专题3.2用关系式表示的变量间关系（原卷版）七年级数学讲义（北师大版）

专题3.2用关系式表示的变量间关系1.列关系式表示两个变量的关系，并会利用关系式进行相关计算并感受对应思想（重点）。2.从具体问题中抽象出数学问题并将它用关系式表示出来（难点）。知识点01.用关系式表示变量之间的关系表示自变量与因变量之间关系的数学式子叫作关系式．关系式是表示变量之间关系的另一种方法．注意:（1）关系式一般是用含自变量的代数式表示因变量的等式；（2）实际问题中，有的变量之间的关系不一定能用关系式表示出来；（3）有些问题中，自变量是有范围的，列关系式时要注明自变量的取值范围．（4）关系式（解析式）法准确地反映了因变量与自变量之间的对应规律，根据它可以由自变量的取值求出相应的因变量的值，反之亦然；知识点02利用关系式求值根据关系式求值实际上就是求代数式的值．注意：已知自变量的值利用关系式求因变量的值实质是求代数式的值，已知因变量的值利用关系式求自变量的值实质是解方程．特别说明：关系式能揭示出变量之间的内在联系，但较抽象，不是所有的变量之间都能列出关系式.一般地，在某一变化过程中，数值发生变化的量叫做变量．在变化过程中，数值始终不变的量叫做常量．知识点01用关系式表示变量之间的关系典例：1.写出下列各问题中的函数关系式，并指出自变量的取值范围：(1)圆的周长是半径的函数；(2)火车以千米/时的速度行驶，它驶过的路程（千米）是所用时间（时）的函数；(3)边形内角和的度数S是边数的函数．【答案】(1)(2)(3)，（n是大于或等于3的整数）【分析】（1）根据圆的周长公式可得；（2）根据路程＝速度×时间可得；（3）根据多边形内角和公式可得．（1）解：圆的周长是半径的函数关系式为：．（2）解：火车驶过的路程（千米）是所用时间（时）的函数关系式为：．（3）解：边形内角和的度数S是边数的函数关系式为：，（n是大于或等于3的整数）．【点拨】本题主要考查了函数关系式：根据实际问题的数量关系用解析式法表示实际问题中两变化的量之间的关系．巩固练习1．为了增强公民的节水意识，某市制定了如下用水收费标准：月用水量水费不超过5t每吨2.4元超过5t超过的部分按每吨4元收费(1)该市某户居民5月份用水xt（x＞5），应交水费y元，写出y与x之间的关系式．(2)如果某户居民某月交了24元水费，你能算出这个月这户居民用了多少吨水吗？2.某商店进了一批玩具，出售时要在进价的基础上加一定的利润，其销售个数x与售价y如下表：个数x/个1234…售价y/元8+0.316+0.624+0.932+1.2…下列用销售个数x表示售价y的关系式中，正确的是()A.y=(8+0.3)x B.y=8x+0.3 C.y=8+0.3x D.y=8+0.3+x知识点02利用关系式求值典例：1.已知的底边上的高为8cm，当底边从16cm变化到5cm时，的面积()A.从20cm2变化到64cm2 B.从40cm2变化到128cm2C.从128cm2变化到40cm2 D.从64cm2变化到20cm2【答案】D【分析】根据（底高）计算分别计算得出最值即可．【详解】解：当的底边上的高为cm，底边cm时，cm2；底边cm时，cm2．故选：D．【点睛】此题主要考查了函数关系，解题的关键是利用极值法得出的最大值和最小值．典例：2.如图所示，梯形的上底长是厘米，下底长是厘米，当梯形的高由大变小时，梯形的面积也随之发生变化．（）在这个变化过程中，自变量是__________，因变量是__________．（）梯形的面积与高（厘米）之间的关系式为__________．（）当梯形的高由厘米变化到厘米时，梯形的面积由__________变化到__________．【答案】①.梯形的高②.梯形的面积③.④.90⑤.9【分析】（1）在函数中，给一个变量x一个值，另一个变量y就有对应值，则x是自变量，y是因变量，据此即可判断；（2）根据梯形的面积公式（上底+下底）×高÷2，代入相应数值，进行计算即可；（3）把x=10，x=1分别代入函数解析式进行计算．【详解】解：(1)自变量是梯形的高，因变量是梯形的面积；(2)梯形的面积y(cm²)与高x(cm)之间的关系式为：y=(5+13)x×=9x；(3)当梯形的高是l0cm时，y=9×10=90，当梯形的高是l0cm时，y=9×1=9，梯形的面积由90cm²变化到9cm²．故答案为梯形的高，梯形的面积，y=9x，90，9．【点拨】此题主要考查了列函数关系式，以及求函数值，关键是掌握梯形的面积公式．巩固练习1.某超市为方便顾客购买,将瓜子放入包装袋内出售,其质量x(kg)与售价y(元)之间的关系如下表(售价中的0.10元是包装袋的费用):质量x/kg售价y/元115.00+0.10230.00+0.10345.00+0.10460.00+0.10…………(1)观察表格,写出y与x之间的关系式.(2)买8kg这种瓜子需花费多少元?(3)用100元去买这种瓜子,最多能买多少千克?能力能力提升一、单选题1．已知甲、乙两地相距20km，汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶时间t（h）关于行驶速度v（km／h）的函数关系式是（

）​A． B． C． D．2．油箱中存油20升，油从油箱中均匀流出，流速为0.2升分钟，则油箱中剩余油量Q（升）与流出时间t（分钟）的关系式是（

）A． B．C． D．3．若三角形底边长为a，底边上的高为h，则三角形的面积S＝ah．若h为定长，则（）A．S，a是变量，，h是常量 B．S，h，a是变量，是常量C．S，是常量，a，h是变量 D．以上答案均不对4．在圆的面积公式中，变量是（

）A．， B．， C．， D．只有5．某市的出租车收费标准如下：3千米以内（包括3千米）收费6元，超过3千米后，每超1千米就加收1元．若某人乘出租车行驶的距离为千米，则需付费用为元与（千米）之间的关系式是（

）A． B． C． D．6．某商店销售一批玩具时，其收入y（元）与销售数量x（个）之间有如下关系：销售数量x（个）1234……收入y（元）8＋0.316＋0.624＋0.932＋1.2……则收入y与销售数量x之间的关系式可表示为（

）A． B． C． D．7．某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价（元）与产品的日销售量（件）之间的关系如下表，（元）…152025…（件）…252015…则日销售量（件）与销售价（元）之间的关系式可能是（

）A． B． C． D．8．若购买水性笔10支，花费20元，用y（元）表示购买水性笔的花费，x（支）表示水性笔的支数，那么y与x之间的关系式是(

)A． B． C． D．9．李庄与张庄两地之间的距离是100千米，若汽车以平均每小时80千米的速度从李庄开往张庄，则汽车距张庄的路程y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系式是（

）A．y＝80x﹣100 B．y＝﹣80x﹣100 C．y＝80x＋100 D．y＝﹣80x＋10010．某水库的水位高度y（米）与时间x（小时）满足关系式：，则下列说法错误的是（

）A．时间是自变量，水位高度是因变量 B．y是变量，它的值与x有关C．x可以取任意大于零的实数 D．当时，二、填空题11．某种长途收费方式为按时收费，前3分钟收费1.8元，以后每加一分钟收费1元，当时间分钟时的费y（元）与t（分）之间的关系式是___________12．拖拉机耕地，油箱内装有油45升，如果每小时耗油5升，写出所剩油量y（升）与时间x（小时）之间的函数关系式__________13．某市倡导低碳生活，节约用电节能环保，采用分段计费的方法按月计算每户家庭的电费．月用电量不超过150度时，按0.5元每度计费；月用电量超过150度时，其中的150度仍按0.5元每度计费，超过部分按0.65元每度计费．设每户家庭月用电量为度时，则应交电费与之间的关系式为____．14．某辆汽车油箱中原有汽油60L，汽车每行驶50km耗油6L，若汽车油箱剩余油量y（L），汽车行驶路程x（km），则y与x的关系式为______．15．弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y（cm）与所挂重物的质量x（kg）有下面的关系，那么弹簧总长y（cm）与所挂重物x（kg）之间的关系式为_____．x（kg）0123456y（cm）1212.51313.51414.51516．若一个长方形的周长为12cm，则它的面积S（cm2）与其中一条边长x（cm）的函数关系式为____________．（不要求写出自变量范围）三、解答题17．为了解某种品牌轿车的耗油情况，将油箱加满后进行了耗油试验，得到如下数据：轿车行驶的路程s（km）0100200300400…油箱剩余油量Q（L）5042342618…(1)该轿车油箱的容量为______L，行驶150km时，油箱剩余油量为______L．(2)根据上表中的数据，写出油箱剩余油量Q（L）与轿车行驶的路程s（km）之间的关系式．(3)某人将油箱加满后，驾驶该汽车从A地前往B地，到达B地时油箱剩余油量为10L，求A，B两地之间的距离．18．延安，中国五大革命圣地之一．2021年4月10日，成都和延安两地之间首次开行直达动车组列车（动车），比之前开行的普速列车（普列）缩短了不少时间，某天一辆普列从延安出发匀速驶向成都，同时另一辆动车从成都出发匀速驶向延安，两车与成都的距离（千米）与行驶时间t（时）之间的关系如表格和图像所示．t0245…1080930780705…(1)延安与成都的距离为_____________千米，普列到达成都所用时间为____________小时．(2)求动车从成都到延安的距离与t之间的关系式．(3)在成都、延安两地之间有一条隧道，当动车经过这条隧道时，两车相距135千米，求延安与这条隧道之间的距离．（隧道长度不计算在内）19．某城市居民用水实行阶梯收费，每户每月用水量如果未超过20吨，按每吨2.5元收费．如果超过20吨，未超过的部分按每吨2.5元收，超过的部分按每吨3.3元收费．(1)设某户某月用水量为x吨（），应缴水费为y元，写出y关于x的函数关系式．(2)若该城市某户6月份用水15吨，该户6月份水费是______．(3)某用户8月份水费为76.4元，求该用户8月份用水量．20．如图所示，梯形上底的长是，下底长，高．(1)梯形面积与上底长之间的关系式是什么？(2)当每增加1cm时，如何变化？(3)当时，等于什么？此时表示的是什么？21．中国联通在某地的资费标准为包月18元时，超出部分国内拨打0.36元/分，由于业务多，小明的爸爸打已超出了包月费．下表是超出部分国内拨打的收费标准：时间/分12345…费/元0.360.721.081.441.8…(1)这个表反映了哪两个变量之间的关系?哪个是自变量?(2)如果用x表示超出时间，y表示超出部分的费，那么y与x的表达式是什么?(3)如果打超出25分钟，需付多少费?(4)某次打的费用超出部分是54元，那么小明的爸爸打超出几分钟?22．一辆加满汽油的汽车在匀速行驶中，油箱中的剩余油量与行驶的时间的关系如下表所示：行驶时间01234…油箱中剩余油量564330…请你根据表格，解答下列问题：(1)________是自变量；________