTH＝∠AKG，∵OH＝GO，∴HT＝OH﹣OT＝GO﹣OK＝（GO﹣OK）＝KG，∴＝＝，∴△BTH∽△AKG，∴＝＝，∴BH＝AG．3．（2022•青岛）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到△ADE，连接CD．点P从点B出发，沿BA方向匀速运动、速度为1cm/s；同时，点Q从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为1cm/s．PQ交AC于点F，连接CP，EQ，设运动时间为t（s）（0＜t＜5）．解答下列问题：（1）当EQ⊥AD时，求t的值；（2）设四边形PCDQ的面积为S（cm2），求S与t之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t，使PQ∥CD？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）如图：在Rt△ABC中，AC＝＝＝4，∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到△ADE，∴AD＝AB＝5，DE＝BC＝3，AE＝AC＝4，∠AED＝∠ACB＝90°，∵EQ⊥AD，∴∠AQE＝∠AED＝90°，∵∠EAQ＝∠DAE，∴△AQE∽△AED，∴＝，即＝，∴AQ＝，∴t＝＝；答：t的值为；（2）过P作PN⊥BC于N，过C作CM⊥AD于M，如图：∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到△ADE，∴∠BAD＝90°，即∠BAC+∠CAM＝90°，∵∠B+∠BAC＝90°，∴∠B＝∠CAM，∵∠ACB＝90°＝∠AMC，∴△ABC∽△CAM，∴＝，即＝，∴CM＝，∴S△ACD＝AD•CM＝×5×＝8，∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD＝×3×4+8＝14，∵∠PBN＝∠ABC，∠PNB＝90°＝∠ACB，∴△PBN∽△ABC，∴＝，即＝，∴PN＝t，∴S△BCP＝BC•PN＝×3×t＝t，∴S＝S四边形ABCD﹣S△BCP﹣S△APQ＝14﹣t﹣（5﹣t）•t＝t2﹣t+14；答：S与t之间的函数关系式是S＝t2﹣t+14；（3）存在某一时刻t，使PQ∥CD，理由如下：过C作CM⊥AD于M，如图：由（2）知CM＝，∴AM＝＝＝，∴DM＝AD﹣AM＝5﹣＝，∵PQ∥CD，∴∠AQP＝∠MDC，∵∠PAQ＝∠CMD＝90°，∴△APQ∽△MCD，∴＝，即＝，解得t＝，答：存在时刻t＝，使PQ∥CD．4．（2022•黑龙江）△ABC和△ADE都是等边三角形．（1）将△ADE绕点A旋转到图①的位置时，连接BD，CE并延长相交于点P（点P与点A重合），有PA+PB＝PC（或PA+PC＝PB）成立（不需证明）；（2）将△ADE绕点A旋转到图②的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？并加以证明；（3）将△ADE绕点A旋转到图③的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明．【解答】解：（2）PB＝PA+PC，理由如下：如图②，在BP上截取BF＝PC，连接AF，∵△ABC、△ADE都是等边三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，∴∠BAC+∠CAD＝∠CAD+∠DAE，即∠DAB＝∠EAC，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，∵AB＝AC，BF＝CP，∴△BAF≌△CAP（SAS），∴AF＝AP，∠BAF＝∠CAP，∴∠BAC＝∠PAF＝60°，∴△AFP是等边三角形，∴PF＝PA，∴PB＝BF+PF＝PC+PA；（3）PC＝PA+PB，理由如下：如图③，在PC上截取CM＝PB，连接AM，同理得：△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，∵AB＝AC，PB＝CM，∴△AMC≌△APB（SAS），∴AM＝AP，∠BAP＝∠CAM，∴∠BAC＝∠PAM＝60°，∴△AMP是等边三角形，∴PM＝PA，∴PC＝PM+CM＝PA+PB．5．（2022•岳阳）如图，△ABC和△DBE的顶点B重合，∠ABC＝∠DBE＝90°，∠BAC＝∠BDE＝30°，BC＝3，BE＝2．（1）特例发现：如图1，当点D，E分别在AB，BC上时，可以得出结论：＝，直线AD与直线CE的位置关系是垂直；（2）探究证明：如图2，将图1中的△DBE绕点B顺时针旋转，使点D恰好落在线段AC上，连接EC，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）拓展运用：如图3，将图1中的△DBE绕点B顺时针旋转α（19°＜α＜60°），连接AD、EC，它们的延长线交于点F，当DF＝BE时，求tan（60°﹣α）的值．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝3，∠A＝30°，∴AB＝BC＝3，在Rt△BDE中，∠BDE＝30°，BE＝2，∴BD＝BE＝2，∴EC＝1，AD＝，∴＝，此时AD⊥EC，故答案为：，垂直；（2）结论成立．理由：∵∠ABC＝∠DBE＝90°，∴∠ABD＝∠CBE，∵AB＝BC，BD＝BE，∴＝，∴△ABD∽△CBE，∴＝＝，∠ADB＝∠BEC，∵∠ADB+∠CDB＝180°，∴∠CDB+∠BEC＝180°，∴∠DBE+∠DCE＝180°，∵∠DBE＝90°，∴∠DCE＝90°，∴AD⊥EC；（3）如图3中，过点B作BJ⊥AC于点J，设BD交AK于点K，过点K作KT⊥AC于点T．∵∠AJB＝90°，∠BAC＝30°，∴∠ABJ＝60°，∴∠KBJ＝60°﹣α．∵AB＝3，∴BJ＝AB＝，AJ＝BJ＝，当DF＝BE时，四边形BEFD是矩形（由∠DBE＝90°，∠F＝90，取DE中点，证明BDFE四点共圆，再由BE＝DF推得弧等，从而圆周角∠DEF＝∠BDE＝30°，则∠BEF＝90°，由3个直角得矩形），∴∠ADB＝90°，AD＝＝＝，设KT＝m，则AT＝m，AK＝2m，∵∠KTB＝∠ADB＝90°，∴tanα＝＝，∴＝，∴BT＝m，∴m+m＝3，∴m＝，∴AK＝2m＝，∴KJ＝AJ﹣AK＝﹣＝，∴tan（60°﹣α）＝＝．解法二：证明∠CAF＝60°﹣α，通过tan（60°﹣α）＝求解即可．6．（2022•湘潭）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线l经过点A，过点B、C分别作l的垂线，垂足分别为点D、E．（1）特例体验：如图①，若直线l∥BC，AB＝AC＝，分别求出线段BD、CE和DE的长；（2）规律探究：（Ⅰ）如图②，若直线l从图①状态开始绕点A旋转α（0＜α＜45°），请探究线段BD、CE和DE的数量关系并说明理由；（Ⅱ）如图③，若直线l从图①状态开始绕点A顺时针旋转α（45°＜α＜90°），与线段BC相交于点H，请再探线段BD、CE和DE的数量关系并说明理由；（3）尝试应用：在图③中，延长线段BD交线段AC于点F，若CE＝3，DE＝1，求S△BFC．【解答】解：（1）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∵l∥BC，∴∠DAB＝∠ABC＝45°，∠CAE＝∠ACB＝45°，∴∠DAB＝∠ABD＝45°，∠EAC＝∠ACE＝45°，∴AD＝BD，AE＝CE，∵AB＝AC＝，∴AD＝BD＝AE＝CE＝1，∴DE＝2；（2）（Ⅰ）DE＝BD+CE．理由如下：在Rt△ADB中，∠ABD+∠BAD＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠BAD+∠CAE＝90°，∴∠ABD＝∠CAE，在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（AAS）；∴CE＝AD，BD＝AE，∴DE＝AE+AD＝BD+CE．（Ⅱ）DE＝BD﹣CE．理由如下：在Rt△ADB中，∠ABD+∠BAD＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠BAD+∠CAE＝90°，∴∠ABD＝∠CAE，在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（AAS）；∴CE＝AD，BD＝AE，∴DE＝AE﹣AD＝BD﹣CE．（3）由（2）可知，∠ABD＝∠CAE，DE＝AE﹣AD＝BD﹣CE∵∠BAC＝∠ADB＝90°，∴△ABD∽△FBA，∴AB：FB＝BD：AB，∵CE＝3，DE＝1，∴AE＝BD＝4，∴AB＝5．∴BF＝．∴S△BFC＝S△ABC﹣S△ABF＝×52﹣×3×＝．7．（2022•达州）某校一数学兴趣小组在一次合作探究活动中，将两块大小不同的等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形CDE，按如图1的方式摆放，∠ACB＝∠ECD＝90°，随后保持△ABC不动，将△CDE绕点C按逆时针方向旋转α（0°＜α＜90°），连接AE，BD，延长BD交AE于点F，连接CF．该数学兴趣小组进行如下探究，请你帮忙解答：【初步探究】（1）如图2，当ED∥BC时，则α＝45°；（2）如图3，当点E，F重合时，请直接写出AF，BF，CF之间的数量关系：BF＝AF+CF；【深入探究】（3）如图4，当点E，F不重合时，（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出推理过程；若不成立，请说明理由．【拓展延伸】（4）如图5，在△ABC与△CDE中，∠ACB＝∠DCE＝90°，若BC＝mAC，CD＝mCE（m为常数）．保持△ABC不动，将△CDE绕点C按逆时针方向旋转α（0°＜α＜90°），连接AE，BD，延长BD交AE于点F，连接CF，如图6．试探究AF，BF，CF之间的数量关系，并说明理由．【解答】解：（1）∵△CED是等腰直角三角形，∴∠CDE＝45°，∵ED∥BC，∴∠BCD＝∠CDE＝45°，即α＝45°，故答案为：45°；（2）BF＝AF+CF，理由如下：如图3，∵△ABC和△CDE是等腰直角三角形，∴∠DCE＝∠ACB，AC＝BC，CD＝CE，DF＝CF，∴∠ACE＝∠BCD，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴AF＝BD，∵BF＝DF+BD，∴BF＝AF+CF；故答案为：BF＝AF+CF；（3）如图4，当点E，F不重合时，（2）中的结论仍然成立，理由如下：由（2）知，△ACE≌△BCD（SAS），∴∠CAF＝∠CBD，过点C作CG⊥CF交BF于点G，∵∠ACF+∠ACG＝90°，∠ACG+∠GCB＝90°，∴∠ACF＝∠BCG，∵∠CAF＝∠CBG，BC＝AC，∴△BCG≌△ACF（ASA），∴GC＝FC，BG＝AF，∴△GCF为等腰直角三角形，∴GF＝CF，∴BF＝BG+GF＝AF+CF；（4）BF＝mAF+•FC．理由如下：由（2）知，∠ACE＝∠BCD，而BC＝mAC，CD＝mEC，即＝＝m，∴△BCD∽△ACE，∴∠CBD＝∠CAE，过点C作CG⊥CF交BF于点G，如图6所示：由（3）知，∠BCG＝∠ACF，∴△BGC∽△AFC，∴＝＝＝m，∴BG＝mAF，GC＝mFC，在Rt△CGF中，GF＝＝＝•CF，∴BF＝BG+GF＝mAF+•FC．8．（2021•锦州）在△ABC中，AC＝AB，∠BAC＝α，D为线段AB上的动点，连接DC，将DC绕点D顺时针旋转α得到DE，连接CE，BE．（1）如图1，当α＝60°时，求证：△CAD≌△CBE；（2）如图2，当tanα＝时，①探究AD和BE之间的数量关系，并说明理由；②若AC＝5，H是BC上一点，在点D移动过程中，CE+EH是否存在最小值？若存在，请直接写出CE+EH的最小值；若不存在，请说明理由．【解答】（1）证明：如图1中，∵α＝60°，AC＝AB，∴△ABC是等边三角形，∴CA＝CB，∠ACB＝60°，∵将DC绕点D顺时针旋转α得到DE，∴DC＝DE，∠CDE＝60°，∴△CDE是等边三角形，∴CD＝CE，∠DCE＝∠ACB＝60°，∴∠ACD＝∠BCE，∴△CAD≌△CBE（SAS）．（2）解：①结论：＝．如图2中，过点C作CK⊥AB于K．∵tan∠CAK＝＝，∴可以假设CK＝3k，AK＝4k，则AC＝AB＝5k，BK＝AB﹣AK＝k，∴BC＝＝k，∵∠A＝∠CDE，AC＝AB，CD＝DE，∴∠ACB＝∠ABC＝∠DCE＝∠DEC，∴△ACB∽△DCE，∴＝，∴＝，∵∠ACB＝∠DCE，∴∠ACD＝∠BCE，∴△ACD∽△BCE，∴＝＝＝．②如图2中，过点C作CJ⊥BE交BE的延长线于J．作点C关于BE的对称点R，连接BR，ER，过点R作RT⊥BC于T．∵AC＝5，由①可知，AK＝4，CK＝3，BC＝，∵△CAD∽△BCE，CK⊥AD，CJ⊥BE，∴＝＝（全等三角形对应边上的高的比等于相似比），∴CJ＝，∴点E的运动轨迹是线段BE，∵C，R关于BE对称，∴CR＝2CJ＝，∵BJ＝＝＝，∵S△CBR＝•CR•BJ＝•CB•RT，∴RT＝＝，∵EC+EH＝ER+EH≥RT，∴EC+EH≥，∴EC+EH的最小值为．9．（2021•郴州）如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，点E，F分别为AB，AC的中点，H为线段EF上一动点（不与点E，F重合），将线段AH绕点A逆时针方向旋转90°得到AG，连接GC，HB．（1）证明：△AHB≌△AGC；（2）如图2，连接GF，HG，HG交AF于点Q．①证明：在点H的运动过程中，总有∠HFG＝90°；②若AB＝AC＝4，当EH的长度为多少时△AQG为等腰三角形？【解答】（1）证明：如图1，由旋转得：AH＝AG，∠HAG＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠BAH＝∠CAG，∵AB＝AC，∴△ABH≌△ACG（SAS）；（2）①证明：如图2，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∵点E，F分别为AB，AC的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴EF∥BC，AE＝AB，AF＝AC，∴AE＝AF，∠AEF＝∠ABC＝45°，∠AFE＝∠ACB＝45°，∵∠EAH＝∠FAG，AH＝AG，∴△AEH≌△AFG（SAS），∴∠AFG＝∠AEH＝45°，∴∠HFG＝45°+45°＝90°；②分两种情况：i）如图3，AQ＝QG时，∵AQ＝QG，∴∠QAG＝∠AGQ，∵∠HAG＝∠HAQ+∠QAG＝∠AHG+∠AGH＝90°，∴∠QAH＝∠AHQ，∴AQ＝QH＝QG，∵AH＝AG，∴AQ⊥GH，∵∠AFG＝∠AFH＝45°，∴∠FGQ＝∠FHQ＝45°，∴∠HFG＝∠AGF＝∠AHF＝90°，∴四边形AHFG是正方形，∵AC＝4，∴AF＝2，∴FG＝EH＝，∴当EH的长度为时，△AQG为等腰三角形；ii）如图4，当AG＝QG时，∠GAQ＝∠AQG，∵∠AEH＝∠AGQ＝45°，∠EAH＝∠GAQ，∴∠AHE＝∠AQG＝∠EAH，∴EH＝AE＝2，∴当EH的长度为2时，△AQG为等腰三角形；综上，当EH的长度为或2时，△AQG为等腰三角形．10．（2020•甘孜州）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，点D落在线段AB上，连接BE．（1）求证：DC平分∠ADE；（2）试判断BE与AB的位置关系，并说明理由；（3）若BE＝BD，求tan∠ABC的值．【解答】（1）证明：∵△DCE是由△ACB旋转得到，∴CA＝CD，∠A＝∠CDE∴∠A＝∠CDA，∴∠CDA＝∠CDE，∴CD平分∠ADE．（2）解：结论：BE⊥AB．由旋转的性质可知，∠DBC＝∠CED，∴D，C，E，B四点共圆，∴∠DCE+∠DBE＝180°，∵∠DCE＝90°，∴∠DBE＝90°，∴BE⊥AB．（3）如图，设BC交DE于O．连接AO．∵BD＝BE，∠DBE＝90°，∴∠DEB＝∠BDE＝45°，∵C，E，B，D四点共圆，∴∠DCO＝∠DEB＝45°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＝∠OCD，∵CD＝CD，∠ADC＝∠ODC，∴△ACD≌△OCD（ASA），∴AC＝OC，∴∠AOC＝∠CAO＝45°，∵∠ADO＝135°，∴∠CAD＝∠ADC＝67.5°，∴∠ABC＝22.5°，∵∠AOC＝∠OAB+∠ABO，∴∠OAB＝∠ABO＝22.5°，∴OA＝OB，设AC＝OC＝m，则AO＝OB＝m，∴tan∠ABC＝＝＝﹣1．11．（2022•清丰县校级三模）如图，△ABC中，CA＝CB、∠ACB＝α，过点B作直线l∥AC，D为线段AB上一动点，连接CD，将射线DC绕点D顺时针旋转α，交直线l于点E．（1）如图1，当α＝90°时，线段CD和ED的数量关系是CD＝ED．（2）如图2，当0°＜α＜180°时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请仅就图2的情形给出证明；若不成立，请说明理由．（3）若α＝120°，AC＝，当△DEB为直角三角形时，请直接写出线段DE的长．【解答】解：（1）如图1，连接CE，∵AC∥BE，∠ACB＝90°，∴∠CBE＝180°﹣∠ACB＝90°，∠ABE＝∠A，∵∠CDE＝90°，∴∠CDE+∠CBE＝180°，∴点C、D、E、B共圆，∴∠DCE＝∠ABE，∠CED＝∠ABC，∴∠DCE＝∠CED，∴CD＝ED，故答案为：CE＝ED；（2）如图2，（1）中结论仍然成立，理由如下：连接CE，∵l∥AC，∴∠CBE＝∠ACB＝α，∠ABF＝∠A，∵∠∠CDE＝α，∴∠CDE＝∠CBE，∴点C、D、B、E共圆，∴∠CED＝∠ABC，∠ABF＝∠DCE，∵AC＝∠CB，∴∠A＝∠ABC，∴∠DCE＝∠CED，∴CD＝DE；（3）如图3，当∠DEC＝90°时，∵AB＝CB＝，∴∠A＝∠ABC＝＝30°，∵l∥AC，∴∠ABE＝∠A＝30°，∴∠BDE＝90°﹣∠ABE＝60°，∴∠CDB＝∠CDE﹣∠BDE＝120°﹣60°＝60，∴∠ABC+∠CDB＝90°，∴CD＝BC•tan∠ABC＝•tan30°＝1，∴DE＝CD＝1，如图4，当∠BAE＝90°时，点D与点A重合，DE＝AC＝，综上所述：DE＝1或．12．（2022•武进区校级一模）在平面直角坐标系中，O为原点，点A（4，0），点B（0，3），（Ⅰ）连接AB，若把线段AB绕点B逆时针旋转90°，则得线段A0B，请在图①中用无刻度的直尺和圆规作出点A的对应点A0（不写作法，保留作图痕迹），直接写出点A0的坐标；（Ⅱ）若把△ABO绕点B逆时针旋转120°，得△A′BO′，点A，O旋转后的对应点分别为A′，O′，如图②，求点O′和点A′的坐标；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，边OA上的一点P旋转后的对应点为P′，求P′B+BA+AP的最小值．【解答】解：（1）如图①所示，点A0为所求点，过点A0作A0D⊥y轴于D，∴∠A0DB＝90°＝∠AOB，∵点A（4，0），点B（0，3），∴OA＝4，BO＝3，∵把线段AB绕点B逆时针旋转90°，∴∠A0BA＝90°＝∠AOB，A0B＝AB，∴∠ABO+∠OAB＝90°＝∠ABO+∠A0BD，∴∠A0BD＝∠OAB，∴△A0BD≌△BAO（AAS），∴BD＝AO＝4，A0D＝BO＝3，∴点A0（3，7）；（2）如图②，过点O'作O'H⊥y轴于H，过点A'作A'E⊥O'H于E，∵把△ABO绕点B逆时针旋转120°，得△A′BO′，∴BO＝BO'＝3，∠OBO'＝120°，A'O＝AO＝4，∠AOB＝∠A'O'B＝90°，∴∠O'BH＝60°，∴∠BO'H＝30°，∴BH＝，O'H＝BH＝，∴OH＝，∴点O'（，），∵∠A'O'E＝90°﹣∠BO'H＝60°，∴∠O'AE'＝30°，∴EO'＝A'O'＝2，A'E＝EO'＝2，∴HE＝﹣2，∴点A'（﹣2，+2）；（3）如图③，过点P作PC⊥AB于C，∵OA＝4，BO＝3，∴AB＝＝＝5，∴sin∠BAO＝＝＝，∴PC＝AP，∵旋转，∴BP'＝BP，∴P′B+BA+AP＝BP+5+PC，作点B关于x轴的对称点B'，过点B'作B'C'⊥AB于C'，交x轴于P''，此时BP+PC的最小值为B'C'的长，∴BO＝B'O＝3，∴BB'＝6，∵sin∠ABO＝＝，∴B'C'＝，∴P′B+BA+AP的最小值为5+＝．13．（2022•东丽区二模）在平面直角坐标系中，O为原点，点A（8，0），点B（0，6），把△ABO绕点A顺时针旋转，得△AB'O'，点B，O旋转后的对应点为B'，O'，记旋转角为α．（Ⅰ）如图①，若α＝90°，求BB'的长；（Ⅱ）如图②，若α＝120°，求点O'的坐标；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，边OB上有一点P，旋转后的对应点为P'，当AP'+O'P取得最小值时，求点P的坐标．（直接写出结果即可）【解答】解：（Ⅰ）∵A（8，0），B（0，6），∴OA＝8，OB＝6，∴AB＝＝＝10，由旋转知，BA＝B'A，∠BAB'＝90°，∴△ABB'是等腰直角三角形，∴BB'＝AB＝10；（Ⅱ）如图2过点O'作O'H⊥x轴于H，由旋转知，O'A＝OA＝8，∠OAO'＝120°，∴∠HAO'＝60°，在Rt△AHO'中，∠HAO'＝60°，∴AH＝AO'＝4，O'H＝AH＝4，∴OH＝OA+AH＝12，∴O'（12，4）；（Ⅲ）由旋转知，AP＝AP'，∴O'P+AP'＝O'P+AP，如图3，作A关于y轴的对称点，连接O'C交y轴于P，∴O'P+AP＝O'P+CP＝O'C，此时，O'P+AP的值最小，∵点C与点A关于y轴对称，∴C（﹣，08），∵O'（12，4），∴直线O'C的解析式为y＝x+，令x＝0，∴y＝，∴P（0，），∴O'P'＝OP＝，作P'D⊥O'H于D，∵∠B'O'A＝∠BOA＝90°，∠AO'H＝30°，∴∠DP'O'＝30°，∴O'D＝O'P'＝，P'D＝O'D＝，∴DH＝O'H﹣O'D＝，O'H+P'D＝，∴P'（，），14．（2022•湖北模拟）在Rt△AOB和Rt△COD中，∠AOB＝∠COD＝90°，直线AC与BD交于点M．（1）如图1，若∠OAB＝∠OCD＝45°，求的值；（2）如图2，若∠OAB＝∠OCD＝α，求的值（用含α的式子表示）；（3）若∠OAB＝∠OCD＝30°，OD＝2，OB＝4，将三角形OCD绕着点O在平面内旋转，直接写出当点A、C、D在同一直线上时，线段BD的长．【解答】解：（1）在△AOB中，∠AOB＝90°，∠OAB＝45°，∴∠OBA＝90°﹣∠OAB＝45°＝∠OAB，∴OA＝OB，同理：OC＝OD，∵∠AOB＝∠COD＝90°，∴∠AOB+∠AOD＝∠COD+∠AOD，∴∠AOC＝∠BOD，∴△AOC≌△BOD（SAS），∴AC＝BD，∴＝1；（2）在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，∠OAB＝α，∴tanα＝，在Rt△COD中，∠COD＝90°，∠OCD＝α，∴tanα＝，∴＝，∵∠AOB＝∠COD＝90°，∴∠COD+∠AOD＝∠AOB+∠AOD，∴∠AOC＝∠BOD，∴△BOD∽△AOC，∴＝＝tanα，即＝tanα；（3）﹣或+，理由：同（2）的方法知，△BOD∽△AOC，＝tan30°＝，∴∠ACO＝∠BDO，∴∠ADB＝∠COD＝90°，设BD＝x，则AC＝3x，在Rt△AOB中，∠OAB＝30°，OB＝4，∴AB＝2OB＝8，在Rt△COD中，∠OCD＝30°，OD＝2，∴CD＝2OD＝4，①当点C在线段AD上时，如图1，AD＝AC+CD＝3x+4，由（2）知，∠ADB＝90°，在Rt△ABD中，根据勾股定理得，AD2+BD2＝AB2，∴（3x+4）2+（x）2＝64，∴x＝﹣﹣1（舍）或x＝﹣1，∴BD＝x＝﹣；②当点D在线段AC上时，如图2，AD＝AC﹣CD＝3x﹣4，在Rt△ABD中，根据勾股定理得，AD2+BD2＝AB2，∴（3x﹣4）2+（x）2＝64，∴x＝﹣+1（舍）或x＝+1；∴BD＝x＝+，即线段BD的长为﹣或+．15．（2022•六盘水模拟）[问题提出]如图1，在△ABC中，每个内角都小于120°，在△ABC内有一点P，请确定点P的位置，使PA+PB+PC最小．（1）[问题解决]如图2，把△CAP绕点C顺时针旋转60°得到△CED，连接PD和AE，当点B，P，D，E四点共线时，PA+PB+PC的最小值即为线段BE的长，此时∠APB＝120度；（2）[问题拓展]如图3，在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点P是△ABC内一点，若∠APC＝135°，PA＝2，PC＝1，求PB的长；（3）[实际应用]如图4，△ABC是A，B，C三座城市位置的平面示意图，要在△ABC内规划建设一个物流基地（用点P表示），连接PA，PB，PC，并使PA+PB+PC最小；经测量：AC＝40km，BC＝30km，∠ACB＝60°，求PA+PB+PC的最小值．【解答】解：（1）∵把△CAP绕点C顺时针旋转60°得到△CED，∴∠PCD＝60°，CP＝CD，∴△PCD为等边三角形，∴∠CPD＝∠CDP＝60°，∠CDE＝∠APC＝∠BPC＝180°﹣60°＝120°，∴∠APB＝360°﹣∠APC﹣∠BPC＝120°，∴∠APB＝120°，故答案为：120；（2）如图，将△APC绕点A顺时针旋转90°得到△ABP'，∴AP＝AP'，BP'＝PC，∵AB＝AC，∠PAP'＝∠BAC＝90°，∴△PAP'为等腰直角三角形，∴∠AP'P＝45°，又∵∠APC＝135°，∴∠BP'P＝∠APC﹣∠AP'P＝90°，∵PA＝2，PC＝1，∴P'A＝PA＝2，P'B＝PC＝1，∴PP'＝＝2，∴PB＝＝3，∴PB的长为3；（3）如图，将△APC绕点C顺时针旋转60°得到△EDC，连接PD，BE，过点E作EH⊥BC交BC的延长线于H，∴∠ACP＝∠ECD，EC＝AC＝40km，∵∠PCD＝60°，∠ACP+∠PCB＝∠ACB＝60°，∴∠BCE＝∠ECD+∠PCB+∠PCD＝120°，∴∠ECH＝60°，又∵EH⊥CH，∴∠CHE＝90°，∴CH＝km，EH＝CH＝20km，又∵BH＝BC+CH＝50km，∴BE＝＝10km，∵PA+PB+PC≥10km，∴PA+PB+PC的最小值为10km．16．（2022•西青区一模）在平面直角坐标系中，点A（2，0），点B（0，2）分别是坐标轴上的点，连接AB．把△ABO绕点B逆时针旋转得△A′BO′．点A，O旋转后的对应点为点A′，O′．记旋转角为α．（Ⅰ）如图①，当点O′落在AB边上时，求α的值和点O′的坐标：（Ⅱ）如图②，当α＝60°时，求AA′的长和点O′的坐标：（Ⅲ）连接AO′，直接写出在旋转过程中△AO′A′面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）如图1，过点O'作O'D⊥OB于D，∵B（0，2），A（2，0），∴OB＝OA＝2，∴△AOB是等腰直角三角形∴∠ABO＝45°∴△BDO'是等腰直角三角形由旋转的性质可知，α＝45°，BO＝BO′＝2，∴BD＝O'D＝∴O′（，2﹣）；（Ⅱ）如图2，过点O′作O′H⊥OB于点H，在Rt△O′BH中，∵O'B＝2，∠OBO'＝60°，∴∠HO'B＝30°，∴BH＝O'B＝1，O'H＝，∴O′（，1）；由旋转得：∠ABA'＝60°，AB＝A'B，∴△ABA'是等边三角形，∴AA'＝AB＝2；（Ⅲ）如图3，过点A作AG⊥A'O'于G，∵△AO′A′面积＝•A'O'•AG，∵A'O'＝2是定值，∴在旋转过程中当AG最大时，△AO′A′面积最大，如图4，当AO'过点B时最大，此时AO'＝2+2，∴△AO′A′面积＝•A'O'•AG＝×2×（2+2）＝2+2；答：在旋转过程中△AO′A′面积的最大值是2+2．17．（2022•历下区二模）如图1，Rt△ABC中，∠C＝90°，点E是AB边上一点，且点E不与A、B重合，ED⊥AC于点D．（1）当∠B＝30°时，①＝；②当△ADE绕点A旋转到如图2的位置时（60°＜∠CAD＜90°），上述结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（2）当∠B＝45°时，将△ADE绕点A旋转，使得∠DEB＝90°，若AC＝5，AD＝，请直接写出线段CD的长．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，∴∠A＝90°﹣∠B＝60°，①如图1，过点E作EH⊥BC于点H，则∠EHC＝∠EHB＝90°，∵ED⊥AC∴∠ADE＝∠CDE＝90°，∵∠C＝90°，∴四边形CDEH是矩形，∴EH＝CD，在Rt△BEH中，∠B＝30°，∴EH＝BE，∴CD＝BE，∴＝，故答案为：；②成立，理由如下：∵△ABC和△ADE都是直角三角形，∴∠BAC＝∠EAD＝60°，∴∠BAC+∠BAD＝∠EAD+∠BAD，即∠CAD＝∠BAE，由①可知，＝，＝，∴＝＝，∴△ACD∽△ABE，∴＝＝；（2）∵∠ACB＝90°，∠B＝45°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠ABC＝∠BAC＝∠DAE＝45°，∵ED⊥AD，∴∠AED＝∠BAC＝45°，∴AD＝DE，AC＝BC，将△ADE绕点A旋转∠DEB＝90°，分两种情况：①如图3，过A作AF⊥BE交BE的延长线于F，则∠F＝90°，当∠DEB＝90°时，∠ADE＝∠DEF＝90°，∴四边形ADEF是矩形，又∵AD＝DE，∴矩形ADEF是正方形，∴AD＝AF＝EF＝，∵BC＝AC＝5，∴AB＝＝＝5，在Rt△ABF中，BF＝＝＝3，∴BE＝BF﹣EF＝2，又∵△ABC和△ADE都是直角三角形，且∠BAC＝∠EAD＝45°，∴∠BAC﹣∠BAD＝∠EAD﹣∠BAD，即∠CAD＝∠BAE，∵＝，＝，∴＝，∴△ACD∽△ABE，∴＝＝，即＝，解得：CD＝；②如图4，过A作AF⊥BE于F，则∠AFE＝∠AFB＝90°，当∠DEB＝90°时，∠DEB＝∠ADE＝90°，∴四边形ADEF是矩形，又∵AD＝ED，∴矩形ADEF是正方形，∴AD＝EF＝AF＝，在Rt△ABF中，由勾股定理得：BF＝＝＝3，∴BE＝BF+EF＝4，同①得：△ACD∽△ABE，∴＝＝，即＝，解得：CD＝2；综上所述，线段CD的长为或2．18．（2022•南关区校级模拟）【问题提出】如图①，在△ABC中，若AB＝8，AC＝4，求BC边上的中线AD的取值范围．【问题解决】解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E，使DE＝AD，再连结BE（或将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD），把AB、AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断．由此得出中线AD的取值范围是2＜AD＜6．【应用】如图②，在△ABC中，D为边BC的中点、已知AB＝10，AC＝6，AD＝4，求BC的长．【拓展】如图③，在△ABC中，∠A＝90°，点D是边BC的中点，点E在边AB上，过点D作DF⊥DE交边AC于点F，连结EF．已知BE＝5，CF＝6，则EF的长为．【解答】解：【问题解决】在△DAC和△DEB中，，∴△DAC≌△DEB（SAS），∴AC＝EB＝4，∵AB﹣BE＜AE＜AB+BE，AB＝8，∴4＜AE＜12，∴2＜AD＜6，故答案为：2＜AD＜6；【应用】延长AD到E，使得AD＝DE，连接BE，如图②，在△DAC和△DEB中，，∴△DAC≌△DEB（SAS），∴AC＝EB＝6，∵AE＝2AD＝8，AB＝10，∵62+82＝102，∴BE2+AE2＝AB2，∴∠AEB＝90°，∴BD＝＝＝2，∴BC＝2BD＝4；【拓展】延长FD到G，使得DG＝FD，连接BG，EG，如图③，在△BDG和△CDF中，，∴△BDG≌△CDF（SAS），∴BG＝CF＝6，DG＝DF，∠DBG＝∠DCF，∵DE⊥DF，∴EG＝EF，∵∠A＝90°，∴∠ABC+∠ACB＝90°，∴∠ABC+∠DBG＝90°，∴EG＝＝＝，∴EF＝，故答案为：．19．（2022•伊川县模拟）已知△ACB和△EDB均为直角三角形，∠ACB＝∠EDB＝90°，直线AE与直线CD交于点M．（1）观察猜想如图①，当∠ABC＝∠EBD＝45°时，线段AE和CD的数量关系是AE＝CD；∠AMC＝45°．（2）探究证明如图②，当∠ABC＝∠EBD＝30°时，线段AE和CD的数量关系是什么？∠AMC的度数又是多少？请说明理由．（3）拓展延伸在（2）的条件下，若BC＝9，BD＝6，将△EDB绕点B旋转，在整个旋转过程中，当A、E、D三点共线时，请直接写出点C到直线AE的距离．【解答】解：（1）结论：AE＝CD，∠AMC＝45°．理由：如图①中，设AM交BC于点O．∵△ACB和△EDB均为直角三角形，∠ABC＝∠EBD＝45°，∴△ABC，△DEB都是等腰直角三角形，∴BC＝BC，BE＝BD，∴＝＝，∵∠ABC＝∠DBE＝45°，∴∠ABE＝∠CBD，∴△ABE∽△CBD，∴＝＝，∠BAE＝∠BCD，∴AE＝CD，∵∠AOB＝∠COM，∴∠AMC＝∠ABO＝45°，故答案为：AE＝CD，45．（2）结论：CD＝AE，∠AMC＝30°．理由：设AM交BC于点O．∵∠ACB＝∠EDB＝90°，∠ABC＝∠DBE＝30°，∴∠ABE＝∠CBD，∵＝＝cos30°＝，∴△CBD∽△ABE，∴＝＝，∠BAE＝∠BCD，∴CD＝AE，∵∠AOB＝∠COM，∴∠AMC＝∠ABO＝30°．（3）如图③﹣1中，点E在线段AD上时，设AD交BC于点J，过点J作JK⊥AB于K，过点C作CH⊥AD于H．在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，BC＝9，∴AC＝BC•tan30°＝3，∴AB＝6，在Rt△ADB中，AD＝＝＝6，∵tan∠DAB＝＝，∴＝，∵AK＝JK，设JK＝m，则BK＝m，AK＝m，∴m+m＝6，∴m＝18﹣6，∴JK＝18﹣6，BJ＝2JK＝36﹣12，∴CJ＝BC﹣BJ＝9﹣（36﹣12）＝12﹣27．∴AJ＝＝＝18（﹣），∵CH⊥AJ，∴CH＝＝＝．如图③﹣2中，当点D在线段AE上时，延长DA交BC的延长线于J，过点J作JK⊥AB交BA的延长线于点K，过点C作CH⊥DJ于点H．同法设JK＝m，则BK＝m，AK＝m，∴m﹣m＝6，∴m＝18+6，∴JK＝18+6，BJ＝2JK＝36+12，∴CJ＝BJ﹣BC＝27+12，∴AJ＝＝＝18（+），∵CH⊥AJ，∴CH＝＝＝，综上所述，点C到直线AE的距离为或．20．（2022•息烽县二模）（1）问题发现：如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，当△DCE旋转至点A，D，E在同一直线上，连接BE，易证△BCE≌△ACD．则①∠BEC＝120°；②线段AD、BE之间的数量关系是AD＝BE．（2）拓展研究：如图2，△ACB和△DCE均为等腰三角形，且∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同一直线上，若AE＝15，DE＝7，求AB的长度．（3）探究发现：如图3，P为等边△ABC内一点，且∠APC＝150°，且∠APD＝30°，AP＝5，CP＝4，DP＝8，求BD的长．【解答】解：（1）①∵△ACB和△DCE均为等边三角形，∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°．∴∠ACD＝∠BCE．在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS）．∴∠ADC＝∠BEC．∵△DCE为等边三角形，∴∠CDE＝∠CED＝60°．∵点A，D，E在同一直线上，∴∠ADC＝120°．∴∠BEC＝120°．故答案为：120．②由①得：△ACD≌△BCE，∴AD＝BE；故答案为：AD＝BE．（2）∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°．∴∠ACD＝∠BCE．在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS）．∴AD＝BE＝AE﹣DE＝15﹣7＝8，∠ADC＝∠BEC，∵△DCE为等腰直角三角形∴∠CDE＝∠CED＝45°．∵点A，D，E在同一直线上，∴∠ADC＝135°．∴∠BEC＝135°．∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝90°．∴AB＝＝＝17；（3）把△APC绕点C逆时针旋转60°得△BEC，连接PE，如图所示：则△BEC≌△APC，∴CE＝CP，∠PCE＝60°，BE＝AP＝5，∠BEC＝∠APC＝150°，∴△PCE是等边三角形，∴∠EPC＝∠PEC＝60°，PE＝CP＝4，∴∠BED＝∠BEC﹣∠PEC＝90°，∵∠APD＝30°，∴∠DPC＝150°﹣30°＝120°，又∵∠DPE＝∠DPC+∠EPC＝120°+60°＝180°，即D、P、E在同一条直线上，∴DE＝DP+PE＝8+4＝12，在Rt△BDE中，，即BD的长为13．21．（2021•东莞市校级二模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l经过点A，E为直线l上一点，将△ACE绕点C顺时针旋转90°至△BCE'的位置，且点E'恰好在直线l上．（1）求证：∠AE'B＝90°且E'C平分∠AE'B；（2）若AE'＝CE'＝2+，求证：△ACE≌△OAE'；（3）在（2）的条件下，求S△ABC．【解答】（1）证明：根据旋转的性质可得，CE＝CE′，∠ECE′＝90°，CA＝CB，∠ACB＝90°，∴∠E′EC＝EE′C＝45°＝∠CAB＝∠CBA，AE＝BE′，∴∠EAC＝∠E′BC，∠AEC＝∠BE′C＝45°，∠ECA＝∠E′CB，由旋转性质得，△ACE≌△BCE′，∴∠AE′C＝∠BE′C＝45°，∴∠AE′B＝90°且E'C平分∠AE'B；（2）证明：∵∠EAC＝∠E′BC，∴∠E′BC＝∠ABC+∠ABE′＝45°+∠ABE′，∵CE′B＝45°，∴∠E′BC＝45°+∠ABE＝∠CE′B+∠ABE′＝∠AOE′，∴∠EAC＝∠AOE′，在△ACE和△OAE′中，，∴△ACE≌△OAE′（AAS）；（3）解：在Rt△ECE′中，CE＝CE′＝2+，∴EE′＝2+2，∴AE＝EE′﹣AE′＝，过点A作CE′的垂线，垂足为M，在Rt△AMC′中，∠AE′M＝45°，AE′＝2+，∴AN＝E′M＝+1，∴CM＝CE′﹣E′M＝1，在Rt△ACM中，CM＝1，AM＝+1，∴AC2＝AM，∴S△ABC＝AC2＝2+．22．（2021•东港区校级一模）在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝α，点P是平面内不与A，C重合的任意一点，连接AP，将线段AP绕点P逆时针旋转α得到线段DP，连接AD，BD，CP．（1）观察猜想如图1，当α＝60°时，的值是1，直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是60°．（2）类比探究如图2，当α＝90°时，请写出的值及直线BD与直线CP相交所成的小角的度数，并就图2的情形说明理由．（3）解决问题当α＝90°时，若点E，F分别是CA，CB的中点，点P在直线EF上，请直接写出点C，P，D在同一直线上时的值．【解答】解：（1）如图1中，延长CP交BD的延长线于E，设AB交EC于点O．∵∠PAD＝∠CAB＝60°，∴∠CAP＝∠BAD，∵CA＝BA，PA＝DA，∴△CAP≌△BAD（SAS），∴PC＝BD，∠ACP＝∠ABD，∵∠AOC＝∠BOE，∴∠BEO＝∠CAO＝60°，∴＝1，线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是60°，故答案为：1，60°．（2）如图2中，设BD交AC于点H，BD交PC于点G．∵∠PAD＝∠CAB＝45°，∴∠PAC＝∠DAB，∵，∴△DAB∽△PAC，∴∠PCA＝∠DBA，，∵∠EHC＝∠AHB，∴∠CEH＝∠HAB＝45°，∴直线BD与直线CP相交所成的小角的度数为45°．（2）如图3中，当点D在线段PC上时，延长AD交BC的延长线于H．∵CE＝EA，CF＝FB，∴EF∥AB，∴∠EFC＝∠ABC＝45°，∵∠PAO＝45°，∴∠PAO＝∠OFH，∵∠POA＝∠FOH，∴∠H＝∠APO，∵∠APC＝90°，EA＝EC，∴PE＝EA＝EC，∴∠EPA＝∠EAP＝∠BAH，∴∠H＝∠BAH，∴BH＝BA，∵∠ADP＝∠BDC＝45°，∴∠ADB＝90°，∴BD⊥AH，∴∠DBA＝∠DBC＝22.5°，∵∠ADB＝∠ACB＝90°，∴A，D，C，B四点共圆，∠DAC＝∠DBC＝22.5°，∠