专题12角相交线与平行线（6大考点）（原卷版）

第四部分三角形专题12角、相交线与平行线（6大考点）核心考点核心考点一直线和线段核心考点二角与角平分线核心考点三相交线核心考点四平行线的判定核心考点五利用平行线求角度或证明核心考点六命题新题速递核心考点一直线和线段例1（2021·江苏泰州·统考中考真题）互不重合的A、B、C三点在同一直线上，已知AC＝2a+1，BC＝a+4，AB＝3a，这三点的位置关系是（）A．点A在B、C两点之间 B．点B在A、C两点之间C．点C在A、B两点之间 D．无法确定例2（2022·浙江嘉兴·统考中考真题）如图，在ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝60°，直尺的一边与BC重合，另一边分别交AB，AC于点D，E．点B，C，D，E处的读数分别为15，12，0，1，则直尺宽BD的长为_________．例3（2022·黑龙江牡丹江·统考中考真题）如图，和，点E，F在直线BC上，，，．如图①，易证：．请解答下列问题：(1)如图②，如图③，请猜想BC，BE，BF之间的数量关系，并直接写出猜想结论；(2)请选择（1）中任意一种结论进行证明；(3)若，，，，则______，______．直线由无数个点构成，点动成线。直线是面的组成成分，并继而组成体。没有端点，向两端无限延伸，长度无法度量。直线是轴对称图形。它有无数条对称轴，对称轴为所有与它垂直的直线（有无数条）。在平面上过不重合的两点有且只有一条直线，即不重合两点确定一条直线。在球面上，过两点可以做无数条类似直线。构成几何图形的最基本元素。在D·希尔伯特建立的欧几里德几何的公理体系中，点、直线、平面属于基本概念，由他们之间的关联关系和五组公理来界定。线段指直线上两点间的有限部分（包括两个端点）

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，有别于直线、射线【变式1】（2022·云南楚雄·云南省楚雄第一中学校考模拟预测）在下列说法中，正确的有（）①两点确定一条直线；

②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；

③垂直于同一条直线的两条直线垂直；④平行于同一条直线的两条直线平行；

⑤过一点有且只有一条直线和已知直线垂直．A．个 B．个 C．个 D．个【变式2】（2022·江苏常州·校考二模）如图，矩形中，点E在边上，，动点P从点A出发，沿运动到B停止，过点E作垂直交射线于点F，如果M是线段的中点，那么P在运动的过程中，点M运动的路线长为（

）A．5 B．5.5 C．4 D．4.5【变式3】（2021·广西柳州·统考一模）建筑工人砌墙时，经常在两个墙脚的位置分别插一根木桩，然后拉一条直的参照线，用到的数学知识是______．【变式4】（2021·甘肃·模拟预测）定义：数轴上给定两点A、B以及一条线段PQ，当线段AB的中点在线段PQ上时（包含点P、Q），就称点A与点B关于线段PQ径向对称，若A、P、Q三点在数轴上的位置如图所示，点A与点B关于线段PQ径向对称．则点B表示的数x的取值范围是____．【变式5】（2020·湖南邵阳·校联考一模）如图，点C在线段上，点M、N分别是的中点．(1)若，求线段的长；(2)若C为线段上任一点，满足，其它条件不变，你能猜想的长度吗？请直接写出你的答案．(3)若C在线段的延长线上，且满足，M、N分别为的中点，你能猜想的长度吗？请画出图形，写出你的结论，并说明理由．核心考点二角与角平分线例1（2021·四川达州·统考中考真题）如图，一束光线先后经平面镜，反射后，反射光线与平行，当时，的度数为（

）A． B． C． D．例2（2022·山东济宁·统考中考真题）如图，直线l1，l2，l3被直线l4所截，若l1l2，l2l3，∠1＝126°32'，则∠2的度数是___________．例3（2022·浙江温州·统考中考真题）如图，是的角平分线，，交于点E．(1)求证：．(2)当时，请判断与的大小关系，并说明理由．角在几何学中，是由两条有公共端点的射线组成的几何对象。这两条射线叫做角的边，它们的公共端点叫做角的顶点。一般的角会假设在欧几里得平面上，但在欧几里得几何中也可以定义角。角在几何学和三角学中有着广泛的应用从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线。注：角平分线类型的题目，辅助线一般都是过角平分线上的向两边作垂线。【变式1】（2023·江苏苏州·统考一模）如图，已知，直角三角板的直角顶点在直线a上，若，则等于（

）A． B． C． D．【变式2】（2022·江苏南京·南京大学附属中学校考模拟预测）如图，锐角三角形中，直线l为的中垂线，直线m为的角平分线，l与m相交于P点．若，，则的度数是（）A． B． C． D．【变式3】（2022·湖南永州·统考二模）如图，已知，是角平分线且，作的垂直平分线交于点F，作，则的周长为______．【变式4】（2022·四川眉山·模拟预测）如图，，，、分别平分、，，则的周长是______．【变式5】（2022·浙江绍兴·一模）（1）问题背景如图①，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，∠ABC的平分线交直线AC于D，过点C作CE⊥BD，交直线BD于E，CE交直线BA于M．探究线段BD与CE的数量关系得到的结论是________．（2）类比探索在（1）中，如果把BD改为△ABC的外角∠ABF的平分线，其他条件均不变（如图②），（1）中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．（3）拓展延伸在（2）中，如果，其他条件均不变（如图③），请直接写出BD与CE的数量关系为________．核心考点三相交线例1（2022·河南·统考中考真题）如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD，垂足为O．若∠1＝54°，则∠2的度数为（

）A．26° B．36° C．44° D．54°例2（2021·湖南益阳·统考中考真题）如图，与相交于点O，是的平分线，且恰好平分，则_______度．例3（2022·山东菏泽·统考中考真题）如图，在中，，E是边AC上一点，且，过点A作BE的垂线，交BE的延长线于点D，求证：．在同一平面内，两条直线的位置关系有相交和平行两种。如果两条直线只有一个公共点时，称这两条直线相交。相交线会形成三线八角【变式1】（2022·广西百色·统考一模）如图，已知直线AB、CD相交于点O，OE平分∠COB，若∠BOD=70°，则∠COE的度数是（）A．45° B．70° C．55° D．110°【变式2】（2023·山东泰安·校考一模）如图，等边的边长为4，点是边上的一动点，连接，以为斜边向上作等腰，连接，则AE的最小值为（）A．1 B． C．2 D．【变式3】（2021·吉林长春·校考二模）如图，在中，，，为边上一动点，以，为邻边作平行四边形，则对角线的最小值为__．【变式4】（2022·陕西西安·校考模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2，点P是对角线AC上的动点，连接PD，则PA＋2PD的最小值________．【变式5】（2022·湖北武汉·模拟预测）如图，在四边形中，，，平分交于点，交的延长线于点．(1)求的大小；(2)若，求的大小．核心考点四平行线的判定例1（2020·江西·统考中考真题）如图，，则下列结论错误的是（

）A． B． C． D．例2（2021·江苏泰州·统考中考真题）如图，木棒AB、CD与EF分别在G、H处用可旋转的螺丝铆住，∠EGB＝100°，∠EHD＝80°，将木棒AB绕点G逆时针旋转到与木棒CD平行的位置，则至少要旋转___°．例3（2020·湖北荆州·统考中考真题）如图，将绕点B顺时针旋转60度得到，点C的对应点E恰好落在AB的延长线上，连接AD．（1）求证：；（2）若AB=4，BC=1，求A，C两点旋转所经过的路径长之和．平行线判定的五种方法：在同一平面内，两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。也可以简单的说成：1.同位角相等，两直线平行。在同一平面内，两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。也可以简单的说成：2.内错角相等，两直线平行。在同一平面内，两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。也可以简单的说成：3.同旁内角互补，两直线平行。4、在同一平面内，两条直线同时垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行；5、两条直线同时平行于第三条直线，这两条直线互相平行；【变式1】（2022·广西柳州·统考模拟预测）如图所示，直线、被、所截，下列条件中能说明的是（

）A． B． C． D．【变式2】（2021·福建厦门·校考二模）如图，已知，按以下步骤作图：①在射线上取一点，以点为圆心，长为半径作，交射线于点；②连接，分别以点、为圆心，长为半径作弧，交于点、；③连接，．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（

）A． B．点与点关于直线对称C．若，则 D．【变式3】（2022·新疆阿克苏·统考一模）如图，将木条a，b与c钉在一起，，若要使木条a与b平行，则的度数应为______．【变式4】（2021·云南昆明·统考一模）如图，小红看到工人师傅用角尺画出工件边缘的垂线和，即可得到．请你帮小红从下列真命题中找到工人师傅画图的一个依据．真命题为：①连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；②在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行（选自人教版初中数学教科书七年级下册第14页例）；③在同一平面内，过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线；④经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．”这个依据是__________．（只需填序号）【变式5】（2023·湖北武汉·校考一模）如图，点A，B，C，D在一条直线上，与交于点G，，，．(1)求证：；(2)求的度数．核心考点五利用平行线求角度或证明例1（2022·内蒙古·中考真题）如图，直线，截线c，d相交成30°角，，则的度数是（

）A． B． C． D．例2（2022·宁夏·中考真题）如图，直线，的边在直线上，，将绕点顺时针旋转至，边交直线于点，则______．例3（2022·江苏泰州·统考中考真题）已知：△ABC中，D为BC边上的一点.(1)如图①，过点D作DE∥AB交AC边于点E，若AB=5，BD=9，DC=6，求DE的长；(2)在图②，用无刻度的直尺和圆规在AC边上作点F，使∠DFA=∠A；（保留作图痕迹，不要求写作法）(3)如图③，点F在AC边上，连接BF、DF，若∠DFA=∠A，△FBC的面积等于，以FD为半径作⊙F，试判断直线BC与⊙F的位置关系，并说明理由.两条直线平行，同位角相等；两条直线平行，内错角相等；两条直线平行，同旁内角互补；【变式1】（2023·安徽滁州·校考一模）如图，，直线截，于，，已知，则（

）A． B． C． D．【变式2】（2023·山东青岛·统考一模）如图，在中，，按图进行翻折，使，，则的度数是（

）A． B． C． D．【变式3】（2023·辽宁鞍山·统考一模）如图，在平行四边形中，为边上一点，连接，，且与交于点，若，则_________．【变式4】（2022·四川绵阳·校考二模）如图，线段，与相交于点，，于点，平分交于点，则的度数是______．【变式5】（2023·江苏宿迁·统考一模）已知，点D是的边上一点．(1)如图甲，，垂足为E，平分交边于点F，交边于点O，求证：；(2)如图乙，交边于点E，平分交边于点O，，垂足为点F，求；(3)如图丙，在线段上找一点O作，使经过点D且与相切．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出作法过程，不证明）核心考点六命题例1（2022·黑龙江绥化·统考中考真题）下列命题中是假命题的是（

）A．三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半B．如果两个角互为邻补角，那么这两个角一定相等C．从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角D．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半例2（2021·江苏无锡·统考中考真题）下列命题中，正确命题的个数为________．①所有的正方形都相似②所有的菱形都相似③边长相等的两个菱形都相似④对角线相等的两个矩形都相似例3（2020·北京·统考中考真题）如图是某剧场第一排座位分布图：甲、乙、丙、丁四人购票，所购票分别为2，3，4，5．每人选座购票时，只购买第一排的座位相邻的票，同时使自己所选的座位之和最小．如果按“甲、乙、丙、丁”的先后顺序购票，那么甲购买1，2号座位的票，乙购买3，5，7号座位的票，丙选座购票后，丁无法购买到第一排座位的票．若丙第一购票，要使其他三人都能购买到第一排座位的票，写出一种满足条件的购票的先后顺序______．命题（判断）是指一个判断句的语义（实际表达的概念），这个概念是可以被定义并观察的现象。命题不是指判断句本身，而是指所表达的语义。当相异的判断句具有相同的语义的时候，他们表达相同的命题。在数学中，一般把判断某一件事情的陈述句叫做命题。【变式1】（2022·重庆璧山·统考一模）下列命题是真命题的是（

）A．每个内角都相等的多边形是正多边形 B．对角线相等的平行四边形是矩形C．两直线平行，同位角互补 D．过线段中点的直线是线段的垂直平分线【变式2】（2023·山东东营·校考一模）现有以下命题：①斜边中线和一个锐角分别对应相等的两个直角三角形全等；②一个图形和它经过平移所得的图形中，各组对应点所连接的线段平行且相等；③通常温度降到以下，纯净的水会结冰是随机事件；④一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；⑤在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；⑥在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行．其中真命题的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式3】（2022·江苏无锡·模拟预测）给出下列命题：①顶角相等的两等腰三角形相似；②底角相等的两等腰三角形相似；③两直角边对应成比例的两直角三角形相似；④有一角对应相等的两直角三角形相似，其中真命题有_____（填序号）．【变式4】（2022·北京门头沟·统考二模）电脑系统中有个“扫雷”游戏，游戏规定：一个方块里最多有一个地雷，方块上面如果标有数字，则是表示此数字周围的方块中地雷的个数．如图1中的“3”就是表示它周围的八个方块中有且只有3个有地雷．如图2，这是小明玩游戏的局部，图中有4个方块已确定是地雷（标旗子处），其它区域表示还未掀开，问在标有“A”~“G”的七个方块中，能确定一定是地雷的有________（填方块上的字母）．【变式5】（2022·江苏盐城·校联考一模）苏科版数学七（下）教材中有这样一段阅读材料：著名的反例：公元1640年，著名数学家费马发现：，，，，而3、5、17、257、65537都是质数，于是费马猜想：对于一切自然数n，都是质数．可是，到了1732年，数学家欧拉发现：．这说明了是个合数，从而否定了费马的猜想．这个故事告诉我们，举反例是说明一个数学命题不成立的常用方法．(1)代数中的反例：①用举反例说明“”是个假命题时，a的取值范围是______．②请你举反例说明“反比例函数，y随x的增大而减小”是个假命题．(2)几何中的反例：学习全等三角形判定时，我们知道“两边相等和一相等边所对的角也相等的两个三角形不一定全等”，即“SSA”不全等．请借助已给的，用三种方法在图形基础上构造一个三角形，使得构造出的三角形满足以下三个条件：①有两边分别与AC和BC相等；②与BC相等边所对的角等于；③构造出的三角形与不全等．要求：①用直尺和圆规作图，保留作图的痕迹，并写出必要的文字说明；②不可借助已构造出符合条件的三角形利用全等变换作图．【新题速递】1．（2023秋·贵州黔东南·七年级统考期末）如图，是线段的中点，点在上，若，，则等于（

）A． B． C． D．2．（2023秋·吉林长春·八年级统考期末）用反证法证明：“若，则”，应先假设（

）A． B． C． D．3．（2023·云南昭通·校考一模）如图，直线c与直线a、b都相交．若，，则（）A． B． C． D．4．（2023秋·河南南阳·七年级统考期末）如图，直线，一块含有角的直角三角尺的顶点E位于直线上，平分，则的度数为（

）A． B． C． D．5．（2022春·广东揭阳·七年级校考期中）如图，直线，点A，B分别是，上的动点，点G在上，，和的角平分线交于点D，若，则m的值为（）A．70 B．74 C．76 D．806．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，点P是中斜边（不与A，C重合）上一动点，分别作于点M，作于点N，点O是的中点，若，当点P在上运动时，则的最小值是（）A．3 B． C． D．47．（2023秋·贵州铜仁·八年级统考期末）如图，已知在中，与的平分线交于点F，过点F的直线交于点D，交于的E，且．有下列结论：①；②是等腰三角形；③的周长18；④；⑤；⑥．其中正确的有（）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个8．（2023·四川绵阳·统考二模）如图，在中，，，，点P是延长线上一动点，边与点M，边与点N，连接，则的最小值为（

）A． B． C． D．9．（2023秋·广东深圳·七年级校联考期末）如图，点O为直线上一点，过点O作射线，使，将一块透明的三角尺直角顶点放在点O处，并绕点O旋转一周，在旋转过程中，当直线恰好平分锐角时，_____．10．（2022春·广东韶关·七年级校考期中）两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等．这个命题的结论是_____．11．（2023春·江苏·七年级泰州市姜堰区第四中学校考周测）如图，将为的直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，则的度数为_____________．12．（2023春·江苏·八年级专题练习）在中，，点N是边上一点，点M为边上的动点，点D、E分别为的中点，则的最小值是___________．13．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，在中，，且，点D是斜边上的一个动点，过点D分别作于点M，于点N，连接，则线段的最小值为___________．14．（2023春·湖北武汉·八年级武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考阶段练习）如图，平行四边形中，，，，P为边上的一动点，则的最小值等于______．15．（2022秋·福建福州·七年级福州黎明中学校考期末）如图，已知线段．(1)延长线段至点C，使得（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；(2)在（1）的条件下，取的中点D，求的长．16．（2022春·江西南昌·七年级校考阶段练习）如图，是的一个外角，请你从下面三个条