专题15矩形的判定与性质(原卷版+解析)

2022-2023学年浙教版八年级数学下册精选压轴题培优卷专题15矩形的判定和性质姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三总分评分阅卷人一、选择题(共10题；每题2分，共20分)得分1．（2分）（2022八下·抚远期末）如图所示，是矩形的对角线的中点，为的中点．若，，则的周长为（）A．10 B． C． D．142．（2分）（2022八下·涿州期末）如图，矩形ABCD中，∠BOC＝120°，BD＝12，点P是AD边上一动点，则OP的最小值为（）A．3 B．4 C．5 D．63．（2分）（2022八下·虎林期末）如图，矩形中把矩形沿直线折叠，点落在点处，交于点．若，则的长为（）A．4 B．5 C．6 D．74．（2分）（2022八下·元阳期末）如图，在矩形ABCD中，，，点E在AB延长线上，且，连接DE，则DE的长为（）A．6 B． C． D．85．（2分）（2022八下·钢城期末）在矩形中，，，将矩形沿折叠，点B落在点E处，线段交于定O，过O作于点G，于点H，则的值为（）A．1 B． C． D．6．（2分）（2022八下·环翠期末）如图，在矩形中，点E是的中点，的平分线交于点F将沿折叠，点D恰好落在上M点处，延长交于点N，有下列四个结论：①垂直平分；②是等边三角形；③；④．其中，正确结论的序号是（）A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④7．（2分）（2022八下·内江期末）如图，在矩形ABCD中，AD＝3，AB＝4，M为线段BD上一动点，MP⊥CD于点P，MQ⊥BC于点Q，则PQ的最小值为（）A． B．3 C． D．8．（2分）（2022八下·南充期末）如图，矩形中，，分别是边，的中点，于，的延长线交于．下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个9．（2分）（2022八下·广安期末）如图1，在矩形MNPQ中，动点R从点N出发，沿N→P→Q→M方向运动至点M处停止．设点R运动的路程为x，△MNR的面积为y．若y关于x的函数图象如图2所示，则下列说法不正确的是（）A．当x＝2时，y＝5 B．当y＝5时，x＝2C．当x＝6时，y＝10 D．矩形MNPQ的周长是1810．（2分）（2022八下·慈溪期末）如图，正方形中，点P为延长线上任一点，连结，过点P作，交的延长线于点E，过点E作于点F.下列结论：①；②；③；④若，则.其中正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4阅卷人二、填空题(共10题；每题2分，共20分)得分11．（2分）（2022八下·无为期末）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，过点O作，交AD于点E，过点E作，垂足为F，，，，则矩形ABCD的面积为．12．（2分）（2022八下·环翠期末）如图，矩形OABC中，OA=4，AB=3，点D在边BC上，且CD=3DB，点E是边OA上一点，连接DE，将四边形ABDE沿DE折叠，若点A的对称点恰好落在边OC上，则OE的长为．13．（2分）（2022八下·钢城期末）如图，在矩形中，，，点P是不与A，D重合的两点，过点P分别作和的垂线，垂足分别为E，F，则的值是．14．（2分）（2022八下·广饶期末）如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，AC＝12，BD＝16，点P为边BC上一点，且P不与点B、C重合．过P作PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，连结EF，则EF的最小值等于．15．（2分）（2022八下·门头沟期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，且，动点从点出发，以每秒个单位的速度沿线段向点运动，同时动点从点出发，以同样每秒个单位的速度沿折线向点运动，当，有一点到达终点时，点，同时停止运动．设点，运动时间为秒，在运动过程中，如果，那么秒．16．（2分）（2022八下·建昌期末）如图，在矩形中，为中点，经过点且，交于点，交于点，点为的中点，．则以下结论中：①；②；③是等边三角形；④，其中正确结论的序号为．17．（2分）（2022八下·福州期末）如图，在矩形中，已知，，点，分别是边，的中点，点是边上的一个动点，连接，将四边形沿折叠，得到四边形，连接，则长度的最小值是．18．（2分）（2022八下·越城期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对角线AC的中点与坐标原点重合，点E是x轴上一点，连接AE．若AD平分∠OAE，反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过AE上的两点A，F，且AF＝EF，△ABE的面积为18，则k的值为．19．（2分）（2022八下·禹州期末）如图，在正方形ABCD中，，E为对角线AC上与A，C不重合的一个动点，过点E作于点F，于点G，连接DE，FG，下列结论：①；②；③；④FG的最小值为2，其中正确的结论是.（只填序号）20．（2分）（2022八下·长兴期末）如图，在矩形ABCD中，将矩形ABCD沿EF折叠，点A落在点A'处，点B落在CD边点B'处，连结BB'交EF于点G，点M在A'B'上，A'M=2B'M，若CD=3，AD=6，在折叠的过程中，点B'在边CD上不同的位置时，则MG+B'G的最小值阅卷人三、解答题(共7题；共60分)得分21．（6分）（2022八下·长春期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，过点B作AD的平行线交外角∠BAF的平分线于点E．求证：四边形ADBE是矩形．22．（7分）（2022八下·南康期末）如图，在矩形中，点E是的中点，交于点F，点M在上，连接，把延翻折．当点A的对应点恰好落在上时，求的度数．23．（10分）（2019八下·高要期中）如图，△ABC中，点O为AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的外角平分线CF于点F，交∠ACB内角平分线CE于E.（1）（3分）求证：EO=FO；（2）（3分）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论；（3）（4分）若AC边上存在点O，使四边形AECF是正方形，猜想△ABC的形状并证明你的结论。24．（8分）（2022八下·越城期末）如图均是由边长为1的小正方形拼成的网格，每个小正方形的顶点称为格点，点P、Q、R均在格点上．要求只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写画法．（1）（4分）如图1，以线段PQ为对角线画一个面积为9的平行四边形PMQN，且M、N在格点上；（2）（4分）如图2，画△PQR边RQ上的高线PH，点H是垂足．25．（9分）（2022八下·顺平期末）如图，正方形的周长是40．点P是正方形对角线上一动点，过P点分别作、的垂线，垂足分别为E，F．（1）（2分）求证：四边形是矩形．（2）（3分）请你猜想与的数量关系，并给出证明．（3）（4分）在P点运动过程中，的长也随之变化，求的最小值．26．（10分）（2022八下·环翠期末）如图，在矩形中，，直角尺的直角顶点P在上滑动时（点P与A、D不重合），一直角边经过点C，另一直角边交于点E．（1）（3分）求证：∽；（2）（3分）当时，求的长；（3）（4分）是否存在这样的点P，使的周长等于周长的2倍？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．27．（10分）（2022八下·鲅鱼圈期末）将一矩形纸片OABC放在平面直角坐标系中，O为原点，点C在x轴上，点A在y轴上，OA＝9，OC＝15．（1）（3分）如图1，在OA上取一点E，将△EOC沿EC折叠，使点O落在边AB上的点D处，求直线EC的解析式；（2）（3分）如图2，在OA，OC边上选取适当的点M，N，将△MON沿MN折叠，使O点落在AB边上的点D'处，过点D'作D'G⊥CO，垂足为G，交MN于点T，连接OT，判断四边形OTD'M的形状，并说明理由；（3）（4分）在（2）的条件下，若点T的坐标为（6，），点P在直线MN上，坐标轴上是否存在点Q，使以M，D'，Q，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由2022-2023学年浙教版八年级数学下册精选压轴题培优卷专题15矩形的判定和性质阅卷人一、选择题(共10题；每题2分，共20分)得分1．（2分）（2022八下·抚远期末）如图所示，是矩形的对角线的中点，为的中点．若，，则的周长为（）A．10 B． C． D．14【答案】C【规范解答】解：∵点O是矩形ABCD对角线AC的中点，E点为AD中点，∴AB=CD=6，AD=BC=8，，，在Rt△ABE中，，在Rt△ABC中，，∴，则△BOE的周长为：，故答案为：C．

【思路点拨】根据矩形的性质和三角形中位线的性质可求得OE，AE，勾股定理可得BE、AC的边长，最后求得△BOE的周长.2．（2分）（2022八下·涿州期末）如图，矩形ABCD中，∠BOC＝120°，BD＝12，点P是AD边上一动点，则OP的最小值为（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【规范解答】解：如图，过点O作OP⊥AD，则此时OP的长度最小.∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，∵，∴AO=DO=∵∠AOD=∠BOC=120°∴∠OAD=30°∵∠OPA=90°∴OP=故答案为：A.

【思路点拨】过点O作OP⊥AD，则此时OP的长度最小.由矩形的性质可得AO=DO=，由对顶角相等可得∠AOD=∠BOC=120°，利用等要哦三角形的性质及三角形内角和可求出∠OAD=30°，根据含30°角的直角三角形的性质可得OP=.3．（2分）（2022八下·虎林期末）如图，矩形中把矩形沿直线折叠，点落在点处，交于点．若，则的长为（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【规范解答】解：解：，，又，，，，，，，，故答案为：C．

【思路点拨】

两直线平行，内错角相等，根据折叠性质证得，等腰三角形腰相等，再根据勾股定理即可求得AD.4．（2分）（2022八下·元阳期末）如图，在矩形ABCD中，，，点E在AB延长线上，且，连接DE，则DE的长为（）A．6 B． C． D．8【答案】A【规范解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，∠DAB=∠ABC=90°，∵，∴∠ACB=30°，∵∴在Rt△ABC中，∴AD=BC=3，∵∴在Rt△DAE中，DE=故答案为：A【思路点拨】先求出AD和AE的长，再利用勾股定理求出DE的长即可。5．（2分）（2022八下·钢城期末）在矩形中，，，将矩形沿折叠，点B落在点E处，线段交于定O，过O作于点G，于点H，则的值为（）A．1 B． C． D．【答案】B【规范解答】解：∵将矩形沿AC折叠，点B落在点E处，∴∠ACB＝∠ACE，∠E＝∠B＝90°，AE＝AB＝4，∵AD∥BC，∴∠ACB＝∠DAC，∴∠ACE＝∠DAC，∴OA＝OC，设OA＝OC＝x，则OE＝8−x，在Rt△AOE中，AE2＋OE2＝OA2，∴42＋（8−x）2＝x2，解得x＝5，∴OA＝OC＝5，∵OG⊥AC，∴AG＝CG＝AC，而AC＝，∴AG＝CG＝2，∴OG＝，∵AG＝CG，，∴GH∥AB，∴GH＝AB＝2，∴，故答案为：B．

【思路点拨】设OA＝OC＝x，则OE＝8−x，利用勾股定理可得42＋（8−x）2＝x2，求出x的值，再利用勾股定理求出AC和OG的长，最后利用中位线的性质可得GH＝AB＝2，从而可得到。6．（2分）（2022八下·环翠期末）如图，在矩形中，点E是的中点，的平分线交于点F将沿折叠，点D恰好落在上M点处，延长交于点N，有下列四个结论：①垂直平分；②是等边三角形；③；④．其中，正确结论的序号是（）A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④【答案】B【规范解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠BCD＝90°，由折叠的性质可得：∠EMF＝∠D＝90°，DF＝MF，即FM⊥BE，CF⊥BC，∵BF平分∠EBC，∴CF＝MF，∴DF＝CF，在△DFE与△CFN中，∴△DFE≌△CFN，∴EF＝FN，∴△EBN为等腰三角形，无法确定△EBN为等边三角形，故②不符合题意；由等腰三角形的三线合一得：BF⊥EN，∴BF垂直平分EN，故①符合题意；∵∠BFE＝∠D＝∠FME＝90°，∴∠EFM＋∠FEM＝∠FEM＋∠FBE＝90°，∴∠EFM＝∠EBF，∵∠DFE＝∠EFM，∴∠DFE＝∠FBE，∴；故③符合题意；∵∠BFM＝∠BFC，BM⊥FM，BC⊥CF，∴BM＝BC＝AD＝2DE＝2EM，∴BE＝3EM，∴S△BEF＝3S△EMF＝3S△DEF，故④符合题意．综上所述：①③④都符合题意，故答案为：B．【思路点拨】由折叠的性质得出∠EMF＝∠D＝90°，DF＝MF，由等腰三角形的性质得出BF垂直平分EN，由两组角对应相等的两个三角形相似，可求，由AAS证出△DFE≌△CFN，得出BE＝3EM，则S△BEF＝3S△EMF＝3S△DEF，即可得出结论。7．（2分）（2022八下·内江期末）如图，在矩形ABCD中，AD＝3，AB＝4，M为线段BD上一动点，MP⊥CD于点P，MQ⊥BC于点Q，则PQ的最小值为（）A． B．3 C． D．【答案】A【规范解答】解：连接CM，如图所示：∵MP⊥CD于点P，MQ⊥BC于点Q，∴∠CPM＝∠CQM＝90°，∵四边形ABCD是矩形，∴BC＝AD＝3，CD＝AB＝4，，∴∠CPM＝∠CQM＝∠BCD=90°，∴四边形PCQM是矩形，∴PQ＝CM，∴当CM最小时，PQ最小，∵点M在BD上运动，∴当CM⊥BD时，CM最小，则PQ最小，由勾股定理得：，∵，∴此时，∴PQ的最小值为，．故答案为：A．【思路点拨】连接CM，可证四边形PCQM是矩形，得出PQ＝CM，所以可知当CM最小时，PQ最小，由于点M在BD上运动，可得当CM⊥BD时，CM最小，则PQ最小，由勾股定理求出BD的长，再利用求出CM值即可.8．（2分）（2022八下·南充期末）如图，矩形中，，分别是边，的中点，于，的延长线交于．下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【规范解答】解：连接CM、DM，∵矩形ABCD∴，∵，M，N分别是边AB，CD的中点，∴故①正确；∵∴四边形AMCN是平行四边形∴AN∥CM∴∵∴CM垂直平分PB∴BC=PC∴（SSS）∴即故②正确；∵，，∴（HL）∴故③正确；取CQ中点E，连接EN∵N是CD中点∴EN是△CDQ的中位线∴∵∴∴，即故④正确；综上所述，正确的是①②③④故答案为：D．【思路点拨】连接CM、DM，由矩形的性质可得AB=CD，根据线段的中点及直角三角形斜边中线的性质可得，故①正确；可证四边形AMCN是平行四边形，可得AN∥MC，根据SSS证明，可得，故②正确；根据HL可证明，可得PQ=AQ，故③正确；取CQ中点E，连接EN，可得EN是△CDQ的中位线，可得DQ=2EN，根据大角对大边进行判断即可.9．（2分）（2022八下·广安期末）如图1，在矩形MNPQ中，动点R从点N出发，沿N→P→Q→M方向运动至点M处停止．设点R运动的路程为x，△MNR的面积为y．若y关于x的函数图象如图2所示，则下列说法不正确的是（）A．当x＝2时，y＝5 B．当y＝5时，x＝2C．当x＝6时，y＝10 D．矩形MNPQ的周长是18【答案】B【规范解答】解：由图象可知，四边形MNPQ的边长，，，A、时，△MNR的面积＝，正确，不符合题意；B、时，高，则高，点R在PN或QM上，距离QP有2个单位，对应的x值是2或11，错误，符合题意；C、时，点R在QP上，△MNR的面积＝，正确，不符合题意；D、矩形周长为，正确，不符合题意.故答案为：B．【思路点拨】由图2知，，然后结合图象及三角形的面积公式逐项计算，再判断即可.10．（2分）（2022八下·慈溪期末）如图，正方形中，点P为延长线上任一点，连结，过点P作，交的延长线于点E，过点E作于点F.下列结论：①；②；③；④若，则.其中正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【规范解答】解：如图1，在EF上取一点G，使FG=FP，连接BG、PG，∵EF⊥BP，∴∠BFE=90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠FBC=∠ABD=45°，∴BF=EF，在△BFG和△EFP中，，∴△BFG≌△EFP（SAS），∴BG=PE，∠PEF=∠GBF，∵∠ABD=∠FPG=45°，∴AB∥PG，∵AP⊥PE，∴∠APE=∠APF+∠FPE=∠FPE+∠PEF=90°，∴∠APF=∠PEF=∠GBF，∴AP∥BG，∴四边形ABGP是平行四边形，∴AP=BG，∴AP=PE；故①正确；如图2，连接CG，由①知：PG∥AB，PG=AB，∵AB=CD，AB∥CD，∴PG∥CD，PG=CD，∴四边形DCGP是平行四边形，∴CG=PD，CG∥PD，∵PD⊥EF，∴CG⊥EF，即∠CGE=90°，∵∠CEG=45°，∴CE=CG=PD；故③正确；如图3，连接AC交BD于O，∠CGF=∠GFD=90°，∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，BD=∴∠COF=90°，∴四边形OCGF是矩形，∴OC=FG，BD=2OC=2FG，△BFG≌△EFP，，，故②正确；④，，，，，，，，，，，，，即.故④正确.故答案为：D.【思路点拨】在EF上取一点G，使FG=FP，连接BG、PG，根据正方形的性质得∠FBC=∠ABD=45°，则BF=EF，证△BFG≌△EFP，得BG=PE，∠PEF=∠GBF，易得四边形ABGP是平行四边形，则AP=BG，据此判断①；连接CG，易得四边形DCGP是平行四边形，则CG=PD，CG∥PD，根据三角函数的概念得CE=CG，据此判断③；连接AC交BD于O，根据正方形性质得AC⊥BD，BD=AB=PG，则四边形OCGF是矩形，OC=FG，BD=2OC=2FG，根据全等三角形的性质可得PF=FG，据此判断②；根据等腰三角形的性质结合内角和定理可得∠BPE=∠BEP=67.5°，∠FPG=∠FGP=45°，则∠GPE=22.5°，推出PG=GE，则FG=GE，BE=(1+)FG，DF=(-1)PF，据此判断④.阅卷人二、填空题(共10题；每题2分，共20分)得分11．（2分）（2022八下·无为期末）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，过点O作，交AD于点E，过点E作，垂足为F，，，，则矩形ABCD的面积为．【答案】【规范解答】解：∵四边形ABCD为矩形，∴OD=OB=OA=OC=，∵，∴，，∴，∵四边形ABCD为矩形，∴矩形ABCD的面积=，故答案为：

【思路点拨】先利用割补法求出，再利用矩形的性质可得矩形ABCD的面积=。12．（2分）（2022八下·环翠期末）如图，矩形OABC中，OA=4，AB=3，点D在边BC上，且CD=3DB，点E是边OA上一点，连接DE，将四边形ABDE沿DE折叠，若点A的对称点恰好落在边OC上，则OE的长为．【答案】【规范解答】解：连接A′D，AD，∵四边形OABC是矩形，∴BC=OA=4，OC=AB=3，∠C=∠B=∠O=90°，∵CD=3DB，∴CD=3，BD=1，∴CD=AB，∵将四边形ABDE沿DE折叠，若点A的对称点A′恰好落在边OC上，∴A′D=AD，A′E=AE，在Rt△A′CD与Rt△DBA中，，∴Rt△A′CD≌Rt△DBA（HL），∴A′C=BD=1，∴A′O=2，∵A′O2+OE2=A′E2，∴22+OE2=（4﹣OE）2，∴OE=，

故答案为：.【思路点拨】连接A′D，AD，先利用“HL”证明Rt△A′CD≌Rt△DBA可得A′C=BD=1，求出A′O=2，再利用勾股定理可得22+OE2=（4﹣OE）2，最后求出OE的长即可。13．（2分）（2022八下·钢城期末）如图，在矩形中，，，点P是不与A，D重合的两点，过点P分别作和的垂线，垂足分别为E，F，则的值是．【答案】【规范解答】解：如图所示，连接OP，∵AB＝2，AD＝4，由勾股定理可得BD＝，S△ABD＝AB•AD＝×2×4＝4，在矩形ABCD中，OA＝OD＝OB＝BD＝，∵S△AOD＝S△AOP＋S△DOP＝S△ABD，∴OA•PE＋OD•PF＝×4＝2，即，∴PE＋PF＝，故答案为：．

【思路点拨】连接OP，利用割补法可得S△AOD＝S△AOP＋S△DOP＝S△ABD，再将数据代入可得OA•PE＋OD•PF＝×4＝2，即，求出PE＋PF＝即可。14．（2分）（2022八下·广饶期末）如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，AC＝12，BD＝16，点P为边BC上一点，且P不与点B、C重合．过P作PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，连结EF，则EF的最小值等于．【答案】4.8【规范解答】解：连接，四边形是菱形，四边形为矩形，当时，有最小值，此时的最小值为，故答案为：4.8．【思路点拨】利用勾股定理和三角形的面积公式计算求解即可。15．（2分）（2022八下·门头沟期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，且，动点从点出发，以每秒个单位的速度沿线段向点运动，同时动点从点出发，以同样每秒个单位的速度沿折线向点运动，当，有一点到达终点时，点，同时停止运动．设点，运动时间为秒，在运动过程中，如果，那么秒．【答案】或或6或3【规范解答】解：当在边上，如图，由题意得：，，，，，；当在上时，如图，由题意得：，，，，；当，有一点到达终点时，点，同时停止运动，，和符合题意．故答案为：或．

【思路点拨】分两种情况：①当在边上，②当在上时，再分别画出图象并求解即可。16．（2分）（2022八下·建昌期末）如图，在矩形中，为中点，经过点且，交于点，交于点，点为的中点，．则以下结论中：①；②；③是等边三角形；④，其中正确结论的序号为．【答案】①③④【规范解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴，点是中点，，，，，，在中，点G是中点，且，，，，，设，则，，∴，∴，∴，∴，故①符合题意；，由题意知，点与点不重合，故②不符合题意；，，，∴△AEF是等边三角形，故③符合题意；，，，∵，，，故④符合题意；故答案为：①③④．

【思路点拨】利用矩形的性质、相似三角形的判定及性质和等边三角形的判定方法逐项判断即可。17．（2分）（2022八下·福州期末）如图，在矩形中，已知，，点，分别是边，的中点，点是边上的一个动点，连接，将四边形沿折叠，得到四边形，连接，则长度的最小值是．【答案】【规范解答】解：如图，连接EO、PO、OC，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠OAP=90°，∵点O，P分别是边AB，AD的中点，∴OB=AO=4，AP=DP=6，在Rt△OBC中，BC=12，OB=4，∴OC=，在Rt△AOP中，OA=4，PA=6，∴OP=，由折叠可得OE=OC=，∵PE≥OE-OP，∴PE最小值=OE-OP=，故答案为：．【思路点拨】连接EO、PO、OC，由矩形的性质可得∠B=∠OAP=90°，在Rt△OBC中，用勾股定理可求得OC的值，在Rt△AOP中，用勾股定理可求得OP的值，由折叠的性质得OE=OC，根据三角形三边关系定理可得PE≥OE-OP，于是PE最小值=OE-OP可求解.18．（2分）（2022八下·越城期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对角线AC的中点与坐标原点重合，点E是x轴上一点，连接AE．若AD平分∠OAE，反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过AE上的两点A，F，且AF＝EF，△ABE的面积为18，则k的值为．【答案】12【规范解答】解：如图，连接BD与AC交于点O，过点A作AG⊥x轴于点G，过点F作FH⊥x轴于点H，连接OF，

∴FH∥AG，

∵AE=EF，

∴FH是△AGE的中位线，

∴GH=HE，AG=2FH

∵点A、F在反比例函数y=（k＞0，x＞0）图象上，

∴S△AOG=S△FOH=，

∴OG·AG=OH·FH，

∴OH=2OG，

∴OG=GH=HE，

∵矩形ABCD，

∴OA=OD，

∴∠OAD=∠ODA，

又∵AD平分∠OAE，

∴∠OAD=∠EAD，

∴∠ODA=∠EAD，

∴AE∥BD，

∴S△AOE=S△ABE=18，

∴S△AOG=S△AOE=6，

∴=6，

∴k=12.

故答案为：12.

【思路点拨】如图，连接BD与AC交于点O，过点A作AG⊥x轴于点G，过点F作FH⊥x轴于点H，连接OF，则FH∥AG，又AE=EF，易得FH是△AGE的中位线，即得GH=HE，AG=2FH，在根据k的几何意义可得S△AOG=S△FOH=，从而得OG·AG=OH·FH，进而推出OG=GH=HE，再由矩形的性质得OA=OD，结合角平分线的定义，可推出∠ODA=∠EAD，从而推出AE∥BD，易得S△AOE=S△ABE=18，进而可得S△AOG=S△AOE=6，则=6，即可求出k值.19．（2分）（2022八下·禹州期末）如图，在正方形ABCD中，，E为对角线AC上与A，C不重合的一个动点，过点E作于点F，于点G，连接DE，FG，下列结论：①；②；③；④FG的最小值为2，其中正确的结论是.（只填序号）【答案】①②④【规范解答】解：如图所示，连接BE，交FG于点O，

∵，，∴，∵，∴四边形EFBG为矩形，∴，，∵四边形ABCD为正方形，∴，，在和中，∴（SAS），∴，∴，即①正确；延长DE，交FG于M，交FB于点H，由（1）得，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，即，∴，即②正确；∵正方形ABCD，EF⊥AB，EG⊥BC，

∴∠ABC、∠EFB、∠EGB均为直角，

∴四边形EFBG为长方形，

在△BEF和△FGB中

∴△BEF≌△FGB（SSS）

∴∠BGF=∠FEB

假设∠BGF=∠ADE，则有∠FEB=∠ADE，

又∵EF∥AD，则B、E、D在同一条直线上，

而题干中E是AC上的动点，B、E、D并不一定共线，

故∠BGF不一定等于∠ADE.

故③错误；

∵E为对角线AC上的一个动点，∴当时，DE最小，∵，，∴，∴，由①知，，∴FG的最小值为，即④正确，综上，①②④正确，故答案为：①②④.【思路点拨】连接BE，交FG于点，易得四边形EFBG为矩形，得FG=BE，OB=OF=OE=OG，根据正方形的性质，得出，，利用SAS证明△ABE≌△ADE，得出DE=BE，则可判断①；延长DE，交FG于M，交FB于点H，由(1)得出∠ABE=∠ADE，根据条件和角之间的关系求出DE⊥FG，即可判断②；先通过三角为直角判定四边形EFBG为长方形，再通过SSS判定△BEF≌△FGB，从而可得∠BGF=∠FEB，通过反证法推理即可判断③；根据垂线段最短得当DE⊥AC时，DE最小，根据勾股定理求出AC长，从而求出DE长，即可得FG的最小值，即可判断即④.20．（2分）（2022八下·长兴期末）如图，在矩形ABCD中，将矩形ABCD沿EF折叠，点A落在点A'处，点B落在CD边点B'处，连结BB'交EF于点G，点M在A'B'上，A'M=2B'M，若CD=3，AD=6，在折叠的过程中，点B'在边CD上不同的位置时，则MG+B'G的最小值【答案】【规范解答】解：如图，连接GC，取线段AB的一点Q，使得AQ=2BQ，连接QG，QC，

∵AB=CD=3，

∴BQ=1，

∵矩形ABCD沿EF折叠，点A落在点A'处，点B落在CD边点B'处，A'M=2B'M，

∴Q和M关于EF对称，

∴QG=MG，

又∵G为BB'的中点，∠BCB'=90°，

∴GC=B'G，

∴MG+B'G=QG+GC，

∴当Q、G、C三点共线时，CQ=QG+GC，此时QG+GC最短，

∴MG+B'G的最小值为CQ的长，

在Rt△BCQ中，BQ=1，BC=6，

∴CQ===.

故答案为：.

【思路点拨】如图，连接GC，取线段AB的一点Q，使得AQ=2BQ，连接QG，QC，易得BQ=1，根据折叠的性质得Q和M关于EF对称，则QG=MG，再根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得GC=B'G，

从而得MG+B'G=QG+GC，当Q、G、C三点共线时，CQ=QG+GC，此时QG+GC最短，MG+B'G的最小值为CQ的长，最后在Rt△BCQ中，BQ=1，BC=6，由勾股定理求得CQ的长即可求解.阅卷人三、解答题(共7题；共60分)得分21．（6分）（2022八下·长春期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，过点B作AD的平行线交外角∠BAF的平分线于点E．求证：四边形ADBE是矩形．【答案】证明：，AD⊥BC，，，，，平分，，，又，四边形是平行四边形，，四边形ADBE是矩形．【思路点拨】先证明四边形是平行四边形，再结合，即可得到四边形ADBE是矩形。22．（7分）（2022八下·南康期末）如图，在矩形中，点E是的中点，交于点F，点M在上，连接，把延翻折．当点A的对应点恰好落在上时，求的度数．【答案】解：如图，连接，∵点E是的中点，交于点F，∴垂直平分，∴，由翻折的性质可知，∴，∴是等边三角形，∴，在矩形中，，∴.【思路点拨】连接，根据垂直平分线的性质可得，再证明是等边三角形，可得，最后利用三角形的内角和求出即可。23．（10分）（2019八下·高要期中）如图，△ABC中，点O为AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的外角平分线CF于点F，交∠ACB内角平分线CE于E.（1）（3分）求证：EO=FO；（2）（3分）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论；（3）（4分）若AC边上存在点O，使四边形AECF是正方形，猜想△ABC的形状并证明你的结论。【答案】（1）证明：∵CE平分∠ACB，∴∠ACE=∠BCE，∵MN∥BC，∴∠OEC=∠ECB，∴∠OEC=∠OCE，∴OE=OC，同理，OC=OF，∴OE=OF．（2）解：当点O运动到AC中点处时，四边形AECF是矩形．如图AO=CO，EO=FO，∴四边形AECF为平行四边形，∵CE平分∠ACB，∴∠ACE=∠ACB，同理，∠ACF=∠ACG，∴∠ECF=∠ACE+∠ACF=（∠ACB+∠ACG）=×180°=90°，∴四边形AECF是矩形．（3）解：△ABC是直角三角形∵四边形AECF是正方形，∴AC⊥EN，故∠AOM=90°，∵MN∥BC，∴∠BCA=∠AOM，∴∠BCA=90°，∴△ABC是直角三角形．【思路点拨】（1）根据CE平分∠ACB，MN∥BC，找到相等的角，即∠OEC=∠ECB，再根据等边对等角得OE=OC，同理OC=OF，可得EO=FO．（2）利用矩形的判定解答，即有一个内角是直角的平行四边形是矩形．（3）利用已知条件及正方形的性质解答．24．（8分）（2022八下·越城期末）如图均是由边长为1的小正方形拼成的网格，每个小正方形的顶点称为格点，点P、Q、R均在格点上．要求只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写画法．（1）（4分）如图1，以线段PQ为对角线画一个面积为9的平行四边形PMQN，且M、N在格点上；（2）（4分）如图2，画△PQR边RQ上的高线PH，点H是垂足．【答案】（1）解：如图所示，四边形PMQN即为所求.（2）解：如图所示，线段PH即为边RQ上的高线.【思路点拨】（1）如图1，将点P向右平移3个单位，得到点N，再把点Q向左平移3个单位，得到点M，再顺次连接P、M、Q、N，即得到平行四边形PMQN，且面积为9；（2）如图2，连接以PR为边的矩形的对角线，交RQ于点H，由直角三角形性质及角的互余关系，即可得∠PHR=90°，即PH⊥RQ，因此线段PH为边RQ上的高线.25．（9分）（2022八下·顺平期末）如图，正方形的周长是40．点P是正方形对角线上一动点，过P点分别作、的垂线，垂足分别为E，F．（1）（2分）求证：四边形是矩形．（2）（3分）请你猜想与的数量关系，并给出证明．（3）（4分）在P点运动过程中，的长也随之变化，求的最小值．【答案】（1）证明：∵，∴又∵是正方形∴∴四边形四边形是矩形（2）解：，证明如下：连接，∵四边形为矩形，∴，又∵四边形是正方形，P为上任意一点，∴AD=AB，∠CAD=∠BAC=45°，∵AP=AP，∴△ADP≌△ABP，∴，∴；（3）解：由（2）得，则的最小值，即的最小值，当时，取得最小值，∵正方形ABCD的周长为40，∴AD=CD=10∵AD=CD，∠ADC=90°，，∵，∴∴的最小值是．【思路点拨】（1）根据三个角是直角的四边形是矩形即证结论；

（2），理由：连接，证明△ADP≌△ABP，根据全等三角形的性质可得PB=PD，由矩形的性质知PB=EF，即证PD=EF；

（3）由（2）得，则的最小值，即的最小值，当时，取得最小值，求出此时DP的长即得结论.26．（10分）（2022八下·环翠期末）如图，在矩形中，，直角尺的直角顶点P在上滑动时（点P与A、D不重合），一直角边经过点C，另一直角边交于点E．（1）（3分）求证：∽；（2）（3分）当时，求的长；（3）（4分）是否存在这样的点P，使的周长等于周长的2倍？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明：四边形是矩形，，，