热点03一次函数与反比例函数

热点03一次函数与反比例函数一次函数在浙江中考数学中主要考察其图象、性质以及其简单应用，考察题型较为灵活。但是一张中考数学与试卷中，单独考察一次函数的题目占比并不是很大，更多的是考察一次函数与其他几何知识的结合。而反比例函数在中考中的占比会更大，常和一次函数的图象结合考察；在填空题中，对反比例函数点的坐标特征考察的比较多，而且难度逐渐增大，考题常结合其他规则几何图形的性质一起出题，多数题目的技巧性较强，复习中需要多加注意。另外解答题中还会考察反比例函数的解析式的确定，也是常和一次函数结合，顺带也会考察其与不等式的关系。而压轴题中也渐渐显露反比例函数的问题环境，考生在复习过程中需要更加重视该考点。一次函数部分：一次函数的解析式：待定系数法；其实不光是一次函数，所有函数的表达式求解方法都是待定系数法，并且，求解一次函数解析式需要2个点的坐标，正比例函数需要1个非原点的点的坐标即可。2.一次函数的图象：一次函数的图象是经过点和点的一条直线；在复习一次函数的图象时，一是要知道其增减性，二是要会判断其所过象限。具体方法记记牢，以不变应万变。3.一次函数与方程：求直线与另一直线的交点，就是在求两条直线对应解析式联立所得方程（组）的交点，求直线与x轴交点→y=0→一元一次方程；求直线与直线的交点→联立两条直线解析式→二元一次方程组。4.一次函数与不等式：通常是不解不等式，直接根据图象得不等式解析；由函数图象直接写出不等式解集的方法归纳：①根据图象找出交点横坐标，②不等式中不等号开口朝向的一方，图象在上方，对应交点的左右，则x取其中一边的范围。一次函数点的坐标特征：当一次函数与其他几何图形结合时，更多的难点在于与之结合的几何图形身上，一次函数的作用基本为——点在图象上，点的坐标符合其解析式；反比例函数部分反比例函数的解析式：待定系数法；反比例函数表达式方面的考察，一是待定系数法直接求反比例函数表达式，二是反比例函数图象上的两个点，坐标都符合函数的表达式，进而得2.反比例函数的图象：没有特殊要求，双曲线必分两支；双曲线的两支有轴对称性，也有中心对称性；反比例函数的增减性不能直接说明；反比例函数图象所过象限与k的正负有关，他们的关系是可逆的，应用时，注意由图象→k值时k的正负。另外，在说反比例函数的增减性之前，必须带上自变量的取值范围，不然就是错的。其对称性的考察，主要用在与之结合的几何图形的坐标表示上。3.反比例函数与一次函数：求交点则联立解析式得方程；根据图象直接写不等式的解集则找交点横坐标、分上下、选左右；一次函数与反比例函数经常放一起考察其图象与解析式的求解；反比例与不等式的结合，第一步找出交代的横坐标，第二步根据图象的上下关系选择交点的哪边符合，第三边让自变量x大于或小于交点的横坐标。4.反比例函数与几何图形的结合：当反比例函数与其他图形结合考察时，通常反比例函数只提供其解析式，即反比例函数图象上的点符合反比例函数的解析式，故需要多注意与反比例函数结合的图形的性质应用；一次函数图象与性质的考察，数学特点很重，所以基本都是直接考察；而一次函数的简单应用考察的热点就比较多，可以和现阶段的社会现象结合，与阅读及行程问题结合等。其他考察较多的考点包含：一次函数图象性质的应用、一次函数与面积的结合、一次函数与特殊图形（如等腰三角形、等腰直角三角形、等边三角形、矩形、正方形等）的结合。反比例函数在中考中也基本都是直接考察，常考热点包括：反比例函数图象与一次函数图象结合问题、反比例函数的性质及解析式的确定、反比例函数k的几何意义、反比例函数与三角形、四边形等几何图形的相关计算等。A卷（建议用时：60分钟）1．（2022•绍兴）已知（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）为直线y＝﹣2x+3上的三个点，且x1＜x2＜x3，则以下判断正确的是（）A．若x1x2＞0，则y1y3＞0 B．若x1x3＜0，则y1y2＞0 C．若x2x3＞0，则y1y3＞0 D．若x2x3＜0，则y1y2＞0【分析】根据一次函数的性质和各个选项中的条件，可以判断是否正确，从而可以解答本题．【解答】解：∵直线y＝﹣2x+3，∴y随x的增大而减小，当y＝0时，x＝1.5，∵（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）为直线y＝﹣2x+3上的三个点，且x1＜x2＜x3，∴若x1x2＞0，则x1，x2同号，但不能确定y1y3的正负，故选项A不符合题意；若x1x3＜0，则x1，x3异号，但不能确定y1y2的正负，故选项B不符合题意；若x2x3＞0，则x2，x3同号，但不能确定y1y3的正负，故选项C不符合题意；若x2x3＜0，则x2，x3异号，则x1，x2同时为负，故y1，y2同时为正，故y1y2＞0，故选项D符合题意；故选：D．2．（2022•台州）吴老师家、公园、学校依次在同一条直线上，家到公园、公园到学校的距离分别为400m，600m．他从家出发匀速步行8min到公园后，停留4min，然后匀速步行6min到学校．设吴老师离公园的距离为y（单位：m），所用时间为x（单位：min），则下列表示y与x之间函数关系的图象中，正确的是（）A．B． C．D．【分析】在不同时间段中，找出y的值，即可求解．【解答】解：吴老师从家出发匀速步行8min到公园，则y的值由400变为0，吴老师在公园停留4min，则y的值仍然为0，吴老师从公园匀速步行6min到学校，则在18分钟时，y的值为600，故选：C．3．（2022•温州）小聪某次从家出发去公园游玩的行程如图所示，他离家的路程为s米，所经过的时间为t分钟．下列选项中的图象，能近似刻画s与t之间关系的是（）A．B． C．D．【分析】根据函数图象可知，小聪从家出发，则图象从原点开始，在10～20分钟休息可解答．【解答】解：由题意可知：小聪某次从家出发，s米表示他离家的路程，所以C，D错误；小聪在凉亭休息10分钟，所以A正确，B错误．故选：A．4．（2022•丽水）已知电灯电路两端的电压U为220V，通过灯泡的电流强度I（A）的最大限度不得超过0.11A．设选用灯泡的电阻为R（Ω），下列说法正确的是（）A．R至少2000Ω B．R至多2000Ω C．R至少24.2Ω D．R至多24.2Ω【分析】利用已知条件列出不等式，解不等式即可得出结论．【解答】解：∵电压U一定时，电流强度I（A）与灯泡的电阻为R（Ω）成反比例，∴I＝．∵已知电灯电路两端的电压U为220V，∴I＝．∵通过灯泡的电流强度I（A）的最大限度不得超过0.11A，∴≤0.11，∴R≥2000．故选：A．5．（2022•杭州）已知一次函数y＝3x﹣1与y＝kx（k是常数，k≠0）的图象的交点坐标是（1，2），则方程组的解是．【分析】根据一次函数的交点坐标即可确定以两个一次函数解析式组成的二元一次方程组的解．【解答】解：∵一次函数y＝3x﹣1与y＝kx（k是常数，k≠0）的图象的交点坐标是（1，2），∴联立y＝3x﹣1与y＝kx的方程组的解为：，故答案为：．6．（2022•衢州）如图，在△ABC中，边AB在x轴上，边AC交y轴于点E．反比例函数y＝（x＞0）的图象恰好经过点C，与边BC交于点D．若AE＝CE，CD＝2BD，S△ABC＝6，则k＝．【分析】作CM⊥AB于点M，DN⊥AB于点N，设C（m，），则OM＝m，CM＝，根据平行线分线段成比例求出DN，BN，OA，MN，再根据面积公式即可求出k的值．【解答】解：如图，作CM⊥AB于点M，DN⊥AB于点N，设C（m，），则OM＝m，CM＝，∵OE∥CM，AE＝CE，∴＝＝1，∴AO＝m，∵DN∥CM，CD＝2BD，∴＝＝＝，∴DN＝，∴D的纵坐标为，∴＝，∴x＝3m，即ON＝3m，∴MN＝2m，∴BN＝m，∴AB＝5m，∵S△ABC＝6，∴5m•＝6，∴k＝．故答案为：．7．（2022•湖州）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的负半轴上，点B在y轴的负半轴上，tan∠ABO＝3，以AB为边向上作正方形ABCD．若图象经过点C的反比例函数的解析式是y＝，则图象经过点D的反比例函数的解析式是y＝﹣．【分析】如图，过点C作CT⊥y轴于点T，过点D作DH⊥CT交CT的延长线于点H．由tan∠ABO＝＝3，可以假设OB＝a，OA＝3a，利用全等三角形的性质分别求出C（a，2a），D（﹣2a，3a），可得结论．【解答】解：如图，过点C作CT⊥y轴于点T，过点D作DH⊥CT交CT的延长线于点H．∵tan∠ABO＝＝3，∴可以假设OB＝a，OA＝3a，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝∠AOB＝∠BTC＝90°，∴∠ABO+∠CBT＝90°，∠CBT+∠BCT＝90°，∴∠ABO＝∠BCT，∴△AOB≌△BTC（AAS），∴BT＝OA＝3a，OB＝TC＝a，∴OT＝BT﹣OB＝2a，∴C（a，2a），∵点C在y＝上，∴2a2＝1，同法可证△CHD≌△BTC，∴DH＝CT＝a，CH＝BT＝3a，∴D（﹣2a，3a），设经过点D的反比例函数的解析式为y＝，则有﹣2a×3a＝k，∴k＝﹣6a2＝﹣3，∴经过点D的反比例函数的解析式是y＝﹣．故答案为：y＝﹣．8．（2022•绍兴）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，4），B（3，4），将△ABO向右平移到△CDE位置，A的对应点是C，O的对应点是E，函数y＝（k≠0）的图象经过点C和DE的中点F，则k的值是6．【分析】根据反比例函数k的几何意义构造出矩形，利用方程思想解答即可．【解答】解：过点F作FG⊥x轴于点G，FH⊥y轴于点H，过点D作DQ⊥x轴于点Q，如图所示，根据题意可知，AC＝OE＝BD，设AC＝OE＝BD＝a，∴四边形ACEO的面积为4a，∵F为DE的中点，FG⊥x轴，DQ⊥x轴，∴FG为△EDQ的中位线，∴FG＝DQ＝2，EG＝EQ＝，∴四边形HFGO的面积为2（a+），∴k＝4a＝2（a+），解得：a＝，∴k＝6．故答案为：6．9．（2022•宁波）如图，四边形OABC为矩形，点A在第二象限，点A关于OB的对称点为点D，点B，D都在函数y＝（x＞0）的图象上，BE⊥x轴于点E．若DC的延长线交x轴于点F，当矩形OABC的面积为9时，的值为，点F的坐标为（，0）．【分析】连接OD，作DG⊥x轴，设点B（b，），D（a，），根据矩形的面积得出三角形BOD的面积，将三角形BOD的面积转化为梯形BEGD的面积，从而得出a，b的等式，将其分解因式，从而得出a，b的关系，进而在直角三角形BOD中，根据勾股定理列出方程，进而求得B，D的坐标，进一步可求得结果．【解答】解：如图，方法一：作DG⊥x轴于G，连接OD，设BC和OD交于I，设点B（b，），D（a，），由对称性可得：△BOD≌△BOA≌△OBC，∴∠OBC＝∠BOD，BC＝OD，∴OI＝BI，∴DI＝CI，∴＝，∵∠CID＝∠BIO，∴△CDI∽△BOI，∴∠CDI＝∠BOI，∴CD∥OB，∴S△BOD＝S△AOB＝S矩形AOCB＝，∵S△BOE＝S△DOG＝＝3，S四边形BOGD＝S△BOD+S△DOG＝S梯形BEGD+S△BOE，∴S梯形BEGD＝S△BOD＝，∴•（a﹣b）＝，∴2a2﹣3ab﹣2b2＝0，∴（a﹣2b）•（2a+b）＝0，∴a＝2b，a＝﹣（舍去），∴D（2b，），即：（2b，），在Rt△BOD中，由勾股定理得，OD2+BD2＝OB2，∴[（2b）2+（）2]+[（2b﹣b）2+（﹣）2]＝b2+（）2，∴b＝，∴B（，2），D（2，），∵直线OB的解析式为：y＝2x，∴直线DF的解析式为：y＝2x﹣3，当y＝0时，2﹣3＝0，∴x＝，∴F（，0），∵OE＝，OF＝，∴EF＝OF﹣OE＝，∴＝，方法二：如图，连接BF，BD，作DG⊥x轴于G，直线BD交x轴于H，由上知：DF∥OB，∴S△BOF＝S△BOD＝，∵S△BOE＝|k|＝3，∴＝＝，设EF＝a，FG＝b，则OE＝2a，∴BE＝，OG＝3a+b，DG＝，∵△BOE∽△DFG，∴＝，∴＝，∴a＝b，a＝﹣（舍去），∴D（4a，），∵B（2a，），∴＝＝，∴GH＝EG＝2a，∵∠ODH＝90°，DG⊥OH，∴△ODG∽△DHG，∴，∴，∴a＝，∴3a＝，∴F（，0）故答案为：，（，0）．10．（2022•台州）如图，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高y（单位：cm）是物距（小孔到蜡烛的距离）x（单位：cm）的反比例函数，当x＝6时，y＝2．（1）求y关于x的函数解析式．（2）若火焰的像高为3cm，求小孔到蜡烛的距离．【分析】（1）根据待定法得出反比例函数的解析式即可；（2）根据解析式代入数值解答即可．【解答】解：（1）由题意设：y＝，把x＝6，y＝2代入，得k＝6×2＝12，∴y关于x的函数解析式为：y＝；（2）把y＝3代入y＝，得，x＝4，∴小孔到蜡烛的距离为4cm．11．（2022•温州）已知反比例函数y＝（k≠0）的图象的一支如图所示，它经过点（3，﹣2）．（1）求这个反比例函数的表达式，并补画该函数图象的另一支．（2）求当y≤5，且y≠0时自变量x的取值范围．【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式，利用描点法补充函数图象；（2）利用数形结合思想确定关键点，从而求得相应的自变量的取值范围．【解答】解：（1）把点（3，﹣2）代入y＝（k≠0），﹣2＝，解得：k＝﹣6，∴反比例函数的表达式为y＝﹣，补充其函数图象如下：（2）当y＝5时，﹣＝5，解得：x＝﹣，∴当y≤5，且y≠0时，x≤﹣或x＞0．12．（2022•宁波）如图，正比例函数y＝﹣x的图象与反比例函数y＝（k≠0）的图象都经过点A（a，2）．（1）求点A的坐标和反比例函数表达式．（2）若点P（m，n）在该反比例函数图象上，且它到y轴距离小于3，请根据图象直接写出n的取值范围．【分析】（1）把点A的坐标代入一次函数关系式可求出a的值，再代入反比例函数关系式确定k的值，进而得出答案；（2）确定m的取值范围，再根据反比例函数关系式得出n的取值范围即可．【解答】解：（1）把A（a，2）的坐标代入y＝﹣x，即2＝﹣a，解得a＝﹣3，∴A（﹣3，2），又∵点A（﹣3，2）是反比例函数y＝的图象上，∴k＝﹣3×2＝﹣6，∴反比例函数的关系式为y＝﹣；（2）∵点P（m，n）在该反比例函数图象上，且它到y轴距离小于3，∴﹣3＜m＜0或0＜m＜3，当m＝﹣3时，n＝＝2，当m＝3时，n＝＝﹣2，由图象可知，若点P（m，n）在该反比例函数图象上，且它到y轴距离小于3，n的取值范围为n＞2或n＜﹣2．13．（2022•绍兴）一个深为6米的水池积存着少量水，现在打开水阀进水，下表记录了2小时内5个时刻的水位高度，其中x表示进水用时（单位：小时），y表示水位高度（单位：米）．x00.511.52y11.522.53为了描述水池水位高度与进水用时的关系，现有以下三种函数模型供选择：y＝kx+b（k≠0），y＝ax2+bx+c（a≠0），y＝（k≠0）．（1）在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，再选出最符合实际的函数模型，求出相应的函数表达式，并画出这个函数的图象．（2）当水位高度达到5米时，求进水用时x．【分析】（1）根据表格数对画出函数图象即可；然后利用待定系数法即可求出相应的函数表达式；（2）结合（1）的函数表达式，代入值即可解决问题．【解答】解：（1）函数的图象如图所示：根据图象可知：选择函数y＝kx+b，将（0，1），（1，2）代入，得解得∴函数表达式为：y＝x+1（0≤x≤5）；（2）当y＝5时，x+1＝5，∴x＝4．答：当水位高度达到5米时，进水用时x为4小时．14．（2022•杭州）设函数y1＝，函数y2＝k2x+b（k1，k2，b是常数，k1≠0，k2≠0）．（1）若函数y1和函数y2的图象交于点A（1，m），点B（3，1），①求函数y1，y2的表达式；②当2＜x＜3时，比较y1与y2的大小（直接写出结果）．（2）若点C（2，n）在函数y1的图象上，点C先向下平移2个单位，再向左平移4个单位，得点D，点D恰好落在函数y1的图象上，求n的值．【分析】（1）①利用待定系数法求函数解析式；②利用函数图象分析比较；（2）根据平移确定点D的坐标，然后利用函数图象上点的坐标特征代入求解．【解答】解：（1）①把点B（3，1）代入y1＝，1＝，解得：k1＝3，∴函数y1的表达式为y1＝，把点A（1，m）代入y1＝，解得m＝3，把点A（1，3），点B（3，1）代入y2＝k2x+b，，解得，∴函数y2的表达式为y2＝﹣x+4；②如图，当2＜x＜3时，y1＜y2；（2）由平移，可得点D坐标为（﹣2，n﹣2），∴﹣2（n﹣2）＝2n，解得：n＝1，∴n的值为1．15．（2022•湖州）某校组织学生从学校出发，乘坐大巴前往基地进行研学活动．大巴出发1小时后，学校因事派人乘坐轿车沿相同路线追赶．已知大巴行驶的速度是40千米/小时，轿车行驶的速度是60千米/小时．（1）求轿车出发后多少小时追上大巴？此时，两车与学校相距多少千米？（2）如图，图中OB，AB分别表示大巴、轿车离开学校的路程s（千米）与大巴行驶的时间t（小时）的函数关系的图象．试求点B的坐标和AB所在直线的解析式；（3）假设大巴出发a小时后轿车出发追赶，轿车行驶了1.5小时追上大巴，求a的值．【分析】（1）设轿车出发后x小时追上大巴，根据题意列出方程即可求解；（2）由图象及（1）的结果可得A（1，0），B（3，120），利用待定系数法即可求解；（3）根据题意列出方程即可求出a的值．【解答】解：（1）设轿车出发后x小时追上大巴，依题意得：40（x+1）＝60x，解得x＝2．∴轿车出发后2小时追上大巴，此时，两车与学校相距60×2＝120（千米），答：轿车出发后2小时追上大巴，此时，两车与学校相距120千米；（2）∵轿车出发后2小时追上大巴，此时，两车与学校相距120千米，∴大巴行驶了3小时，∴B（3，120），由图象得A（1，0），设AB所在直线的解析式为s＝kt+b，∴，解得，∴AB所在直线的解析式为s＝60t﹣60；（3）依题意得：40（a+1.5）＝60×1.5，解得a＝．∴a的值为．16．（2022•金华）如图，点A在第一象限内，AB⊥x轴于点B，反比例函数y＝（k≠0，x＞0）的图象分别交AO，AB于点C，D．已知点C的坐标为（2，2），BD＝1．（1）求k的值及点D的坐标．（2）已知点P在该反比例函数图象上，且在△ABO的内部（包括边界），直接写出点P的横坐标x的取值范围．【分析】（1）根据点C（2，2）在反比例函数y＝（k≠0，x＞0）的图象上，可以求得k的值，再把y＝1代入函数解析式，即可得到点D的坐标；（2）根据题意和点C、D的坐标，可以直接写出点P的横坐标的取值范围．【解答】解：（1）∵点C（2，2）在反比例函数y＝（k≠0，x＞0）的图象上，∴2＝，解得k＝4，∵BD＝1．∴点D的纵坐标为1，∵点D在反比例函数y＝（k≠0，x＞0）的图象上，∴1＝，解得x＝4，即点D的坐标为（4，1）；（2）∵点C（2，2），点D（4，1），点P在该反比例函数图象上，且在△ABO的内部（包括边界），∴点P的横坐标x的取值范围是2≤x≤4．17．（2022•丽水）因疫情防控需要，一辆货车先从甲地出发运送防疫物资到乙地，稍后一辆轿车从甲地急送防疫专家到乙地．已知甲、乙两地的路程是330km，货车行驶时的速度是60km/h．两车离甲地的路程s（km）与时间t（h）的函数图象如图．（1）求出a的值；（2）求轿车离甲地的路程s（km）与时间t（h）的函数表达式；（3）问轿车比货车早多少时间到达乙地？【分析】（1）根据路程、时间、速度三者之间的关系即可解决问题；（2）设直线的表达式为s＝kt+b，然后利用待定系数法求一次函数解析式解答即可解决问题；（3）根据时间＝路程÷速度分别求出货车与小轿车到达终点的时间，即可解决问题．【解答】解：（1）∵货车的速度是60km/h，∴a＝＝1.5（h）；（2）由图象可得点（1.5，0），（3，150），设直线的表达式为s＝kt+b，把（1.5，0），（3，150）代入得：，解得，∴s＝100t﹣150；（3）由图象可得货车走完全程需要+0.5＝6（h），∴货车到达乙地需6h，∵s＝100t﹣150，s＝330，解得t＝4.8，∴两车相差时间为6﹣4.8＝1.2（h），∴货车还需要1.2h才能到达，即轿车比货车早1.2h到达乙地．B卷（建议用时：80分钟）1．（2022•西湖区校级模拟）已知点（﹣2，m），（1，n）都在直线y＝2x+b上，则m，n的大小关系是（）A．m＞n B．m＝n C．m＜n D．不能确定【分析】根据k＝2可知一次函数的增减性，即可比较m和n的大小．【解答】解：在直线y＝2x+b中，k＝2＞0，∴y随着x的增大而增大，∵﹣2＜1，∴m＜n，故选：C．2．（2022•龙湾区模拟）某气球内充满一定质量的气体，温度不变时，气球内气体的压强p（kPa）与气体的体积V（m3）的关系是如图所示的反比例函数．当气球内气体的压强大于200kPa，气球就会爆炸．为了不让气球爆炸，则气球内气体的体积V需满足的取值范围是（）A．V＜0.5 B．V＞0.5 C．V≤0.5 D．V≥0.5【分析】由于当温度不变时，气球内的气体的气压P是气体体积V的反比例函数，可设p＝，再根据气体的体积V＝0.8m3时，气球内气体的压强p＝125kPa，运用待定系数法求出其解析式；故当p≤200kPa时，V≥0.5m3．【解答】解：设球内气体的气压P（kPa）和气体体积V（m3）的关系式为p＝，∵当气体的体积V＝0.8m3时，气球内气体的压强p＝125kPa，∴125＝，∴k＝125×0.8＝100，∴p＝，∴当p≤200kPa，即≤200kPa时，V≥0.5m3．故选：D．3．（2022•舟山二模）如图，直线y＝﹣x+5交坐标轴于点A、B，与坐标原点构成的△AOB向x轴正方向平移4个单位长度得△A′O′B′，边O′B′与直线AB交于点E，则图中阴影部分面积为（）A． B．15 C．10 D．14【分析】在y＝﹣x+5中，可得A（，0），B（0，5），即得S△AOB＝OA•OB＝，由平移得xO'＝xE＝4，即得E（4，2），S△AO'E＝O'A•O'E＝，故S阴影＝﹣＝14．【解答】解：在y＝﹣x+5中，令x＝0得y＝5，y＝0得x＝，∴A（，0），B（0，5），∴S△AOB＝OA•OB＝××5＝＝S△A'B'O'，∵△AOB向x轴正方向平移4个单位长度得△A′O′B′，∴xO'＝xE＝4，在y＝﹣x+5中，令x＝4得y＝2，∴E（4，2），∴O'E＝2，O'A＝OA﹣OO'＝﹣4＝，∴S△AO'E＝O'A•O'E＝××2＝，∴S阴影＝﹣＝14，故选：D．4．（2022•上城区校级二模）如图，A、B两地相距20千米，甲、乙两人都从A地去B地，如图，l1和l2分别表示甲、乙两人所走路程s（千米）与时间t（小时）之间关系图象，下列说法：①乙晚出发1小时；②乙出发后3小时追上甲；③甲的速度是4千米/时；④乙比甲先到B地．其中正确的说法是（）A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④【分析】观察函数图象，从图象中获取信息，根据速度，路程，时间三者之间的关系求得结果．【解答】解：由函数图象可知，乙比甲晚出发1小时，故①正确；乙出发3﹣1＝2（小时）后追上甲，故②错误；甲的速度为：12÷3＝4（千米/小时），故③正确；乙的速度为：12÷（3﹣1）＝6（千米/小时），则甲到达B地用的时间为：20÷4＝5（小时），乙到达B地用的时间为：20÷6＝（小时），∵1+＝＜5，∴乙先到达B地，故④正确；∴正确的说法为：①③④，故选：B．5．（2022•椒江区二模）甲、乙是由两组一模一样的三个圆柱组合而成的容器，现匀速地向两容器注水至满，在注水过程中，甲、乙两容器水面高度h随时间t的变化规律如图所示，则实线对应的容器的形状和A点的坐标分别是（）A．甲，（，3） B．甲，（，） C．乙，（，3） D．乙，（，）【分析】由图象可知，由实线对应的容器的形状是甲，分别确定两直线的解析式再求解交点坐标．【解答】解：由题意可得，实线对应的容器的形状是甲，分别设两直线解析式为y＝kx+b和y＝k'x+b'，可得和，解得和，∴两直线的解析式为y＝x+1和y＝2x﹣10，解方程x+1＝2x﹣10，解得x＝，∴y＝2×﹣10＝，故选：B．6．（2023•义乌市校级模拟）如图，一次函数y＝ax+b的图象与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，与反比例函数的图象交于点C，D．若tan∠BAO＝2，BC＝3AC，则点D的坐标为（）A．（2，3） B．（6，1） C．（1，6） D．（1，5）【分析】根据tan∠BAO＝2，可得出B点的坐标，运用待定系数法即可求出AB的解析式；设C（x1，y1），过点C作CE⊥x轴，垂足为E，则CE∥BO，得出△ACE∽△ABO，根据相似三角形的性质解出点C的坐标，可得反比例函数表达式，联立反比例函数与一次函数即可求解．【解答】解：在Rt△AOB中，∵tan∠BAO＝2，∴BO＝2OA，∵A（4，0），∴B（0，8），∵A、B两点在函数y＝ax+b上，将A（4，0）、B（0，8）代入y＝ax+b得，解得a＝﹣2，b＝8，∴y＝﹣2x+8设C（x1，y1），过点C作CE⊥x轴，垂足为E，则CE∥BO，∴△ACE∽△ABO∴，又∵BC＝3AC，∴，即，CE＝2，即y1＝2，∴﹣2x1+8＝2，∴x1＝3，∴C（3，2）∴k＝x1y1＝3×2＝6，∴；联立，得，，∴D（1，6），故选：C．7．（2022•金华模拟）设函数y1＝，y2＝（k＞0），当1≤x≤3时，函数y1的最大值为a，函数y2的最小值为a﹣4，则a＝2．【分析】直接利用反比例函数的性质分别得出k与a的关系，进而得出答案．【解答】解：∵函数y1＝（k＞0），当1≤x≤3时，函数y1的最大值为a，∴x＝1时，y＝k＝a，∵y2＝（k＞0），当1≤x≤3时，函数y2的最小值为y＝a﹣4，∴当x＝1时，y＝﹣k＝a﹣4，∴k＝4﹣a，故a＝4﹣a，解得：a＝2．故答案为：2．8．（2022•舟山模拟）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，等边三角形ABO的边OB和菱形CDEO的边BO均在x轴上，点C在AO上，，反比例函数（k＞0，x＞0）的图象经过点A，则k的值为2．【分析】连接OD，由△OAB是等边三角形，得到∠AOB＝60°，根据平行线的性质得到∠DEO＝∠AOB＝60°，推出△DEO是等边三角形，得到∠DOE＝∠ABO＝60°，得到OD∥AB，求得S△BDO＝S△BOD，推出S△AOB＝S△ABD＝2，过A作AH⊥OB于H，由等边三角形的性质得到OH＝BH，求得S△OAH＝，于是得到结论．【解答】解：连接OD，∵△OAB是等边三角形，∴∠AOB＝60°，∵四边形OCDE是菱形，∴DE∥OA，∴∠DEO＝∠AOB＝60°，∴△DEO是等边三角形，∴∠DOE＝∠ABO＝60°，∴OD∥AB，∴S△ADO＝S△BOD，∵S四边形ABOD＝S△BDO+S△ABD＝S△ADO+S△AOB，∴S△AOB＝S△ABD＝2，过A作AH⊥OB于H，∴OH＝BH，∴S△OAH＝，∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A，∴k的值为2，故答案为：2．9．（2023•慈溪市模拟）如图，△COD为直角三角形，∠COD＝90°，点A为斜边CD的中点，反比例函数图象经过A、C（点C在第一象限），点D在反比例函数上（点D在第二象限），过点D作x轴的垂线交y1的图象于点B，过点C作x轴的垂线交y2的图象于点E，连结BC，OE，已知△CBD的面积为16，若A，B两点关于原点成中心对称，则a﹣b的值为8，tan∠CDO＝．【分析】设A（t，）（t＞0），BD与x轴交于点F，CE与x轴交于点G，过点C作CH⊥BD于点H，可得，求得，再证得△ODF∽△COG，可得＝＝，求得t2＝，再利用三角函数定义即可求得答案．【解答】解：设A（t，）（t＞0），BD与x轴交于点F，CE与x轴交于点G，过点C作CH⊥BD于点H，如图，∵A，B两点关于原点中心对称，∴B（﹣t，﹣），∵BD⊥x轴，且点D在反比例函数y2＝（b＜0）上，∴D（﹣t，﹣），∵点A是CD的中点，∴点C的坐标为（3t，），∵点C在反比例函数y1＝（a＞0）图象上，∴3t×＝a，∴5a+3b＝0①，∴BD＝﹣﹣（﹣）＝，FG＝3t﹣（﹣t）＝4t，∵S△CBD＝16，∴×BD×CH＝16，即××4t＝16，∴a﹣b＝8②，联立①②，得，解得：，∴a﹣b＝3+5＝8，C（3t，），D（﹣t，），E（3t，﹣），∴OG＝3t，CG＝，OF＝t，DF＝，EG＝，FG＝3t﹣（﹣t）＝4t，∵∠DFO＝∠OGC＝∠CHF＝90°，∴四边形CGFH是矩形，∴CH＝FG＝4t，∵∠DFO＝∠OGC＝90°，∴∠ODF+∠DOF＝90°，∵∠COD＝90°，∴∠COG+∠DOF＝90°，∴∠ODF＝∠COG，∴△ODF∽△COG，∴＝＝，即＝＝，∴t2＝，∴tan∠CDO＝＝＝＝＝＝．故答案为：8，．10．（2022•香洲区模拟）如图，点P是反比例函数y1＝（x＞0）上一点，过点P作x轴、y轴的垂线，分别交反比例函数的图象于点A、B，若OP＝2AB，∠OBA＝90°，则点P的坐标为（，）．【分析】延长PA交x轴于C，延长PB交y轴于D，设点P（a，b），可表示出A和B两点坐标，计算得出＝，从而得出△PAB△PCD，进而推出AB∥CD，根据OP＝2AB，进而得出AB是△PCD的中位线，再证得△PAB∽△DBO，从而得出a，b的关系式，结合a•b＝3，从而求得a，b的值，进而得出结果．【解答】解：如图，延长PA交x轴于C，延长PB交y轴于点D，设点P（a，b），∴A（a，），B（，b），a•b＝3，∵＝＝，＝，∴＝，∵∠APB＝∠CPD，∴△PAB∽△PCD，∴∠PAB＝∠PCD，∴AB∥CD，∴＝，∵∠PDO＝∠COD＝∠PCO＝90°，∴四边形CODP是矩形，∴AP＝CD，∴＝＝，∴B（，），∴k＝＝ab＝，∵∠APB＝∠BDO＝90°，∴∠BOD+∠DBO＝90°，∴∠ABO＝90°，∴∠DBO+∠ABP＝90°，∴∠BOD＝∠ABP，∴△BOD∽△ABP，∴＝，∴＝，∴b2＝，∵a•b＝3，∴a＝，b＝，故答案是：（，）．11．（2023•慈溪市模拟）甲、乙两地间的直线公路长为600千米，一辆轿车与一辆货车分别沿该公路从甲、乙两地以各自的速度相向而行，货车比轿车早出发1小时，途中轿车出现了故障，停下维修，货车仍继续行驶，1小时后轿车故障被排除，此时接到通知，轿车立刻掉头按原路原速返回甲地（接到通知及掉头时间不计）最后两车同时到达甲地，已知两车距各自出发地的距离y（千米）与轿车所用的时间x（小时）的关系如图所示，请结合图象解答下列问题：（1）货车的速度是60千米/时，轿车的速度是90千米/时；（2）求轿车距其出发地的距离y（千米）与所用时间x（小时）之间的函数表达式；（3）求货车出发多长时间，两车相距120千米？【分析】（1）根据题意和函数图象中的数据，可以计算出货车的速度、t的值以及轿车的速度；（2）根据函数图象中的数据，可以计算出轿车距其出发地的距离y（千米）与所用时间x（小时）之间的函数表达式；（3）根据（1）中的结果和图象，利用分类讨论的方法，可以得到货车出发多长时间两车相距120千米．【解答】解：（1）由图象可得，货车的速度为：60÷1＝60（千米/时），t＝（600÷60﹣1﹣1）÷2＝4，轿车的速度为：360÷4＝90（千米/时），故答案为：60，90；（2）当0≤x≤4时，设轿车距其出发地的距离y（千米）与所用时间x（小时）之间的函数表达式是y＝kx，∵点（4，360）在该函数图象上，∴4k＝360，解得k＝90，即当0≤x≤4时，轿车距其出发地的距离y（千米）与所用时间x（小时）之间的函数表达式是y＝90x；当4＜x≤5时，y＝360；当5＜x≤9时，设轿车距其出发地的距离y（千米）与所用时间x（小时）之间的函数表达式是y＝mx+n，∵点（5，360），（9，0）在该函数图象上，∴，解得，即当5＜x≤9时，轿车距其出发地的距离y（千米）与所用时间x（小时）之间的函数表达式是y＝﹣90x+810，由上可得，轿车距其出发地的距离y（千米）与所用时间x（小时）之间的函数表达式是y＝；（3）设货车出发a小时时两车相距120千米，两车相遇之前：60a+90（a﹣1）＝600﹣120，解得a＝3.8，∵3.8﹣1＝2.8＜4，∴a＝3.8时符合题意；两车相遇之后且轿车维修好之前：60a+90（a﹣1）＝600+120，解得a＝5.4，∵5.4﹣1＝4.4＞4，∴a＝5.4不符合题意，∴60a+90×4＝600+120，解得a＝6，当a＝6时，6﹣1＝5，此时轿车刚刚维修好，符合题意；轿车维修好之后：由上可知，当货车行驶6小时时，两车相距120千米，又因为轿车速度大于货车速度，故两车越来越近，距离不可能是120千米；由上可得，货车出发3.8小时或6小时时两车相距120千米．12．（2022•萧山区校级二模）如图，一次函数y＝k1x+b与反比例函数y＝的图象交于A（2，m），B（n，﹣2）两点，过点A作AC⊥x轴，垂足为C，且S△OAC＝3．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）若P（p，y1），Q（﹣2，y2）是函数y＝图象上的两点，且y1≥y2，写出实数p的取值范围．【分析】（1）根据反比例函数系数k的几何意义求得k＝6，进而求得A、B的坐标，然后利用待定系数法可得一次函数的解析式．（2）根据反比例函数的性质即可求得．【解答】解：（1）∵点A在反比例函数y＝的图象上，AC⊥x轴，垂足为C，且S△OAC＝3，∴S△OAC＝k2＝3，∴k2＝6，∴反比例函数的解析式为y＝，把A（2，m），B（n，﹣2）代入反比例函数，可得m＝3，n＝﹣3，∴A（2，3），B（﹣3，﹣2），把A（2，3），B（﹣3，﹣2）代入一次函数y1＝k1x+b，可得，解得，∴一次函数