第02讲探索平行线的性质（2大考点7种题型强化训练）

第02讲探索平行线的性质（2大考点+7种题型+强化训练）1.认识并掌握平行线的性质；2.运用平行线的性质进行简单的推理及有条理的表达；3．理解和掌握平行线的性质定理并灵活运用于求角的关系；4．能够灵活运用平行线的判定定理和性质定理进行证明．知识点1：平行线的性质1、性质1：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等。简称为：两直线平行，同位角相等。2、性质2：两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等。简称为：两直线平行，内错角相等。3、性质3：两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补。简称为：两直线平行，同旁内角互补。知识点2：平行线的性质和判定的区别与联系平行线的性质和判定中的条件和结论恰好相反，在“两条直线被第三条直线所截”的前提下，从同位角相等，内错角相等或同旁内角互补，推出两直线平行，这是平行线的判定；而从两直线平行推出同位角相等，内错角相等，同旁内角互补，这是平行线的性质。性质判定二者的因果关系如下：性质判定题型一：两直线平行同位角相等【例1】．（2023下·江苏镇江·七年级校考期末）请把下列证明过程补充完整．已知：如图，平分，点D、E分别在、上，且．求证：．

证明：∵平分（已知），∴______（______）．∵（已知），∴______（______）．∴______（______）．【答案】；角平分线的定义；；两直线平行，同位角相等；；等量代换【分析】根据角的平分线的定义，平行线的性质，推理证明即可．【详解】证明：∵平分（已知）∴（角平分线的定义）∵（已知），∴（两直线平行，同位角相等）∴（等量代换），故答案为：；角平分线的定义；；两直线平行，同位角相等；；等量代换．【点睛】本题考查了角的平分线的定义，平行线的性质，等量代换，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．【变式1】．（2023下·江苏扬州·七年级校考阶段练习）如图，平分，F在上，G在上，与相交于点H，，试说明．（请通过填空完善下列推理过程）解：∵（已知），（______)．∴______（______）．∴（______）．∴______（______）．∵平分（______），∴______（______）．∴（______）．【答案】对顶角相等，，等量代换，同旁内角互补两直线平行，，两直线平行同位角相等，已知，，角平分线的定义，等量代换【分析】根据题干的思路作答即可．【详解】∵（已知），（对顶角相等)．∴（等量代换）．∴（同旁内角互补，两直线平行）．∴（两直线平行，同位角相等）．∵平分（已知），∴（角平分线的定义）．∴（等量代换）；故答案为：对顶角相等，，等量代换，同旁内角互补两直线平行，，两直线平行同位角相等，已知，，角平分线的定义，等量代换．【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，对顶角相等等知识，掌握是平行线的判定与性质解答本题的关键．【变式2】．（2023下·江苏扬州·七年级统考期末）如图，直线，且直线被直线所截．

(1)求证：；(2)若，试判断直线与直线的位置关系，并说明理由．【答案】(1)见解析(2)（同位角相等，两直线平行）【分析】（1）两直线平行，同位角相等，得到，对顶角相等，得到，即可得证；（2）邻补角，得到，推出，即可得到．【详解】（1）解：，（两直线平行，同位角相等）；

（2）结论：直线理由：，，，（同位角相等，两直线平行）．【点睛】本题考查平行线的判定和性质，对顶角，邻补角．熟练掌握对顶角相等，邻补角的定义，是解题的关键．【变式3】．（2023·江苏·七年级假期作业）如图，，），解答下列问题．(1)如图①，当，时，过点B在的内部作则度；(2)如图②，点G在上，过点G作．①当，时，求的度数；②用含有和的式子表示；③当，时，过点G作，直接写出的度数．【答案】(1)(2)①

②

③或【分析】（1）根据两直线平行，同位角相等得到结果；（2）①过点B作，根据平行公理得到，再根据两直线平行，同位角相等得到结果；②过点B作，根据平行公理得到，再根据两直线平行，同位角相等得到结果；③过点B作，根据平行公理得到，再根据两直线平行，同位角相等分两种情况分别解题即可．【详解】（1）解：∵，∴，又∵，∴，故答案为：．（2）①如图，过点B作，∴，又∵，∴，∵，，∴，∴，②如上图，过点B作，∴，又∵，∴，∵，，∴，∴，③如图，过点B作，∴，又∵，∴，∵，，∴，∴，∵时，∴，若点H在的上方时，，若点H在的下方时，，综上所述，或．【点睛】本题考查平行公理，平行线的性质，垂直的定义，作辅助线转化角是解题的关键．题型二：两直线平行内错角相等【例2】．（2023下·江苏泰州·七年级校考周测）如图，已知，平分，＝，求的度数．

【答案】【分析】先根据平行线的性质得，再根据角平分线定义得，然后根据两直线平行，同位角相等可得．【详解】，，平分，，，【点睛】本题考查了平行线的性质，平行线的性质有：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．【变式1】．（2023下·江苏盐城·七年级校考期末）如图：在中，平分外角，且．求证：．

【分析】先由平行线得到，再利用角平分线证得，等量代换解题即可．【详解】证明：∵，∴，∵平分外角，∴，∴．【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的性质，运用以上性质进行推理是解题的关键．【变式2】．（2023下·江苏南京·七年级校考期中）完成下面的推理说明：已知：如图，，分别平分和．

求证：．证明：∵分别平分和（已知），∴，（①______）．∵（已知），∴（②______）．∴（等量代换）．∴（③______）．∴（④______）．【答案】①角平分线的定义；②两直线平行，内错角相等；③等式的性质；④内错角相等，两直线平行【分析】根据题意按照步骤进行求解作答即可．【详解】证明：∵分别平分和（已知），∴，（①角平分线的定义）．∵（已知），∴（②两直线平行，内错角相等）．∴（等量代换）．∴（③等式的性质）．∴（④内错角相等，两直线平行），故答案为：①角平分线的定义；②两直线平行，内错角相等；③等式的性质；④内错角相等，两直线平行．【点睛】本题考查了角平分线，平行线的判定与性质，等式的性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．【变式3】．（2023下·江苏无锡·七年级校联考期中）如图，，点E在上，点G在上．

(1)如图1，在、上分别取点M、N，连接，点F在上，已知平分，平分，若，，求，的度数．(2)如图2，平分，平分，反向延长交于K，设，请通过计算，用含x的代数式表示．(3)如图3，已知，，平分，平分，请直接写出与的数量关系_________________【答案】(1)；(2)(3)（或）【分析】（1）作，可得，再利用角平分线求出结果；（2）设，求出，再利用角平分线及平行的性质求得，最后根据即可求解；（3）过点作，由角平分线求得、，最后利用整理式子即可得到答案．【详解】（1）解：如图，作，，，，，，平分，，平分，，；

（2）如图，设交于点M，平分，设，则，由（1）得，，，平分，，，，，在中，；

（3）如图，过点作，，，，，，，，平分，平分，，，，，，．

【点睛】本题考查平行线的性质，平行线的拐角问题，角平分线的性质，掌握辅助线的作法是解决本题的关键．题型三：两直线平行同旁内角互补【例3】．（2023下·江苏盐城·七年级统考期中）如图，，，．求和的度数．

【答案】，【分析】根据，可得，，再代入数据可得答案．【详解】解：∵，，，，．【点睛】本题考查的是平行线的性质，熟记两直线平行，内错角相等，两直线平行，同旁内角互补是解本题的关键．【变式1】．（2023下·江苏苏州·七年级统考期末）如图，，．与相等吗？为什么？

【答案】相等，理由见解析．【分析】由平行线的性质，，结合，知两角相等．【详解】解：相等，理由如下：∵，∴．∵，∴．【点睛】本题考查平行线的性质；掌握两直线平行，同旁内角互补是解题的关键．【变式2】．（2023下·江苏连云港·七年级校考阶段练习）为了美化夜景，在某段道路两旁安置了两座可旋转激光灯．如图，灯A射线自开始顺时针旋转至便立即回转，灯B射线自顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是/秒，灯B转动的速度是/秒，且a、b满足．假定主道路是平行的，即，且．

(1)填空：_______，_______，_______；(2)若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达之前，灯A射线转动几秒，两灯的光束互相平行？(3)如图，两灯同时转动，在灯A射线到达之前，若射出的光束交于点C，过C作交于点D，则在转动过程中，与的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请求出其取值范围．【答案】(1)3

1

45(2)15秒或82.5秒(3)不发生改变

【分析】（1）根据绝对值与平方数的非负性即可求解；根据同旁内角互补并结合已知条件可求得的度数．（2）根据题意，当两灯的光束互相平行时，内错角相等即可列出方程求解．（3）设灯B射线转动的角度，则灯A射线转动的角度设法把与用含x的代数式表示出来即可获得两角的关系式．【详解】（1）∵，∴∴．∵，∴．由得∴，∴．（2）如图．

设在灯B射线赶到达BQ之前，灯A射线转动t秒，两灯的光束平行，①在灯射线到达AN之前，由题意得，，解得：（秒）②在灯A射线到达AN之后，由题意得：（同旁内角互补，两直线平行）解得：（秒）∴灯转动15秒或82.5秒时，两灯的光束互相平行．（3）与的数量关系不发生变化．理由如下：如图．

由⑴知，∴．设灯B射线转动的角度，则灯A射线转动的角度∴，①，∴∵，∴②由①②得，∴【点睛】本题考查了绝对值与平方数的非负性、平行线的判定、三角形内角和、用含字母的代数式表示角度等知识点，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．【变式3】．（2023下·江苏·七年级专题练习）如图1，已知两条直线被直线所截，分别交于点E，点F，平分交于点M，且．

(1)判断直线与直线是否平行，并说明理由；(2)如图2，点G是射线上一动点（不与点M，F重合），平分交于点H，过点H作于点N，设．①当点G在点F的右侧时，若，求α的度数；②当点G在运动过程中，α和β之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．【答案】(1)平行，见解析(2)①25度；②当点G在点F的右侧时，；当点G在点F的左侧时，【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义的运用：（1）依据角平分线，可得，根据，可得，进而得出；（2）①依据平行线的性质可得，再根据平分，平分，即可得到，再根据，即可得到中，；②分两种情况进行讨论：当点G在点F的右侧时，．当点G在点F的左侧时，．【详解】（1）∵平分∴，又∵，∴，∴；（2）①如图2，

∵∴，又∵平分，平分∴，，∴，又∵，∴中，，即；②点G是射线上一动点，故分两种情况讨论：如图2，当点G在点F的右侧时，．

证明：∵，∴，又∵平分，平分∴，∴，又∵，∴中，，即；如图3，当点G在点F的左侧时，．

证明：∵，∴，又∵平分，平分，∴，∴，又∵，∴中，，即．题型四：根据平行线的性质探究角的关系【例4】．（2023下·江苏·七年级专题练习）如图，已知的平分线交于点F．探究与之间的数量关系，并证明你的结论．

【答案】，见解析【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，过点C作直线，然后证明，根据平行线的性质可得，，进而可得，同理可得，再根据角平分线的性质可得，，等量代换可得答案．【详解】解：过点C作直线，

∵，∴，∴，，∴，∴，同理，∵的平分线交于点F，∴，∴．【变式1】．（2023下·江苏南通·七年级统考期末）如图，在中，．过点A作．

(1)判断是否平分，并说明理由；(2)如图2，点D是射线上一动点（不与点B，C重合），平分交射线于E，过点E作于F．①当点D在点B左侧时，若，求的度数；②点D在运动过程中，和之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并说明理由．【答案】(1)平分，理由见解析(2)①；②或，理由见解析【分析】（1）根据平行线的性质以及角平分线的定义，即可解答；（2）①根据角平分线的定义可得，从而得到，再由平行线的性质，即可解答；②分两种情况讨论：当点D在点B左侧时；当点D在点B右侧时，即可解答．【详解】（1）解：平分，理由如下：∵，∴，∵，∴，∴平分；（2）解：①∵，∴，∵是角平分线，∴，∴，∴，∵，∴；②设，∵，∴，当点D在点B左侧时，由（1）得：，∵平分，∴，又∵，∴，∵，∴，∴，∴；如图，当点D在点B右侧时，

∵分别平分，∴，，∵，∴，∵，∴，∴；综上所述，或．【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义的运用，解决问题的关键是掌握两直线平行内错角相等，两直线平行同旁内角，利用角的和差关系进行推理论证．【变式2】．（2023下·江苏南京·七年级统考期中）从特殊到一般是数学研究的常用方法，有助于我们发现规律，探索问题的解．

(1)如图1，，点E为、之间的一点．求证：．(2)如图2，，点E、F、G、H为、之间的四点．则______．(3)如图3，，则______．【答案】(1)证明见详解；(2)；(3)；【分析】（1）过点作，可得，根据平行线的性质可得，，再计算角度和即可证明；（2）分别过点E、F、G、H作的平行线，在两相邻平行线间利用两直线平行同旁内角互补求得两角度和后，再将所有角度相加即可解答；（3）由（2）解答可知在、之间每有一条线段便可求得一个180°角度和，结合图3找出n和线段条数的关系便可解答；【详解】（1）证明：如下图，过点作，

∵，，∴，根据两直线平行同旁内角互补可得：，，∴，∴；（2）解：如下图，分别过点E、F、G、H作，，，，

结合（1）解答在两相邻平行线间可得：，，，，，将所有角度相加可得：；（3）解：由（2）解答可知在、之间每有一条线段便可求得一个180°角度和，由图3可知：当、之间有2条线段时，，当、之间有3条线段时，，当、之间有4条线段时，，当、之间有5条线段时，，…，当、之间有条线段时，，∴；【点睛】本题考查了平行线公理的推论，平行线的性质，归纳总结的解题思路，通过作辅助线将角度按组计算是解题关键．【变式3】．（2023下·江苏南京·七年级校考阶段练习）如图所示的格线彼此平行．小明在格线中作，并探究角之间的数量关系．

(1)如图1，他先在一条格线上取一点，作出，当时，________；（注：、是角的两边与格线所成的角）(2)如图2，他又在两条格线之间取一点，作出，请探究、与之间的数量关系，并证明；（注：、是角的两边与格线所成的角）(3)如图3，点、、、在格线上，点在格线之间，平分，平分，若，则________．【答案】(1)(2)，理由见解析(3)【分析】（1）根据两直线平行，同位角相等即可得出答案；（2）根据两直线平行，内错角相等（即猪蹄模型）即可得出结论；（3）根据角平分线的性质，平行线的性质，得出猪蹄模型是解本题的关键．【详解】（1）解：如图所示：

∵，∴，∵，，∴，故答案为：；（2）理由如下：过点作，如图2，

，，且，，，，，，；（3）过点作，如图3，

∴，∵，，∴，∴，∵平分，平分，∴，∴，根据猪蹄模型可得：，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了平行线的性质，根据平行线的性质得出猪蹄模型是解本题的关键．题型五：根据平行线的性质求角的度数【例5】．（2023下·江苏南通·七年级如东县实验中学校考期中）如图，点C，D在直线上，，，的角平分线交于点G，过点F作交的延长线于点M，若，求的度数．

【答案】【分析】根据平行线的性质得出，求出，根据垂线定义得出，求出，根据角平分线定义得出，根据平行线的性质得出，求出即可．【详解】解：∵，即，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵是的角平分线，∴，∵，∴，∴．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，垂线定义，解题的关键是熟练掌握两直线平行同旁内角互补．【变式1】．（2023下·江苏盐城·七年级校考阶段练习）如图，在中，点D，E分别在和上，平分，过点D作．已知，求的度数是多少？

【答案】80°【分析】根据平行线的性质得到，根据平分，得到，即可得解．【详解】解：∵，∴，∵平分，∴，∴．【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的定义．熟练掌握平行线的性质和角平分线平分角是解题的关键．【变式2】．（2023下·江苏镇江·七年级校联考阶段练习）如图，，直线EF分别交、于点E、F，平分，，求的度数．

【答案】【分析】根据平行线的性质“两直线平行，内错角相等”，再利用角平分线的性质推出，这样就可求出的度数．【详解】解：，．平分，，．又，．【点睛】本题考查平行线的性质和角平分线的定义，解答此类题关键是在复杂图形之中辨认出应用性质的基本图形，从而利用性质和已知条件计算．【变式3】．（2023下·江苏淮安·七年级统考期末）如图，直线，一副三角板（，，，）按如图①放置，其中点E在直线上，点B，C均在直线上，且平分．

(1)求的度数；(2)如图②，若将绕B点以每秒的速度按逆时针方向旋转（A，C的对应点分别为F，G）．设旋转时间为t秒；①在旋转过程中，若边，求t的值；②若在绕B点旋转的同时，绕E点以每秒的速度按顺时针方向旋转（C、D的对应点分别为K、T），请直接写出与平行时t的值．【答案】(1)(2)①3或21；②5或17或29【分析】（1）首先求出，根据角平分线的定义求出，再根据平行线的性质求出，继而可得结果；（2）①分两种情况，画出图形，根据旋转速度以及平行线的性质列出关于t的方程，解之即可；②表示出，，分三种情况，画出图形，根据平行线的性质列出方程，再求解即可．【详解】（1）解：，，平分，，，，，．（2）①如图，，，，，，．

如图，，，∵，∴，此时旋转了，∴，．

在旋转过程中，若边，的值为3或21．②如图，延长，与交于H，，，∵，∴，∵，∴，∴，即，解得：；

如图，过点C作，∵，∴，∴，，∴，，∴，解得：；

如图，延长，与交于H，∵，∴，∵，∴，∴，即，解得：；

综上：t的值为5或17或29．【点睛】本题考查几何变换综合题，考查了平行线的性质，旋转变换，角平分线的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．题型六：平行线的性质在生活中的应用【例6】．（2023下·七年级单元测试）光线照射到镜面会产生反射现象，由光学知识，入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等，例如：在图1中，有∠1＝∠2．(1)如图2，已知镜子MO与镜子ON的夹角∠MON＝90°，请判断入射光线AB与反射光线CD的位置关系，并说明理由；(2)如图3，有一口井，已知入射光线AO与水平线OC的夹角为50°，当平面镜MN与水平线OC的夹角为°，能使反射光线OB正好垂直照射到井底；(3)如图4，直线EF上有两点A、C，分别引两条射线AB、CD．∠BAF＝120°，∠DCF＝40°，射线AB、CD分别绕A点、C点以3度/秒和1度/秒的速度同时逆时针转动，设时间为t秒，在射线AB转动一周的时间内，是否存在某时刻，使得CD与AB平行？若存在，求出所有满足条件的时间t．【答案】(1)ABCD，理由见解析(2)70(3)在射线AB转动一周的时间内，存在时间t，使得CD与AB平行，其t=10s或100s．【分析】（1）计算∠ABC+∠BCD的值便可得出结论；（2）先计算出∠AOB，进而得∠AOM+∠BON的值，再根据入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等，得出结果；（3）分四种情况讨论：当0s≤t≤20s时，当20s＜t≤40s时，当40s＜t≤80s时，当80s＜t≤120s时，根据角度大小变化关系锁确ABCD时的t值．【详解】（1）解：ABCD．理由如下：∵∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠ABC=180°∠1∠2=180°2∠2，∠BCD=180°∠3∠4=180°2∠3，∴∠ABC+∠BCD=360°2（∠2+∠3），∵∠BOC=90°，∴∠2+∠3=90°，∴∠ABC+∠BCD=180°，∴AB∥CD；（2）解：∵∠AOC=50°，∠BOC=90°，∴∠AOM+∠BON=180°90°50°=40°，∵∠AOM=∠BON，∴∠AOM=∠BON=20°，∴∠COM=20°+50°=70°，∠CON=20°+90°=110°，∴当平面镜MN与水平线OC的夹角为70°时，能使反射光线OB正好垂直照射到井底，故答案为：70；（3）解：①当0s≤t≤20s时，如下图，若ABCD，则∠BAC=∠ACD，即120+3t=140+t，解得t=10，∴当t=10s时ABCD；②当20s＜t≤40s时，如下图，有∠BAE＜90°＜∠ACD，则AB与CD不平行；③当40s＜t≤80s时，如下图，有∠BAC＜∠ACD，AB与CD不平行；④当80s＜t≤120s时，如下图，若ABCD，则∠BAC=∠DCF，即3t240=t40，解得t=100，∴当t=100s时，ABCD；综上可知，在射线AB转动一周的时间内，存在时间t，使得CD与AB平行，其t=10s或100s．【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，关键是应用分类讨论思想解决问题．【变式1】．（2023下·江苏·七年级期中）如图1，某段道路，两旁安装了两个探照灯M和N．灯M光束从开始旋转至便立即回转，灯N光束从开始旋转至便立即回转．灯M转动的速度是每秒1度，灯N转动的速度是每秒2度，灯M转动的时间为t秒．(1)如图2，灯M光束先转动30秒后，灯N光束才开始转动．①直接写出灯M光束和灯N光束，灯先回转；(填M或N)②在灯M光束回转之前，当两灯的光束平行时，求t的值；(2)如图3，两灯同时转动，且均不回转．连接，且，若两灯光束交于点E，在转动过程中，请探究与的数量关系是否发生变化？并说明理由．【答案】(1)①N；②当t的值为60或140时，两灯的光束互相平行(2)不变，．理由见解析【分析】（1）①分别计算M、N回转时间，然后比较即可；②根据M、N均未回转即和N回转后即两种情况，进行求解即可；（2）由，可得，则，由，得，求得，则，进而可得．【详解】（1）①解：光束M回转时间为（秒）；光束N回转时间（秒）；∵，∴光束N先回转，故答案为：N；②解：当时，如图1，∵，∴，∵，∴，∴，∴，解得；当时，如图2，∵，∴，∵，∴，∴，∴，解得，综上所述，当t的值为60或140时，两灯的光束互相平行；（2）解：不变，．理由如下：∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了平行线的性质的应用，一元一次方程的应用．解题的关键在于明确角度之间的数量关系．【变式2】．（2023下·江苏泰州·七年级统考期末）如图1是一盏可折叠台灯．图2、图3是其平面示意图，支架、为固定支撑杆，支架可绕点C旋转调节．已知灯体顶角，顶角平分线始终与垂直．

(1)如图2，当支架旋转至水平位置时，恰好与平行，求支架与水平方向的夹角的度数；(2)若将图2中的绕点顺时针旋转到如图3的位置，求此时与水平方向的夹角的度数．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用角平分线定义可得，由垂直定义可得，得出，再运用平行线性质即可得出答案；（2）过点作，过点作，根据平行线的性质求解即可．【详解】（1）解：如图2，，平分，，，，，，，，，即；（2）如图3，过点作，过点作，

则，，，，，，，．【点睛】本题考查了平行线性质等，适当添加辅助线，构造平行关系是解题关键．题型七：根据平行线判定与性质求角度【例7】．（2023下·江苏·七年级专题练习）如图，在中，，垂足为D，点E在上，，垂足为F．(1)与平行吗？请说明理由．(2)已知，求的度数．【答案】(1)平行，理由见解析(2)【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，熟知平行线的性质与判定定理是解题的关键．（1）在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，据此可得结论；（2）由平行线的性质结合已知条件证明，则，由此即可得到．【详解】（1）解：与平行，理由如下：∵，∴；（2）解：∵，∴，∵，∴，∴，∴．【变式1】．（2023下·江苏南通·七年级校联考阶段练习）如图，于点，于点，平分交于点，点为线段延长线上一点，．

(1)求证：；(2)若，求的度数．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据，得出，根据平行线的性质可得，进而得出，根据平行线判定定理即可得结论；（2）根据平行线的性质得出，，根据角平分线的定义即可得答案．【详解】（1）证明：∵于点，于点，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴．（2）解：∵，∴，，∵平分，∴，∴．【点睛】本题考查平行线的判定与性质，同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；熟练掌握平行线的判定定理是解题关键．【变式2】．（2023下·江苏·七年级专题练习）当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等例如：在图①、图②中，都有．设镜子与的夹角．(1)如图①，若，判断入射光线与反射光线的位置关系，并说明理由．(2)如图②，若，入射光线与反射光线的夹角．探索α与β的数量关系，并说明理由．(3)如图③，若，设镜子与的夹角，入射光线与镜面的夹角，已知入射光线从镜面开始反射，经过n（n为正整数，且）次反射，当第n次反射光线与入射光线平行时，请直接写出γ的度数．（可用含有m的代数式表示）【答案】(1)平行，见解析(2)，见解析(3)或【分析】本题考查了平行线的性质、列代数式，解决本题的关键是掌握平行线的性质，注意分类讨论思想的利用．（1）在△BEG中，可得，根据入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等可得，，进而可得；（2）在中，，可得，根据入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等可得，，在中，，可得α与β的数量关系；（3）分两种情况画图讨论：①当时，根据入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等，及内角和，可得．②当时，如果在边反射后与平行，则，与题意不符；则只能在边反射后与平行，根据三角形外角定义，可得，由，且由（1）的结论可得，．【详解】（1）解：，理由如下：在中，∴，∵，∴，∵，，∴，∴；（2）解：，理由如下：在中，，∴，∵，∴，∴，同理可得，，在中，，∴；（3）解：或．理由如下：①当时，如下图所示：

∵，∴，∴，，∵，∴，则，则，由内角和，得②当时，如果在边反射后与平行，则，与题意不符；则只能在边反射后与EF平行，如下图所示：

根据三角形外角定义，得，由，且由（1）的结论可得，，则．综上所述：γ的度数为：或150°．一、单选题1．（2023上·江苏·七年级专题练习）下列结论正确的是（

）A．过一点有且只有一条直线与已知直线平行B．平行于同一条直线的两直线平行C．两条直线被第三条直线所截，同位角相等D．不相交的两条直线必平行【答案】B【分析】本题主要考查了平行线的性质、定义、平行公理及推论，根据平行线的性质、定义、平行公理及推论判断即可．【详解】解：A、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故此选项错误；B、平行于同一条直线的两直线平行，故此选项正确；C、两条直线被第三条直线所截，只有被截线互相平行时，才同位角相等，故此选项错误；D、同一平面内，不相交的两条直线必定平行，故此选项错误．故选：B．2．（2023下·江苏泰州·七年级统考期末）如图，与互为补角，，则的度数是（

）

A．117° B．63° C．100° D．80°【答案】A【分析】根据互为补角的定义可得，从而可得，然后根据平行线的性质可得，即可解答．【详解】∵与互为补角，∴，∴，∴，故选：A．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，根据题目的已知条件得到平行线是解题的关键．3．（2023下·江苏扬州·七年级统考期末）如图，，将一副三角板按如图方式摆放，则的度数是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】先根据三角板中角度的特点得到，再根据平行线的性质即可得到．【详解】解：由题意得，，∴，∵，∴，故选C．

【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角板中角度的计算，熟知两直线平行，同旁内角互补是解题的关键．4．（2023下·江苏南通·七年级统考期末）如图，直线，点E，F分别是直线上的两点，点P在直线和之间，连接和的平分线交于点Q，下列等式正确的是（）

A． B． C． D．【答案】A【分析】过点P作，过点Q作，可得，从而得到，，，进而得到，再由角平分线的定义可得，即可求解．【详解】解：如图，过点P作，过点Q作，

∵，∴，∴，，，∴，∵和的平分线交于点Q，∴，∴，∵，∴．故选：A．【点睛】本题考查了平行线的性质，平行公理的推论，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．5．（2023下·江苏扬州·七年级统考期末）如图，是的高，若交于点，则与的数量关系是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意得出，根据平行线的性质得出，等量代换即可得解．【详解】∵是的高，∴，∴，∵，∴，∴,故选：．【点睛】此题考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．6．（2023下·江苏扬州·七年级校联考期中）如图，给出条件：①；②；③且；④且，其中能推出的条件是（）

A．① B．② C．②③ D．③④【答案】D【分析】根据平行线的判定逐个判断即可．【详解】解：①由，不能推出；②由，不能推出；③∵，∴，∵，∴，∴；④∵，∴，∵，∴，∴；∴能推出的条件为③④，故选：D．【点睛】本题考查了平行线的性质与判定定理，掌握平行线的判定定理是解题的关键．7．（2023上·江苏淮安·七年级淮安市徐杨中学校考阶段练习）如图，下列推理及所说理由正确的是（

）A．因为，所以．理由：同位角相等，两直线平行B．因为，所以．理由：同位角相等，两直线平行C．因为，所以．理由：两直线平行，内错角相等D．因为，所以．理由：两直线平行，同位角相等【答案】C【分析】根据平行线的判定与性质逐项判断即可得．【详解】解：A、因为，所以．理由：两直线平行，同位角相等；则此项错误，不符合题意；B、因为，所以．理由：内错角相等，两直线平行；则此项错误，不符合题意；C、因为，所以．理由：两直线平行，内错角相等；则此项正确，符合题意；D、因为，所以．理由：同位角相等，两直线平行；则此项错误，不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键．8．（2023下·江苏无锡·七年级校考阶段练习）如图，给出下列条件：；；③且；④且，其中能推出的条件正确的有（

）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】利用平行线的判定方法判断即可得到正确的选项．【详解】解：①∵，∴，故①不符合题意；②∵，∴，故②符合题意；③∵，且，∴，∴，∴，故③符合题意；④∵，且，∴，∴，∴，故④符合题意；那么共有3个条件能推出键．故选：C【点睛】此题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解本题的关键．9．（2023下·江苏淮安·七年级统考期末）如图，直线，把三角板的直角顶点放在直线上，若，则的度数为（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根据两直线平行同位角相等可得，即可求出答案．【详解】解：

∵，∴，由题意可得：，∴，∴，故选：D．【点睛】本题主要考查平行线的性质，熟练掌握两直线平行同位角相等是解题的关键．10．（2023下·江苏宿迁·七年级统考期末）如图，直线，平分，平分，，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据平行线的性质和角平分线的性质即可求解．【详解】解：∵，，∴，，，∵平分，∴，∴，∵，∴，∵平分，∴，则，故选：B．【点睛】本题考查平行线的性质、角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解答的关键．二、填空题11．（2023下·江苏苏州·七年级统考期末）如图，已知，，记，则m的值为．

【答案】【分析】过点F作，则，依据平行线的性质可证明，同理可证明，然后结合已知条件可得到问题的答案．【详解】解：如图所示：过点F作．∵，∴．∵，∴，∴．∴．同理：．∴∵，∴．故答案为：．

【点睛】本题主要考查的是平行线的判定和性质，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键．12．（2023下·江苏泰州·七年级校考阶段练习）如图，有一块含有角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上，如果那么的度数=°．

【答案】14【分析】根据两直线平行内错角相等和含角的直角三角板的特点即可求解．【详解】如图，根据题意可知，∴，∴．

故答案为：．【点睛】本题主要考查平行线的性质．掌握两直线平行内错角相等是解题关键．13．（2023下·江苏无锡·七年级校考阶段练习）如图a是长方形纸带，，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的的度数是度．

【答案】111【分析】根据两直线平行，内错角相等可得，再根据翻折的性质，图中处重叠了3层，然后根据代入数据进行计算即可得解．【详解】解：，长方形的对边，，由折叠，处重叠了3层，．故答案为：111．【点睛】本题考查了翻折变换，平行线的性质，观察图形判断出图中处重叠了3层是解题的关键．14．（2023下·江苏扬州·七年级校考阶段练习）已知，如图，，则．

【答案】/180度【分析】根据平行线的性质求解．【详解】解：，，，，，故答案为：．【点睛】本题考查平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．15．（2023下·江苏扬州·七年级校考阶段练习）如图，，，，则的度数等于．

【答案】【分析】先添加辅助线，则根据平行线的性质可得，则有，，再根据垂直的定义可得，然后求出，根据邻补角的定义即可得．【详解】如图，过作，

∴,∴，，∵，∴，∴，∵，∴，故答案为：．【点睛】此题考查了平行线的性质、垂直，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．16．（2023下·江苏南京·七年级校考期中）如图，在四边形中，过点A的直线，若，则．

【答案】145【分析】过点B作，交于点E．即可判定，得出，，，从而可求出，结合，可求出答案．【详解】解：如图，过点B作，交于点E．

∵，∴，∴，，．∵，∴，∴．故答案为：145．【点睛】本题考查平行线的判定和性质，角的和与差．正确作出辅助线并利用数形结合的思想是解题关键．17．（2023下·江苏连云港·七年级统考期中）一条古称在称物时的状态如图所示，已知，则．

【答案】100【分析】由平行线的性质可得，从而可得答案．【详解】解：如图，

由题意可得：，，，．故答案为：100．【点睛】本题考查的是平行线的性质，邻补角的含义，掌握“两直线平行，内错角相等”是解本题的关键．18．（2023下·江苏连云港·七年级统考期末）如图，，将直角三角尺的两个锐角顶点分别落在a、b上．若，则等于°．

【答案】25【分析】由平行线的性质可得，由三角形的内角和定理可求得，从而可求得，则可求的度数．【详解】解：如图，

∵，∴，在中，，∴，∴，∴，∵，∴．故答案为：25．【点睛】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补．三、解答题19．（2023下·江苏扬州·七年级统考期末）已知：如图，平分，点在上，点在上，连接、，与相交于点，．

(1)证明：；(2)若，，求．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据题意和对顶角相等得到，根据平行线的性质和判定即可证得．（2）根据角平分线的性质求出，由（1），根据平角的定义即可求解．【详解】（1）证明：，，，，．（2）解：平分，，，，，．【点睛】本题考查了角平分线的性质，平行线的性质与判定，掌握角平分线的性质，平行线的性质与判定是解题的关键．20．（2023下·江苏扬州·七年级统考期末）如图，在中，，F、G是、上的两点，．

(1)求证：；(2)若，平分，求的度数．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据平行线的性质和判定证明即可；（2）根据平行线的性质和角平分线的概念求解即可．【详解】（1）证明：∵，∴，∵，∴，∴；（2）解：∵，，∴，∵平分，∴，∵，∴．【点睛】此题考查了平行线的性质和判定，角平分线的概念，解题的关键是熟练掌握以上知识点．21．（2023下·江苏苏州·七年级校考阶段练习）如图，分别与相交于点G、点H，，试说明．

【答案】见解析【分析】根据对顶角相等结合题意可求出，即说明，从而得出，进而得出，即证明，得出．【详解】证明：∵，，∴，∴，∴．∵，∴，∴，∴．【点睛】本题考查对顶角相等，平行线的判定和性质．熟练掌握平行线的判定定理和性质定理是解题关键．22．（2023下·江苏泰州·七年级校考阶段练习）如图，分别与相交于点G、点H，，，则与平行吗？请说明理由．

【答案】，见解析【分析】根据对顶角相等得出，再由平行线的判定定理可证明，进而得出，再由即可得出结论．【详解】解：∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∴；【点睛】本题考查的是平行线的判定与性质，熟知平行线的判定定理是解答此题的关键．23．（2023下·江苏盐城·七年级校考阶段练习）如图，，．求证：．

根据图形和已知条件，请补全下面这道题的解答过程．证明：∵，∴．∴．又∵（已知），∴．∴．又∵，，∴（等量代换）．【答案】已知；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等；；；；【分析】利用平行线的性质