2025届大连市第九中学高三数学第一学期期末调研模拟试题含解析

2025届大连市第九中学高三数学第一学期期末调研模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．如图，双曲线的左，右焦点分别是直线与双曲线的两条渐近线分别相交于两点.若则双曲线的离心率为（）A． B．C． D．2．已知双曲线：（，）的右焦点与圆：的圆心重合，且圆被双曲线的一条渐近线截得的弦长为，则双曲线的离心率为（）A．2 B． C． D．33．设点，P为曲线上动点，若点A，P间距离的最小值为，则实数t的值为（）A． B． C． D．4．对两个变量进行回归分析，给出如下一组样本数据：，，，，下列函数模型中拟合较好的是（）A． B． C． D．5．如下的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a，b分别为176，320，则输出的a为（）A．16 B．18 C．20 D．156．复数（为虚数单位），则的共轭复数在复平面上对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限7．将函数的图像向右平移个单位长度，再将图像上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），得到函数的图像，若为奇函数，则的最小值为（）A． B． C． D．8．《九章算术》勾股章有一“引葭赴岸”问题“今有饼池径丈，葭生其中，出水两尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭各几何？”，其意思是：有一个直径为一丈的圆柱形水池，池中心生有一颗类似芦苇的植物，露出水面两尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐，问水有多深，该植物有多高？其中一丈等于十尺，如图若从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为（）A． B． C． D．9．某市政府决定派遣名干部（男女）分成两个小组，到该市甲、乙两个县去检查扶贫工作，若要求每组至少人，且女干部不能单独成组，则不同的派遣方案共有（）种A． B． C． D．10．在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则（）A． B．3 C． D．411．设直线过点，且与圆：相切于点，那么（）A． B．3 C． D．112．过双曲线的右焦点F作双曲线C的一条弦AB，且，若以AB为直径的圆经过双曲线C的左顶点，则双曲线C的离心率为（）A． B． C．2 D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知多项式满足，则_________，__________．14．某公园划船收费标准如表：某班16名同学一起去该公园划船，若每人划船的时间均为1小时，每只租船必须坐满，租船最低总费用为______元，租船的总费用共有_____种可能.15．若函数为奇函数，则_______.16．以，为圆心的两圆均过，与轴正半轴分别交于，，且满足，则点的轨迹方程为_________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）对于很多人来说，提前消费的认识首先是源于信用卡，在那个工资不高的年代，信用卡绝对是神器，稍微大件的东西都是可以选择用信用卡来买，甚至于分期买，然后慢慢还！现在银行贷款也是很风靡的，从房贷到车贷到一般的现金贷．信用卡“忽如一夜春风来”，遍布了各大小城市的大街小巷．为了解信用卡在市的使用情况，某调查机构借助网络进行了问卷调查，并从参与调查的网友中随机抽取了100人进行抽样分析，得到如下列联表（单位：人）经常使用信用卡偶尔或不用信用卡合计40岁及以下15355040岁以上203050合计3565100（1）根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为市使用信用卡情况与年龄有关？（2）①现从所抽取的40岁及以下的网民中，按“经常使用”与“偶尔或不用”这两种类型进行分层抽样抽取10人，然后，再从这10人中随机选出4人赠送积分，求选出的4人中至少有3人偶尔或不用信用卡的概率；②将频率视为概率，从市所有参与调查的40岁以上的网民中随机抽取3人赠送礼品，记其中经常使用信用卡的人数为，求随机变量的分布列、数学期望和方差．参考公式：，其中．参考数据：0.150.100.050.0250.0102.0722.7063.8415.0246.63518．（12分）在新中国成立70周年国庆阅兵庆典中，众多群众在脸上贴着一颗红心，以此表达对祖国的热爱之情，在数学中，有多种方程都可以表示心型曲线，其中有著名的笛卡尔心型曲线，如图，在直角坐标系中，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.图中的曲线就是笛卡尔心型曲线，其极坐标方程为（），M为该曲线上的任意一点.（1）当时，求M点的极坐标；（2）将射线OM绕原点O逆时针旋转与该曲线相交于点N，求的最大值.19．（12分）已知函数有两个极值点，.（1）求实数的取值范围；（2）证明：.20．（12分）在孟德尔遗传理论中，称遗传性状依赖的特定携带者为遗传因子，遗传因子总是成对出现例如，豌豆携带这样一对遗传因子：使之开红花，使之开白花，两个因子的相互组合可以构成三种不同的遗传性状：为开红花，和一样不加区分为开粉色花，为开白色花．生物在繁衍后代的过程中，后代的每一对遗传因子都包含一个父系的遗传因子和一个母系的遗传因子，而因为生殖细胞是由分裂过程产生的，每一个上一代的遗传因子以的概率传给下一代，而且各代的遗传过程都是相互独立的．可以把第代的遗传设想为第次实验的结果，每一次实验就如同抛一枚均匀的硬币，比如对具有性状的父系来说，如果抛出正面就选择因子，如果抛出反面就选择因子，概率都是，对母系也一样．父系､母系各自随机选择得到的遗传因子再配对形成子代的遗传性状．假设三种遗传性状，(或)，在父系和母系中以同样的比例：出现，则在随机杂交实验中，遗传因子被选中的概率是，遗传因子被选中的概率是．称，分别为父系和母系中遗传因子和的频率，实际上是父系和母系中两个遗传因子的个数之比．基于以上常识回答以下问题：（1）如果植物的上一代父系､母系的遗传性状都是，后代遗传性状为，(或)，的概率各是多少？（2）对某一植物，经过实验观察发现遗传性状具有重大缺陷，可人工剔除，从而使得父系和母系中仅有遗传性状为和(或)的个体，在进行第一代杂交实验时，假设遗传因子被选中的概率为，被选中的概率为，．求杂交所得子代的三种遗传性状，(或)，所占的比例．（3）继续对（2）中的植物进行杂交实验，每次杂交前都需要剔除性状为的个体假设得到的第代总体中3种遗传性状，(或)，所占比例分别为．设第代遗传因子和的频率分别为和，已知有以下公式．证明是等差数列．（4）求的通项公式，如果这种剔除某种遗传性状的随机杂交实验长期进行下去，会有什么现象发生？21．（12分）已知的三个内角所对的边分别为，向量，，且.（1）求角的大小；（2）若，求的值22．（10分）在平面直角坐标系中,已知椭圆：（）的左、右焦点分别为、,且点、与椭圆的上顶点构成边长为2的等边三角形．（1）求椭圆的方程；（2）已知直线与椭圆相切于点,且分别与直线和直线相交于点、．试判断是否为定值,并说明理由．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】

易得，过B作x轴的垂线，垂足为T，在中，利用即可得到的方程.【详解】由已知，得，过B作x轴的垂线，垂足为T，故，又所以，即，所以双曲线的离心率.故选：A.【点睛】本题考查双曲线的离心率问题，在作双曲线离心率问题时，最关键的是找到的方程或不等式，本题属于容易题.2、A【解析】

由已知，圆心M到渐近线的距离为，可得，又，解方程即可.【详解】由已知，，渐近线方程为，因为圆被双曲线的一条渐近线截得的弦长为，所以圆心M到渐近线的距离为，故，所以离心率为.故选：A.【点睛】本题考查双曲线离心率的问题，涉及到直线与圆的位置关系，考查学生的运算能力，是一道容易题.3、C【解析】

设，求，作为的函数，其最小值是6，利用导数知识求的最小值．【详解】设，则，记，，易知是增函数，且的值域是，∴的唯一解，且时，，时，，即，由题意，而，，∴，解得，．∴．故选：C．【点睛】本题考查导数的应用，考查用导数求最值．解题时对和的关系的处理是解题关键．4、D【解析】

作出四个函数的图象及给出的四个点，观察这四个点在靠近哪个曲线．【详解】如图，作出A，B，C，D中四个函数图象，同时描出题中的四个点，它们在曲线的两侧，与其他三个曲线都离得很远，因此D是正确选项，故选：D．【点睛】本题考查回归分析，拟合曲线包含或靠近样本数据的点越多，说明拟合效果好．5、A【解析】

根据题意可知最后计算的结果为的最大公约数.【详解】输入的a，b分别为,,根据流程图可知最后计算的结果为的最大公约数，按流程图计算,,,,,,,易得176和320的最大公约数为16，故选:A.【点睛】本题考查的是利用更相减损术求两个数的最大公约数,难度较易.6、C【解析】

由复数除法求出，写出共轭复数，写出共轭复数对应点坐标即得【详解】解析：，，对应点为，在第三象限．故选：C．【点睛】本题考查复数的除法运算，共轭复数的概念，复数的几何意义．掌握复数除法法则是解题关键．7、C【解析】

根据三角函数的变换规则表示出，根据是奇函数，可得的取值，再求其最小值.【详解】解：由题意知，将函数的图像向右平移个单位长度，得，再将图像上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），得到函数的图像，，因为是奇函数，所以，解得，因为，所以的最小值为.故选：【点睛】本题考查三角函数的变换以及三角函数的性质，属于基础题.8、C【解析】

由题意知：，，设，则，在中，列勾股方程可解得，然后由得出答案.【详解】解：由题意知：，，设，则在中，列勾股方程得：，解得所以从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为故选C.【点睛】本题考查了几何概型中的长度型，属于基础题.9、C【解析】

在所有两组至少都是人的分组中减去名女干部单独成一组的情况，再将这两组分配，利用分步乘法计数原理可得出结果.【详解】两组至少都是人，则分组中两组的人数分别为、或、，

又因为名女干部不能单独成一组，则不同的派遣方案种数为.故选：C.【点睛】本题考查排列组合的综合问题，涉及分组分配问题，考查计算能力，属于中等题.10、B【解析】由正弦定理及条件可得，即.，∴，由余弦定理得。∴.选B。11、B【解析】

过点的直线与圆：相切于点，可得.因此，即可得出.【详解】由圆：配方为，，半径.∵过点的直线与圆：相切于点，∴；∴；故选：B.【点睛】本小题主要考查向量数量积的计算，考查圆的方程，属于基础题.12、C【解析】

由得F是弦AB的中点.进而得AB垂直于x轴，得，再结合关系求解即可【详解】因为，所以F是弦AB的中点.且AB垂直于x轴.因为以AB为直径的圆经过双曲线C的左顶点，所以，即，则，故.故选：C【点睛】本题是对双曲线的渐近线以及离心率的综合考查，是考查基本知识，属于基础题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】∵多项式满足∴令，得，则∴∴该多项式的一次项系数为∴∴∴令，得故答案为5，7214、36010【解析】

列出所有租船的情况，分别计算出租金，由此能求出结果.【详解】当租两人船时，租金为：元，当租四人船时，租金为：元，当租1条四人船6条两人船时，租金为：元，当租2条四人船4条两人船时，租金为：元，当租3条四人船2条两人船时，租金为：元，当租1条六人船5条2人船时，租金为：元，当租2条六人船2条2人船时，租金为：元，当租1条六人船1条四人船3条2人船时，租金为：元，当租1条六人船2条四人船1条2人船时，租金为：元，当租2条六人船1条四人船时，租金为：元，综上，租船最低总费用为360元，租船的总费用共有10种可能.故答案为：360，10.【点睛】本小题主要考查分类讨论的数学思想方法，考查实际应用问题，属于基础题.15、-2【解析】

由是定义在上的奇函数,可知对任意的,都成立,代入函数式可求得的值.【详解】由题意,的定义域为,,是奇函数,则,即对任意的,都成立,故,整理得,解得.故答案为:.【点睛】本题考查奇函数性质的应用,考查学生的计算求解能力,属于基础题.16、【解析】

根据圆的性质可知在线段的垂直平分线上，由此得到，同理可得，由对数运算法则可知，从而化简得到，由此确定轨迹方程.【详解】，，和的中点坐标为，且在线段的垂直平分线上，，即，同理可得：，，，点的轨迹方程为．故答案为：．【点睛】本题考查动点轨迹方程的求解问题，关键是能够利用圆的性质和对数运算法则构造出满足的方程，由此得到结果.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）不能在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为市使用信用卡情况与年龄有关；（2）①；②分布列见解析，，【解析】

(1)计算再对照表格分析即可.(2)①根据分层抽样的方法可得经常使用信用卡的有人,偶尔或不用信用卡的有人,再根据超几何分布的方法计算3人或4人偶尔或不用信用卡的概率即可.②利用二项分布的特点求解变量的分布列、数学期望和方差即可.【详解】（1）由列联表可知,,因为,所以不能在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为市使用信用卡情况与年龄有关.（2）①依题意,可知所抽取的10名40岁及以下网民中,经常使用信用卡的有（人）,偶尔或不用信用卡的有（人）.则选出的4人中至少有3人偶尔或不用信用卡的概率.②由列联表,可知40岁以上的网民中,抽到经常使用信用卡的频率为,将频率视为概率,即从市市民中任意抽取1人,恰好抽到经常使用信用卡的市民的概率为.由题意得,则,,,.故随机变量的分布列为：0123故随机变量的数学期望为,方差为.【点睛】本题主要考查了独立性检验以及超几何分布与二项分布的知识点,包括分类讨论以及二项分布的数学期望与方差公式等.属于中档题.18、（1）点M的极坐标为或（2）【解析】

（1）令，由此求得的值，进而求得点的极坐标.（2）设出两点的极坐标，利用勾股定理求得的表达式，利用三角函数最值的求法，求得的最大值.【详解】（1）设点M在极坐标系中的坐标，由，得，∵∴或，所以点M的极坐标为或（2）由题意可设，.由，得，.故时，的最大值为.【点睛】本小题主要考查极坐标的求法，考查极坐标下两点间距离的计算以及距离最值的求法，属于中档题.19、（1）（2）证明见解析【解析】

（1）先求得导函数，根据两个极值点可知有两个不等实根，构造函数，求得；讨论和两种情况，即可确定零点的情况，即可由零点的情况确定的取值范围；（2）根据极值点定义可知，，代入不等式化简变形后可知只需证明；构造函数，并求得，进而判断的单调区间，由题意可知，并设，构造函数，并求得，即可判断在内的单调性和最值，进而可得，即可由函数性质得，进而由单调性证明，即证明，从而证明原不等式成立.【详解】（1）函数则，因为存在两个极值点，，所以有两个不等实根.设，所以.①当时，，所以在上单调递增，至多有一个零点，不符合题意.②当时，令得，0减极小值增所以，即.又因为，，所以在区间和上各有一个零点，符合题意，综上，实数的取值范围为.（2）证明：由题意知，，所以，.要证明，只需证明，只需证明.因为，，所以.设，则，所以在上是增函数，在上是减函数.因为，不妨设，设，，则，当时，，，所以，所以在上是增函数，所以，所以，即.因为，所以，所以.因为，，且在上是减函数，所以，即，所以原命题成立，得证.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的极值点，由导数证明不等式，构造函数法的综合应用，极值点偏移证明不等式成立的应用，是高考的常考点和热点，属于难题.20、（1），(或)，的概率分别是，，．（2）（3）答案见解析（4）答案见解析【解析】

（1）利用相互独立事件的概率乘法公式即可求解.（2）利用相互独立事件的概率乘法公式即可求解.（3）由（2）知，求出、，利用等差数列的定义即可证出.（4）利用等差数列的通项公式可得，从而可得，再由，利用式子的特征可得越来越小，进而得出结论.【详解】（1）即与是父亲和母亲的性状，每个因子被选择的概率都是，故出现的概率是，或出现的概率是，出现的概率是所以：，(或)，的概率分别是，，（2）（3）由（2）知于是∴是等差