第10讲抛物线及其性质（秋季讲义）（人教A版2019选择性）

第10讲抛物线及其性质【人教A版2019】模块一模块一抛物线的定义和标准方程1．抛物线的定义(1)定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫作抛物线.点F叫作抛物线的焦点，直线l叫作抛物线的准线.(2)集合语言表示设点M(x,y)是抛物线上任意一点，点M到直线l的距离为d，则抛物线就是点的集合P={M||MF|=d}.2．抛物线的标准方程抛物线的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系：图形标准方程焦点坐标准线方程y2=2px(p>0)y2=2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=2py(p>0)3．抛物线标准方程的求解待定系数法：求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.【题型1抛物线的定义及其应用】【例1.1】（2324高二下·河南新乡·期末）已知F为抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点，点M在C上，且点M到直线x=−p的距离为3p，则MFA．3p B．2p C．72p 【解题思路】利用抛物线的定义即可求解.【解答过程】因为点M到直线x=−p的距离为3p，所以点M到抛物线C准线x=−p2的距离为由抛物线的定义得，MF=故选：D.【例1.2】（2024·江西·模拟预测）若抛物线x2=8y上一点x0,y0到焦点的距离是该点到A．12 B．1 C．32【解题思路】根据抛物线的方程，结合抛物线的标准方程，得到抛物线的焦点和准线，利用抛物线的定义，得到抛物线上的点x0,y【解答过程】已知拋物线的方程为x2=8y，可得所以焦点为F0,2，准线为l：y=−2抛物线上一点Ax0,y0即AF=又∵A到x轴的距离为y0由已知得y0+2=2y故选：D．【变式1.1】（2324高二上·浙江杭州·期末）设点A(0,2)，抛物线y2=2px(p>0)上的点P到y轴的距离为d．若|PA|+d的最小值为1，则p=（A．6 B．4 C．3 D．2【解题思路】结合抛物线的定义得到关于p的方程，解出即可.【解答过程】抛物线y2=2px(p>0)，则焦点F(pPA+d最小时，即PA+d+p所以只需求|PA|+|PF|的最小值即可，当P为线段AF与抛物线交点时，|PA|+|PF|最小，且最小值为|AF|=p22故选：C.【变式1.2】（2324高二上·广东深圳·期末）M是抛物线C:y2=4x上一点，F是C的焦点，l为C的准线，MM1⊥l于M1A．8+3 B．8+23 C．10【解题思路】根据抛物线的定义，求出M点纵坐标，利用勾股定理求出M1【解答过程】如图，

由抛物线C:y2=4x，可知F(1,0因为MF=MM代入抛物线方程可得yM=±23则yM=23又NF=2p=2，所以M所以△MM1F故选：D.【题型2抛物线的轨迹方程】【例2.1】（2324高三上·黑龙江哈尔滨·期末）点P到直线y=3的距离比到点F0,−1的距离大2，则点P的轨迹方程为（

A．y2=2x B．y2=−4x C．【解题思路】根据题意点P到直线y=1的距离和到点F0,−1【解答过程】根据题意，设点P(x,y)，且点P在y=3的下方，故点P到直线y=1的距离和到点F0,−1所以点的轨迹为以F0,−1为焦点，以直线y=1所以P的轨迹方程为x2故选：D.【例2.2】（2024·湖南衡阳·三模）已知点F(2,0)，动圆P过点F，且与x=−2相切，记动圆圆心P点的轨迹为曲线Γ，则曲线Γ的方程为（

）A．y2=2x B．y2=4x C．【解题思路】分析题意，利用抛物线的定义判断曲线是抛物线，再求解轨迹方程即可.【解答过程】由题意知，点P到点F的距离和它到直线x=−2的距离相等，所以点P的轨迹是以(2,0)为焦点的抛物线，所以Γ的方程为y2故选：C.【变式2.1】（2324高二上·内蒙古乌兰察布·期末）已知动点Mx,y到点F4,0的距离比到直线x+5=0的距离小1，则点M的轨迹方程为（A．x+4=0 B．x−4=0 C．y2=8x 【解题思路】分析可知，点M的轨迹为抛物线，确定该抛物线的焦点与准线，由此可得出点M的轨迹方程.【解答过程】因为动点Mx,y到点F4,0的距离比到直线x+5=0的距离小所以，点Mx,y到点F4,0的距离和到直线点M的轨迹是以点F为焦点，直线x=−4为准线的抛物线．所以，p2=4，则p=8，故点M的轨迹方程为故选：D.【变式2.2】（2324高二上·四川成都·期中）已知点A(−2,0)，B(2,0)，直线PA的斜率为k1，直线PB的斜率为k2，若k2−k1=1，则点PA．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线【解题思路】设Px,y【解答过程】设Px,y，其中x≠±2,y≠0则yx−2−y所以y=1所以点P的轨迹为不包含A，B两点的抛物线.故选：D.【题型3抛物线的标准方程的求解】【例3.1】（2324高二下·河南洛阳·阶段练习）点M(5,3)到抛物线x2=ay的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是（A．x2=112yC．x2=12y或x2【解题思路】由抛物线的准线方程,分类讨论求参数a的值.【解答过程】当a>0时，抛物线开口向上，准线方程y=−a点M(5,3)到准线的距离为3+a4=6所以抛物线方程为x2当a<0时，抛物线开口向下，准线方程y=−点M(5,3)到准线的距离为3+a4=6，解得a=−36所以抛物线方程为x2所以抛物线的方程为x2=12y或故选：C.【例3.2】（2024高二上·全国·专题练习）边长为1的等边△AOB，O为坐标原点，AB⊥x轴，以O为顶点且过A,B的抛物线方程是（

）A．y2=36C．y2=±36【解题思路】利用题意得到抛物线上点的坐标，待定系数法求解参数即可.【解答过程】设抛物线方程为y2＝ax由题意得x2+y2=1，y=±取点A在x轴上方，故A±32解得a=±36，所以抛物线方程为故选：C.【变式3.1】（2324高三上·江苏南京·阶段练习）如图，过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝6，则此抛物线方程为（

）A．y2＝9x B．y2＝6xC．y2＝3x D．y2＝3x【解题思路】分别过A，B作准线的垂线，交准线于E，D，设|BF|=a，运用抛物线的定义和直角三角形的性质，求得p，可得所求抛物线的方程．【解答过程】如图分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设|BF|＝a，则由已知得：|BC|＝2a，由抛物线定义得：|BD|＝a，故∠BCD＝30°，在直角三角形ACE中，因为|AE|＝|AF|＝6，|AC|＝6＋3a，2|AE|＝|AC|，所以6＋3a＝12，从而得a＝2，|FC|＝3a＝6，所以p＝|FG|＝12|FC|＝3，因此抛物线方程为y2＝6x故选：B.【变式3.2】（2024·全国·模拟预测）已知抛物线y2=2pxp>0的焦点为F，P为抛物线上一点，以PF为直径的圆C与y轴相切于点M0,22，且圆CA．y2=4x B．y2=6x C．【解题思路】设Px0,y0，则圆心Cp4+x02,y02，由于圆C与y【解答过程】由题意得，Fp2,0，设P由于圆C与y轴相切于点M0,22，故y0连接PB，由圆C过点B4,0，得PB⊥BF，所以PB又PB=4−x0,−又B、F是不同两点，所以p2−4≠0，则x0由P4,42在抛物线y2=2px上，得故该抛物线的方程为y2故选：C．【题型4抛物线的焦点坐标及准线方程】【例4.1】（2324高二上·陕西西安·期末）抛物线y=−6x2的焦点为（A．−32,0 B．0,−124 【解题思路】将方程化为标准方程，进而求焦点坐标.【解答过程】将抛物线y=−6x2的方程整理为标准形式得可知该抛物线的焦点在y轴负半轴上，且p=112，即所以抛物线y=−6x2的焦点坐标为故选：B.【例4.2】（2324高二上·陕西榆林·期中）已知抛物线C：y2=mx过点2,5，则抛物线CA．x=58 B．x=−58 C．【解题思路】根据题意，求得抛物线的方程y2【解答过程】由抛物线C：y2=mx过点2,5，可得(即抛物线的方程为y2=52x故选：B.【变式4.1】（2024·江苏扬州·模拟预测）已知椭圆x2a+y2=1(a>1)的离心率为A．116,0 B．0,18 C．【解题思路】由椭圆离心率为32列式求得参数a【解答过程】因为椭圆x2a+y2=1(a>1)的离心率为则抛物线y=ax2的标准方程为x2故选：D.【变式4.2】（2024·福建莆田·三模）已知抛物线C:y2=2px(p>0)）的焦点为F，点P(m,4)在抛物线C上，且PF=4，则抛物线A．y=−4 B．y=−2 C．x=−4 D．x=−2【解题思路】根据题意，结合抛物线的定义，列出方程组，求得p的值，得出抛物线的方程，即可求解.【解答过程】因为点P(m,4)在抛物线C:y2=2px可得m+p2=42pm=4所以抛物线C的准线方程是x=−2.故选：D.【题型5抛物线的焦半径公式】【例5.1】（2024·青海西宁·一模）已知F是抛物线C:x2=4y的焦点，点M在C上，且M的纵坐标为3，则MFA．22 B．23 C．4【解题思路】利用抛物线的标准方程和抛物线的焦半径公式即可求解.【解答过程】由x2=4y，得2p=4，解得所以抛物线C:x2=4y的焦点坐标为F又因为M的纵坐标为3，点M在C上，所以MF=故选：C.【例5.2】（2024·北京大兴·三模）已知抛物线y2=4x的焦点为F，过F且斜率为−1的直线与直线x=−1交于点A，点M在抛物线上，且满足MAA．1 B．2 C．2 D．2【解题思路】由题意先求出过F且斜率为−1的直线方程，进而可求出点A，接着结合点M在抛物线上且MA=MF可求出xM【解答过程】由题意可得F1,0，故过F且斜率为−1的直线方程为y=−令x=−1因为MA=MF，所以MA垂直于直线x=又M在抛物线上，所以由22所以MF=故选：C.【变式5.1】（2324高三下·河北·阶段练习）已知抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l,P是抛物线上位于第一象限内的一点，过点P作l的垂线，垂足为Q，若直线QF的倾斜角为150∘，则PFA．2 B．43 C．13【解题思路】由题意解三角形得yP=QH【解答过程】

过点F作l的垂线，垂足为H，因为直线QF的倾斜角为150∘，则∠QFH=设FH=p=2，因为yP=所以P1故选：B.【变式5.2】（2024·安徽安庆·三模）已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点F到其准线的距离为2，点Mx1,y1,NA．13 B．33 C．3【解题思路】抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点F到其准线的距离为p，又MF=y1+p【解答过程】因为抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点F所以x2=4y,即由x1+3x2x1由焦半径公式可得NFMF故选：A.模块二模块二抛物线的几何性质1．抛物线的几何性质标准

方程y2=2px(p>0)y2=2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=2py(p>0)图形顶点(0,0)(0,0)轴对称轴y=0对称轴x=0焦点准线离心率e=1e=1开口开口向右开口向左开口向上开口向下焦半径范围x≥0x≤0y≥0y≤02．抛物线与椭圆、双曲线几何性质的差异抛物线与椭圆、双曲线几何性质的差异：

①它们都是轴对称图形，但椭圆和双曲线又是中心对称图形；

②顶点个数不同，椭圆有4个顶点，双曲线有2个顶点，抛物线只有1个顶点；

③焦点个数不同，椭圆和双曲线各有2个焦点，抛物线只有1个焦点；

④离心率取值范围不同，椭圆的离心率范围是0<e<1,双曲线的离心率范围是e>1，抛物线的离心率是e=1；

⑤椭圆和双曲线都有两条准线，而抛物线只有一条准线；

⑥椭圆是封闭式曲线，双曲线和抛物线都是非封闭式曲线.3．与抛物线有关的最值问题求解此类问题一般有以下两种思路：(1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义求解.(2)代数法：由条件建立目标函数，然后利用函数求最值的方法进行求解，如利用二次函数在闭区间上最值的求法，利用函数的单调性等，亦可用均值不等式求解.【题型6抛物线的对称性的应用】【例6.1】（2324高二下·福建厦门·期末）等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线y2=2x上，则这个等边三角形的边长为（A．2 B．23 C．4 D．【解题思路】正三角形的另外两个顶点关于x轴对称，设另外两个顶点坐标分别是A3【解答过程】设正三角形得边长为2a，由图可知正三角形的另外两个顶点关于x轴对称，可设另外两个顶点坐标分别是A3把顶点代入抛物线方程得a2=23所以正三角形的边长为43故选：D.【例6.2】（2024·重庆·模拟预测）A,B是抛物线y2=2px(p>0)上的不同两点，点F是抛物线的焦点，且△OAB的重心恰为F，若|AF|=5，则p=（A．1 B．2 C．3 D．4【解题思路】根据重心可得x1+x【解答过程】设Ax因为△OAB的重心恰为F，则x1+x由y1=−y2可知A,B关于则x1+x又因为AF=x1故选：D.【变式6.1】（2324高三下·河南开封·阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C:y2=8x,P为x轴正半轴上一点，线段OP的垂直平分线l交C于A,B两点，若∠OAP=120°，则四边形OAPBA．643 B．64 C．803【解题思路】线段OP的垂直平分线l交C于A,B两点,结合抛物线的对称性可得AB与OP互相平分,则四边形OAPB为菱形,可设P点坐标,通过几何关系求出A点坐标,在代入抛物线方程即可求解.【解答过程】因为线段OP的垂直平分线l交C于A,B两点，所以结合抛物线的对称性可得AB与OP互相平分,则四边形OAPB为菱形.设点P2t,0且t>0则线段OP的垂直平分线l方程为x=t令l与x轴交于点H,又∠OAP=120°，

则在直角三角形OAH中∠OAH=继而可得AH=所以A点坐标为t,3代入抛物线C:y2=8x，可得t直角三角形OAH中OA=2所以四边形OAPB的周长为4OA故选：A.【变式6.2】（2024·全国·模拟预测）已知抛物线C:y2=6x的焦点为F，准线为l，点A在抛物线C上，且点A到准线l的距离为6，AF的垂直平分线与准线l交于点N，点O为坐标原点，则△OFNA．932 B．934 C．【解题思路】解法一：先根据焦半径公式求出A的坐标，再求出AF的垂直平分线的方程，从而可求N的坐标，故可求△OFN的面积.解法二：先根据焦半径公式求出A的坐标，过点A作l的垂线，垂足为B，利用抛物线的定义可得B,N重合，从而可求△OFN的面积.【解答过程】解法一：抛物线C：y2=6x的焦点为F32,0设A(m,n)，由点A到准线l的距离为6，得m+32=6代入抛物线的方程得n2=6×9由抛物线的对称性，不妨设A92,33，则直线又A,F的中点坐标为3,332，故AF令x=−32，得y=33所以△OFN的面积为12故选：B.解法二：抛物线C：y2=6x的焦点为F32,0设A(m,n)，由A到准线l的距离为6，得m+32=6代入抛物线的方程得n2=6×9由抛物线的对称性，不妨设A92,33，则直线所以∠AFx=60°．过点A作l的垂线，垂足为B，则B−32则∠FAB=∠AFx=60°，而AF=AB，所以△FAB是等边三角形，于是边AF的垂直平分线过点B，即点B与点N重合，所以△OFN的面积为故选：B.【题型7与抛物线有关的最值问题】【例7.1】（2024高三·全国·专题练习）已知P是抛物线y2=2x上的点，Q是圆x−52+yA．2 B．22 C．23【解题思路】将问题转化为求|PC|的最小值，根据两点之间的距离公式，求得|PC|的最小值再减去半径即可.【解答过程】如图，抛物线上点Px,y到圆心C5,0的距离为

因此PQ≥CP−1，当CP而CP2当y=±22时，CPmin=3，因此PQ故选：A.【例7.2】（2024·四川成都·模拟预测）设点A(2,3)，动点P在抛物线C:y2=4x上，记P到直线x=−2的距离为d，则APA．1 B．3 C．10−1 D．【解题思路】根据抛物线的定义，P到焦点F的距离等于P到准线的距离，可得d=|PF|+1，从而转化为求|AP|+|PF|+1的值，当A,P,F三点共线时，d=|PF|+1取得最小值，即可求解.【解答过程】由题意可得，抛物线C的焦点F1,0，准线方程为x=−1由抛物线的定义可得d=|PF|+1，所以|AP|+d=|AP|+|PF|+1，因为|AP|+|PF|≥|AF|=所以|AP|+d=|AP|+|PF|+1≥10当且仅当A,P,F三点共线时取等号，所以|AP|+d的最小值为1故选：D.【变式7.1】（2324高二下·甘肃白银·期末）已知M是抛物线y2(1)设点A的坐标为2,0，求MA的最小值；(2)若点M到直线x−y+1=0的距离最小，求出点M的坐标及距离的最小值.【解题思路】（1）假设M的坐标，根据两点间的距离公式可以表示出MA的函数，进而利用二次函数求解最小值；（2）利用点到直线的距离公式表示出点M到直线x−y+1=0的距离，再根据二次函数求解最小值【解答过程】（1）设点Mx所以当x0=1时，MAmin（2）点M到直线x−y+1=0的距离d=|当y0=1时，dmin=2【变式7.2】（2324高二·全国·课后作业）设点P是抛物线y2(1)求点P到A−1,1的距离与点P到直线x=−1(2)若B3,2，求PB【解题思路】（1）利用抛物线的定义，转化点P到准线的距离为到焦点的距离，再利用数形结合，即可求解；（2）利用抛物线的定义，转化点P到焦点的距离为到准线的距离，再利用数形结合，即可求解；【解答过程】（1）如图，易知抛物线的焦点为F1,0，准线为x=−1，由抛物线的定义知点P到直线x=−1的距离等于点P到焦点F于是，问题转化为在曲线上求一点P，使点P到点A−1,1的距离与点P到F显然，连接AF与抛物线的交点即为所求点P，故最小值为22+1

（2）如图，过点P作PE垂直于准线于点E，过点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1

此时，PE=PF，那么【题型8抛物线中的三角形（四边形）面积问题】【例8.1】（2024·江西新余·二模）已知点Q2,−2在抛物线C：y2=2px上，F为抛物线的焦点，则△OQF（OA．12 B．1 C．2 【解题思路】将点Q代入抛物线C的方程，即可求解p，再结合抛物线的公式，即可求解【解答过程】∵点Q(2,−2)在抛物线C:y2=2px上，F∴4=4p，解得p=1，故抛物线C的方程为y2=2x，F(1则△OQF的面积S△OQF故选：A．【例8.2】（2024·重庆·三模）已知等边三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y2=2x上，则这个等边三角形的面积是（A．43 B．83 C．12【解题思路】正三角形的另外两个顶点关于x轴对称，设另外两个顶点的坐标分别为A3a,a、B3【解答过程】正三角形的另外两个顶点关于x轴对称，设另外两个顶点的坐标分别为A3a,a、把顶点3a,a代入抛物线方程得a2=2故正三角形的边长为43，面积是3故选:C.【变式8.1】（2324高三下·四川成都·期末）若A是抛物线y2=4x上的动点，点B，C在y轴上，圆x−22+y2=4A．8 B．16 C．24 D．32【解题思路】根据圆的切线的知识求得△ABC面积的表达式，利用基本不等式求得面积的最小值.【解答过程】设Ax0,y0圆x−22+y2=4由于圆x−22+y2=4直线AB的方程为y−b=y0−b则2y0−b同理可得x0所以b+c=−4所以b−c2将y02=4x0所以S=2x0当且仅当2x故选：D.【变式8.2】（2324高二·全国·课后作业）已知抛物线C：y2=8x，点P为抛物线上任意一点，过点P向圆D：x2+y2−4x+3=0作切线，切点分别为AA．1 B．2 C．3 D．5【解题思路】由题意圆的圆心与抛物线的焦点重合，可得连接PD，则S四边形PADB=2SRt△PAD=PA，而【解答过程】如图，连接PD，圆D：x−22则S四边形又PA=PD2−1，所以当四边形过点P向抛物线的准线x=−2作垂线，垂足为E，则PD=当点P与坐标原点重合时，PE最小，此时PE=2故S四边形故选：C.【题型9抛物线的实际应用问题】【例9.1】（2324高一上·江苏·期中）如图①，“东方之门”通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了苏州的历史文化．如图②，“门”的内侧曲线呈抛物线形，已知其底部宽度为80米，高度为200米．则离地面150米处的水平宽度（即CD的长）为（

）

A．40米 B．30米 C．25米 D．20米【解题思路】以底部所在的直线为x轴，以线段CD的垂直平分线所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，用待定系数法求得外侧抛物线的解析式，则可知点C、D的横坐标，从而可得CD的长．【解答过程】以底部所在的直线为x轴，以线段CD的垂直平分线所在的直线为y轴建立平面直角坐标系：

∴A(−40,0)，B(40,0)，E设抛物线的解析式为y=a(x+40)(x−40)，将E0,200200=a(0+40)(0−40)，解得：a=−1∴抛物线的解析式为y=−1将y=150代入得：−1解得：x=±20，∴C（20，150），D(20,150)，∴CD=40m故选：A.【例9.2】（2324高三上·湖南长沙·阶段练习）假设一水渠的横截面曲线是抛物线形，如图所示，它的渠口宽AB为2m，渠深OC为1.5m，水面EF距AB为0.5m，则截面图中水面宽EF的长度约为（

）（2≈1.414，

A．0.816m B．1.33m C．1.50m D．1.63m【解题思路】建立平面直角坐标系，求得抛物线方程并将水面宽度坐标化即可求得结果.【解答过程】以O为原点，OC为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，

设抛物线的标准方程为x2=2py（由题意可得B1,1.5，代入x2=2py得1=3p，得p=设Fx0,y0（x0>0即可得x0所以截面图中水面宽EF的长度约为0.816×2≈1.63m故选：D.【变式9.1】（2324高二上·全国·课后作业）一种卫星接收天线的轴截面如图所示.卫星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处.已知接收天线的口径（直径）为4.8m，深度为0.5m.

(1)试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标；(2)为了增强卫星波束的接收，拟将接收天线的口径增大为5.2m，求此时卫星波束反射聚集点的坐标.【解题思路】（1）建立如图所示的直角坐标系，利用待定系数法进行求解即可；（2）利用待定系数法、代入法进行求解即可.【解答过程】（1）建立如图所示的直角坐标系，设抛物线的方程为：y2=2pxp>02.42所以抛物线的标准方程为y2=11.52x，焦点的坐标为

（2）设抛物线的方程为y2把0.5,2.6代入方程中，得2.62所以焦点的坐标为：3.38,0.【变式9.2】（2324高二上·浙江·期中）如图1，太阳灶是一种将太阳光反射至一点用来加热水或食物的设备，上面装有抛物面形的反光镜，镜的轴截面是抛物线的一部分（如图2），盛水或食物的容器放在抛物线的焦点处，该容器由6根等长的铁筋焊接在一起的架子支撑（图中F点为放置容器处，其余6个焊点在镜口圆上）．已知镜口圆的直径为12dm，镜深2dm．(1)建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程及焦点的坐标；(2)若把盛水或食物的容器近似地看作点，试求支撑容器的架子所用铁筋的总长度（单位dm）．【解题思路】（1）先建立直角坐标系，得到A点坐标，然后设出抛物线方程进而求得p的值，从而可以确定抛物线的方程和焦点的位置.（2）根据盛水或食物的容器在焦点处，结合两点间距离公式可得每根铁筋的长度.【解答过程】（1）如图，在反光镜的轴截面内建立直角坐标系，使反光镜的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合，x轴垂直于镜口直径．由已知，得A点坐标是(2,6)，设抛物线方程为y2=2px(p>0)，则36=2p×2，解得则抛物线的标准方程是y2焦点坐标是F(4.5,0).（2）因为盛水的容器在焦点处，所以A、F两点间的距离即为每根铁筋长，所以每根铁筋长为2+p2所以架子所用钢筋总长度为6.5×6=39dm一、单选题1．（2024·四川·模拟预测）已知抛物线C:x2=8y的焦点为F,P是抛物线C上的一点，O为坐标原点，OP=43A．4 B．6 C．8 D．10【解题思路】求出抛物线焦点和准线方程，设Pm,nm≥0，结合OP=4【解答过程】抛物线C:x2=8y的焦点为F设Pm,nm≥0，则m2=8n,m则PF=n+2=6故选：B．2．（2425高三上·云南大理·开学考试）已知P为抛物线C:y2=8x上任意一点，F为抛物线C的焦点，Q为圆M:(x−8)2A．6 B．10 C．4 D．8【解题思路】利用抛物线的定义及点与圆的位置关系，通过数形结合计算最值即可.【解答过程】如图，过点P作PH垂直准线于点H，连接PM交⊙M于点Q.由题意可得F2,0,C的准线方程为x=−2,因为PQ=PM−当M,P,H三点共线时，PH+PM取得最小值，最小值为所以PF+PQ的最小值为故选：D.3．（2324高二下·湖南·期中）过抛物线y2=2pxp>0的焦点作直线交抛物线于P，Q两点，若线段PQ中点的横坐标为2，PQA．y2=2x B．y2=4x C．【解题思路】由抛物线定义结合抛物线过焦点的弦长公式即可求得p值，则抛物线方程可求.【解答过程】设P(x1,y1)，又|PQ|=x1+x2+p=6，即故选：B.4．（2324高三下·北京·开学考试）已知抛物线y2=2pxp>0的焦点为F，过F的直线与抛物线交于A，B两点，AFA．BF=13C．BF=23【解题思路】根据抛物线的定义得到BD=BF=m，AC=AF=2m，然后结合【解答过程】

如图，分别过点A、B向准线作垂线，垂足分别为C、D，过点B、F分别作BG⊥AC、FE⊥AC于点G、E，准线与x轴交于点K，设BF=m，则由抛物线的定义可得BD=BF则AG=CG因为AF=2BF，所以cos∠EAF=AGAB=m所以BF=故选：D.5．（2324高二下·内蒙古通辽·期中）已知抛物线C：y2=2pxp>0的焦点为F，准线为l.点A在抛物线C上，点B在准线l上，若△AFB是边长为4的等边三角形，则pA．2 B．3 C．1 D．2【解题思路】由已知，利用抛物线定义可得AB⊥l，再由等边三角形的边长为4，即可求得DF=BFcos【解答过程】因为△AFB是边长为4的等边三角形，由题意可知，AF=AB，由抛物线定义可得设准线l与x轴的交点为D，如下图所示：因此AB与DF平行，由∠ABF=60°，可得∠BFD=60°，所以DF=BFcos故选：A.6．（2024·西藏林芝·模拟预测）已知抛物线y2=8x上一点P到准线的距离为d1，到直线l:4x−3y+12=0的距离为d2，则A．1 B．2 C．3 D．4【解题思路】点P到直线l:4x−3y+12=0的距离为|PA|，到准线l1:x=−2的距离为|PB|，利用抛物线的定义得|PF|=|PB|，当A，P和F共线时，点P到直线l:4x−3y+12=0和准线【解答过程】由抛物线y2=8x知，焦点F2,0

点P到直线l:4x−3y+12=0的距离为|PA|，到准线l1:x=−2的距离为由抛物线的定义知：|PB|=|PF|，所以点P到直线l:4x−3y+12=0和准线l1:x=−2的距离之和为且点F2,0到直线l:4x−3y+12=0的距离为d=所以d1+d故选：D.7．（2024·全国·模拟预测）已知倾斜角为60°的直线l过点M1,0，且与抛物线C:y2=2pxp>0交于A,B两点．若SA．y2=4x B．y2=2x C．【解题思路】联立直线和抛物线的方程，利用韦达定理求解即可.【解答过程】设Ax因为S△OAM:S由题意，得直线l的方程为x=3将其代入y2=2px，得所以y1又y1=−3y2，所以所以y2=−3解得p=2或p=0（舍去）．所以抛物线C的方程为y2故选：A．8．（2024·江西九江·二模）已知抛物线C:y2=2px过点A1,2，F为C的焦点，点P为C上一点，A．C的准线方程为x=−2B．△AFO的面积为1C．不存在点P，使得点P到C的焦点的距离为2D．存在点P，使得△POF为等边三角形【解题思路】求解抛物线方程，得到准线方程，判断A；求解三角形的面积判断B；利用|PF|=2．判断C；判断P的位置，推出三角形的形状，判断D．【解答过程】由题意抛物线C:y2=2px过点A(1,2)，可得p=2，所以抛物线方程为C:可以计算S△AFO当P(1,2)时，点P到C的焦点的距离为2，C错误；△POF为等边三角形，可知P的横坐标为：12，当x=12则12×3=3故选：B．二、多选题9．（2324高二下·广东·期中）已知抛物线C：y2=2pxp>0上的两点M，N与焦点F的距离之和为10，M，N到x轴的距离的平方和为32，O为坐标原点，则pA．1 B．2 C．4 D．8【解题思路】联立方程组，结合根与系数关系应用求参.【解答过程】设Mx由题意得MF+得2p10−p=32,解得p=2或p=8.故选：BD.10．（2324高二下·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知F是抛物线y2=4x的焦点，P是抛物线y2=4x上一动点，Q是A．PF的最小值为1 B．QF的最小值为10C．PF+PQ的最小值为4 D．QF【解题思路】根据抛物线的性质判断A，根据圆的性质判断D，结合抛物线的定义判断C.【解答过程】抛物线焦点为F1,0，准线为x=−1，⊙C:(x−4)2+(y−1)作出图象如下所示：

对于A：由抛物线的性质可知：PF的最小值为OF=1对于B、D：因为FC=4−12+1由圆的性质可知QF的最小值为CF−r=QF的最大值为CF+r=对于C：过点P作抛物线准线的垂线，垂足为M，由抛物线定义可知PF=故PF+而PM+PQ的最小值为点Q到准线x=故选：ACD.11．（2324高二下·新疆克拉玛依·期中）已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，点P5,y0在抛物线上，且PF=6，过点P作A．p=2 B．抛物线的准线为直线y=−1C．y0=25 D．【解题思路】根据焦半径公式求得p=2判断A，进而利用抛物线方程求解准线及点的坐标判断BC，利用三角形面积公式求解面积判断D.【解答过程】抛物线y2=2px(p>0)的准线为直线x=−p过点P向准线作垂线垂足为M，由抛物线的定义可知PF=PM=5+则抛物线的方程为y2=4x，准线为直线

将x=5代入抛物线方程，解得y0焦点F(1,0)，点P(5,±25)，即所以S△FPQ故选：AD．三、填空题12．（2425高三上·北京海淀·开学考试）抛物线y2=4x上与焦点距离等于3的点的横坐标是【解题思路】根据抛物线的定义求解即可.【解答过程】抛物线y2=4x的焦点为F(1,0)，准线方程为设抛物线上一点P(x0,则PF=所以x0故答案为：2.13．（2425高二上·全国·课堂例题）如图所示，花坛水池中央有一喷泉，水管O′P=1m，水从喷头P喷出后呈抛物线状，先向上至最高点后落下，若最高点距水面2m，P

【解题思路】以右侧抛物线顶点为坐标原点构建直角坐标系，设抛物线方程，由P−1,−1【解答过程】以抛物线的顶点为原点，过顶点与焦点的直线为y轴，建立平面直角坐标系．

设抛物线的方程为x2=−2py(p>0)，则P−1,−1所以抛物线的方程为x2=−y，又令y=−2，则x=±2，故O所以，根据对称性知：水池直径为2(2故答案为：5.14．（2024·全国·模拟预测）已知抛物线y2=2pxp>0的焦点为F，准线为l，过点F且倾斜角为120°的直线交抛物线于点A（点A在第一象限），过点A作AB⊥l，垂足为B，直线BF交y轴于点C，若△ACF的外接圆的面积为π，则抛物线的方程为【解题思路】根据题意结合抛物线的性质可得AF是Rt△ACF的外接圆的直径，可知AF=2，过点A作AD⊥x轴，结合抛物线的定义可得p=3【解答过程】如图，因为直线AF的倾斜角为120°，AB⊥l，

可知AB=AF，设准线l与x轴交于点E，则坐标原点O是线段EF的中点，BE∥可知点C是线段BF的中点，则AC⊥BF，即△ACF为直角三角形，AF为斜边，所以AF是Rt△ACF的外接圆的直径，由题意可得：π×AF2过点A作AD⊥x轴，垂足为D，在Rt△ADF中，FD=又因为ED=AB=AF=2所以抛物线的方程为y2故答案为：y2四、解答题15．（2425高二上·全国·课堂例题）分别求满足下列条件的抛物线的标准方程．(1)焦点为−2,0；(2)准线为y=−1；(3)过点A2,3(4)焦点到准线的距离为52【解题思路】（1）根据焦点位置得到p=4，则得到其标准方程；（2）根据准线方程得到p=2，则得到其标准方程；（3）利用待定系数，设出抛物线方程，代入所过得点即可；（4）根据距离求出p=5【解答过程】（1）由于焦点在x轴的负半