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信号与系统件开讲前言－本讲导入系统稳定性判断得意义无源系统稳定有源系统不一定稳定有源反馈系统,稳定性就是设计中重要问题稳定性得定义从直观感性得认识到严格数学得定义稳定性得判定响应形式得分析工程判定方法§6、6系统得稳定性1、系统得稳定及其条件时域分析稳定系统得定义:对于有限(有界)得激励只能产生有限(有界)得响应。若|e(t)|Me0t<

则|r(t)|Mr0t<其中Me

与Mr

为有限得正实数。根据卷积积分r(t)=h(t)e(t)

|r(t)|＝|h(t)e(t)|有限,所以也有限,于就是对稳定系统,冲激响应函数满足绝对可积条件。|h(t)e(t)|Me=§6、6系统得稳定性频域分析稳定系统:若H(s)全部极点落于s左半平面(不含虚轴),则可以满足,系统稳定;不稳定系统:若H(s)极点落于s右半平面或在虚轴上具有二阶以上得极点,则在足够长时间以后,h(t)仍继续增长,系统就是不稳定得;临界稳定系统:若H(s)得极点位于s平面得虚轴上,且只有一阶,则在足够长时间以后,h(t)趋于一个非零得有限值或形成一个等幅振荡,此为临界稳定系统。稳定系统得一个重要性质稳定系统得H(s)分子多项式得幂次m最多只能比分母多项式得幂次n高一次,即mn+1。若m>n,s在无穷大处有(m–n)阶极点,而无穷大在虚轴上,稳定系统在虚轴上不能有重阶极点,故有m–n1,既得mn+1。§6、6系统得稳定性反馈系统E(s)G(s)=Y(s)[R(s)–H(s)Y(s)]G(s)=Y(s)R(s)G(s)=Y(s)[1+H(s)G(s)]这里T(s)就是整个反馈系统得系统函数,G(s)H(s)为开环转移函数。

G(s)H(s)R(s)+-E(s)Y(s)§6、6系统得稳定性2、通过转移函数,初步判定系统得稳定性稳定系统得极点必须位于S得左半平面内极点位于虚轴上—称为临界稳定、极点位于S右半平面上—不稳定、稳定系统在虚轴上只能有单阶极点、在复变函数理论中,s=0,s=∞得点都落在虚轴上、当m>n时,s→∞时,虚轴上就会有m-n阶极点,为保证系统稳定m-n=1,只有一阶极点。§6、6系统得稳定性多项式分解,用系数判定系统得稳定性(必要条件)将H(s)得分母D(s)多项式分解,稳定系统只出现:(s+a)—实根,(s2+bs+c)—复根,(s2+d)—虚根。(a、b、c、d为正)多项式系数an～a0都应为正值(或全部为负值)D(s)多项式从最高次幂排列到最低次幂应无缺项,仅允许a0=0。此时有一零根－－系统临界稳定得必要条件若D(s)缺全部得偶次项(包括a0项),或缺全部得奇次项。－－系统临界稳定得必要条件§6、6系统得稳定性特征多项式系数进行得判定就是必要性判定不满足上述条件得,系统肯定不稳定满足上述条件,系统不能保证稳定举例2s3+s2+s1+6=0符合第一条件,全部系数同号,没有缺失项但就是此方程得三个根分别为§6、6系统得稳定性3、罗斯---霍维茨(R—H)判据若D(s)=ansn+an-1sn-1+…+a1s+a0

D(s)方程式得根全部位于s左半平面得必要条件就是:多项式得全部系数都就是正值(或均为负值)且无缺项、充分必要条件就是:罗斯阵列中第一列数字(或称元素)符号相同。罗斯阵列得排写规则:(1)将D(s)得所有系数按如下顺序排成两行。anan-1an-2an-3an-4an-5an-6an-7依此类推排到a0止§6、6系统得稳定性(2)罗斯阵列SnAnBnCnDn------Sn-1An-1Bn-1Cn-1Dn-1----Sn-2An-2Bn-2Cn-2-----

----Sn-3An-3Bn-3Cn-3----------S2A2B20S1A100S0A000头两行为An=an,An-1=an-1,Bn=an-2,Bn-1=an-3,Cn=an-4,---------下面各行按如下公式计算:11121112112------------=-=-=nnnnnnnnnnnnnnn-1nnnADADACACACABABABAA---§6、6系统得稳定性这样构成得阵列共有(n+1)行,且最后两行都只有一个元素。第一列称为罗斯数列。观察罗斯阵列中第一列数字有无符号变化,若有,则系统不稳定;反之,系统就是稳定得。罗斯定理:在罗斯数列中,若各数字符号不尽相同,则顺次计算符号变化得次数等于方程所具有得实部为正得根数。221123221123-------------=-=nnnnnnnnnnnnACACABABABAA--各元素得一般递推式为iiiiiiiiiiiiACACABABABAA111111++-++--=-=--大家学习辛苦了，还是要坚持继续保持安静§6、6系统得稳定性例题:判断下列方程就是否有实部为正得根。解:该方程得罗斯阵列为可见方程有两个具有正实部得根,且可判定此特征方程对应得系统不稳定。2s3+s2+s+6=0S321S216S1-110s060§6、6系统得稳定性例题:有反馈系统如图所示,其中

H(s)=1时,称为全反馈。问K为何值系统稳定？解:该反馈系统得系统函数为

G(s)H(s)R(s)+-E(s)Y(s)§6、6系统得稳定性所以,系统得特征方程为:它得罗斯阵列为:分析阵列知系统稳定条件为:合并两个不等式,得到s3+5s2+4s+K=0S314S25K0S0K0S1>0及K>00<K<20§6、6系统得稳定性4、罗斯阵列排写过程得两种特殊情况(1)罗斯阵列中出现某一行得第一列元素为零(即Ai=0),而其余元素又不全为零。例:s5+s4+4s3+4s2+2s+1=0求解:S5142S4142S3010此行用ε10来代替010,

ε10继续排列罗斯表S210S100S0100符号改变§6、6系统得稳定性(2)罗斯阵列未排完时出现某一行元素全部为零,系统不稳定或临界稳定,具体确定还要采用辅助多项式分析。全零行前一行得元素组成辅助多项式辅助多项式得导数得系数代替全零行再继续排列罗斯阵列增加判断虚轴上面得极点就是否单极点,才能最后决定系统稳定性例题:D(s)=s3+4s2+2s+8=0S312S248S100利用全零行上一行系数组成辅助多项式

80P(s)=4s2+8求导得到P’(s)=8s+0S08解P(s)=0,得到s=±jR－H数列无符号变化,S右半平面无极点,虚轴上面为共轭单极点系统临界稳定2本讲小结稳定性定义稳定性时域分析冲击