专题06二次函数压轴题-2023年江西中考数学真题模拟题分类汇编（原卷版）

专题06二次函数压轴题1．（2022•江西）跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分（如图中实线部分所示），落地点在着陆坡（如图中虚线部分所示）上，着陆坡上的基准点为飞行距离计分的参照点，落地点超过点越远，飞行距离分越高．2022年北京冬奥会跳台滑雪标准台的起跳台的高度为，基准点到起跳台的水平距离为，高度为为定值）．设运动员从起跳点起跳后的高度与水平距离之间的函数关系为．（1）的值为；（2）①若运动员落地点恰好到达点，且此时，，求基准点的高度；②若时，运动员落地点要超过点，则的取值范围为；（3）若运动员飞行的水平距离为时，恰好达到最大高度，试判断他的落地点能否超过点，并说明理由．2．（2021•江西）二次函数的图象交轴于原点及点．感知特例（1）当时，如图1，抛物线上的点，，，，分别关于点中心对称的点为，，，，，如表：，①补全表格；②在图1中描出表中对称后的点，再用平滑的曲线依次连接各点，得到的图象记为．形成概念我们发现形如（1）中的图象上的点和抛物线上的点关于点中心对称，则称是的“孔像抛物线”．例如，当时，图2中的抛物线是抛物线的“孔像抛物线”．探究问题（2）①当时，若抛物线与它的“孔像抛物线”的函数值都随着的增大而减小，则的取值范围为；②在同一平面直角坐标系中，当取不同值时，通过画图发现存在一条抛物线与二次函数的所有“孔像抛物线”都有唯一交点，这条抛物线的解析式可能是（填“”或“”或“”或“”，其中；③若二次函数及它的“孔像抛物线”与直线有且只有三个交点，求的值．3．（2020•江西）已知抛物线，，是常数，的自变量与函数值的部分对应值如下表：0120（1）根据以上信息，可知抛物线开口向，对称轴为；（2）求抛物线的表达式及，的值；（3）请在图1中画出所求的抛物线．设点为抛物线上的动点，的中点为，描出相应的点，再把相应的点用平滑的曲线连接起来，猜想该曲线是哪种曲线？（4）设直线与抛物线及（3）中的点所在曲线都有两个交点，交点从左到右依次为，，，，请根据图象直接写出线段，之间的数量关系．4．（2019•江西）特例感知（1）如图1，对于抛物线，，，下列结论正确的序号是；①抛物线，，都经过点；②抛物线，的对称轴由抛物线的对称轴依次向左平移个单位得到；③抛物线，，与直线的交点中，相邻两点之间的距离相等．形成概念（2）把满足为正整数）的抛物线称为“系列平移抛物线”．知识应用在（2）中，如图2．①“系列平移抛物线”的顶点依次为，，，，，用含的代数式表示顶点的坐标，并写出该顶点纵坐标与横坐标之间的关系式；②“系列平移抛物线”存在“系列整数点（横、纵坐标均为整数的点）”：，，，，，其横坐标分别为，，，，为正整数），判断相邻两点之间的距离是否都相等，若相等，直接写出相邻两点之间的距离；若不相等，说明理由．③在②中，直线分别交“系列平移抛物线”于点，，，，，连接，，判断，是否平行？并说明理由．5．（2018•江西）小贤与小杰在探究某类二次函数问题时，经历了如下过程：求解体验：（1）已知抛物线经过点，则，顶点坐标为，该抛物线关于点成中心对称的抛物线表达式是．抽象感悟：我们定义：对于抛物线，以轴上的点为中心，作该抛物线关于点中心对称的抛物线，则我们又称抛物线为抛物线的“衍生抛物线”，点为“衍生中心”．（2）已知抛物线关于点的衍生抛物线为，若这两条抛物线有交点，求的取值范围．问题解决：（3）已知抛物线①若抛物线的衍生抛物线为，两抛物线有两个交点，且恰好是它们的顶点，求、的值及衍生中心的坐标；②若抛物线关于点的衍生抛物线为，其顶点为；关于点的衍生抛物线为，其顶点为；；关于点的衍生抛物线为，其顶点为为正整数）．求的长（用含的式子表示）．6．（2022•南昌模拟）如图1，已知抛物线是常数）的顶点为，直线．（1）求证：点在直线上；（2）若，直线与抛物线的另一个交点为，与轴交点为，恰好是线段的中点，求的值；（3）如图2，当时，抛物线交轴于、两点，、在抛物线上，满足，判断是否恒过一定点，如果过定点，求出定点坐标；如果不过定点，说明理由．7．（2022•吉安一模）已知抛物线（1）当时，①抛物线的顶点坐标为．②将抛物线沿轴翻折得到抛物线，则抛物线的解析式为．（2）无论为何值，直线与抛物线相交所得的线段（点在点左侧）的长度都不变，求的值和的长；（3）在（2）的条件下，将抛物线沿直线翻折，得到抛物线，抛物线，的顶点分别记为，，是否存在实数，使得以点，，，为顶点的四边形为正方形？若存在，请求出的值：若不存在，请说明理由．8．（2022•高安市一模）定义：点是平面直角坐标系内一点，将函数的图象位于直线左侧部分，以直线为对称轴翻折，得到新的函数的图象，我们称函数的函数是函数的相关函数，函数的图象记作，函数的图象未翻折的部分记作，图象和合起来记作图象．例如：函数的解析式为，当时，它的相关函数的解析式为．（1）如图，函数的解析式为，当时，它的相关函数的解析式为．（2）函数的解析式为，当时，图象上某点的纵坐标为，求该点的横坐标．（3）已知函数的解析式为，①已知点、的坐标分别为、，图象与线段只有一个公共点时，结合函数图象，求的取值范围；②若点是图象上任意一点，当时，的最小值始终保持不变，求的取值范围（直接写出结果）．9．（2022•新余一模）在平面直角坐标系中，正方形，，，，按如图的方式放置．点，，，，和点，，，，分别落在直线和轴上．抛物线过点，，且顶点在直线上，抛物线过点，，且顶点在直线上，，按此规律，抛物线过点，，且顶点也在直线上，其中抛物线交正方形的边于点，抛物线交正方形的边于点（其中且为正整数）．（1）直接写出下列点的坐标：，；（2）求抛物线，的解析式，并直接写出抛物线的顶点坐标；（3）设，，试判断与的数量关系并说明理由．10．（2022•赣州一模）在初中函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，结合图象研究函数性质并对其性质进行应用的过程．小丽同学学习二次函数后，对函数（自变量可以是任意实数）图象与性质进行了探究．请同学们阅读探究过程并解答：（1）作图探究：①下表是与的几组对应值：01234830008，；②在平面直角坐标系中，描出表中各组对应值为坐标的点，并根据描出的点，画出该函数的图象：③根据所画图象，写出该函数的一条性质：；（2）深入思考：根据所作图象，回答下列问题：①方程的解是；②如果的图象与直线有4个交点，则的取值范围是；（3）延伸思考：将函数的图象经过怎样的平移可得到的图象？写出平移过程，并直接写出当时，自变量的取值范围．11．（2022•瑞金市模拟）如图，在等腰直角三角形中，，点在轴上，点在轴上，点，二次函数的图象经过点．（1）求二次函数的解析式，并把解析式化成的形式；（2）把沿轴正方向平移，当点落在抛物线上时，求扫过区域的面积；（3）在抛物线上是否存在异于点的点，使是以为直角边的等腰直角三角形？如果存在，请求出所有符合条件的点的坐标；如果不存在，请说明理由．12．（2022•宜春模拟）2022年是宜春市抓落实活动年，全市开展“拼理念、促比学赶超，拼作风、促担当实干，拼效能、促争先创优”的“三拼三促”活动．在数学上，我们不妨约定：在平面直角坐标系中，将点称为“三拼三促”点，经过的函数，称为“三拼三促”函数．（1）下列函数是“三拼三促”函数的有；①；②；③；④；（2）若关于的二次函数是“三拼三促”函数，其图象开口向上且与轴的正半轴相交，求的取值范围；（3）如图，关于的二次函数的图象顶点为，点，和点，是该二次函数图象上的点且使得，试判断直线是否为“三拼三促”函数，并说明理由．13．（2022•乐安县一模）定义：已知，一次函数和二次函数．若为实数）则称和的“函数”．（1）若，和的“2函数”为，求的解析式．（2）设一次函数和二次函数．①求和的“函数”解析式（用含的代数式表示）．②不论取何值，和的“函数”是否都过某定点，若是求出定点坐标；若否，请说明理由．③不论取何值，若二次函数上的点关于轴对称的点始终在和的“函数”上，求点坐标．14．（2022•寻乌县模拟）【概念感知】我们把两个二次项系数之和为1，对称轴相同，且图象与轴交点也相同的二次函数称为“友好对称二次函数”．例如：的“友好对称二次函数”为．【特例求解】（1）的“友好对称二次函数”为；的“友好对称二次函数”为；【性质探究】（2）关于“友好对称二次函数”，下列结论正确的是．（请填入正确的序号）①二次项系数为1的二次函数没有“友好对称二次函数；②二次项系数为的二次函数的“友好对称二次函数”是它本身；③的“友好对称二次函数”为．④任意两个“友好对称二次函数”与轴一定有交点，与轴至少有一个二次函数有交点．【拓展应用】（3）如图，二次函数与其“友好对称二次函数”都与轴交于点，点，分别在，上，点，的横坐标均为，它们关于的对称轴的对称点分别为，，连接，，，．①若，且四边形为正方形，求的值；②若，且四边形邻边之比为，直接写出的值．15．（2022•江西模拟）某数学兴趣小组在探究函数的图象和性质时经历以下几个学习过程：（Ⅰ）列表（完成以下表格）．01234561580031515800315（Ⅱ）描点并画出函数图象草图（在备用图①中描点并画图）．（Ⅲ）根据图象解决以下问题：（1）观察图象：函数的图象可由函数的图象如何变化得到？答：．（2）数学小组探究发现直线与函数的图象交于点，，，，则不等式的解集是．（3）设函数的图象与轴交于，两点位于的右侧），与轴交于点．①求直线的解析式；②探究应用：将直线沿轴平移个单位长度后与函数的图象恰好有3个交点，求此时的值．16．（2022•石城县模拟）如图，抛物线与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点．（1）若抛物线的对称轴是直线．①求抛物线的解析式；②点在对称轴上，若的面积是6，求点的坐标；（2）当，时，函数的最大值满足，求的取值范围．17．（2022•赣州模拟）如图，二次函数的图象过点，，，记为．将沿直线翻折得到“部分抛物线”，点，的对应点分别为点，．（1）求，，的值；（2）画出“部分抛物线”的图象，并求出它的解析式；（3）某同学把和“部分抛物线”看作一个整体，记为图形“”，若直线和图形“”只有两个交点，（点在点的左侧）．①直接写出的取值范围；②若为等腰直角三角形，求的值．18．（2022•南昌模拟）已知二次函数为常数）．（1）二次函数的顶点坐标，（用含的代数式表示）；（2）取不同的值，可以得到不同的点，分别用，，，，表示．列表：点横坐标0123点纵坐标00①补全表格；②在图1中描出取不同值时得到的，，，，各点，再用平滑的曲线依次连接各点，得到的图象记为．并求曲线的解析式．（3）若和轴有两个交点，当这两个点与二次函数的顶点构成等腰直角三角形时，求的值．19．（2022•江西二模）在直角坐标系中，定义点为抛物线的特征点坐标．（1）已知抛物线经过点、，求出它的特征点坐标；（2）若抛物线的位置如图所示：①抛物线关于原点对称的抛物线的解析式为；②若抛物线的特征点在抛物线的对称轴上，试求、之间的关系式；③在②的条件下，已知抛物线、与轴有两个不同的交点、，当一点、、为顶点构成的三角形是等腰三角形时，求的值．20．（2022•湖口县二模）在平面直角坐标系中，若点的横坐标和纵坐标互为相反数，则称点为“潇洒点”，如点，都是“潇洒点”．已知二次函数的图象上有且只有一个“潇洒点”．（1）小敏认为所有的潇洒点都在同一条直线上，请直接写出直线的解析式．（2）求，的值，及二次函数的顶点坐标．（3）将的图象上移个单位得到抛物线，若上有两个“潇洒点”分别是，，，，且，求当时，中的最大值和最小值．21．（2022•吉州区模拟）【阅读理解】已知关于、的二次函数，它的顶点坐标为，故不论取何值时，对应的二次函数的顶点都在直线上，我们称顶点位于同一条直线上且形状相同的抛物线为同源二次函数，该条直线为根函数．【问题解决】（1）若二次函数和是同源二次函数，求它们的根函数；（2）已知关于、的二次函数，完成下列问题：①求满足二次函数的所有二次函数的根函数；②若二次函数与直线交于点，求点到轴的最小距离，请求出此时为何值？并求出点到轴的最小距离．22．（2022•景德镇模拟）【情境】某课外兴趣小组在一次折纸活动课中．折叠一张带有条格的长方形的纸片（如图，将点分别与点，，，，重合，然后用笔分别描出每条折痕与对应条格线所在的直线的交点，用平滑的曲线顺次连接各交点，得到一条曲线．【探索】（1）如图2，在平面直角坐标系中，将矩形纸片的顶点与原点重合，边放在轴的正半轴上，边放在轴的正半轴上，，，．将纸片折叠，使点落在边上的点处，过点作于点，折痕所在直线与直线相交于点，连接．求证：四边形是菱形；【归纳】（2）设点坐标是，求与的函数关系式（用含的代数式表示）．【运用】（3）将矩形纸片如图3放置，，，将纸片折叠，当点与点重合时，折痕与的延长线交于点．试问在这条折叠曲线上是否存在点，使得的面积是面积的？若存在，写出点的坐标；若不存在，请说明理由．23．（2022•抚州模拟）我们约定，，为二次函数的“相关数”．特例感知“相关数”为，4，的二次函数的解析式为；“相关数”为，5，的二次函数的解析式为；“相关数”为，6，的二次函数的解析式为；（1）下列结论正确的是（填序号）．①抛物线，，都经过点；②抛物线，，与直线都有两个交点；③抛物线，，有两个交点．形成概念把满足“相关数”为，，为正整数）的抛物线称为“一簇抛物线”，分别记为，，，，．抛物线与轴的交点为，．探究问题（2）①“一簇抛物线”，，，，都经过两个定点，这两个定点的坐标分别为．②抛物线的顶点为，是否存在正整数，使△是直角三角形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．③当时，抛物线与轴的左交点，与直线的一个交点为，且点不在轴上．判断和是否相等，并说明理由．24．（2022•九江三模）已知抛物线恒经过两个定点和（点在点左侧），现将直线作为对称轴，将抛物线进行翻折而得到抛物线，的顶点与的顶点以及两定点、组成四边形．（1）点和点坐标分别为和；四边形的是一种特殊的四边形，它是，的解析式为．（2）当点到轴的距离为4时，①求值和此时四边形的面积．②若直线与两抛物线、共同所组成图象共有4个交点，直接写出当时，的取值范围．25．（2022•九江一模）抛物线的一般表达式为、、为常数，，若抛物线经过原点，则把这种经过原点的抛物线称为“过零抛物线”．（1）过零抛物线的顶点满足下列条件：①当顶点坐标为时，则，；②当顶点坐标为，且时，则与之间的关系式是．（2）当过零抛物线的顶点在直线上，且时，用含的代数式表示．（3）现有一组过零抛物线，它们的顶点，，，在直线上，其横坐标依次为1，2，，为正整数，且，分别过每个顶点作轴的垂线，垂足分别记为，，，，以线段和为边向右作平行四边形，若这组抛物线中的某一条经过点，求此时满足条件的平行四边形的点坐标．26．（2022•南城县一模）综合与探究如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、，与轴交于点，连接，，对称轴为直线，点为此抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上、两点之间的距离是；（3）点是第一象限内抛物线上的动点，连接和，求面积的最大值；（4）点在抛物线对称轴上，平面内