专题22.16梯形的性质与判定大题专练（重难点培优）-2021-2022学年八年级数学下册尖子生培优题典

20212022学年八年级数学下册尖子生同步培优题典【沪教版】专题22.16梯形的性质与判定大题专练姓名：__________________班级：______________得分：_________________一．解答题（共24小题）1．（2021秋•普陀区校级月考）如图，在梯形ABCD中，上底AD＝5厘米，下底BC＝11厘米，高是4厘米，点P、Q分别是AD、BC上的点，BQ＝2DP，设DP＝t厘米．（1）求梯形ABQP的面积；（2）求梯形ABQP的面积与梯形QCDP的面积相等时t的值．【分析】（1）根据题意用t表示出AP、BQ，根据梯形的面积公式计算，得到答案；（2）根据梯形的面积公式列出方程，解方程即可得到答案．【解答】解：（1）∵AD＝5厘米，BQ＝2DP，设DP＝t厘米，∴AP＝（5﹣t）厘米，BQ＝2t厘米，∴S梯形ABQP＝×（5﹣t+2t）×4＝（10+2t）平方厘米；（2）当梯形ABQP的面积与梯形QCDP的面积相等时，梯形ABQP的面积等于梯形ABCD的面积的一半，则10+2t＝×（5+11）×4×，解得：t＝3．2．（2021春•徐汇区期末）如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，E、G分别是AB、CD的中点，点F在边BC上，且BF＝（AD+BC）．（1）求证：四边形AEFG是平行四边形；（2）若四边形AEFG是矩形，求证：AG平分∠FAD．【分析】（1）连接EG，根据梯形的中位线定理得到EG＝（AD+BC），EG∥AD∥BC，根据题意得到EG＝BF，得到四边形BEGF是平行四边形，根据平行四边形的性质得到BE＝GF，BE∥GF，进而证明AE＝GF，根据平行四边形的判断定理证明结论；（2）根据矩形的性质得到OA＝OG，得到∠OAG＝∠OGA，根据平行线的性质得到∠DAG＝∠OGA，根据角平分线的定义证明即可．【解答】证明：（1）连接EG交AF于点O，∵E、G分别是AB、CD的中点，∴EG是梯形ABCD的中位线，∴EG＝（AD+BC），EG∥AD∥BC，∵BF＝（AD+BC），∴EG＝BF，∴四边形BEGF是平行四边形，∴BE＝GF，BE∥GF，∵AE＝BE，∴AE＝GF，∴四边形AEFG是平行四边形；（2）∵四边形AEFG是矩形，∴OA＝OG，∴∠OAG＝∠OGA，∵AD∥EG，∴∠DAG＝∠OGA，∴∠OAG＝∠DAG，即AG平分∠FAD．3．（2021春•青浦区期末）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AB＝AD＝2，BC＝3，点E为边AD的中点，过点E作EF⊥EC交AB于点F，求线段AF的长．【分析】过E作EH⊥BC于H，得到四边形ABHE是矩形，证得△CEH是等腰直角三角形得到∠HEC＝45°，进而证得∠AEF＝45°，由等腰三角形的判定证得△AEF是等腰直角三角形，根据等腰三角形的性质可求出AF．【解答】解：过E作EH⊥BC于H，∵AB⊥BC，∴∠B＝∠EHB＝90°，∵AD∥BC，∴∠A+∠B＝180°，∴∠A＝90°，∴四边形ABHE是矩形，∴AE＝BH，AB＝EH＝2，∵点E为边AD的中点，∴AE＝BH＝1，∵BC＝3，∴HC＝2，∴EH＝HC，∵∠EHC＝90°，∴∠HEC＝45°，∵EF⊥EC，∴∠FEC＝90°，∵∠AEH＝90°，∴∠AEF＝∠HEC＝90﹣∠FEH＝45°，在Rt△AEF中，∠AFE＝90°﹣∠AEF＝45°，∴∠AFE＝∠AEF，∴AF＝AE＝1．4．（2021春•松江区期末）如图，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分别是两腰的中点，联结AF，过点F作FG∥AB，交BC于点G，联结EG．（1）求证：四边形AEGF是平行四边形；（2）当∠GFC＝2∠EGB时，求证：四边形AEGF是矩形．【分析】（1）根据等腰梯形的性质得到∠B＝∠C，根据平行线的性质得到∠FGC＝∠B，得到∠FGC＝∠C，推出AE＝FG，于是得到四边形AEGF是平行四边形；（2）连接DG，根据直角三角形的判定得到∠DGC＝90°，∠FDG＝∠FGD，由三角形的外角的性质得到∠CFG＝2∠DGF，等量代换得到∠DGF＝∠BGE，求得∠EGF＝90°，于是得到结论．【解答】（1）证明：∵梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，∴∠B＝∠C，∵AB∥FG，∴∠FGC＝∠B，∴∠FGC＝∠C，∴FG＝FC，∵AB＝CD，E、F分别是腰AB、CD的中点，∴AE＝CF，∴AE＝FG，∴四边形AEGF是平行四边形；（2）证明：连接DG，∵FG＝DF＝CF，∴∠DGC＝90°，∠FDG＝∠FGD，∵∠CFG＝∠FDG+∠DGF，∴∠CFG＝2∠DGF，∵∠GFC＝2∠EGB，∴∠DGF＝∠BGE，∵∠DGF+∠FGC＝90°，∴∠FGC+∠BGE＝90°，∴∠EGF＝90°，∴四边形AEGF是矩形．5．（2021春•闵行区期末）如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，点E是对角线AC的中点，联结DE并延长，交边BC于点F，联结AF．（1）求证：四边形AFCD是平行四边形；（2）联结BE，如果AF垂直平分BE，求证：四边形AFCD是菱形．【分析】（1）根据AAS证明△ADE≌△CFE得出ED＝EF，进而可得四边形AFCD是平行四边形；（2）根据AF垂直平分BE，可得AB＝AE，BF＝EF，然后证明△ABF≌△AEF，可得∠B＝∠AEF＝90°，得AC⊥DF，进而可得结论．【解答】（1）证明：∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠FCE，∠ADE＝∠CFE，∵点E是AC的中点，∴AE＝CE，在△ADE和△CFE中，，∴△ADE≌△CFE（AAS），∴ED＝EF，∵AE＝CE，∴四边形AFCD是平行四边形；（2）证明：如图，连接BE，∵AF垂直平分BE，∴AB＝AE，BF＝EF，在△ABF和△AEF中，，∴△ABF≌△AEF（SSS），∴∠B＝∠AEF＝90°，∴AC⊥DF，∵四边形AFCD是平行四边形，∴四边形AFCD是菱形．6．（2021春•黄浦区期末）在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，∠C＝45°，AB＝4，BC＝7，点E、F分别在边AB、CD上，EF∥AD，点P与AD在直线EF的两侧，∠EPF＝90°，PE＝PF，射线EP、FP与边BC分别相交于点M、N，设AE＝x，MN＝y．（1）求边AD的长；（2）如图，当点P在梯形ABCD内部时，求y关于x的函数解析式；（3）如果MN的长为2，求梯形AEFD的面积．【分析】（1）过D作DH⊥BC，DH与EF、BC分别相交于点G、H，从而判定四边形ABHD是矩形，在RT△DHC中求出CH的长，利用AD＝BH＝BC﹣CH可得出AD的长；（2）首先确定PM＝PN，过点P作QR⊥EF，QR与EF、MN分别相交于Q、R，根据∠MPN＝∠EPF＝90°，QR⊥MN，可表示出PQ、PR，继而可得出y关于x的函数解析式；（3）①当点P在梯形ABCD内部时，由MN＝2及（2）的结论得2＝﹣3x+5，AE＝x＝1，可求得梯形的面积，②当点P在梯形ABCD外部时，由MN＝2及与（2）相同的方法得：（x+3）﹣2＝4﹣x，AE＝x＝，可求得梯形的面积．【解答】解：（1）如图1，过D作DH⊥BC，DH与EF、BC分别相交于点G、H，∵梯形ABCD中，∠B＝90°，∴DH∥AB，又∵AD∥BC，∴四边形ABHD是矩形，∵∠C＝45°，∴∠CDH＝45°，∴CH＝DH＝AB＝4，∴AD＝BH＝BC﹣CH＝3．（2）∵DH⊥EF，∠DFE＝∠C＝∠FDG＝45°，∴FG＝DG＝AE＝x，∵EG＝AD＝3，∴EF＝x+3，∵PE＝PF，EF∥BC，∴∠PFE＝∠PEF＝∠PMN＝∠PNM，∴PM＝PN，如图2，过点P作QR⊥EF，QR与EF、MN分别相交于Q、R，∵∠MPN＝∠EPF＝90°，QR⊥MN，∴PQ＝EF＝（x+3），PR＝MN＝，∵QR＝BE＝4﹣x，∴（x+3）+y＝4﹣x，∴y关于x的函数解析式为y＝﹣3x+5；（3）当点P在梯形ABCD内部时，由MN＝2及（2）的结论得2＝﹣3x+5，AE＝x＝1，∴S梯形AEFD＝（AD+EF）•AE＝（3+3+1）×1＝，当点P在梯形ABCD外部时，由MN＝2及与（2）相同的方法得：（x+3）﹣2＝4﹣x，AE＝x＝，∴S梯形AEFD＝（AD+EF）•AE＝（3+3+）×＝，综上所述，梯形AEFD的面积为或．7．（2020春•松江区期末）如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC．AD＝AB，BC＝2AD．E是BC边的中点，AE、BD相交于点F．（1）求证：四边形AECD是平行四边形；（2）设边CD的中点为G，联结EG．求证：四边形FEGD是矩形．【分析】（1）根据“有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”证明；（2）根据题意，首先判定四边形DFEG是平行四边形，然后推知其有一内角为直角，此题得证．【解答】（1）证明：如图，∵AD∥BC，∴AD∥EC．∵BC＝2AD，E是BC边的中点，∴AD＝EC．∴四边形AECD是平行四边形；（2）证明：如图，连接GE，由（1）知，四边形AECD是平行四边形，则FE∥DG．又∵点E是BC的中点，点G是CD的中点，∴EG∥BD，即EG∥FD，∴四边形DFEG是平行四边形．∵在梯形ABCD中，AD∥BC，∴∠1＝∠2．又∵AD＝AB，∴∠1＝∠3，∴∠2＝∠3，即BF是∠ABE的平分线．∵BC＝2AD，E是BC边的中点，∴AD＝BE．∴AB＝BE，∴BF⊥AE，∴平行四边形FEGD是矩形．8．（2020春•浦东新区期末）如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，点E、F分别是AB、AC的中点，CE⊥BF于点O．（1）求证：四边形EBCF是等腰梯形；（2）EF＝1，求四边形EBCF的面积．【分析】（1）根据三角形的中位线定理和等腰梯形的判定定理即可得到结论；（2）如图，延长BC至点G，使FG∥EC，连接FG，根据平行四边形的性质得到FG＝EC＝BF，根据全等三角形的性质和三角形中位线定理即可得到结论．【解答】解：（1）∵点E、F分别是AB、AC的中点，∴EF∥BC，BE＝AB＝AC＝CF，∴四边形EBCF是等腰梯形；（2）如图，延长BC至点G，使FG∥EC，连接FG，∵四边形EFGC是平行四边形，∴FG＝EC＝BF，∵EF＝CG，FC＝BE，∴△EFB≌△CGF（SSS），∴S四边形EBCF＝S△BFG，∵GC＝EF＝1，且EF＝BC，∴BC＝2，∴BG＝BC+CG＝1+2＝3．∵FG∥EC，∴∠GFB＝∠BOC＝90°，∴FH＝BG＝，∴四边形EBCF的面积＝S△BFG＝×3×＝．9．（2020春•浦东新区期末）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝12，AB＝DC＝8．∠B＝60°．（1）求梯形的中位线长．（2）求梯形的面积．【分析】（1）过A作AE∥CD交BC于E，则四边形AECD是平行四边形，得AD＝EC，AE＝DC，证出△ABE是等边三角形，得BE＝AB＝8，则AD＝EC＝4，即可得出答案；（2）作AF⊥BC于F，则∠BAF＝90°﹣∠B＝30°，由含30°角的直角三角形的性质得出BF＝AB＝4，AF＝BF＝4，由梯形面积公式即可得出答案．【解答】解：（1）过A作AE∥CD交BC于E，∵AD∥BC，∴四边形AECD是平行四边形，∴AD＝EC，AE＝DC，∵AB＝DC，∴AB＝AE，∵∠B＝60°，∴△ABE是等边三角形，∴BE＝AB＝8，∴AD＝EC＝BC﹣BE＝12﹣8＝4，∴梯形ABCD的中位线长＝（AD+BC）＝（4+12）＝8；（2）作AF⊥BC于F，则∠BAF＝90°﹣∠B＝30°，∴BF＝AB＝4，AF＝BF＝4，∴梯形ABCD的面积＝（AD+BC）×AF＝（4+12）×4＝32．10．（2020春•徐汇区期末）如图，已知在梯形ABCD中，AB∥CD．（1）若AD＝BC，且AC⊥BD，AC＝6，求梯形ABCD的面积；（2）若CD＝3，M、N分别是对角线AC、BD的中点，联结MN，MN＝2，求AB的长．【分析】（1）如图1，过C作CE∥BD，交AB的延长线于E，根据平行四边形的性质得到CE＝BD，CD＝BE，求得AC＝BD，推出△ACE是等腰直角三角形，得到AC＝CE＝6，求得CH＝AE＝3，根据梯形的面积公式即可得到结论；（2）如图2，延长NM交AD于G，连接DM并延长交AB于H，根据平行线的性质得到∠DCM＝∠HAM，根据线段中点的定义得到AM＝CM，根据全等三角形的性质得到DM＝HM，求得DN＝BN，得到AG＝DG，根据三角形的中位线定理即可得到结论．【解答】解：（1）如图1，过C作CE∥BD，交AB的延长线于E，过点C作CH⊥AB于H，∵AB∥CD，∴四边形DBEC是平行四边形，∴CE＝BD，CD＝BE，∵AC⊥BD，∴AC⊥CE，∵AD＝BC，AB∥CD，∴AC＝BD，∴AC＝CE，∴△ACE是等腰直角三角形，∴AC＝CE＝6，∴AE＝AC＝6，∴CH＝AE＝3，∴梯形ABCD的面积＝×6×3＝18；（2）如图2，延长NM交AD于G，连接DM并延长交AB于H，∵CD∥AB，∴∠DCM＝∠HAM，∵M是对角线AC的中点，∴AM＝CM，∵∠CMD＝∠AMH，∴△AMH≌△CMD（ASA），∴DM＝HM，∵N是对角线BD的中点，∴DN＝BN，∴MN∥AB∥CD，∴AG＝DG，∴GM＝CD＝，∵MN＝2，∴GN＝，∴AB＝2GN＝7．11．（2019秋•徐汇区校级期中）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AD＝8，AB＝6，BC＝10，现有两个动点P，Q分别从B、D两点同时出发，点P以每秒2个单位的速度沿BC向终点C移动，点Q以每秒1个单位的速度沿DA向终点A移动，线段PQ与BD相交于点E，过E作EF∥BC交CD于点F，射线QF交BC的延长线于点H，设动点P、Q移动时间为t（单位：秒0＜t＜5）（1）当△BPE是等腰三角形时，求t的值；（2）在P、Q的移动过程中，求PH的长度．【分析】（1）分三种情形：PB＝PE，BP＝BE，EB＝EP，分别求解可得结论．（2）利用平行线分线段成比例定理，证明PH＝BC，可得结论．【解答】解：（1）如图，∵AD∥BC，DQ＝t，BP＝2t，∴＝＝，∵AB＝6，AD＝8，∠A＝90°，∴BD＝＝＝10，∴BE＝BD＝，当BP＝BE时，过点P作PJ⊥BE于J，则BJ＝JE＝，∴∠ADB＝∠PBJ，∴cos∠ADB＝cos∠PBJ，∴＝，∴BP＝，∴t＝．当BP＝BE＝时，t＝，当BE＝EP时，＝，∴BP＝，∴t＝（舍弃），综上所述，满足条件的t的值为或．（2）∵DQ∥BP，∴＝＝，∵EF∥BC，∴EC∥BC∥AD，∴＝＝，∴＝＝，＝＝，∴＝，∴PH＝BC＝10．12．（2019春•长宁区期末）已知：如图，AM是△ABC的中线，D是线段AM的中点，AM＝AC，AE∥BC．求证：四边形EBCA是等腰梯形．【分析】先证明△ADE≌△MDC得出AE＝MC，证出AE＝MB，得出四边形AEBM是平行四边形，证出BE＝AC，而AE∥BC，BE与AC不平行，即可得出结论．【解答】证明：∵AE∥BC，∴∠AED＝∠MCD，∵D是线段AM的中点，∴AD＝MD，在△ADE和△MDC中，，∴△ADE≌△MDC（AAS），∴AE＝MC，∵AM是△ABC的中线，∴MB＝MC，∴AE＝MB，∵AE∥MB，∴四边形AEBM是平行四边形，∴BE＝AM，∵AM＝AC，∴BE＝AC，∵AE∥BC，BE与AC不平行，∴四边形EBCA是梯形，∴梯形EBCA是等腰梯形．13．（2019春•徐汇区校级月考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，∠BAC的平分线AE交CD于F，EG⊥AB于G．（1）求证：①CF＝CE；②四边形GECF是菱形吗？请说明理由．（2）当四边形GBCF是等腰梯形时，试判定△ABC的形状，并说明理由．【分析】（1）根据角平分线的性质和菱形的判定解答即可；（2）根据等腰梯形的性质和等腰直角三角形的判定解答即可．【解答】证明：（1）①∵CD是AB边上的高∴∠ADC＝90°∴∠GAE+∠AFD＝90°∵∠ACB＝90°∴∠EAC+∠AEC＝90°，∵AE平分线∠BAC∴∠GAE＝∠EAC∴∠AFD＝∠AEC∵∠AFD＝∠EFC∴∠AEC＝∠EFC∴CF＝CE②∵AE是∠BAC的平分线EG⊥AB，∠ACB＝90°∴EG＝EC∵CF＝CE∴GE＝CF∵EG⊥AB∴∠AGE＝90°∴∠AGE＝∠ADC∴CD∥GE∴四边形GECF是平行四边形∵CF＝CE∴四边形GECF是菱形（2）等腰直角三角形∵四边形GBCF是等腰梯形，GF∥BC∴∠B＝∠FCB∵∠BDC＝90°∴∠B＝45°∵∠ACB＝90°∴∠B+∠BAC＝90°∴∠BAC＝45°∴∠B＝∠BAC∴BC＝AC∴△ABC等腰直角三角形．14．（2019春•浦东新区期末）在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，∠C＝45°，AB＝8，BC＝14，点E、F分别在边AB、CD上，EF∥AD，点P与AD在直线EF的两侧，∠EPF＝90°，PE＝PF，射线EP、FP与边BC分别相交于点M、N，设AE＝x，MN＝y．（1）求边AD的长；（2）如图，当点P在梯形ABCD内部时，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；（3）如果MN的长为2，求梯形AEFD的面积．【分析】（1）过D作DH⊥BC，DH与EF、BC分别相交于点G、H，从而判定四边形ABHD是矩形，在RT△DHC中求出CH的长，利用AD＝BH＝BC﹣CH可得出AD的长．（2）首先确定PM＝PN，过点P作QR⊥EF，QR与EF、MN分别相交于Q、R，根据∠MPN＝∠EPF＝90°，QR⊥MN，可表示出PQ、PR，继而可得出y关于x的函数解析式，也能得出定义域．（3）①当点P在梯形ABCD内部时，由MN＝2及（2）的结论得2＝﹣3x+10，AE＝，可求得梯形的面积，②当点P在梯形ABCD外部时，由MN＝2及与（2）相同的方法得：，AE＝x＝4，可求得梯形的面积．【解答】解：（1）过D作DH⊥BC，DH与EF、BC分别相交于点G、H，∵梯形ABCD中，∠B＝90°，∴DH∥AB，又∵AD∥BC，∴四边形ABHD是矩形，∵∠C＝45°，∴∠CDH＝45°，∴CH＝DH＝AB＝8，∴AD＝BH＝BC﹣CH＝6．（2）∵DH⊥EF，∠DFE＝∠C＝∠FDG＝45°，∴FG＝DG＝AE＝x，∵EG＝AD＝6，∴EF＝x+6，∵PE＝PF，EF∥BC，∴∠PFE＝∠PEF＝∠PMN＝∠PNM，∴PM＝PN，过点P作QR⊥EF，QR与EF、MN分别相交于Q、R，∵∠MPN＝∠EPF＝90°，QR⊥MN，∴PQ＝EF＝，PR＝MN＝，∵QR＝BE＝8﹣x，∴，∴y关于x的函数解析式为y＝﹣3x+10．定义域为1≤x＜．（3）当点P在梯形ABCD内部时，由MN＝2及（2）的结论得2＝﹣3x+10，AE＝，∴（AD+EF）•AE＝，当点P在梯形ABCD外部时，由MN＝2及与（2）相同的方法得：，AE＝x＝4，∴（AD+EF）•AE＝．15．（2019春•金山区期末）梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，E、F分别是腰AB、CD的中点，过点F作FG∥AB，交BC于点G．（1）求证：四边形AEGF为平行四边形；（2）联结DG，如果∠DGE＝∠B，求证：四边形AEGF是矩形．【分析】（1）根据等腰梯形的性质得到∠B＝∠C，根据平行线的性质得到∠FGC＝∠B，得到∠FGC＝∠C，推出AE＝FG，于是得到四边形AEGF是平行四边形；（2）由于FG＝DF＝CF，得到∠DGC＝90°，求得∠DGE+∠BGE＝90°，推出∠AEG＝∠BEG＝90°，于是得到四边形AEGF是矩形．【解答】（1）证明：∵梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，∴∠B＝∠C，∵AB∥FG，∴∠FGC＝∠B，∴∠FGC＝∠C，∴FG＝FC，∵AB＝CD，E、F分别是腰AB、CD的中点，∴AE＝CF，∴AE＝FG，∴四边形AEGF是平行四边形；（2）解：∵FG＝DF＝CF，∴∠DGC＝90°，∴∠DGE+∠BGE＝90°，∵∠DGE＝∠B，∴∠B+∠BGE＝90°，∴∠AEG＝∠BEG＝90°，∴四边形AEGF是矩形．16．（2018秋•崇明区校级月考）已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，DE⊥AC于点F，交BC于点G，交AB的延长线于点E，且AE＝AC．（1）求证：AB＝AF；（2）求证：BG＝FG；（3）若AD＝DC＝2，求AB的长．【分析】（1）证明△ABC≌△AFE（AAS），可得结论；（2）证明Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），可得结论；（3）求得AF长即可求得AB长．利用等腰三角形的三线合一定理可得AF＝AC＝AE，进而求得一些角是30°，主要利用AD长，直角三角形勾股定理来求解．【解答】（1）证明：连接AG，∵∠ABC＝90°，DE⊥AC于点F，∴∠ABC＝∠AFE．在△ABC和△AFE中，，∴△ABC≌△AFE（AAS），∴AB＝AF．（2）证明：在Rt△ABG和Rt△AFG中，，∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），∴BG＝FG；（3）解：∵AD＝DC，DF⊥AC，∴F为AC中点，∵AC＝AE，∴AF＝AC＝AE．∴∠E＝30°．∵∠EAD＝90°，∴∠ADE＝60°，∴∠FAD＝∠E＝30°，∴AF＝．∴AB＝AF＝．17．（2018春•金山区期末）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝4，∠C＝30°，点E、F分别是边AB、CD的中点，作DP∥AB交EF于点G，∠PDC＝90°，求线段GF的长度．【分析】由AD∥BC，DP∥AB可得出四边形ADPB是平行四边形，由点E，F分别是边AB，CD的中点可得出EF∥BC∥AD，进而可得出四边形ADGE和四边形EGPB都是平行四边形，根据平行四边形的性质可得出DG＝GP＝DP＝AB，在Rt△CDP中通过解含30°角的直角三角形可求出CP的长度，再利用三角形的中位线定理即可求出GF的长度．【解答】解：∵AD∥BC，DP∥AB，∴四边形ADPB是平行四边形．∵点E，F分别是边AB，CD的中点，∴EF∥BC∥AD，∴四边形ADGE和四边形EGPB都是平行四边形，∴DG＝GP＝DP＝AB．∵AB＝4，∠C＝30°，∠PDC＝90°，∴PC＝2AB＝8＝2GF，∴线段GF的长度是4．18．（2018春•金山区期末）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，过点D作DE⊥BC，垂足为E，并延长DE至F，使EF＝DE，联结BF、CF、AC．（1）求证：四边形ABFC是平行四边形．（2）联结BD，如果AD＝AB，BD＝DF，求证：四边形ABFC是矩形．【分析】（1）连接BD，利用等腰梯形的性质得到AC＝BD，再根据垂直平分线的性质得到DB＝FB，从而得到AC＝BF，然后证得AC∥BF，利用一组对边平行且相等判定平行四边形；（2）利用等边三角形的判定和性质以及进行的判定解答即可．【解答】证明：（1）联结BD．∵梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，∴AC＝BD，∵△ABC和△DCB中，AB＝DC，AC＝BD，BC＝CB，∴△ABC≌△DCB．∴∠ACB＝∠DBC．又∵DE⊥BC，EF＝DE，∴BD＝BF，∠DBC＝∠FBC，∴AC＝BF，∠ACB＝∠CBF，∴AC∥BF，∴四边形ABFC是平行四边形；（2）∵BC垂直平分DF，BD＝BF，∠BED＝90°，∵BD＝DF，∴△BDF是等边三角形，∴∠BDE＝60°，∠DBE＝30°，∵AD＝AB，AD∥BC，AB＝CD，∴∠ABF＝90°，∵四边形ABFC是平行四边形，∴四边形ABFC是矩形19．（2018春•浦东新区期末）如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，P是下底BC上一动点（点P与点B不重合），AB＝AD＝10，BC＝24，∠C＝45°，45°＜∠B＜90°，设BP＝x，四边形APCD的面积为y．（1）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（2）联结PD，当△APD是以AD为腰的等腰三角形时，求四边形APCD的面积．【分析】（1）作AH⊥BC于H．设AH＝h．构建方程求出h即可解决问题．（2）分两种情形分别讨论求解即可；【解答】（1）解：作AH⊥BC于H．设AH＝h．由题意：+10+h＝24，整理得：h2﹣14h+48＝0，解得h＝8或6（舍弃），∴y＝（10+24﹣x）×8，即y＝﹣4x+136（0＜x＜24）（2）解：①当AP＝AD＝10时，∵AB＝AD＝10，∴AP＝AB＝10，∵BH＝6，∴BP＝2BH＝12，即x＝12，∴y＝88．②当PD＝AD＝10时，四边形ABPD是平行四边形或等腰梯形，∴BP＝AD＝10或BP＝2BH+AD＝22，即x＝10或22，∴y＝96或48，综上所述，四边形APCD的面积为88或96或48．20．（2018春•青浦区期末）已知：如图，在梯形ABCD中，DC∥AB，AD＝BC，BD平分∠ABC，∠CDB＝30°．求：（1）求∠A的度数；（2）当AD＝4时，求梯形ABCD的面积．【分析】（1）首先根据DC∥AB，求出∠ABD的度数是多少；然后根据角平分线的性质，求出∠A的度数是多少即可．（2）首先判断出△ABD是直角三角形，进而利用三角形的面积公式和梯形的面积公式解答即可．【解答】解：（1）∵DC∥AB，∴∠ABD＝∠CDB＝30°，∵BD平分∠ABC，∴∠A＝2∠ABD＝60°．（2）∵∠ABD＝30°，∠A＝60°，∴∠ADB＝180°﹣30°﹣60°＝90°，∴AB＝2AD＝2×4＝8，∴BD＝＝4，∴梯形的高＝，∵BD平分∠ABC，∠CDB＝30°．∴∠CBD＝30°＝∠CDB，∴DC＝BC＝AD＝4，∴S梯形ABCD＝．21．（2021秋•遵义期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ADC＝90°，∠ABC的平分线BE交CD于点E，交对角线AC于点O，OA＝OC，连接AE．（1）求证：四边形ABCE是菱形；（2）若BC＝5，CD＝8，求四边形ABCE的面积．【分析】（1）利用AAS证明△ABO≌△CEO可得BO＝EO，即可证明四边形ABCE是平行四边形，由角平分线的定义可得∠CBE＝∠ABE＝∠CEB，即可得CB＝CE，进而可证明结论；（2）由菱形的性质可求解CE＝AE＝5，DE＝3，利用勾股定理可求解AD的长，再利用菱形的面积公式计算可求解．【解答】（1）证明：∵AB∥CD，∴∠ABO＝∠CEO，∠BAO＝∠ECO，在△ABO和△CEO中，，∴△ABO≌△CEO（AAS），∴BO＝EO，∴四边形ABCE是平行四边形，∵BE平分∠ABC，∴∠CBE＝∠ABE＝∠CEB，∴CB＝CE，∴四边形ABCE为菱形；（2）解：∵四边形ABCE是菱形，BC＝5，∴AE＝CE＝BC＝5，∵CD＝8，∴DE＝CD﹣CE＝8﹣5＝3，∵∠ADE＝90°，∴AD＝，∴S四边形ABCE＝CE•AD＝5×4＝20．22．（2021秋•晋中期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是△ABC的中线，点E是CD的中点，过点C作CF∥AB交AE的延长线于点F，连接BF．请判断四边形BFCD的形状，并加以证明．【分析】根据直角三角形的性质得到CD＝AB＝AD＝BD，证明△AED≌△FEC，根据全等三角形的性质得到CF＝DB，根据菱形的判定定理证明即可．【解答】解：四边形BFCD是菱形，理