福建厦门双十中学2025届数学高一上期末质量跟踪监视模拟试题含解析

福建厦门双十中学2025届数学高一上期末质量跟踪监视模拟试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．某几何体的三视图如图所示，则该几何的体积为A.16+8 B.8+8C.16+16 D.8+162．已知第二象限角的终边上有异于原点的两点，，且，若，则的最小值为（）A. B.3C. D.43．函数与的图象在上的交点有（）A.个 B.个C.个 D.个4．设，，，则a，b，c的大小关系是（）A. B.C. D.5．已知，并且是终边上一点，那么的值等于A. B.C. D.6．已知函数，则（）A.2 B.5C.7 D.97．函数的单调递增区间是（）A. B.C. D.8．若正实数，满足，则的最小值为（）A. B.C. D.9．直线与圆相切，则的值为（）A. B.C. D.10．若，则的值是（）A. B.C. D.1二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．如果对任意实数x总成立，那么a的取值范围是____________.12．若集合，则满足的集合的个数是___________.13．若则函数的最小值为________14．已知，则________.15．在平行四边形中，为上的中点，若与对角线相交于，且，则__________16．若数据的方差为3，则数据的方差为__________三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知，Ⅰ求的值；Ⅱ求的值；Ⅲ若且，求的值18．设函数（1）求的最小正周期；（2）若函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，求函数在上的最值19．假设你有一笔资金用于投资，年后的投资回报总利润为万元，现有两种投资方案的模型供你选择.（1）请在下图中画出的图像；（2）从总利润的角度思考，请你选择投资方案模型.20．已知集合，，.（1）求，（2）若，求实数a的取值范围21．在三棱锥中，和是边长为等边三角形，，分别是的中点.（1）求证：平面；（2）求证:平面；（3）求三棱锥的体积.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、A【解析】由已知中的三视图可得该几何体是一个半圆柱和正方体的组合体，半圆柱底面半径为2，故半圆柱的底面积半圆柱的高故半圆柱的体积为，长方体的长宽高分别为故长方体的体积为故该几何体的体积为，选A考点：三视图，几何体的体积2、B【解析】根据，得到，从而得到，进而得到，再利用“1”的代换以及基本不等式求解.【详解】解：因为，所以，又第二象限角的终边上有异于原点的两点，，所以，则，因为，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立，故选：B3、B【解析】在上解出方程，得出方程解的个数即可.详解】当时，解方程，得，整理得，得或.解方程，解得、、、或.解方程，解得、、.因此，方程在上的解有个.故选B.【点睛】本题考查正切函数与正弦函数图象的交点个数，可以利用图形法解决，也转化为方程根的个数来处理，考查计算能力，属于中等题.4、C【解析】先判断，再判断得到答案.【详解】；；；，即故选：【点睛】本题考查了函数值的大小比较，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.5、A【解析】由题意得：，选A.6、D【解析】先求出，再求即可，【详解】由题意得，所以，故选：D7、C【解析】根据诱导公式变性后，利用正弦函数的递减区间可得结果.【详解】因为，由，得，所以函数的单调递增区间是.故选：C8、B【解析】由基本不等式有，令，将已知等式转化为关于的一元二次不等式，解不等式即可得答案.【详解】解：由题意，正实数满足，则，令，可得，即，解得，或(舍去)，所以当且仅当时，取得最小值2，故选：B.9、D【解析】由圆心到直线的距离等于半径可得【详解】由题意圆标准方程为，圆心坐标为，半径为1，所以，解得故选：D10、D【解析】由求出a、b，表示出，进而求出的值.详解】由,.故选：D二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】先利用绝对值三角不等式求出的最小值，进而求出a的取值范围.【详解】，当且仅当时等号成立，故，所以a的取值范围是.故答案为：12、4【解析】求出集合，由即可求出集合的个数【详解】因为集合，，因为，故有元素0，3，且可能有元素1或2，所以或或或故满足的集合的个数为，故答案为：13、1【解析】结合图象可得答案.【详解】如图，函数在同一坐标系中，且，所以在时有最小值，即.故答案为：1.14、【解析】利用诱导公式化简等式，可求出的值，将所求分式变形为，在所得分式的分子和分母中同时除以，将所求分式转化为只含的代数式，代值计算即可.【详解】，，，因此，.故答案为：.【点睛】本题考查利用诱导公式和弦化切思想求值，解题的关键就是求出的值，考查计算能力，属于基础题.15、3【解析】由题意如图：根据平行线分线段成比例定理，可知，又因为，所以根据三角形相似判定方法可以知道∵为的中点∴相似比为∴∴故答案为316、12【解析】所求方差为，填三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(Ⅰ)；(Ⅱ)；(Ⅲ).【解析】Ⅰ根据同角的三角函数的关系即可求出；Ⅱ根据二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角差的余弦公式即可求出；Ⅲ由，根据同角的三角函数的关系结合两角差的正弦公式即可求出【详解】Ⅰ，，，.Ⅱ，.Ⅲ，，，，，.【点睛】三角函数求值有三类，(1)“给角求值”；(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角18、（1）；（2）最大值为，最小值为.【解析】(1)利用辅助角公式化简f(x)解析式即可根据正弦型函数的周期求解；(2)求出g(x)解析式，根据正弦型函数的性质可求其在上的最值.【小问1详解】，故函数的最小正周期；【小问2详解】，，∴，故，19、（1）作图见解析（2）答案不唯一，具体见解析【解析】（1）根据指数函数描出几个特殊点，用平滑的曲线连接即可.（2）结合（1）中的图像，分析可得对于不同的值进行讨论即可求解.【详解】（1）（2）由图可知当时，；当时，当时，；当时，；当时，；所以当资金投资2年或4年时两种方案的回报总利润相同；当资金投资2年以内或4年以上，按照模型回报总利润为最大；当资金投资2年以上到4年以内，按照模型回报总利润最大.【点睛】本题考查了指数函数、二次函数模型的应用，属于基础题.20、（1）；；（2）.【解析】(1)解不等式化简集合B，再利用交集、并集、补集的定义直接计算作答.(2)由已知可得，再利用集合的包含关系列式计算作答.【小问1详解】解得：，则，而，所以，或，.【小问2详解】，因，则，于是得，所以实数a的取值范围是.21、（1）见解析（2）见解析（3）.【解析】由三角形中位线定理，得出，结合线面平行的判定定理，可得平面PAC；等腰和等腰中，证出，而，由勾股定理的逆定理，得，结合，可得平面ABC；由易知PO是三棱锥的高，算出等腰的面积，再结合锥体体积公式，可得三棱锥的