【教案】人教A版 选择性必修二 5.3　5.3.2　第3课时　导数的综合应用

【教案】人教A版选择性必修二5.35.3.2第3课时导数的综合应用学校授课教师课时授课班级授课地点教具课程基本信息1.课程名称：人教A版选择性必修二5.3.2第3课时导数的综合应用

2.教学年级和班级：高二年级

3.授课时间：2023年10月15日

4.教学时数：1课时核心素养目标1.让学生能够运用导数知识分析函数的单调性、极值和最值，提升逻辑思维能力和数学建模素养。

2.培养学生运用导数解决实际问题的能力，提高学生的应用意识和创新思维。

3.通过导数综合应用的学习，激发学生对数学学科的兴趣，增强学生的自主学习能力和团队合作精神。学情分析本节课的对象是高二年级的学生，他们在数学知识、能力和素质方面已经具备了一定的基础。在学习本节课之前，学生已经学习了导数的基本概念和计算方法，掌握了导数在函数图像中的应用。然而，学生在导数的综合应用方面可能还存在一定的困难，尤其是在解决实际问题时，如何运用导数知识分析函数的性质和最值问题。

在知识层面，学生对导数的概念和计算方法较为熟悉，但可能对导数在实际问题中的应用理解不够深入。在能力层面，学生的逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力有待提高。在素质方面，学生对数学学科的兴趣和自主学习能力较强，但团队合作精神有待加强。

此外，学生在行为习惯方面较为积极，能够按时完成作业，但有时在课堂上参与度不够，缺乏主动提问和思考的习惯。针对这些情况，本节课的教学设计需要关注学生的实际需求，激发学生的学习兴趣，引导他们主动参与课堂，培养他们的思维能力和团队合作精神。教学方法与手段1.教学方法：

-讲授法：通过系统讲解，帮助学生理解导数综合应用的理论知识。

-案例分析法：通过分析具体案例，让学生学会如何将导数知识应用于实际问题。

-小组讨论法：分组讨论问题，培养学生的团队合作能力和解决问题的能力。

2.教学手段：

-多媒体教学：使用PPT展示关键知识点和案例，增强视觉效果。

-教学软件：利用数学软件进行实时演示，帮助学生直观理解导数应用。

-网络资源：提供在线资源链接，鼓励学生在课后自主学习和拓展知识。教学流程1.导入新课（5分钟）

-利用上一节课学习的导数知识，提出问题：“如何利用导数来确定函数的极值点？”

-通过一个简单的函数图像，引导学生回顾导数与函数图像的关系，为新课内容做铺垫。

2.新课讲授（15分钟）

-讲解导数在函数单调性分析中的应用，通过具体函数案例，展示如何利用导数判断函数的单调区间。

-介绍导数在求解函数极值和最值中的应用，通过实例演示，让学生理解极值点和最值点的概念及求解方法。

-分析导数在实际问题中的应用，如物理中的速度与加速度问题，经济中的边际成本与边际收益问题，让学生感受导数的实际意义。

3.实践活动（10分钟）

-让学生独立完成一个求函数极值的练习题，要求学生在纸上写出解题过程，并简要解释每一步的原理。

-提供一个实际问题的案例，如“某产品生产成本的最小化”，让学生尝试应用导数知识解决问题。

-让学生使用数学软件，如GeoGebra，动态观察函数图像及其导数的变化，加深对导数应用的理解。

4.学生小组讨论（10分钟）

-分组讨论以下三个方面的问题：

-如何判断一个函数在某个区间内是增函数还是减函数？

-如何利用导数求出函数的极值点和最值？

-导数在实际问题中有什么具体应用，举例说明。

-每组选代表分享讨论成果，教师进行点评和补充。

5.总结回顾（5分钟）

-回顾本节课的重点内容，强调导数在函数单调性分析、极值和最值求解以及实际应用中的重要性。

-通过一个简短的小测验，检查学生对本节课知识的掌握情况。

-指出本节课的难点，鼓励学生在课后进行复习和巩固。教学资源拓展1.拓展资源：

-导数在物理学中的应用：介绍导数在物理学中的基本应用，如速度、加速度、功率等概念的计算，以及导数在力学和电磁学中的应用。

-导数在经济学中的应用：分析导数在微观经济学中的重要作用，如边际成本、边际效用、价格弹性等概念的计算和应用。

-导数在工程学中的应用：探讨导数在优化问题中的应用，如最短路径问题、最大承载问题、工程优化设计等。

-高阶导数的概念与应用：介绍高阶导数的概念，如二阶导数与函数凹凸性的关系，以及高阶导数在物理和工程中的应用。

-导数与微分方程：讲解导数在微分方程建立和求解中的作用，如通过导数描述物理现象建立微分方程模型。

-实际案例研究：提供一些实际案例，如物流配送中的最优化问题、金融市场中的价格波动分析等，让学生感受导数的实际应用。

2.拓展建议：

-阅读拓展：鼓励学生阅读与导数相关的数学和物理书籍，如《微积分学导论》、《物理学中的数学方法》等，以加深对导数理论的理解。

-实践拓展：建议学生参与数学建模竞赛或工程项目，将导数知识应用于实际问题中，提高解决实际问题的能力。

-研究拓展：引导学生查阅相关学术论文，了解导数在科研领域的最新应用和发展动态。

-跨学科学习：鼓励学生将导数知识与其他学科知识相结合，如生物学中的种群增长模型、化学中的反应速率问题等，以拓宽知识视野。

-互动交流：组织学生进行小组讨论或课堂分享，让学生交流导数在不同领域应用的心得体会，促进知识的内化和升华。课堂1.课堂评价：

-提问：在课堂讲解过程中，教师应设计针对性的问题，通过提问的方式检查学生对导数知识的理解和掌握程度。问题应涵盖基础概念、公式应用以及实际案例分析，以确保学生能够将理论知识与实际应用相结合。

-观察：教师应密切观察学生在课堂上的反应和参与程度，注意学生是否能够跟随教学进度，是否积极参与讨论和实践活动。观察可以帮助教师发现学生的困惑和难点，及时调整教学策略。

-测试：在课堂结束前，教师可以安排一次简短的测试，以测试学生对本节课知识的掌握情况。测试题目应覆盖本节课的重点和难点，帮助学生巩固所学知识，同时也为教师提供反馈，了解教学效果。

-反馈：教师应及时收集学生的反馈信息，了解他们对教学内容的理解程度和教学方式的适应性。通过学生的反馈，教师可以及时调整教学方法和内容，提高教学质量。

2.作业评价：

-批改：教师应认真批改学生的作业，注意检查作业的完成情况、解题过程的正确性和逻辑性。在批改作业时，教师应记录学生常见的错误类型，以便在课堂上进行针对性的讲解。

-点评：在作业批改后，教师应选择具有代表性的作业进行点评，指出作业中的优点和不足，给予学生具体的建议和指导。通过作业点评，教师可以帮助学生认识到自己的问题，促进他们的学习和进步。

-反馈：教师应及时将作业评价结果反馈给学生，鼓励学生根据反馈进行调整。对于表现优秀的学生，教师应给予表扬和鼓励，激发他们的学习热情和自信心。

-追踪：对于作业中存在的问题，教师应在后续的教学中进行追踪，确保学生能够纠正错误，掌握正确的知识和方法。课后作业1.已知函数\(f(x)=x^3-6x^2+9x+1\)，求函数的单调区间和极值点。

答案：首先求导得到\(f'(x)=3x^2-12x+9\)，令\(f'(x)=0\)解得\(x=1\)和\(x=3\)。通过分析导数的符号变化，得到函数的单调递增区间为\((-\infty,1]\)和\([3,+\infty)\)，单调递减区间为\([1,3]\)。计算\(f(1)\)和\(f(3)\)得到极值点为\((1,5)\)和\((3,16)\)。

2.某工厂生产一种产品，其成本函数为\(C(x)=3x^2+4x+5\)，其中\(x\)为生产的产品数量。求生产多少产品时，平均成本最小。

答案：平均成本函数为\(\frac{C(x)}{x}=3x+4+\frac{5}{x}\)，求导得到\(\frac{d}{dx}\left(\frac{C(x)}{x}\right)=3-\frac{5}{x^2}\)，令导数等于零解得\(x=\sqrt[3]{5}\)。通过二次导数检验，得到当生产\(\sqrt[3]{5}\)个产品时，平均成本最小。

3.证明：对于函数\(f(x)=e^x\)，其任意两点间的割线斜率总是大于等于这两点的切线斜率。

答案：设两点的横坐标分别为\(a\)和\(b\)（\(a<b\)），则割线斜率为\(\frac{e^b-e^a}{b-a}\)，切线斜率为\(e^x\)。考虑函数\(g(x)=e^x-\frac{e^b-e^a}{b-a}(x-a)\)，求导得到\(g'(x)=e^x-\frac{e^b-e^a}{b-a}\)。由于\(e^x\)是增函数，且\(e^a\leqe^x\leqe^b\)，因此\(g'(x)\geq0\)，所以\(g(x)\)是增函数，从而割线斜率大于等于切线斜率。

4.一个开口向下的抛物线\(y=ax^2+bx+c\)与x轴相交于两点\((x_1,0)\)和\((x_2,0)\)，且\(x_1<x_2\)。证明：抛物线的顶点横坐标为\(\frac{x_1+x_2}{2}\)。

答案：抛物线的对称轴为\(x=-\frac{b}{2a}\)，顶点横坐标即为对称轴的横坐标。由于抛物线与x轴的交点对称于对称轴，所以\(x_1\)和\(x_2\)关于\(x=-\frac{b}{2a}\)对称，即\(x_1+x_2=-\frac{b}{a}\)，从而顶点横坐标为\(\frac{x_1+x_2}{2}=-\frac{b}{2a}\)。

5.一个物体从静止开始沿直线运动，其加速度\(a(t)\)与时间\(t\)的关系为\(a(t)=4t\)。求物体在\(t=3\)秒时的速度和位移。

答案：由加速度的定义，速度\(v(t)\)是加速度关于时间的积分，即\(v(t)=\inta(t)dt=\int4tdt=2t^2+C\)。由于物体从静止开始运动，所以\(v(0)=0\)，得到\(C=0\)，因此\(v(t)=2t^2\)。在\(t=3\)秒时，速度为\(v(3)=2\cdot3^2=18\