专题23动点与角度计算55道经典题型专训（9大题型）

专题23动点与角度计算55道经典题型专训（9大题型）【题型目录】题型一与线段动点有关问题题型二线段动点中求定值问题题型三在图形中运动的问题题型四动角有关问题题型五三角板中角度计算问题题型六几何图形中角度计算问题题型七实际问题中角度计算问题题型八角平分线的有关计算题型九角n等分线的有关计算【经典题型一与线段动点有关问题】1．（2022上·河北廊坊·七年级统考期末）如图，P是线段上一点，，C，D两动点分别从点P，B同时出发沿射线向左运动，到达点A处即停止运动．

(1)若点C，D的速度分别是，．①当动点C，D运动了2s，且点D仍在线段上时，_________cm；②若点C到达中点时，点D也刚好到达的中点，则_________；(2)若动点C，D的速度分别是，，点C，D在运动时，总有，求的长【答案】(1)①12；②(2)【分析】（1）①先分别求出，再根据即可得；②设运动时间为，则，再根据线段中点的定义可得，由此即可得；（2）设运动时间为，则，从而可得，再根据可得，从而可得，由此即可得．【详解】（1）解：①依题意得：，，点仍在线段上，∴，故答案为：；②设运动时间为，则，∵当点到达中点时，点也刚好到达的中点，∴，∴，故答案为：．（2）解：设运动时间为，则，∴，∵，∴，∵，∴，∴．【点睛】本题考查了与线段有关的动点问题、线段的和与差、线段的中点，熟练掌握线段之间的数量关系是解题的关键．2．（2023上·江西吉安·七年级统考期末）如图，的边上有一动点P，从距离O点18cm的点M处出发，沿线段，射线运动，速度为3cm/s：动点Q从点O出发，沿射线运动，速度为2cm/s，点P、Q同时出发，设运动时间是t（s）．

(1)当点P在上运动时，t为何值，能使？(2)若点Q运动到距离O点16cm的点N处停止，在点Q停止运动前，点P能否追上点Q？如果能，求出t的值；如果不能，请说出理由；(3)若P、Q两点不停止运动，当P、Q均在射线上，t为何值时，它们相距1cm．【答案】(1)(2)不能，见解析(3)或【分析】（1）根据题意可得，然后由可得关于t的方程，解方程即得答案；（2）先计算点Q停止运动时用的时间，然后求出点P运动的路程，再比较即得结论；（3）根据题意可得：，由此构建关于t的方程求解即可．【详解】（1）运动时间是t（s）时，，若，则，解得：；（2）点Q停止运动时，用的时间为秒，此时点P运动的路程为，，∴点P不能追上点Q；（3）当P、Q均在射线上，它们相距1cm时，根据题意得：，即，解得：或．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意、善于动中取静、得到相关线段关于t的表达式是解题的关键．3．（2023上·安徽芜湖·七年级统考期末）如图，是线段上一点，，、两点分别从、出发以1cm/s、2cm/s的速度沿直线向左运动（在线段上，在线段上），运动的时间为．(1)当时，，请求出的长；(2)若、运动到任一时刻时，总有，请求出的长(3)在（2）的条件下，是直线上一点，且，求的长．【答案】(1)(2)(3)或12cm【分析】（1）由题意，当时，，，则，可得，由即可求解；（2）由，可知，，即，即可求解；（3）分类讨论，当点在线段上时和点在的延长线上时，分别求解即可．【详解】（1）解：根据、的运动速度知：，，则，∵，∴，即，∴，，∴，则；（2）根据、的运动速度知：∵，∴，即，∴；（3）当点在线段上时，∵，∴；∵，∴，又∵，∴；当点在的延长线上时，．综上所述，或12cm．【点睛】本题考查线段的和差运算，动点问题，数形结合，理解图形中的等量关系式解题的关键．4．（2022上·吉林长春·七年级长春外国语学校校考期末）如图①，点C在线段上，图中共有3条线段：和，若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称点C是线段的“巧点”．(1)①一条线段的中点__________这条线段的“巧点”；（填“是”或“不是”）②若线段，C是线段的“巧点”，则_________．（用含m的代数式表示出所有可能的结果）(2)如图②，A、B为数轴上两点，点A所表示的数为，点B所表示的数为20．动点P从点A出发，以每秒的速度沿向终点B匀速移动．点Q从点B出发，以每秒的速度沿向终点A匀速移动，点P，Q同时出发，当其中一点到达终点时运动停止，若设移动的时间为t秒，求当t为何值时，点Q恰好是线段的“巧点”．【答案】(1)①是；②或或(2)10或或或15或或【分析】（1）①由中点可知这条线段的长度等于中点分出的线段长度的2倍，结合“二倍点”的定义进行判断；②由“二倍点”的定义知当点C是线段的“二倍点”时，可分，，三种情况，根据计算，即可求解；（2）由题意知，然后分两类讨论：当点P在点Q的左侧时，当点P在点Q的右侧时，结合“巧点”的定义，求解即可．【详解】（1）解∶①根据题意得：这条线段的长度等于中点分出的线段长度的2倍，∴一条线段的中点是这条线段的“巧点”；故答案为：是②线段，C是线段的“巧点”，∴当时，；当时，；当时，；综上所述，或或；故答案为：或或（2）解∶∵点A所表示的数为，点B所表示的数为20，∴，根据题意得：点P所对应的数为，点Q所对应的数为，当时，点P，Q相遇，当点P在点Q的左侧时，，，此时，若，则有，解得：；若，则有，解得：；若，则有，解得：；当点P在点Q的右侧时，，，此时，若，则有，解得：；若，则有，解得：；若，则有，解得：；综上所述，当t为10或或或15或或时，点Q恰好是线段的“巧点”．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，线段间的数量关系，利用分类讨论思想解答是解题的关键．5．（2022上·全国·七年级专题练习）已知：数轴上点、、表示的数分别为、、，点为原点，且、、满足．(1)直接写出、、的值；(2)如图1，若点从点出发以每秒1个单位的速度向右运动，点从点出发以每秒3个单位的速度向右运动，点从点出发以每秒2个单位的速度向右运动，点、、同时出发，设运动的时间为秒，为何值时，点到点、的距离相等；(3)如图2，若点从点出发以每秒1个单位的速度向左运动，点从点出发以每秒3个单位的速度向左运动，点，同时出发开始运动，点为数轴上的一个动点，且点始终为线段的中点，设运动时间为秒，若点到线段的中点的距离为3时，求的值．【答案】(1)6；2；1(2)1或5(3)3或7【分析】（1）根据非负数的性质，列出方程进行解答便可；（2）先用t的代数式分别表示出点到点、的距离，再由点到点、的距离相等列出t的方程便可；（3）用t的代数式表示P点，再根据中点公式用t表示D点和K点，再由两点距离公式由列出t的方程进行解答便可．【详解】（1）解：．，，，，，；（2）解：由题意得，或，解得，或，为或时，点到点、的距离相等；（3）解：由题意知，点表示的数为：，是的中点，表示的数为：，是的中点，点表示的数为：，，，或7．【点睛】此题考查了数轴，非负数的性质和一元一次方程的应用，根据已知得出各线段之间的等量关系是解题关键，此题阅读量较大应细心分析．6．（2022上·湖北武汉·七年级校考阶段练习）已知：数轴上有点A，表示的数为a，且满足关于x的方程为一元一次方程．数轴上还存在线段和线段（点M始终在点N左边，点P始终在点Q左边）．(1)当三点重合，且，时，求的值及所表示的数．(2)如图，若线段的中点为，线段的中点为，求的值．(3)在（1）的条件下，点M从A点出发，使线段以1个单位每秒的速度向右匀速运动，点P从A点出发，使线段以3个单位每秒的速度向右匀速运动，当点P与点N重合时，线段以原速返回向左运动，当点Q与点M相遇时，线段再次以原速向右运动……当点N所表示的数为时，求点P与点N共相遇了多少次？【答案】(1)；点表示的数为；点表示的数为(2)(3)【分析】（1）根据一元一次方程的定义可求出的值，由三点重合，，可得，，进而可求出点所表示的数；（2）由线段的中点为，线段的中点为可得：，；再通过线段的和差关系可得，即可得出结果；（3）计算出从点与点第一次重合到点与点第二次重合所需时间为秒；即从点与点第一次重合后的每秒，点与点相遇一次；依次计算即可；【详解】（1）解：∵关于x的方程为一元一次方程∴解得：∵三点重合∴，∴点表示的数为：；点表示的数为：（2）解：∵线段的中点为，线段的中点为∴，∴∴（3）解：在（1）的条件下表示的数为，当点所表示的数为时；∴线段的总运动时间为：（秒）点与点第一次重合所用时间为：（秒）从点与点第一次重合到点与点第二次重合所需时间为：（秒）即从点与点第一次重合后的每秒，点与点相遇一次；故点与点共相遇：（次）答：当点所表示的数为时，求点与点共相遇了次．【点睛】本题考查了一元一次方程的定义、线段的和差关系、图形运动中的周期规律；熟练掌握上述基础知识是解题的关键．7．（2022上·江苏苏州·七年级统考期末）如图所示．点A，B，C是数轴上的三个点，且A，B两点表示的数互为相反数，，．(1)点A表示的数是______；(2)若点P从点B出发沿着数轴以每秒2个单位的速度向左运动，则经过______秒时，点C恰好是BP的中点；(3)若点Q从点A出发沿着数轴以每秒1个单位的速度向右运动，线段QB的中点为M，当时，则点Q运动了多少秒？请说明理由．【答案】(1)6(2)8(3)秒或秒【分析】（1）根据，且，两点表示的数互为相反数，直接得出即可；（2）设经过秒点是的中点，根据题意列方程求解即可；（3）设点运动了秒时，分情况列方程求解即可．【详解】（1）AB=12，且，两点表示的数互为相反数，点表示的数是，故答案为：；（2）AB=12，，，，设经过秒点是的中点，根据题意列方程得，解得，故答案为：8；（3）设点运动了秒时，①当点在点左侧时，即，根据题意列方程得，解得；②当点在点右侧时，即，根据题意列方程得，解得；综上，当运动了秒或秒时．【点睛】本题主要考查一元一次方程的知识，熟练根据题中等量关系列方程求解是解题的关键．8．（2022上·贵州黔西·七年级统考期末）【阅读】我们知道，数轴上原点右侧的数是正数，越往右走，数字越大，原点左侧则相反．于是，我们可以假设：若点P从原点出发，沿数轴的正方向以每秒3个单位长度的速度运动，则t秒后点P表示的数是；反之，若点P从原点出发，沿数轴的负方向以每秒2个单位长度的速度运动，则t秒后点P表示的数是．【探究】已知数轴上两点表示的数分别为，且分别为．(1)如图1，若点P和点Q分别从点同时出发，都沿数轴的负方向运动，点P的运动速度为每秒2个单位长度，点Q的运动速度为每秒6个单位长度，设运动的时间为t秒．①t秒后，点P表示的数是_______，点Q表示的数是________；②当两点之间的距离为4时，则t的值为_______．(2)如图2，若点P从点A出发，沿数轴的正方向以每秒2个单位长度的速度运动，到点B时停止运动，分别是线段的中点，则在运动过程中，线段的长度是否为定值？若是，请直接写出线段的长度；若不是，请说明理由．【答案】(1)①，；②4或2(2)线段的长度为定值，6【分析】（1）①根据题意即可直接用t表示出点P所表示的数和点Q所表示的数；②由①可求出，再根据，即得出，解出t即可；（2）由分别为线段的中点，即得出，即可得出．求出，即可求出；【详解】（1）①点P表示的数是，点Q表示的数是，故答案为：，；②因为点P表示的数为，点Q表示的数为，∵∴，解得：或2；（2）（2）线段的长度为定值，的长度为6．∵分别为线段的中点，∴，∴．∵，∴．【点睛】本题考查数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，线段的中点以及解绝对值方程．用t表示出点所表示的数和两点之间的距离是解题关键．9．（2023上·山西太原·七年级校考期末）如图，直线上有，，，四个点，，，．

(1)线段______(2)动点，分别从A点，点同时出发，点沿线段以3/秒的速度，向右运动，到达点后立即按原速向A点返回；点沿线段以1/秒的速度，向左运动；点再次到达A点时，两点同时停止运动．设运动时间为（单位：秒）①求，两点第一次相遇时，运动时间的值；②求，两点第二次相遇时，与点A的距离．【答案】(1)(2)8、20【分析】（1）根据，，算出，再根据即可解答；（2）①根据，两点第一次相遇时，，两点所走的路程之和是的长列方程即可求解；②根据，两点第二次相遇时，点所走的路程与的差和所走的路程与的差相等列方程即可求解；【详解】（1）故线段的长为．（2）①，两点第一次相遇时根据题意可得：解得：秒故，两点第一次相遇时，运动时间的值是8秒；②由（1）得当，两点第二次相遇时：解得：秒故，两点第二次相遇时，与点A的距离是20【点睛】本题考查了两点之间的距离，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系是解答该题的关键．10．（2022上·湖北武汉·七年级统考期末）如图，已知线段AB，延长线段BA至C，使CB＝AB．（1）请根据题意将图形补充完整．直接写出＝_______；（2）设AB＝9cm，点D从点B出发，点E从点A出发，分别以3cm/s，1cm/s的速度沿直线AB向左运动．①当点D在线段AB上运动，求的值；②在点D，E沿直线AB向左运动的过程中，M，N分别是线段DE、AB的中点．当点C恰好为线段BD的三等分点时，求MN的长．【答案】（1），（2）3，（3）12cm或24cm．【分析】（1）根据线段的和差倍分关系即可得到结论；（2）①设运动的时间为t秒，表示出线段长即可得到结论；②分和两种情况，根据三等分点求出BD的长，进而求出运动时间，求出MD、NB的长即可．【详解】解：（1）图形补充完整如图，∵CB＝AB，∴CA＝，，故答案为：；（2）①AB＝9cm，由（1）得，（cm），设运动的时间为t秒，cm，cm，，②当时，∵AB＝9cm，cm，∴cm，∴cm，cm，运动时间为：18÷3=6（秒），则cm，cm，cm，∵M，N分别是线段DE、AB的中点．∴cm，cm，cm，当时，∵AB＝9cm，cm，∴cm，∴cm，运动时间为：36÷3=12（秒），则cm，cm，cm，∵M，N分别是线段DE、AB的中点．∴cm，cm，cm，综上，MN的长是12cm或24cm．【点睛】本题考查了线段的计算，解题关键是准确识图，熟练表示出线段长．【经典题型二线段动点中求定值问题】11．（2023上·江西抚州·七年级校联考期中）如图，在数轴上A点表示数a，B点示数b，C点表示数c，b是最小的正整数，且a，c满足．

(1)______，______，______．(2)点P从点A出发，以秒的速度沿数轴向右匀速运动，点Q从点C出发，沿数轴向左匀速运动，两点同时出发，当点Q运动到点A时，点P，Q停止运动．当时，点Q运动到的位置恰好是线段的中点，求点Q的运动速度；（注：点O为数轴原点）(3)在（2）的条件下，当点P运动到线段上时，分别取和的中点E，F．请问：的值是否随着时间t的变化而变化？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．【答案】(1)，1，7(2)点Q的运动速度是或者(3)不变，值为2【分析】（1）根据绝对值的非负性以及平方的非负性，得，的值，结合b是最小的正整数，即可得的值；（2）先求出点Q，此时，再进行分类讨论，当点P在上时或当点P在上时，根据线段之间的和差关系以及路程等于时间乘速度等知识进行列式，即可作答；（3）易得，，根据线段之间的和差关系得，再代入，化简即可作答．【详解】（1）解：因为所以，因为b是最小的正整数，所以；（2）解：∵点Q运动到的位置恰好是线段OA的中点，∴点Q表示的数是，此时，由，可分两种情况：①当点P在上时，得，此时；∴点P运动的时间为，∴点Q的运动速度；②当点P在上时，得，此时，∴点P的运动时间是，∴点Q的运动速度，综上，点Q的运动速度是或者；（3）解：不变，理由如下：设运动时间为t秒，此时，，∵点E是的中点，∴，∵点F是的中点，，∴，∴，

．∴．【点睛】本题考查了绝对值的非负性以及在数轴上表示有理数，数轴上两点间的距离，数轴上的动点问题，线段之间的和差关系等知识内容，涉及分类讨论，难度适中，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键．12．（2023下·福建福州·七年级统考开学考试）如图，已知，点C、D分别为线段、上的动点，若点C从点O出发以的速度沿方向运动，同时点D从点B出发以的速度沿方向运动．

(1)如图1，当运动时间为时，求的值；(2)如图1，若在运动过程中，始终保持，求OA的长；(3)如图2，在（2）的条件下，延长BO到点M，使，点P是直线OB上一点，且，求的值．【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）先求出，，根据，求出，，最后求出结果即可；（2）设运动时间为，则，，求出，，根据，得出，求出，再根据求出结果即可；（3）当点P在O、B之间时，根据，得出，，求出，根据求出，根据，得出，求出，最后求出比值即可；当点P在点B右边时，可得，进而可得结果．【详解】（1）解：当运动时间为时，，，∵，∴，∴，∵，∴；

（2）解：设运动时间为，则，，∴，，∵，∴，∴∵，∴，∴．（3）解：∵，∴，，，∵，∴点P在点O右边，当点P在O、B之间时，∴，∵，∴，∴，∴．

当点P在点B右边时，∵，，∴，∴；综上，或．【点睛】本题主要考查了线段的和差运算，解题的关键是数形结合，根据线段之间的数量关系求出结果．13．（2023上·福建福州·七年级统考期末）如图，在数轴上点A表示的数是a，点B表示的数是b，且，(1)填空：，；(2)在线段上有一点C，满足，求点C表示的数；(3)动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动；动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速移动；动点M从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速移动，设运动时间为t秒，当时，的值是否发生变化？若不变求出其值；若变化，写出范围．【答案】(1)8，(2)(3)的值不会发生变化，详见解析【分析】（1）根据非负数的性质，可得，即可求解；（2）先求出，可得，即可求解；（3）根据题意可得依题意得：，从而得到，，即可求解．【详解】（1）解：∵，∴，解得：；故答案为：8，（2）解：∵，∴，∵，∴，∴，∴点C表示的数为；（3）解：的值不会发生变化，依题意得：，∴，，∴，∴的值不会发生变化．【点睛】本题主要考查了非负数的性质，线段的和与差，数轴上的动点问题，利用数形结合思想解答是解题的关键．14．（2021上·河北唐山·七年级统考期末）如图，已知线段，，线段在直线上运动（点在点的左侧，点在点的左侧），若．（1）求线段，的长；（2）若点，分别为线段，的中点，，求线段的长；（3）当运动到某一时刻时，点与点重合，点是线段的延长线上任意一点，下列两个结论：①是定值，②是定值，请选择你认为正确的一个并加以说明．【答案】（1），；（2）9；（3）②正确，，见解析【分析】（1）利用两个非负数和为0，可得每个非负数为0，可求，即可；（2）分类考虑当点在点的右侧和点在点的左侧时，利用中点可求AM，DN，利用线段和差求AD，可求MN=ADAMDN即可；（3）利用PA=PC+AC，PB=PCBC，求出PA+PB=2PC即可．【详解】解：（1）由，，，得，，所以，；（2）当点在点的右侧时，如图，因为点，分别为线段，的中点，，所以，，又因为，所以，当点在点的左侧时，如图，因为点，分别为线段，的中点，所以，，所以所以．综上，线段的长为9；（3）②正确，且．理由如下：因为点与点重合，所以，所以，所以，所以．【点睛】本题考查非负数的性质，线段中点，线段和差，线段的比问题，掌握非负数的性质，线段中点，线段和差，线段的比，关键是利用线段和差PA=PC+AC，PB=PCBC，求出PA+PB=2PC．15．（2022上·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末）如图1，线段AB长为24个单位长度，动点P从A出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线AB运动，M为AP的中点，设P的运动时间为x秒．(1)P在线段AB上运动，当时，求x的值．(2)当P在线段AB上运动时，求的值．(3)如图2，当P在AB延长线上运动时，N为BP的中点，MN的长度是否发生变化?如不变，求出MN的长度．如变化，请说明理由．【答案】(1)；(2)为定值24；(3)．【分析】（1）根据PB=2AM建立关于x的方程，解方程即可；（2）将BM=24x，PB=242x代入2BMBP后，化简即可得出结论；（3）利用，，，，再根据MN=PMPN即可求解．【详解】（1）解：∵M是线段AP的中点，∴，，∵，∴，解得．（2）解：∵，，，∴，即为定值24．（3）解：当P在AB延长线上运动时，点P在B点的右侧．∵，，，，∴，所以MN的长度无变化是定值．【点睛】本题是动点问题，考查了两点间的距离，解答的关键是用含时间x的式子表示出各线段的长度．【经典题型三在图形中运动的问题】16．（2022上·江苏淮安·七年级校考阶段练习）知识准备：如图①，点P在以点O为圆心的圆上，若点P用时5分钟在圆上绕点O顺时针旋转一圈，此时点P刚好绕点O旋转一个周角，即360度，则称此时点P绕点O的旋转速度为：度/分钟．解决问题：如图②，A、B两点相距60厘米，点O在线段上且厘米，角度，点Q从点B沿直线向点A匀速运动．（1）在点Q运动的同时点P绕点O顺时针旋转，点P旋转的速度为45度/分钟，当点P第一次运动到直线上时恰好与点Q相遇，求点Q的速度．（2）若点Q运动的同时，点O也以3厘米/分钟的速度向点B运动，同时点P仍然以45度/分钟的速度绕点O顺时针旋转，当点P第二次运动到直线上时恰好与点Q相遇，求此时点Q的速度．

【答案】（1）18厘米/分钟；（2）22厘米/分钟【分析】（1）根据题意可求出点P的运动时间，由点P第一次运动到直线上时恰好与点Q相遇，即得出点Q的运动时间与点P的运动时间相等，再求出点Q运动的距离，最后由速度=路程÷时间求解即可；（2）求出点P的运动时间，即得出点O的运动时间和点Q的运动时间，从而可求出点O的运动距离，再求出点Q的运动距离，最后根据速度=路程÷时间求解即可．【详解】解：（1）∵，点P旋转的速度为45度/分钟，∴点P的运动时间为：分钟．∵点P第一次运动到直线上时恰好与点Q相遇，∴点Q的运动时间为2分钟，且此时点Q运动的距离为厘米，∴点Q的速度为厘米/分钟；（2）当点P第二次运动到直线上时，点P绕点O顺时针旋转了，∴此时点P的运动时间为：分钟．∵点O也以3厘米/分钟的速度向点B运动，∴点O的路程为厘米．∵点P第二次运动到直线上时恰好与点Q相遇，∴点Q的运动时间为6分钟，且此时点Q运动的距离为厘米，∴点Q的速度为厘米/分钟．【点睛】本题考查线段上的动点问题，解题关键在于数形结合思想的运用和掌握速度=路程÷时间．17．（2023上·河北唐山·七年级统考期末）操作与探究：（1）已知：如图线段长为，点从点A以的速度向点运动，点运动时间为，则______，______（2）已知：如图，在长方形中，，，动点以的速度从A点沿着运动，运动时间为，用含的式子表示______拓展与延伸：（3）已知：如图，在（2）的基础上，动点从点出发，沿着线段向点运动，速度为，、同时出发，运动时间为．其中一点到达终点，另一个点也停止运动．当点在上运动时，为何值时，？【答案】（1）；；（2）或；（3）11或13【分析】(1)根据点P运动的速度及的长，即可解答；(2)根据点P运动的速度及、的长，即可解答；(3)分两种情况，列出方程即可分别求解．【详解】解：（1）线段长为，点从点A以的速度向点运动，，，故答案为：，；（2），，动点以的速度从A点沿着运动，当点P在上时，，当点P在上时，，故答案为：或；（3）当点在点的左边时，，即，，解得，当点在点的右侧时，，，解得，故为11或13时，．【点睛】本题考查了动点问题，列代数式，一元一次方程的应用，采用分类讨论的思想是解决本题的关键．18．（2023上·河北石家庄·七年级校考期末）在直角三角形中，，，，点从点开始以的速度沿的方向移动，点从点开始以的速度沿的方向移动．如果点同时出发，用表示移动时间，那么：(1)如图1，请用含t的代数式表示（不用带单位）：①当点在上时，______；②当点在上时，______；③当点在上时，______；④当点在上时，______；(2)如图2，若点在线段上运动，点在线段上运动，当时，试求出的值；(3)点到达点时，，两点都停止运动．请直接写出当时的值．【答案】(1)；；；(2)2(3)或【分析】（1）根据三角形的边长，点的运动速度解答即可；（2）根据题意列出方程，解方程即可；（3）分点在线段上运动，点在线段上运动；点在线段上运动，点在线段上运动；点在线段上运动，点在线段上运动三种情况列出方程，解方程即可．【详解】（1）①当点在上时，；②当点在上时，；③当点在上时，；④当点在上时，；（2）解：由题意得，，解得（3）解：∵∴当点在线段上运动，点在线段上运动时，，解得；当点在线段上运动，点在线段上运动时，，解得；当点在线段上运动，点在线段上运动时，，解得（不合题意）；综上：或时．【点睛】此题主要考查了三角形的有关知识，解题关键是掌握点在三角形的各边上的运动情况．19．（2022上·江苏盐城·七年级校考期中）如图，点A、点B在数轴上分别表示数a、b，则A、B两点之间的距离表示为．【探索新知】如图1，点C将线段分成和两部分，若，则称点C是线段的圆周率点，线段称作互为圆周率伴侣线段(1)若，则______；(2)若点D也是图1中线段的圆周率点（不同于C点），则______（填“<”、“”、“>”）【深入研究】如图2，现有一个直径为1个单位长度的圆片，将圆片上的某点与数轴上表示1的点重合，并把圆片沿数轴向右无滑动地滚动1周，该点到达点C的位置(3)若点M、N均为线段的圆周率点，求线段的长度；(4)在图2中，点P、Q分别从点O、C位置同时出发，分别以每秒3个单位长度、每秒2个单位长度的速度向右匀速运动，运动时间为t秒．当点P在点C左侧时，P、C、Q三点中某一点为其余两点所构成线段的圆周率点，请求出t的值【答案】(1)(2)(3)(4)或【分析】（1）根据线段之间的数量关系代入解答即可；（2）根据线段的圆周率点的定义及相关线段的大小比较即可解题；（3）由题意可知，点C表示的数是，设M点离O点近，且，根据题意可得关于x的一元一次方程，求解即可；（4）根据题意分类讨论计算即可：①点P在点C左侧，；②点P在点C左侧，．【详解】（1）解：由题意得，∴，∵，∴；（2）解：如图，∵，当时，，，即点也是图1中线段的圆周率点，与的数量关系是相等；故答案为：；（3）解：由题意可知，点C表示的数是，∵点M、N均为线段的圆周率点，不妨设M点离O点近，且，∴，∴，解得：，∴，∴；（4）解：由题意可知，点P、C、Q所表示的数分别为：，当P、C、Q三点中某一点为其余两点所构成线段的圆周率点时，①如图①，点P在点C左侧，∵，，∴；如图②，点P在点C左侧，∵，∴，∴；综上所述，t的值为或．【点睛】本题考查了一元一次方程在新定义类动点问题中的应用，有一定综合性，通过数形结合并分类讨论，是解题的关键．20．（2022上·广东江门·七年级统考期末）如图，已知长方形ABCD的长米，宽米，x，y满足，一动点P从A出发以每秒1米的速度沿着运动，另一动点Q从B出发以每秒2米的速度沿运动，P，Q同时出发，运动时间为t．(1)______________，______________．(2)当时，求的面积；(3)当P，Q都在DC上，且PQ距离为1时，求t的值【答案】(1)5，4(2)平方米(3)【分析】（1）根据绝对值和乘方的非负性，即可求解；（2）根据题意得：当t=4.5时，点P在CD上，DP=0.5米，点Q刚好到达点D处，可得米，再由，即可求解；（3）当P，Q都在DC上，可得，然后分两种情况讨论：当P左Q右时，当Q左P右时，即可求解．【详解】（1）解∶∵，∴，∴x=5，y=4，故答案为：5，4；（2）解：当t=4.5时，P走过的路程为4.5米，此时点P在CD上，DP=0.5米，Q走过的路程为9米，刚好到达点D处，∴米，∴平方米；（3）解：点P在DC上，，点Q在DC上，，∴，当P左Q右时，，，∴，∴，解得：当Q左P右时，，，∴，∴，解得，不符题意，舍去．综上，满足题意的．【点睛】本题主要考查了动点问题，涉及绝对值和平方式的非负性，三角形面积的求解，解题的关键是关键题意用时间t表示出线段长度，列式求出t的值．【经典题型四动角有关问题】21．（2021上·湖北十堰·七年级统考期末）已知，，平分，平分．

(1)如图1，当，重合时，求的值；(2)如图2，当从图1所示的位置开始绕点以每秒的速度顺时针旋转．在旋转过程中，的值是否会因的变化而变化？若不变化，请求出该定值；若变化，请说明理由；(3)在（2）的条件下，求当旋转多少秒时，．【答案】(1)(2)不变，(3)【分析】（1）首先根据角平分线的定义求得和的度数，然后根据求解；（2）首先由题意得，再根据角平分线的定义得，，然后由角平分线的定义解答即可；（3）根据题意得，故，解方程即可求出的值．【详解】（1）解：因为平分，平分，所以，．所以；（2）解：的值是定值．根据题意，得：，则，．因为平分，平分，所以，，所以；（3）解：根据题意，得，所以，解得，所以当旋转时，．【点睛】本题考查的是角的和与差、角平分线定义，对角的和与差及角平分线定义的理解是解题关键．22．（2023下·河南新乡·七年级统考期末）已知数轴上两点之间的距离可以用右边的点表示的数减去左边的点表示的数来计算．如图，数轴与数轴交于原点，且所夹锐角是．点，在数轴上，点，在数轴上．已知点是数轴上的一个动点，点是数轴上的一个动点，点，表示的数分别是，点，表示的数分别是．若点表示的数为，点表示的数为．请完成下列问题：

(1)当点运动到与点，的距离相等时，______；当点运动到与点，的距离相等时，______；(2)当点运动到与点的距离是它到点的距离的2倍，点运动到与点的距离是它到点的距离的2倍时，试求出，的值；(3)在（2）的条件下，若数轴以每秒的速度绕点逆时针旋转，请直接写出第秒时，的度数．（用含的式子表示）【答案】(1)(2)或；或(3)或【分析】（1）根据两点间的距离公式列出方程进行求解即可；（2）根据两点间的距离公式列出方程进行求解即可；（3）分表示的数分别为和，两种情况，进行讨论求解即可．【详解】（1）解：由题意，得：，解得：；，解得，故答案为：（2）当点在点左侧时：，解得：；当点在点右侧时：，解得：；综上：或；当点在点上方时：，解得：；当点在点下方时：，解得：；综上：或；（3）设第秒时，数轴转到了如图所示的位置，点，点转到，点转到，

由图可知：，；综上：或．【点睛】本题考查一元一次方程的实际应用，几何图形中角度的计算．解题的关键是掌握数轴上两点间的距离公式，列出一元一次方程，理清角之间的和差关系．23．（2022上·北京海淀·七年级校考阶段练习）如图1，，，OM，ON分别是，的角平分线．

(1)若，，当绕着点O逆时针旋转至射线OB与OC重合时（如图2），则的大小为_______；

(2)在（1）的条件下，继续绕着点O逆时针旋转，当时（如图3），求的大小并说明理由．

(3)在绕点O逆时针旋转过程中，________．（用含，的式子表示）【答案】(1)(2)，理由见解析．(3)【分析】（1）根据角平分线的定义可求得，，结合，即可求得答案．（2）根据角平分线的定义可求得，，结合，即可求得答案．（3）需要分三种情况讨论：射线OB与OC重合；射线OB在OC下方；射线OB在OC上方．【详解】（1）∵，分别是，的角平分线，∴，．∴．故答案为：．（2）∵，分别是，的角平分线，∴，．∴．（3）①如图所示，射线OB与OC重合．

∵，分别是，的角平分线，∴，．∴．②如图所示，射线OB在OC下方．

∵，分别是，的角平分线，∴，．∴．③如图所示，射线OB在OC上方．

∵，分别是，的角平分线，∴，．∴．综上所述，．故答案为：．【点睛】本题主要考查三角形的角平分线的定义，能采用分类讨论的思想分析问题是解题的关键．24．（2021下·广东深圳·七年级深圳中学校考开学考试）如图，将两块直角三角板的角和一个角的顶点叠放在一起，将三角板绕点旋转，旋转过程中，三角板的直角边始终在的内部，在旋转过程中

(1)若时，______°；(2)善于思考的小明发现，在旋转过程中，①和②的度数均各为一个定值，请你写出这两个定值，定值：①______；②______．(3)作和的平分线，，在旋转过程中的值是否发生变化？若不变，请求出这个定值；若变化，请求出变化的范围．【答案】(1)9(2)，；(3)【分析】（1）由角的和差关系可得：，再代入数据可得答案；（2）由在的内部，如图，，，再代入数据可得答案；（3）由角平分线的定义可得，，结合（1）得：，（2）得：，可得，从而可得答案．【详解】（1）解：∵，，，∴，∴；（2）∵在的内部，如图，

∴；∴；（3）∵，分别平分和，

∴，，∵由（1）得：，由（2）得：，∴．【点睛】本题考查的是角的和差运算，角的动态定义，角平分线的定义，熟练的利用角的和差运算是解本题的关键．25．（2023下·江西上饶·七年级统考阶段练习）如图1，点A，O，依次在直线上，现将射线绕点沿顺时针方向以每秒的速度转动，同时射线绕点沿逆时针方向以每秒的速度转动，直线保持不动，如图2，设转动时间为秒．

(1)当时，求的度数．(2)在转动过程中是否存在，使得射线与射线垂直？如果存在，请求出的值；如果不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)当或27时，射线与射线垂直．【分析】（1）根据题意，求出和的度数，即可得到的度数；（2）分两种情况讨论：①当时；②当时，分别求解，即可得到的值．【详解】（1）解：当时，，，；（2）由题意可知，，，，①如图，当时，此时，，

，解得：；②如图，当时，此时，

，解得：；综上可知，当或27时，射线与射线垂直．【点睛】本题考查了垂线，一元一次方程的应用，角的计算等知识，利用数形结合的思想，找出角度之间的数量关系是解题关键．26．（2023上·河南新乡·七年级统考期末）（1）探究：在①，②，③，④，⑤中，乐乐同学只利用一副三角板能画出来的角是；__________（填序号）

（2）在探究过程中他发现：如图1，他先用三角板画出了直线，然后将一副三角板拼接在一起，其中角（的顶点与角（的顶点互相重合，且边都在直线上．固定三角板不动，将三角板绕点按顺时针方向每秒旋转（如图2），当边第一次落在射线上时停止．在此过程中，若旋转时间为秒，请用表达下列角度．__________．__________．（3）在此过程中，是否存在一个时间（秒），使？若存在，请求出所有符合题意的的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）①④；（2）；（3）存在，当或时，，理由见解析【分析】（1）根据一副三角板中的特殊角，运用角的和与差的计算，只要是15°的倍数的角都可以画出来；（2）根据旋转角度=旋转速度乘以旋转时间以及角的和差即可得出答案；（3）当在内时和在外部时，列方程即可得到结论．【详解】解：（1）∵，∴、和不能写成、、、的和或差，故画不出；故选①④；（2）（3）存在时间，使，理由如下：由题意得：，①当在内时，如图所示，

解得，，符合题意；②当在外部时，如图．所示

解得，，符合题意；当或时，．【点睛】本题考查了角的计算，特殊角，角平分线的定义，正确的理解题意列出方程是解题的关键．27．（2023上·四川成都·七年级统考期末）已知，是内部的一条射线，且．

(1)如图1所示，若，平分，平分，求的度数；(2)如图2所示，是直角，从点O出发在内引射线，满足，若平分，求的度数；(3)如图3所示，，射线，射线分别从出发，并分别以每秒和每秒的速度绕着点O逆时针旋转，和分别只在和内部旋转，运动时间为t秒．①直接写出和的数量关系；②若，当，求t的值．【答案】(1)(2)(3)①；②【分析】（1）先求出，再根据角平分线的定义得到，由此即可得到答案；（2）先求出，则，进一步求出，由角平分线的定义得到，进而可得；（3）①先求出，，根据题意可得，由此求出，，则；②求出，再由，，得到，把代入方程求出t的值即可．【详解】（1）解：∵，∴，∵平分平分，∴，∴，∴；（2）解：∵，∴，∴，∵，∴，∵平分，∴，∴；（3）解：①∵，∴，∴由题意得：，∴，，∴；②由①知，∵，∴，∵，，∴，把代入得：解得，∴若，当时，．【点睛】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，正确理解题意是解题的关键．28．（2023上·甘肃兰州·七年级校考期末）如图，O为直线上一点，过点O作射线，，将一直角三角板（）的直角顶点放在点O处，一边在射线上，另一边与都在直线的上方．

(1)将图1中的三角板绕点O以每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，如图2，经过t秒后，恰好平分．求t的值；并判断此时是否平分？说明理由；(2)在（1）的基础上，若三角板在转动的同时，射线也绕O点以每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，那么经过多长时间平分？请说明理由．【答案】(1)；平分，理由见解析(2)的值为或【分析】（1）根据的度数求出的度数，根据互余得出的度数，进而求出时间t即可；根据题意和图形得出，，再根据，即可得出平分；（2）根据题意和图形得出，再根据旋转求出结果即可．【详解】（1）解：旋转前,当平分时，，则,解得：，结论：平分,理由：∵，又∵，∴,∴平分；（2）解：若平分，

则，∴，∴，当停止时,平分,则有,

∴,综上所述，满足条件的的值为或．【点睛】本题考查角平分线的定义、角的和差定义等知识，解题的关键是理解题意，学会构建方程解决问题.29．（2018·甘肃兰州·七年级统考期末）以直线上一点O为端点作射线，使，将一个直角三角形的直角顶点放在点O处．（注：）

(1)如图1，若直角三角板的一边放在射线上，则______°；(2)如图2，将直角三角板绕点O逆时针方向转动到某个位置，若恰好平分，请说明所在射线是∠的平分线；(3)如图3，将三角板绕点O逆时针转动到某个位置时，若恰好，求的度数？【答案】(1)(2)见解析(3)的度数为或．【分析】（1）根据，，即可得；（2）根据平分得，根据得，，则，即可得；（3）设，则，有两种情况：①OD在∠AOC内部时，根据，，得，进行计算得，即，即可得；②在的内部时，根据，，，，得，进行计算得，即，根据得，综上，即可得．【详解】（1）解：∵，又∵，∴，故答案为：；（2）解：∵平分，∴，∵，∴，，∴，∴所在射线是的平分线；（3）解：设，则，有两种情况：①如图1，在∠AOC内部时，

∵，，，∴，解得，即，∴；②如图2，在的内部时，

∵，，，，，∴，解得：，即，∵，∴，∴的度数为或．【点睛】本题考查了角平分线，三角形内角和定理，解题的关键是分类讨论，列出一元一次方程．30．（2022上·广东珠海·七年级统考期末）已知是直线上的一点，是直角，平分．

(1)在图1中，若，求的度数；(2)在图1中，若，求的度数（用含的代数式表示）；(3)将图1中的绕顶点顺时针旋转至图2的位置，且保持射线在直线上方，在整个旋转过程中，当的度数是多少时，？【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）利用平角的定义，以及角平分线平分角进行求解即可；（2）利用平角的定义，以及角平分线平分角进行求解即可；（3）分点在直线上方和下方，两种情况进行求解即可．【详解】（1）解：∵是直角，∴，∵，∴，∵平分，∴，∴；（2）同法（1）可得：，即：；（3）设，则，∵平分，∴，①当点在直线上方时：

，∵，∴，解得：；②当点在直线下方时：

，∵，∴，解得：；综上：当的度数是或时，．【点睛】本题考查几何图形中角度的计算，角平分线的计算．正确的识图，理清角之间的和，差，倍数关系，是解题的关键．【经典题型五三角板中角度计算问题】31．现有一副三角尺，将和重合于点放置，且，，．将三角尺绕点逆时针旋转一周（旋转过程中和均是指小于的角），分别作出、的平分线、(1)将三角尺旋转到如图1的位置时，点在上，直接写出图1中______度；(2)将三角尺旋转到如图2位的置时，点在的延长线上，直接写出图2中______度(3)将三角尺旋转到图3所示的位置时，若，①______．（用含的代数式表示）②请求出的度数．【答案】(1)(2)(3)①；②【分析】（1）根据三角板得到，，根据角平分线的定义求出，，相加可得结果；（2）求出、，利用角平分线的定义得到，，最后根据得出结果；（3）①求出，根据角平分线的定义可得结果；②求出，根据角平分线的定义求出，再加上和即可得解．【详解】（1）解：如图所示：，，∵、分别平分、，∴，，∴；（2）∵，，∴，∴，，∵、分别平分、，∴，，∴；（3）①∵，，∴，∵平分，∴；②∵，，∴，∵平分，∴，∴．【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角板中的角度运算，角的和差，解题的关键是仔细分析，得出每个小问中的的构成．32．如图1，某校七年级数学学习小组在课后综合实践活动中，把一个直角三角尺AOB的直角顶点O放在互相垂直的两条直线、的垂足O处，并使两条直角边落在直线、上，将绕着点O顺时针旋转．(1)如图2，若，则______，______；(2)若射线是的角平分线，且．①旋转到图3的位置，______．（用含的代数式表示）②在旋转过程中，若，则此时______．【答案】(1)；(2)①；②或【分析】（1）根据，以及角的和差计算即可；（2）①先求，再利用得出结论；②分两种情况讨论：当旋转到左侧时；当旋转到右侧时，解答即可．【详解】（1）解：，∴，∵，∴，∵，∴；∵，，∴；故答案为：；．（2）解：①∵，，∴，∵射线是的角平分线，∴，∴，∵，∴；故答案为：；②当旋转到左侧时，如图所示：∵是的角平分线，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴；当旋转到右侧时，如图所示：设，∵，∴，∵是的角平分线，∴，∵，∴，解得：，∴，∴；综上分析可知，的值为：或．故答案为：或．【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，几何图形中的角度计算，数形结合，分情况讨论是解题的关键．33．如图1，点为直线上一点，过点作射线，使，将一直角的直角顶点放在点处，边在射线上，另一边在直线的下方，绕点逆时针旋转，其中旋转的角度为(1)将图1中的直角旋转至图2的位置，使得落在射线上，此时为度．(2)将图1中的直角旋转至图3的位置，使得在的内部，试探究与之间满足什么样的等量关系，并说明理由．(3)若直角绕点按每秒的速度顺时针旋转，当直角的直角边所在直线恰好平分时，求此时直角绕点的运动时间的值．【答案】(1)90(2)，理由见解析(3)22.5秒或58.5秒【分析】（1）根据，先求出，，根据旋转的位置即可作答；（2）由图可知，，两式相减即可作答；（3）分两种情况讨论即可作答：当射线恰好平分，此时旋转角为：；当射线的反向延长线恰好平分，此时旋转角为：，问题随之得解．【详解】（1），，，，由落在射线上，可知旋转角为：；故答案为：90．（2），，，即关系为：；（3）所在直线恰好平分，顺时针旋转，，当射线恰好平分，此时旋转角为：,即：（秒），当射线的反向延长线恰好平分，此时旋转角为：，（秒）所以直角绕点的运动时间是22.5秒或58.5秒．【点睛】本题主要考查学生对几何中心旋转知识点的掌握，综合运用几何性质与旋转性质解决问题的能力．要注意培养数形结合思想，运用到考试中去．掌握旋转中角度的变化以及旋转反向是解答本题的关键．34．将一副直角三角板，，按如图1放置，其中B与E重合，，．(1)如图1，点F在线段的延长线上，求的度数；(2)将三角板从图1位置开始绕A点逆时针旋转，，分别为，的角平分线．①如图2，当旋转至的内部时，求的度数；②当旋转至的外部时，直接写出的度数．【答案】(1)(2)①；②或【分析】（1）先根据三角板的度数得到的度数，再用即可；（2）①由角平分线的定义可得，，再根据，整理可得的度数；②当旋转至的外部时，分情况讨论：当是锐角时，由角平分线的定义可得，，再根据，整理可得的度数；当是钝角时，由角平分线的定义可得，，再根据，得出的度数．【详解】（1）解：，，，．（2）解：①，分别为，的角平分线，，，；②当旋转至的外部时，分两种情况：（Ⅰ）如图：，分别为，的角平分线，，，；（Ⅱ）如图：，分别为，的角平分线，，，；综上所述，的值为或．【点睛】本题考查了角度的计算，利用角平分线定义和角的和差是解题关键，注意要分情况讨论．35．将一副直角三角板如图1摆放在直线上（直角三角板和直角三角板，，，，），保持三角板不动，将三角板绕点O以每秒的速度顺时针旋转（旋转过程中的大小保持不变）直至边第一次重合在直线上，整个过程时间记为t秒．(1)从旋转开始至结束，整个过程共持续了______秒；(2)如图2，旋转三角板，使得、在直线的异侧，请直接写出与数量关系；如图3，继续旋转三角板，使得、同时在直线的右侧，请问上面的数量关系是否仍然成立，并说明理由；(3)若在三角板旋转的同时，另一个三角板也绕点O以每秒的速度顺时针旋转（旋转过程中的大小保持不变），当边第一次重合在直线上时两三角板同时停止．①试用字母t分别表示与；②在旋转的过程中，当t为何值时平分．【答案】(1)9(2)，仍成立．理由见解析(3)①，，②秒【分析】（1）绕过的角度为，据此除以旋转速度，即可作答；（2）、在直线的异侧，用很含式子表示出与，即可作答；、在直线的右侧，同理可证明；（3）①根据题意直接列式即可；②若平分，则有，根据①的结果列式：，解方程即可求解．【详解】（1）根据题意可知：（秒），故答案为：9；（2）∵，，，，、在直线的异侧，如图2所示，∵，，∴，∴即，、在直线的右侧，仍成立．理由如下：如图3所示，∵，，∴；（3）当三角板旋转的同时，另一个三角板绕点O以每秒的速度顺时针旋转，①当旋转t秒时，，,∴．②若平分，则有，根据①的结果列式：，解得：．答：在旋转的过程中，当t为秒时，平分．【点睛】本题考查三角形综合题、三角形板中的角度的计算、角平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．【经典题型六几何图形中角度计算问题】36．如图，点O在直线EF上，点A、B与点C、D分别在直线EF两侧，且，．

(1)如图1，若平分，求的度数；(2)如图2，在（1）的条件下，平分，过点O作射线，求的度数；(3)如图3，若在内部作一射线，若，，试判断与的数量关系．【答案】(1)(2)或(3)【分析】（1）根据角平分线定义和周角是可得的度数；（2）分两种情况：当在下方时；当在上方时，计算即可；（3）由，，设，则，再结合角平分线的性质可用表达出的度数，求出与的度数．【详解】（1）平分，，，．（2）当在下方时，

平分，，，，，，．当在上方时，

平分，，，，，，，；（3）设，则，，，，，，．【点睛】本题主要考查角度的和差计算，角平分线的性质等知识，结合图形找到角度之间的和差关系是解题关键．37．如图，已知．

(1)试说明：；(2)若平分，，，求的度数；(3)在（2）的条件下，作射线，，当，时，请正确画出图形，并直接写出的度数．【答案】(1)见解析(2)(3)图见解析，的度数是或或或【分析】（1）观察图形，可知已知的两等角存在公共部分，同时减去，即可得解；（2）观察图形中角之间的位置关系，得，由角平分线，得；（3）由，分情况：①在内部：由，进一步分情况讨论，在内部或在外部，②在外部：进一步分情况讨论，在内部或在外部；分别求解．【详解】（1）解：，，，；（2）由（1）可知，，，，平分，，的度数是；（3）的度数是或或或，理由如下：如图1，，，，

，又，，，如图2，，

即，又，，，

如图3，，，又，，，如图，，

，，综上所述，的大小为或或或．【点睛】本题考查角的数量关系和计算，角平分线的定义；根据图形得出角之间的数量关系是解题的关键．38．点为直线上一点，在直线同侧任作射线，使得．

(1)如图一，过点作射线，使为的角平分线，若时，则________，________；(2)如图二，过点O作射线，当恰好为的角平分线时，另作射线，使得平分．①若，求的度数（写出推理过程）；②若，则的度数是________（直接填空）．(3)过点作射线，当恰好为的角平分线时，另作射线，使得平分，当时，则的度数是________．（在稿纸上画图分析，直接填空）【答案】(1)65°，40°(2)①135°，②135°(3)35°或55°【分析】（1）根据求出，利用角平分线的定义得到，再根据进行求解即可；（2）①由平角的定义，角平分线的定义求出，根据进行求解即可；②同①法，进行计算即可；（3）分在内部和在外部两种情况，进行讨论求解即可．【详解】（1）解：∵，，∴，∵为的角平分线，∴，∴；故答案为：；（2）①解：∵，，∴，又∵为的角平分线，为的角平分线，∴，，∴，②∵，，∴，又∵为的角平分线，为的角平分线，∴，，∴；故答案为：；（3）①当在内部时，如图：

∵，平分，∴，∵，∴，∵平分，∴，②当在外部时，如图：

∵，平分，∴，∵，∴，∵平分，∴；综上：的度数是或；故答案为：或．【点睛】本题考查几何图形中角度的计算，角平分线的相关计算．解题的关键是正确的识图，理清角之间的和差关系．39．如图，点在同一条直线上，从点引一条射线，且．

(1)求的度数．(2)将绕点顺时针旋转（，且不是的整数倍）得到，在内引射线，在内引射线，且．．①若，求的度数；②若，请直接写出的大小．【答案】(1)(2)①；②或【分析】（1）根据邻补角的定义和性质即可得出结论；（2）①根据的角度可得出和的度数，由此可得出和的度数，根据和差关系即可得出结论；②分当时和当时，分别进行求解即可得到答案．【详解】（1）解：，；（2）解：①如图1，

，当时，则，，，，，，，，；②或．如图2，当时，

，，，，，解得；如图3，当时，

，，，，，解得，综上所述，的大小为或．【点睛】本题主要考查了角的计算，涉及分类讨论的思想，由图得出角的和差关系是解题的关键．40．已知和是直角．

(1)如图，当射线在内部时，请探究和之间的关系；(2)如图，当射线，射线都在外部时，过点作线，射线，满足，∠DOF＝，求的度数；(3)如图，在(2)的条件下，在平面内是否存在射线，使得，若存在，请求出的度数；若不存在，请说明理由．【答案】(1)；(2)；(3)存在，的度数是或．【分析】（1）根据已知条件，和是直角，可得出和与的关系式，再根据与和列出等量关系，即可得出答案；（2）根据已知条件，可设，则，再根据周角的关系可得到的等量关系，再根据，可得到的等量关系式，由、和可列出等量关系，即可得到答案；（3）分两种情况，当射线在内部时，由，可得出结果，当射线在外部时，由，可得出结果．【详解】（1），理由如下：∵和是直角，∴，∵，∴，同理：，∴，∴；（2）设，则，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，（3）存在，当射线在内部时，∵，∴，当射线在外部时，∵，∴，综上所述，的度数是或．【点睛】此题考查了角的计算，根据题意列出相应的等量关系是解决本题的关键．【经典题型七实际问题中角度计算问题】41．给出如下定义：如果，且（k为正整数），那么称是的“倍锐角”．(1)下列三个条件中，能判断是的“倍锐角”的是________（填写序号）；①；②；③是的角平分线；(2)如图，当时，在图中画出的一个“倍锐角”；(3)如图，当时，射线绕点O旋转，每次旋转10°，可得它的“倍锐角”_____°；(4)当且存在它的“倍锐角”时，则________°．【答案】(1)①③(2)见解析(3)60或80(4)或【分析】（1）分别求出和后判断是否符合（k为正整数）；（2）先求出的度数，再任意画出一个符合题意的角即可；（3）先求出的所有可能性，再分别求出的度数；（4）分两种情况分别讨论．【详解】（1）当时，，，①符合题意；当时，，，②不符合题意；当是的角平分线，，③符合题意；故答案为①③．（2）∵，，∴，如下图：（3）∵是的“倍锐角”，∴（k为正整数），∵，∴，∴应逆时针旋转，∵当时，射线绕点O旋转，每次旋转10°，∴可取，，，，当时，，此时，不符合题意；当时，，此时，符合题意；当时，，此时，不符合题意；当时，，此时，符合题意；故答案为：60或80．（4）∵是的“倍锐角”，∴（k为正整数），∵，∴，①：如图，；②：如图，，∵，∴，∴，故答案为：或．【点睛】本题考查了用新定义计算角的和差，正确理解“倍锐角”是解题的关键．42．如图1，在∠AOB的内部引一条射线OC，则图中共有3个角，分别是∠AOB、∠AOC和∠BOC．若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是∠AOB的“好好线”．(1)①如图2，若∠MPQ＝∠NPQ，则射线PQ∠MPN的“好好线”（填“是”或“不是”）；②若∠MPQ≠∠NPQ，∠MPQ＝α，且射线PQ是∠MPN的“好好线”，请用含α的代数式表示∠MPN；(2)如图3，若∠MPN＝120°，射线PQ绕点P从PN位置开始，以每秒12°的速度逆时针旋转，旋转的时间为t秒．当PQ与PN成110°时停止旋转．同时射线PM绕点P以每秒6°的速度顺时针旋转，并与PQ同时停止．当PQ、PM其中一条射线是另一条射线与射线PN的夹角的“好好线”时，则t＝秒．【答案】(1)①是；②∠MPN=α或∠MPN=3α(2)t=秒，4秒，5秒【分析】（1）①根据新定义的理解，即可得到答案；②根据题意，可分为两种情况：当∠MPQ=2∠QPN时；当∠QPN=2∠MPQ时；分别求出∠MPN即可；（2）根据题意，设运用的时间为t秒，则PM运用后有，，然后对PM和PQ的运动情况进行分析，可分为四种情况进行分析，分别求出每一种情况的运动时间，即可得到答案．【详解】（1）①如图，若∠MPQ＝∠NPQ，∴∠MPN=2∠NPQ=2∠MPQ，∴射线PQ是∠MPN的“好好线”；②∵射线PQ是∠MPN的“好好线”又∵∠MPQ≠∠NPQ∴此题有两种情况Ⅰ．如图1，当∠MPQ=2∠QPN时∵∠MPQ=α∴∠QPN=α∴∠MPN=∠MPQ+∠QPN=α；Ⅱ．如图2，当∠QPN=2∠MPQ时∵∠MPQ=α∴∠QPN=2α∴∠MPN=∠MPQ+∠QPN=3α综上所述：∠MPN=α或∠MPN=3α．（2）根据题意，PM运动前∠MPN＝120°，设运用的时间为t秒，则PM运用后有，，①当时，如图：∴，解得：；②当，即时，如图：∴，解得：；③当，如图：∴，解得：；④当，如图：∵，，∴，解得：；∵的最大值为：，∴不符合题意，舍去；综合上述，t=，4，5秒．【点睛】本题考查了新定义的角度运算，角度的和差关系，以及一元一次方程的应用，解题的关键是熟练掌握题意，正确掌握运动状态，运用分类讨论的思想进行分析．43．如图1，在表盘上12：00时，时针、分针都指向数字12，我们将这一位置称为“标准位置”(图中)．小文同学为研究12点分()时，时针与分针的指针位置，将时针记为，分针记为．如：12：30时，时针、分针的位置如图2所示，试解决下列问题：（1）分针每分钟转动°；时针每分钟转动°；（2）当与在同一直线上时，求的值；（3）当、、两两所夹的三个角、、中有两个角相等时，试求出所有符合条件的的值．(本小题中所有角的度数均不超过180°)【答案】（1）6，0.5；（2）的值为；（3）的值为或【分析】（1）由题意根据分针每60分钟转动一圈，时针每12小时转动一圈进行分析计算；（2）由题意与在同一直线上即与所围成的角为180°，据此进行分析计算；（3）根据题意分当时以及当时两种情况进行分析求解.【详解】解：（1）由题意得分针每分钟转动：；时针每分钟转动：.故答案为：6，0．5.（2）当与在同一直线上时，时针转了度，即分针转了度，即∴解得，∴的值为．（3）①当时，∵∴∴；②当时，∵∴∴；∴综上所述，符合条件的的值为或.【点睛】本题考查钟表角的实际应用，根据题意熟练掌握并运用方程思维进行分析是解答此题的关键.44．借助一副三角板，可以得到一些平面图形（1）如图1，∠AOC＝度．由射线OA，OB，OC组成的所有小于平角的和是多少度？（2）如图2，∠1的度数比∠2度数的3倍还多30°，求∠2的度数；（3）利用图3，反向延长射线OA到M，OE平分∠BOM，OF平分∠COM，请按题意补全图（3），并求出∠EOF的度数．【答案】（1）75°，150°；（2）15°；（3）15°.【分析】（1）根据三角板的特殊性角的度数，求出∠AOC即可,把∠AOC、∠BOC、∠AOB相加即可求出射线OA，OB，OC组成的所有小于平角的和；（2）依题意设∠2＝x，列等式，解方程求出即可；（3）依据题意求出∠BOM,∠COM,再根据角平分线的性质得出∠MOE，∠MOF，即可求出∠EOF.【详解】解：（1）∵∠BOC＝30°，∠AOB＝45°，∴∠AOC＝75°，∴∠AOC+∠BOC+∠AOB＝150°；答：由射线OA，OB，OC组成的所有小于平角的和是150°；故答案为75；（2）设∠2＝x，则∠1＝3x+30°，∵∠1+∠2＝90°，∴x+3x+30°＝90°，∴x＝15°，∴∠2＝15°，答：∠2的度数是15°；（3）如图所示，∵∠BOM＝180°﹣45°＝135°，∠COM＝180°﹣15°＝165°，∵OE为∠BOM的平分线，OF为∠COM的平分线，∴∠MOF＝∠COM＝82.5°，∠MOE＝∠MOB＝67.5°，∴∠EOF＝∠MOF﹣∠MOE＝15°．【点睛】本题主要考查了三角板各角的度数、角平分线的性质及列方程解方程在几何中的应用，熟记概念是解题的关键.45．分类讨论是一种非常重要的数学方法，如果一道题提供的已知条件中包含几种情况，我们可以分情况讨论来求解．例如：若|x|=2，|y|=3求x+y的值．情况①若x=2，y=3时，x+y=5情况②若x=2，y=﹣3时，x+y=﹣1情况③若x=﹣2，y=3时，x+y=1情况④若x=﹣2，y=﹣3时，x+y=﹣5所以，x+y的值为1，﹣1，5，﹣5．几何的学习过程中也有类似的情况：问题（1）：已知点A，B，C在一条直线上，若AB=8，BC=3，则AC长为多少？通过分析我们发现，满足题意的情况有两种情况①当点C在点B的右侧时，如图1，此时，AC=情况②当点C在点B的左侧时，如图2，此时，AC=通过以上问题，我们发现，借助画图可以帮助我们更好的进行分类．问题（2）：如图3，数轴上点A和点B表示的数分别是﹣1和2，点C是数轴上一点，且BC=2AB，则点C表示的数是多少？仿照问题1，画出图形，结合图形写出分类方法和结果．问题（3）：点O是直线AB上一点，以O为端点作射线OC、OD，使∠AOC=60°，OCOD，求∠BOD的度数．画出图形，直接写出结果．【答案】（1）11，5；（2）点C表示的数为﹣4或8；（3）①当OC，OD在AB的同侧时，30°；②当OC，OD在AB的异侧时，150°.【分析】（1）分两种情况进行讨论：①当点C在点B的右侧时，②当点C在点B的左侧时，分别依据线段的和差关系进行计算；（2）分两种情况进行讨论：①当点C在点B的左侧时，②当点C在点B的右侧时，分别依据BC=2AB进行计算；（3）分两种情况进行讨论：①当OC，OD在AB的同侧时，②当OC，OD在AB的异侧时，分别依据角的和差关系进行计算．【详解】解：（1）满足题意的情况有两种：①当点C在点B的右侧时，如图1，此时，AC=AB+BC=8+3=11；②当点C在点B的左侧时，如图2，此时，AC=AB﹣BC=8﹣3=5；故答案为11，5；（2）满足题意的情况有两种：①当点C在点B的左侧时，如图，此时，BC=2AB=2（2+1）=6，∴点C表示的数为2﹣6=﹣4；②当点C在点B的右侧时，如图，BC=2AB=2（2+1）=6，∴点C表示的数为2+6=8；综上所述，点C表示的数为﹣4或8；（3）满足题意的情况有两种：①当OC，OD在AB的同侧时，如图，∠BOD=180°﹣∠AOC﹣∠COD=30°；②当OC，OD在AB的异侧时，如图，∠BOD=180°﹣（∠COD﹣∠AOC）=150°；【点睛】本题主要考查了实数与数轴，垂线的定义以及角的计算，解决问题的关键是根据题意画出图形，解题时注意分类讨论思想的运用．【经典题型八角平分线的有关计算】46．定义：从的顶点P引一条射线（不与重合），若，则称射线为关于边的补线．

(1)下列说法：①一个角关于某边的补线一定在这个角的外部；②一个角关于某边的补线一定有2条；③一个角关于某边的补线有1条或2条，其中正确的是；（填序号）(2)如图，O是直线上一点，射线，在同侧，是的平分线，则是关于边的补线吗？为什么？(3)已知射线为关于边的补线，是的平分线．若，试用含α的式子表示（直接写出结果）．【答案】(1)③(2)是关于边的补线，理由见解答(3)可以表示为或或或【分析】（1）根据题目中给出的信息进行判断即可；（2）根据是的平分线，得出，求出，根据不与重合，结合补线定义进行判断即可；（3）分情况讨论：当为钝角，且在内部时，当为钝角，且在外部时，当为锐角，且在内部，且时，当为锐角，且在内部，且时，当为锐角，且在外部，当为直角时，只能在的外部，分别画出图形求出结果即可．【详解】（1）解：①当这个角是钝角时，它的补线一条在内部，邻补的在外部；②当这个角是直角时，它的补线只有1条；③当这个角是直角时，它的补线只有1条，当这个角不是直角时，有两条；故答案为：③；（2）解：是关于边的补线，理由如下：∵是的平分线，∴，∵，∴，又∵不与重合，∴是关于边的补线．（3）解：当为钝角，且在内部时，如图所示：

∵射线为关于边的补线，∴，∵，∴，∵是的平分线．∴，∴．当为钝角，且在外部时，如图所示：

∵射线为关于边的补线，∴，∵，∴，∵是的平分线．∴，∴．当为锐角，且在内部，且时，如图所示：

∵射线为关于边的补线，∴，∵，∴，∵是的平分线．∴，∴；当为锐角，且在内部，且时，如图所示：

∵射线为关于边的补线，∴，∵，∴，∵是的平分线，∴，∴；当为锐角，且在外部，如图所示：

∵射线为关于边的补线，∴，∵，∴，∵是的平分线，∴，∴；当为直角时，只能在的外部，如图所示：

∵射线为关于边的补线，∴，∵，∴，∵是的平分线，∴，∴；综上分析可知：可以表示为或或．【点睛】本题主要考查了角平分线的有关计算，解题的关键是熟练掌握新定义，数形结合，注意进行分类讨论．47．如图，点O在直线上，在同一平面内，以O为顶点作直角．射线、射线分别平分、．(1)如图1，当时，________，________．(2)如图1，猜想与的数量关系，并说明理由．(3)直接写出图2和图3中，与的数量关系．图2：__________；图3：__________．【答案】(1)，(2)，理由见详解(3)，【分析】（1）根据角平分的定义即可求解；（2）根据（1），可得，问题得解；（3）图2，先表示出，，再根据角平分线可得，问题随之得解；图3，由，可得，根据，，可得，问题随之得解．【详解】（1）∵射线、射线分别平分、，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，故答案为：，；（2），理由如下：在（1）中有：，，，∴；（3）图2中，，理由如下：∵，∴，∴，∵，∴，∵射线、射线分别平分、，∴，，∴，∵，，∴；图3中，，理由如下：∵，∴，∵射线、射线分别平分、，∴，，∵，，∵，∴，∴，∴．【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，平角为，以及角度的计算，理清图中各个角直角的数量关系是解答本题的关键．48．（1）【特例感知】如图1，已知线段，，点C和点D分别是，的中点．若，则________cm；（2）【知识迁移】我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，已知∠AOB在∠MON内部转动，射线OC和射线OD分别平分∠AOM和∠BON；①若，，求∠COD的度数；②请你猜想∠AOB，∠COD和∠MON三个角有怎样的数量关系？请说明理由．（3）【类比探究】如图3，∠AOB在∠MON内部转动，若，，，，求∠COD的度数．（用含有k的式子表示计算结果）．【答案】（1）24；（2）①90°；②．理由见详解；（3）．【分析】（1）欲求，需求．已知，需求．点C和点D分别是，的中点，得，，那么，进而解决此题．（2）①欲求，需求．已知，需求．由和分别平分和，得，，进而解决此题．②与①同理可证．（3）由，可得，，，所以，根据可得结论．【详解】解：（1）∵，，∴，∵点C和点D分别是，的中点，∴，，∴．∴．故答案为：24．（2）①∵和分别平分和，∴，．∴．又∵，，∴．∴．∴．②．理由如下：∵和分别平分和，∴，．∴．∴．（3）∵，，∴，∵，，∴，，∴，∴．【点睛】本题主要考查线段中点以及角平分线的定义，熟练掌握线段中点以及角平分线的定义是解决本题的关键．49．点O为直线上一点，在直线AB同侧任作射线OC，OD，使得．(1)如图1，过点O作射线，当恰好为的角平分线时，另作射线，使得平分，则的度数是___________°；(2)如图2，过点O作射线，当恰好为的角平分线时，求出与的数量关系；(3)过点O作射线，当恰好为的角平分线