河北衡水中学2024-2025学年高二年级上学期综合素质评价数学试题含答案

河北衡水中学2024-2025学年高二年级上学期综合素质评价数学试题2024-2025学年度高二年级上学期综合素质评价二数学学科主命题人一、单选题（每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意.请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1.直线的倾斜角为（）A. B. C. D.2.已知直线的方向向量为，平面的法向量为，下列结论成立的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则3.已知圆的面积为，则（）A. B. C. D.4.已知两点，，过点的直线与线段AB（含端点）有交点，则直线的斜率的取值范围为（）A B. C. D.5.已知，，，，则直线和直线所成角的余弦值为（）A. B. C. D.6.在棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点，为棱上的一点，且，则点到平面的距离为（）A. B. C. D.7.若动点，分别在直线与直线上移动，则MN的中点P到原点的距离的最小值为（）A B. C. D.8.边长为1正方体中，，分别是，中点，是靠近的四等分点，在正方体内部或表面，，则的最大值是（）A.1 B. C. D.二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.）9.如图，四棱柱中，为的中点，为上靠近点的五等分点，则（）A. B.C. D.10.已知两条直线，的方程分别为与，下列结论正确的是（）A.若，则 B.若，则两条平行直线之间的距离为C.若，则 D.若，则直线，一定相交11.如图，在多面体中，平面，四边形是正方形，且，，分别是线段的中点，是线段上的一个动点（含端点），则下列说法正确的是（）A.存在点，使得B.存在点，使得异面直线与所成的角为C.三棱锥体积的最大值是D.当点自向处运动时，直线与平面所成的角逐渐增大三、填空题（本题共3小题，每题5分，共15分.）12.已知点，点为圆上任意一点，则连线的中点轨迹方程是___________．13.已知点和直线，则点到直线的距离的取值范围是______________.14.如图，已知点是圆台的上底面圆上的动点，在下底面圆上，，，，，则直线与平面所成角的正弦值的最大值为________.四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.在中，，边上的高所在直线的方程为，的平分线所在直线的方程为，点的坐标为.（1）求直线的方程；（2）求直线的方程及点的坐标.16.如图，在直四棱柱中，底面为矩形，且分别为的中点.（1）证明：平面.（2）求平面与平面夹角的余弦值.17.已知直线过定点．（1）求过点且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线方程；（2）若直线交轴正半轴于点，交轴负半轴于点，的面积为（为坐标原点），求的最小值并求此时直线的方程．18.如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，.（1）求证：平面（2）求直线与平面所成角正弦值.（3）在棱上是否存在点，使得平面?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.19.在空间直角坐标系中，已知向量，点若直线以为方向向量且经过点，则直线的标准式方程可表示为（）；若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程表示为.（1）已知直线的标准式方程为，平面的点法式方程可表示为，求直线与平面所成角的余弦值；（2）已知平面的点法式方程可表示为，平面外一点，点到平面的距离；（3）（ⅰ）若集合，记集合中所有点构成的几何体为，求几何体S的体积：（ⅱ）若集合.记集合N中所有点构成的几何体为，求几何体相邻两个面（有公共棱）所成二面角的余弦值.

2024-2025学年度高二年级上学期综合素质评价二数学学科主命题人韩艳伟一、单选题（每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意.请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1.直线的倾斜角为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出直线斜率，再根据倾斜角的范围即可求解.【详解】设直线的的倾斜角为，且，直线的斜率，所以，故选：A2.已知直线的方向向量为，平面的法向量为，下列结论成立的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则【答案】C【解析】【分析】根据题意，结合直线的方向向量和平面分法向量的关系，逐项判定，即可求解.【详解】因为直线的方向向量为，平面的法向量为，由，可得，所以A不正确，C正确；对于B中，由，可得或，所以B、D都不正确；故选：C.3.已知圆的面积为，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意确定圆的半径，结合圆的面积公式建立方程，解之即可求解.【详解】因为圆，即，所以，解得.故选：B.4.已知两点，，过点的直线与线段AB（含端点）有交点，则直线的斜率的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出直线、的斜率后可求直线的斜率的范围.【详解】，而，故直线的取值范围为，故选：A.5.已知，，，，则直线和直线所成角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】算得，结合向量夹角的坐标公式即可求解.【详解】，所以直线和直线所成角的余弦值为.故选：A.6.在棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点，为棱上的一点，且，则点到平面的距离为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】建立空间直角坐标系，由点到平面的距离公式计算即可．【详解】以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，所以，，．设平面的法向量为，则，取，得，所以点到平面的距离为，故选：D．7.若动点，分别在直线与直线上移动，则MN的中点P到原点的距离的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出点的轨迹，再利用点到直线的距离公式求解.【详解】解：由题意知，MN的中点P的轨迹为平行于两直线且到两直线距离相等的直线，故其方程为，到原点的距离的最小值为．故选：C8.边长为1的正方体中，，分别是，中点，是靠近的四等分点，在正方体内部或表面，，则的最大值是（）A.1 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】建立空间直角坐标系，设，从而求得，再根据向量模长公式结合即可求解.【详解】如图，建立空间直角坐标系，设，则，所以，则，因为，又，所以，即，所以，又，所以，当且仅当，此时时，等号成立，所以的最大值是.故选：D.二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.）9.如图，四棱柱中，为的中点，为上靠近点的五等分点，则（）A B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】运用空间向量的基底表示，结合平面向量的三角形法则和线性运算规则可解.【详解】，即，故A错误、B正确；，即，故C错误，D正确.故选：BD.10.已知两条直线，的方程分别为与，下列结论正确的是（）A.若，则 B.若，则两条平行直线之间的距离为C.若，则 D.若，则直线，一定相交【答案】AD【解析】【分析】根据两直线平行求出的值，可判断A选项；利用平行线间的距离公式可判断B选项；根据两直线垂直求出的值，可判断C选项；根据两直线相交求出的范围，可判断D选项.【详解】两条直线，的方程分别为与，它们不重合，若，则，得，检验符合，故A选项正确；若，由A选项可知，：，直线的方程可化为，故两条平行直线之间的距离为，故B选项不正确；若，则，得，故C选项不正确；由A选项知，当时，，所以若，则直线，一定相交，故D选项正确.故选：AD.11.如图，在多面体中，平面，四边形是正方形，且，，分别是线段的中点，是线段上的一个动点（含端点），则下列说法正确的是（）A.存在点，使得B.存在点，使得异面直线与所成的角为C.三棱锥体积的最大值是D.当点自向处运动时，直线与平面所成的角逐渐增大【答案】ACD【解析】【分析】建立空间直角坐标系，设出点的坐标，利用向量垂直的坐标运算判断A，利用异面直线的向量夹角公式计算判断B，连接，结合锥体体积公式，利用等体积法判断C，利用向量的坐标运算表示线面角的正弦值，然后利用二次函数及正弦函数的单调性即可判断D.【详解】以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，A0,0,0，，，，，，，；对于A，假设存在点，使得，则，又，所以，解得，即点与重合时，，A正确；对于B，假设存在点，使得异面直线与所成的角为，因为，，所以，方程无解；所以不存在点，B错误；对于C，连接，设，因为，所以当，即点与点重合时，取得最大值；又点到平面的距离，所以，C正确；对于D，由上分析知：，，若是面的法向量，则，令x=1，则，因为，设直线与平面所成的角为，，所以，当点自向处运动时，的值由到变大，此时也逐渐增大，因为在为增函数，所以也逐渐增大，故D正确.故选：ACD三、填空题（本题共3小题，每题5分，共15分.）12.已知点，点为圆上任意一点，则连线的中点轨迹方程是___________．【答案】【解析】【分析】首先设中点坐标为，再设出相关点的坐标，代入圆的方程，即可求解.【详解】设连线的中点为，则，则，即.故答案为：13.已知点和直线，则点到直线的距离的取值范围是______________.【答案】【解析】【分析】先求得直线的定点，进而求得点P到直线的最大距离，然后检验点是否可能在直线上即可【详解】可化为：设直线的定点为，点P到直线的距离为，则有：可得：为直线定点则有：，此时为点P到直线的最大距离若在直线上，则有：，即可得：不可能在直线上，则有：综上可得：故答案为：14.如图，已知点是圆台的上底面圆上的动点，在下底面圆上，，，，，则直线与平面所成角的正弦值的最大值为________.【答案】【解析】【分析】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得对应点的坐标，设出未知点的坐标，利用向量法求线面角正弦值的最大值，再求余弦值的最小值即可.【详解】解：连接，过点作垂直于的延长线于点，以为坐标原点，建立空间直角坐标系如下所示：在三角形中，因为，故，则，则，，故点，又，，，设点，，由，可得，，，设平面的法向量m=x,y,z则，即，取，则，故平面的法向量，又，设直线与平面所成角为，，则，因为，且，故令，，，则，，，又，所以，，即，所以最大值为.故答案为：.四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.在中，，边上的高所在直线的方程为，的平分线所在直线的方程为，点的坐标为.（1）求直线的方程；（2）求直线的方程及点的坐标.【答案】（1）（2）直线的方程为：，【解析】【分析】（1）根据垂直的位置关系，算出直线的斜率为，利用直线方程的点斜式列式，化简整理即可得到直线的方程；（2）由边的高所在直线方程和，解出，从而得出直线的方程．由直线、关于直线对称，算出方程，最后将方程与方程联解，即可得出点的坐标．【小问1详解】由于所在直线的方程为，故的斜率为，与互相垂直，直线的斜率为，结合，可得的点斜式方程：，化简整理，得，即为所求的直线方程．【小问2详解】由和联解，得由此可得直线方程为：，即，，关于角平分线轴对称，直线的方程为：，直线方程为，将、方程联解，得，，因此，可得点的坐标为．16.如图，在直四棱柱中，底面为矩形，且分别为的中点.（1）证明：平面.（2）求平面与平面夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）不妨设，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，由，得到，即可得证；（2）求出平面的法向量，利用空间向量法计算可得.【小问1详解】不妨设，则，如图建立空间直角坐标系，则，，，A1,0,0，，，所以，，，设m=x,y,z是平面则，取，则，所以平面的一个法向量，又，所以，因为平面，所以平面.【小问2详解】因为平面，所以是平面的一个法向量，又因为，所以平面与平面夹角的余弦值为.17.已知直线过定点．（1）求过点且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线方程；（2）若直线交轴正半轴于点，交轴负半轴于点，的面积为（为坐标原点），求的最小值并求此时直线的方程．【答案】（1）或或（2）最小值为24，直线【解析】【分析】（1）求出直线过的定点，分，和两种情况，当，时，设的方程为，根据点在直线上求出直线方程，若，求出直线方程，若，求出直线方程，当，根据直线过原点，且过点求出直线的方程；（2）求出直线交轴的正半轴的点，交轴的负半轴的点，求出的面积，根据基本不等式求出的最小值时的值.【小问1详解】直线，则直线过定点，①当，时，设的方程为．点在直线上，．若，则，直线的方程为，若，则，，直线的方程为；②当时，直线过原点，且过点，直线的方程为，综上所述，所求直线的方程为或或；【小问2详解】令，则；令，则，直线交轴的正半轴于点，交轴的负半轴于点，，为坐标原点，设的面积为，则，当且仅当时，即时取等号，故的最小值为24，此时，直线．18.如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，.（1）求证：平面.（2）求直线与平面所成角的正弦值.（3）在棱上是否存在点，使得平面?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）（3）存在；【解析】【分析】（1）根据面面垂直的性质可得平面，进而得，再结合线面垂直的判定定理进行证明即可；（2）建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，再利用空间向量夹角公式、线面角的定义进行求解即可；（3）要使平面，则，由此列式求解可得.【小问1详解】∵平面平面，且平面平面，且，平面，∴平面，∵平面，∴，又，且，平面，∴平面；【小问2详解】取中点为，连接，又∵，∴．则，∵，∴，则，以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，则，，，，设n=x,y,z为平面则由，得，令，则．设与平面的夹角为，则；【小问3详解】假设在棱上存在点点，使得平面.设，，由（2）知，，，，则，，，由（2）知平面的一个法向量．若平面，则，解得，又平面，故在棱上存在点点，使得平面，此时.19.在空间直角坐标系中，已知向量，点若直线以为方向向量且经过点，则直线的标准式方程可表示为（）；若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程表示为.（1）已知直线的标准式方程为，平面的点法式方程可表示为，求直线与平面所成角的余弦值；（2）已知平面的点法式方程可表