湖南省湘东六校2025届高二上数学期末综合测试试题含解析

湖南省湘东六校2025届高二上数学期末综合测试试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知抛物线的焦点是双曲线的一个焦点，则双曲线的渐近线方程为（）A. B.C. D.2．设双曲线的虚轴长为，焦距为，则双曲线的渐近线方程为（）A. B.C. D.3．若将一个椭圆绕其中心旋转90°，所得椭圆短轴两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点，这样的椭圆称为“对偶椭圆”，下列椭圆中是“对偶椭圆”的是（）A. B.C. D.4．设曲线在点处的切线与x轴、y轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，则的面积等于（）A.1 B.2C.4 D.65．设为可导函数，且满足，则曲线在点处的切线的斜率是A. B.C. D.6．已知则是的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件7．定义域为的函数满足，且的导函数，则满足的的集合为A. B.C. D.8．在四棱锥中，底面ABCD是正方形，E为PD中点，若，，，则（）A. B.C. D.9．黄金矩形是宽（）与长（）的比值为黄金分割比的矩形，如图所示，把黄金矩形分割成一个正方形和一个黄金矩形，再把矩形分割出正方形．在矩形内任取一点，则该点取自正方形内的概率是A. B.C. D.10．已知直线l的方向向量，平面α的一个法向量为，则直线l与平面α的位置关系是（）A.平行 B.垂直C.在平面内 D.平行或在平面内11．下列函数的求导正确的是（）A. B.C. D.12．已知椭圆：，左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，若的最大值为5，则的值是A.1 B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．与同一条直线都相交的两条直线的位置关系是________14．命题“若实数a，b满足，则且”是_______命题(填“真”或“假”).15．与圆外切于原点，且被y轴截得的弦长为8的圆的标准方程为__________16．某班有位同学，将他们从至编号，现用系统抽样的方法从中选取人参加文艺演出，抽出的编号从小到大依次排列，若排在第一位的编号是，那么第四位的编号是______三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知等比数列的前项和为，且.（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和.18．（12分）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率为，且过点.（1）求椭圆的标准方程；（2）若过点的直线与椭圆相交于，两点（A、B非椭圆顶点），求的最大值.19．（12分）动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是，记动点M的轨迹为曲线C.（1）求曲线C的方程；（2）已知过点的直线与曲线C相交于两点，，请问点P能否为线段的中点，并说明理由.20．（12分）已知椭圆C经过，两点（1）求椭圆C的标准方程；（2）直线l与C交于P，Q两点，M是PQ的中点，O是坐标原点，，求证：的边PQ上的高为定值21．（12分）在△中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，.（1）求的大小及△的面积；（2）求的值.22．（10分）已知数列的前项和为，，.（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和；（3）若数列，，求前项和.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】根据抛物线和写出焦点坐标，利用题干中的坐标相等，解出，结合从而求出答案.【详解】抛物线的焦点为，双曲线的，，所以，所以双曲线的右焦点为：，由题意，，两边平方解得，，则双曲线的渐近线方程为：.故选：B.2、B【解析】求出、的值，即可得出双曲线的渐近线方程.【详解】由已知可得，，则，因此，该双曲线的渐近线方程为.故选：B.3、A【解析】由题意可得，所给的椭圆中的，的值求出的值，进而判断所给命题的真假【详解】解：因为椭圆短的轴两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点，即，即，中，，，所以，故，所以正确；中，，，所以，所以不正确；中，，，所以，所以不正确；中，，，所以，所以不正确；故选：4、C【解析】求出原函数的导函数，得到函数在处的导数值，写出切线方程，分别求得切线在两坐标轴上的坐标，再由三角形面积公式求解【详解】由，得，，又切线过点，曲线在点处的切线方程为，取，得，取，得的面积等于故选：C5、D【解析】由题，为可导函数，，即曲线在点处的切线的斜率是，选D【点睛】本题考查导数的定义，切线的斜率，以及极限的运算，本题解题的关键是对所给的极限式进行整理，得到符合导数定义的形式6、A【解析】先解不等式，再比较集合包含关系确定选项.【详解】因为，所以是的充分不必要条件，选A.【点睛】本题考查解含绝对值不等式、解一元二次不等式以及充要关系判定，考查基本分析求解能力，属基础题.7、B【解析】利用2f(x)<x＋1构造函数g(x)＝2f(x)－x－1，进而可得g′(x)＝2f′(x)－1>0．得出g(x)的单调性结合g(1)＝0即可解出【详解】令g(x)＝2f(x)－x－1.因为f′(x)>，所以g′(x)＝2f′(x)－1>0.所以g(x)单调增函数因为f(1)＝1，所以g(1)＝2f(1)－1－1＝0.所以当x<1时，g(x)<0，即2f(x)<x＋1.故选B.【点睛】本题主要考察导数的运算以及构造函数利用其单调性解不等式．属于中档题8、C【解析】根据向量线性运算法则计算即可.【详解】故选：C9、C【解析】设矩形的长，宽分别为,所以，把黄金矩形分割成一个正方形和一个黄金矩形,所以，设矩形的面积为,正方形的面积为,设在矩形内任取一点，则该点取自正方形内的概率是,则，故本题选C.【详解】本题考查了几何概型，考查了运算能力.10、D【解析】根据题意，结合线面位置关系的向量判断方法，即可求解.【详解】根据题意，因为，所以，所以直线l与平面α的位置关系是平行或在平面内故选：D11、B【解析】对各个选项进行导数运算验证即可.【详解】，故A错误；，故B正确；，故C错误；，故D错误.故选：B12、D【解析】由题意可知椭圆是焦点在x轴上的椭圆，利用椭圆定义得到|BF2|+|AF2|＝8﹣|AB|，再由过椭圆焦点的弦中通径的长最短，可知当AB垂直于x轴时|AB|最小，把|AB|的最小值b2代入|BF2|+|AF2|＝8﹣|AB|，由|BF2|+|AF2|的最大值等于5列式求b的值即可【详解】由0＜b＜2可知，焦点在x轴上，∵过F1的直线l交椭圆于A，B两点，则|BF2|+|AF2|+|BF1|+|AF1|＝2a+2a＝4a＝8∴|BF2|+|AF2|＝8﹣|AB|当AB垂直x轴时|AB|最小，|BF2|+|AF2|值最大，此时|AB|＝b2，则5＝8﹣b2，解得b，故选D【点睛】本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查了椭圆的定义，考查椭圆的通径公式，考查计算能力，属于中档题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、平行，相交或者异面【解析】由空间中两直线的位置关系求解即可【详解】由题意与同一条直线都相交的两条直线的位置关系可能是：平行，相交或者异面，故答案为：平行，相交或者异面，14、假【解析】列举特殊值，判断真假命题.【详解】当时，，所以，命题“若实数a，b满足，则且”是假命题.故答案为：假15、；【解析】设所求圆的圆心为，根据两圆外切于原点可知两圆心与原点共线，再根据弦长列出方程组求出即可.【详解】设所求圆的圆心为，因为圆的圆心为，与原点连线的斜率为，又所求圆与已知圆外切于原点，，①所以所求圆的半径满足，又被y轴截得的弦长为8，②由①②解得，所以圆的方程为.故答案为：16、29【解析】根据给定信息利用系统抽样的特征直接计算作答.【详解】因系统抽样是等距离抽样，依题意，相邻两个编号相距，所以第四位的编号是.故答案为：29三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】（1）根据得到，再结合为等比数列求出首项，进而求得数列的通项公式；（2）由（1）求得数列的通项公式，进而利用公式法即可求出【小问1详解】解：（1），，当时，，即，又，为等比数列，所以，，数列的通项公式为【小问2详解】（2）由（1）知，则，数列的前项和18、（1）（2）【解析】（1）根据离心率和点在椭圆上建立方程，结合，然后解出方程即可（2）设直线的斜率为，联立直线与椭圆的方程，然后利用韦达定理表示出，两点的坐标关系，并表示出为直线斜率的函数，然后求出的最大值【小问1详解】由椭圆过点，则有：由可得：解得：则椭圆的方程为：【小问2详解】由（1）得，，已知直线不过椭圆长轴顶点则直线的斜率不为，设直线的方程为：设，，联立直线方程和椭圆方程整理可得：故是恒成立的根据韦达定理可得：，则有：由，可得：所以的最大值为：19、（1）（2）不能，理由见解析.【解析】（1）利用题中距离之比列出关于动点的方程即可求解；（2）先假设点P能为线段的中点，再利用点差法求出直线的斜率，最后联立直线与曲线进行检验即可.【小问1详解】解：动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是则等式两边平方可得：化简得曲线C的方程为：【小问2详解】解：点不能为线段的中点，理由如下：由（1）知，曲线C的方程为：过点的直线斜率为，，因为过点的直线与曲线C相交于两点，所以，两式作差并化简得：①当为的中点时，则，②将②代入①可得：此时过点的直线方程为：将直线方程与曲线C方程联立得：，，无解与过点的直线与曲线C相交于两点矛盾所以点不能为线段的中点【点睛】方法点睛：当圆锥曲线中涉及中点和斜率的问题时，常用点差法进行求解.20、（1）（2）证明见解析【解析】（1）设出椭圆方程，根据的坐标求得椭圆方程.（2）对直线的斜率分成存在和不存在两种情况进行分类讨论，求得的边PQ上的高来证得结论成立.【小问1详解】设椭圆方程为，将坐标代入得，所以椭圆方程为.小问2详解】当直线的斜率不存在时，关于轴对称，由于，所以，即，直线与椭圆有两个交点，符合题意.所以的边PQ上的高为.当直线的斜率不存在时，设直线的方程为，由消去并化简得①，设，则，.由于M是PQ的中点且，所以，所以，即，，，.此时①的.原点到直线的距离为.综上所述，的边PQ上的高为定值21、（1），△的面积为；（2）.【解析】（1）应用余弦定理求的大小，由三角形面积公式求△的面积；（2）由（1）及正弦定理的边角关系可得，即可求目标式的值.【小问1详解】在△中，由余弦定理得：，又，则.所以△的面积为.【小问2详解】由（1）得：，由正弦定理得：