数理统计重点概念 保研考研面试

概率论与数理统计重点知识整理

第四章统计量及其分布

4.1总体与个体

总体：研究对象的总体

个体：总体的每个成员

我们对每一研究对象可能要观测两个或多个数量指标，则可用多维随机向量

(X1,X2，...,XQ去描述总体，可用其联合分布函数R(x，/，…,与)去描述总体，称

为p维总体。

样本：从总体中抽出的部分个体组成的集合

样本的要求：代表性；独立性

用简单随机抽样方法获得的样本称为简单随机样本，简称样本。这时X1,

Xz，…，x“可以看成是相互独立的具有同一分布的随机变量，简称它们为独立

同分布(简记为江d)样本。设总体X的分布函数为F(z),则样本X1，Xz，…，X"

的联合分布函数为

n

F(©,生，…，X")=JJF(J7;)

«=1

经验分布函数

定义4.1.1设总体X的分布函数为F(H),从中获得的样本观测值为

X),Xz，…，了”，将它们从小到大排列成⑵<…，令

.1»•之》

则称"(1)为该样本的经验分布函数。、

定理4.1.1(格里汶科定理)对任给的自然数”，设为，”，…，工是取自

总体分布函数FG)的一个样本的观测值，F,(z》为其经验分布函数，又记

Dn=_\u?—F(Z)|(4.1.3)

则有

P(limD=0)=1

n-*oon

这一定理中的D„是衡量F.Qr)与F(z)在z的一切值上的最大差异.定理表

明随着n的逐渐增大，对一切H,F.(Z)与F(z)之差的最大绝对值趋于°这一

事件发生的概率等于1.

4.2统计量与抽样分布

定义4.2.1设X=（X-Xz，…，X”）是取自某总体的一个容量为n的样

本,假如样本函数

T=T（X）=T（X1,X2,-,X„）

中不含任何未知参数，则称T为统计量。统计量的分布称为抽样分布。

上述定义中规定“不含任何未知参数”是强调在获得了样本的观察值x=

（q,生，“•，马）后,代入统计量立即可以算得统计量的观察值

i=T（x）=T（jr1,x2,•••,x„）

样本均值：x^-Yx,

ni=1

定理4.2.1设X|,Xz，…，X,是从某总体随机抽取的一个样本，该总体

的分布未知（可能是离散的，也可能是连续的，可能是均匀分布，也可能生偏态

分布等），但知其均值为方差为，（有限旦不为0）,则当样本量n充分大时，

样本均值X近似服从正态分布，其均色仍为〃，方差为记为

（4.2.5）

譬如，样本X-Xz，…，X”来自指数分布Exp。），2>0,则总体期望为｝,

方差为亲,那么当"充分大时，样本均值

又譬如，样本X，Xz,…,X”来自6（1,2）,OV»V1,则总体期望为，方差

为力（1一2），那么当〃充分大时，样本均值（力，四亍包）。

（1）分组样本均值的近似计算

样本方差：样本关于样本均值的平均偏差平方和S；=工汽

〃Z=1

“不大时，常用无偏方差S；=T［（X厂又）2

样本标准差：s“=病

样本方差与样本标准差反映了数据取值分散与集中的程度，即反映了总体方差与

标准差的信息。

Q=2(M—苒产=x•—2•三+

»=*]i=li1i-l

=2J一标2

i-=l

=次君-：(卞二)2

.=1ni-1

分组样本:s

=.n一元？2

』

⑵样本方差的抽样分布

定理4.2.2设X]，X2,…，X”是来自正态总体N(〃d)的一个样本，则

去火(X,-X)2=蓍=〜犬3—D,且与X独立。

证明:

Zi=-^z-Xi----^z-X2

V2V2

Zz=7,1(X「+X2)----2-X3

72X3/2X3

1

z3=—.(Xt+Xz+XQ-/_3=x,

，3X4，3x\

n—1

Zi=1(Xi+X2+…+XiKn

Vy(n-i)n\/(n—l)n

ZH=%(X1+Xz+…+X“)

土£(XLX)2=/[£x.点2]

T部y)=W(到

(3)样本的高阶矩

定义4.2.4设X,,X2,-,X.是来自某总体的一个样本，则称

A*=*=1,2,-(4.2.12)

为样本的4阶原点矩，称

B*=]£(X,-¥»,k=1,2,-(4.2.13)

为样本的&阶中心短。

它们分别反映了总体左阶原点矩4与4阶中心矩外的信息.特别Ai=又,

Bi=09B2=S"

4.3次序统计量及其分布

定义4.3.1设X,,Xz,…，X.是取自总体X的一个样本，X“,称为该样本

的第i个次序统计量，它是样本X-Xz,…，X”的满足如下条件的函数：每当样

本得到一组观测值皿，工2,♦•，,心时，将它们从小到大排列为

,X(o<X<2)<•••&x(,)

第i个值工S便是x<»的观测值，称X⑴，X⑵，…，Xs为该样本的次序统计量，

X⑴又称为该样本的最小次序统计盘,X(“>又称为该样本的最大次序统计量。

X(i)的分布是不同的；

任意两个次序统计量的联合分布也是不同的；

任意两个次序统计量是不独立的。

(1)次序统计量的抽样分布

6(力=7\K1~一v1?)T！7~——R)!~-(幻(4.3.1)

对于样本最大次序统计量X⑻

n1

pn(x)=np(x)[F(x)]~

Fn(x)=[F(x)Y

对于样本最小次序统计量X。)

1

pl(x)=np(x)\l-F(x)r

^(x)=l-[l-F(x)]n

(2)两个次序统计量的联合密度函数

n\

pQ，z)=[p(y)]T[/(z)—F(y)]^[l-F(z)r-j

(z-l)!(j-z-l)!(n-j)!

其中X(1),X(.)的可表示为

p(.yi>y„)=n(n—l)p(yi)[F(y.)—F(y>»

a4“&y.&b

(3)样本极差

定义4.3.2样本最大次序统计量与样本最小次序统计量之差称为样本

极差，简称极差，常用R表示。■',

如果样本容量为”;则样本极差

(4.3.7)

R=X(„)—X(1)

极差表示样本取值范围的大小，也反映了总体取值分散于集中的程度。

极差常在小样本5410)的场合使用，因为样本容量大的时候丢弃的信息也多，

使用价值不大。

当总体分布为N",/)时，由(4.3.6)式可求出容量为n时的样本极差

母=X(.)-X(1)的密度函数为

g-=啼也B5E亍)厂产上守加

x>0(4.3.8)

从极差去估算标准差很方便，但极差也有缺点，就是任意受个别异常值的干扰。

(4)样本中位数与p分位数

定义4.3.3样本按大小次序排列后处于中间位置上的统计量称为样本

中位数，常用表示。

md

X（宇）.

〃为奇数

nij=（4.3.11）

）+x（/+i）],〃为偶数

定义4.3.4设X-Xz，…,X”是来自某总体的一个样本，其次序统计量

为Xa>《X⑵样本的p分位数是指由下式求得的统计量：

fyk

Xg.中=»

7np=<(4.3.12)

X(*)+—X“)][(九+Dp-k~\,二、<P<~

n十1n+1

不难看出，(4.3.12)式中的人是不超过("+1”的最大整数,0<p<1.

样本的户分位数，“,表示容量为"的样本中约有〃/>个数小于，”，，它也是一

种表示位置信息的统计量.

0：第一四分位数

。3：第三四分位数

x（i）Q\mjQi

第五章参数估计

参数估计的形式有两种：点估计与区间估计.

在参数的点估计中，是要构造一个统计量9=以X、,Xz，x”)，然后用e

去估计。，称°为夕的点估计或估计量，简称估计，将样本观测值代入后便得到了

6的一个点估计值点(为，工2，…,工”)，在不致混淆的情况下均用0表示.

在参数的区间估计中，是要构造两个统计量应与施，且瓦V访，然后以区

问［或，的形式给出未知参数》的估计，事件“区间［&,&］含有俨的概率称

为置信水平。

5.1矩法估计

用样本矩估计总体矩，用样本矩的相应函数估计总体矩的函数

nz=l

1nf1n2in

3?=4-4=-£x：-—乞Xj、=—£(X］-又)0

〃i=l1〃i=lJ〃i=l

矩估计的步骤

(1)先求总体的前人阶矩，记E(XD=内，j=1,2,…次,并假定

勺=gj(,i，％，…，仇)，i—,k(5.1.1)

(2)解方程组(5.1.D得

)

.4=①(出…，4),，=1,2,…，%(5.1.2)

(如果可能求解的话)

(3)在(5.1.2)式中，用A,代替%,j=1,2,…次，则得仇，&，…,4的矩法

估计为

。="(A】，Az,…,AJ,i=l,2,-,k(5.1.3)

(4)如果有样本观察值，则将它们代入(5.L3)式得口，&/“，4的估计值。

有时为方便起见，在(5.1.1)或(5.1.2)式中会出现总体的中心矩为等，这

时可用B,代替力。

举例：

(1)均匀分布X~U(a㈤

(

%=E(X)=次=Var(X)=”产

Ja=X——X—>/3Sn

=X+，3S：=X+偌S”

(2)r分布rgu)

内=E(X)=j-,v2=Var(X)=券

-X23X

Q=sF'A=sl

矩法估计的优点是其统计思想简单明确，易为人们接受，且在总体分布未

知场合也可使用。它的缺点是不唯一，譬如泊松分布P。)，由于其均值和方差

都是3因而可以用X去估计人也可以用S：去估计3此时尽量使用低阶样本

矩，用X去估计入，而不用si去估计八此外样本各阶矩的观测值受异常值影响

较大，从而不够稳健.

5.2点估计优劣的评价标准

1.无偏性

希望所得的估计。从平均意义上来讲与。越接近越好

定义s.2.1设e=e(Xi,Xz,…，X,)是参数个的估计量，如果

E9=6(96@(5.2.1)

则称J是<9的无偏估计，否则称为有偏估计。这里。是6的参数空间.

例5.2.1设总体X具有々阶矩,EX-=4,则样本的石阶原点矩A-是以

的无偏估计。

例5.2.2设总体乂具有二阶矩，E(X)=〃,Var(X)=/,从中获得样本

X-Xz,…，X”,则X是"的无偏估计，但比不是/的无偏估计，而S?是M的

无偏估计。

E(S2)=O-2

对比而言,尽管它不是/的无偏估计,然而当"f8时，有

limES：=d

“―co

我们称比是公的渐近无偏估计。

当。是。的无偏估计时，若用gM)去估计参数g(e)，那么g(5)通常不再是

g(e)的无偏估计。在例5.2.?中，我们证明了s?是的无偏估计，但是s不是

。的无偏估计…

2.有效性

希望找到的估计围绕其真值的波动越小越好，即要求估计量的方差小，这样©与

。有较大偏差的可能性就小。

定义5.2.2设。=A(X］，Xz,…,X")与①=E(Xi，Xz，…,X”)都是参

数夕的无偏估计，如果

Var(&)<Var«92),t?€©(5.2.2)

直至少对一个仇€6>.有严格不等号成立，则称&比①宥效。

尽量用样本中所有数据的平均去估计总体均值，不要用部分数据去估计总体均值,

泽阳可提高估计的有效性。

3.均方误差准则

对于有偏估计，比较方差意义不大，关心的是估计值围绕其真值波动的大小。

定义5.2.3设&与①是参数。的两个估计量，如果

E(优-Oy<E电-咛，6»60(5.2.3)

且至少对一个G6d有严格不等式成立，则称在均方误差意义下，见优于良。

其中称为瓦的均方误差，常记为MSE也）。

若。是。的无偏估计，则其均方误差即为方差，即MSE«9）=Var（B）。

均方误差还有如下一种分解：设石是。的任一估计，则有

MSEC。)=E((?-5)2=E匚(。一E(b+(E点_。)了

=ECO-EG)2+(E0-0y=Var(的+炉

其中6=|E石一朗称为偏差。由上式可见，均方误差是由方差Var（的和偏差B

的平方组成。无偏估计可使6=0,有效性要求方差Va；（6尽量地小，而均方误

差准则要求两者（方差和偏差平方）之和愈小愈好。下面的例子说明均方误差

例5.2.5设Xi，&,…,X*是来自正态总体N（〃,d）的一个样本，利用

X2分布的性质可知其偏差平方和Q=*（X,-X）2的期望与方差分别为

E(Q)=(八-l)，，Var(Q)=2(n-l)<r4

现构造如下三个估计:

这三个估计的偏差平方晋、方差Var（.）和均方误差MSE（.）很容易从Q的期

望与方差算得，现列于表5.2.2中。

从最后三行数据可以看出：

•S2虽是/的无偏估计,但方差（也是它的均方误差）并不小，故从均方

误差准则看它并不优良。

♦比和S%都不是B的无偏估计,但在均方误差准则下都优于S2。

・理论上可以证明：在正态方差，的形如Q（c是常数）.的估计类中，&+i

的均方误差最小（见习题5.2.7）0

从不同侧面去考察估计量的好坏会得出不同的结论，在讨论估计量的好坏，必须

明确我们所遵循的准则是上面。

4.相合性

随着样本容量的增大，一个好的估计份应该越来越靠近其真值。，使得偏差

酹-大的概率越来越小。

定义5.2.4设对每个自然数n,dn=,X?,…，X"）是0的一个估计

量，如果对任意e>0,当"f8时，有

P（|0,-（?|>e）-0（5.2.4）

则称“是夕的相合估计。

相和性是估计量的最基本的栗求。

定理5.2.1（切比晓夫大数定律）设X-Xz，…，X”，…是一列独立同分布

的随机变量，其数学期望为“，方差为<8,则对任意给定的e>。，有

>e）-*0-8）

定理5.2.2（辛钦大数定律）设Xi"…，X",…是一列独立同分布随机

变量序列，若其具有有限的数学期望为〃，则对任意给定的e>0,有

F（；十—/r>e）-*0（n->oo）

定理5.2.3设。，①，…，良分别谑/M，…,”的相合估计，若g（4,%,

…为&个参数的连续函数，则g（A忌，…，幻是g（d，%,…，仇）的相合估

计。

矩估计都有相合性。

证;矩法估计都具有相合性，这是矩法估计的又一个优点.为说明这一点，

我们分几步进行。

首先由辛钦大数定律知，当归阶原点矩4=E（X"）存在时■，则样本的左阶

原点矩A*=上±》是总体左阶原点矩4的相合估计.

ni-1

其次由于左阶中心矩V*常是前左阶原点矩的连续函数g（4…，4）（见

§2.5.1）,故由定理5.-2.3知g（Ai,A2，…,A*）是丁=g（内，网，…，㈣）的相合

估计。譬如：>

总体方差丫2=“2—谒=g（“l»Pz）是〃L,“2的连续函数，只要“2存在，样

本方差

g（A,Az）=A2-A；,=-xy=SJ

是总体方差的相合估计。从而

从A-Az）=3g（A],Az）=SW（X,-X）z=s?

九一I九一1百

也是总体方差的相合估计。可见一个参数的相合估计不止一个。

一■个参数的相合估计不止一■个。

5.3极大似然估计

设总体含有待估参数。，它可以取很多值，要在。一切可能取值之中取出一个使

得样本观测值出现的概率为最大的。值（记为不）作为其估计，并称彼为。的极大

似然估计。

(1)离散分布场合的极大似然估计

设X的分布是高散的，分布中含有未知参数。，记为

P(X=a,)-i=1»2,-,8W矽

其中®为参数空间。现从总体中抽取容量为«的样本，其观测值为为，孙，…，

工“，这里每个工，为…中的某个值，该样本出现的概率为n»(H*夕)。由

于这一概率依赖于未知参数因而可将它看成是夕的函数，称为似然函数，记

为L(«)：•

M

L(8)=]]/>(xj；。)，8W8(5.3.1)

对不同的夕,同一组样本观察值与，工2,…，工”出现的概率L2)也不一样。如今

样本观察值为，工2,…，工”出现了，当然就要求对应的似然函数L⑹的值达到

最大，所以我们选取这样的自作为。的估计，使得

L(0)=maxL(O)

go

假如，存在的话，称J为。的极大似然估计。

(2)连续分布场合的极大似然估计

当X的分布是连续时，其概率密度函数为/>(工;0),其中6为未知参数，

660。现从该总体中获得容量为«的样本观测值叼，工z，…，占，则在X,=x,,

H

Xz=Hz,…,X”=xn时联合密度函数值为它也是8的函数，也称

为似然函数，记为

n

L(9)=0^0(5.3.2)

t-1

对不同的。，同一组样本观察值为，HZ，…,工”的联合密度函数值也是不同的，因

而我们选择夕的极大似然估计后应满足

L(。)=maxL(6)

eee

2.求极大似然估计的方法

⑴求导

为求方便常常队似然函数取对数，称/(e)=lnL(6)为对数似然函数，与L(6)在同

一点上达到最大。

31(.0yc

k二0,j=1,2,・r9k(5.3.3)

为似然方程，其中4是。的维数。

若似然函数可微的话，可以验证色笑＜0,这表明力可使似然函数达到最大。

ap

例5.3.3设某机床加工的轴的直径与图纸规定的尺寸的偏差服从NS

，）・其中〃，/未知.为估计〃与。Z,从中随机抽取100根轴,测得其偏差为

工1,工1,…，Hlg.试求〃，/的极大似然估计.

解：（1）写出似然函数

L（B，W）—IIyL-e'^T'=

i-iy/2n（J

（2）写出对数似然函数

Igo2）=—勺ln（2"）—亲£（工,一“

（3）将/（〃,/）分别对"与。？求偏导，并令它们都为0.得似然方程为:

.限72…。

、修一启+嘉…』’

（4）解似然方程得

1=£,?（工'-）

（5）经验证。,了使1（"）达到极大.

（6）上述叙述也对一切样本观察值成立，故用样本代替观察值，便得//与，

的极大似然估计分别为：

A=x,?=7§（X,-X）2=s-

⑵不能求导的时候

党似然函数鄢非零区域与未知参数有关时，通常无法通过解似然方程来获得参数

的极大似然估计，这时可从定义出发直接求极大值点。

3.极大似然估计的不变原则

定理5.3.1（不变原则）设。是夕的极大似然估计,g（e）是N的连续函数,

则g（o）的极大似然估计为晨钮.

例S.3.5设某元件失效时间,服从参数为A的指数分布，其密度函数为

p(x»A)=,J:》0

A未知。现从中抽取了n个元件测得其失效时间为孙，耳，…，不，试求A及平均

寿命的MLE。

解：先求义的MLE。

(1)写出似然函数

L(A)=JJXe~kti=入"cxp{—22勾)

i-li-l

(2)取对数得对数似然函数

H

Z(A)=wlnA-

21

<3)将/(A)对A求导得似然方程为：

d/(a)〃6

飞-=厂纣=°A

(4)解似然方程得

A=-2-=1

s-.T

经验证它使Z(A)达到最大，由于上述过程对一切样本观察值成立，故人的MLE是

元件的平均寿命即为X的期望值，在指数分布场合，有E(X)=+,它是入

的函数，其极大似然估计可用不变原则求得，即用久的MLE工代人便得E(X)

的MLE为E(X)=1=X。由于X也是E(X)的矩法估计，故X是E(X)的

A

无偏相合估计。.；

4.极大似然估计的渐近正态性

定理5・3.2设总体X具有密度函数。(7田)，未知参数，。是一个非

退化区间。并假定

(1)对一切。€包偏导数''a特存在。

(2)对一切仇有

陶<F,Cz),|翻<F",|票|<F"

其中函数FKz)，F式工)在(-8,8)上可积，而函数E〈工)满足

[F3(x)p(xi^)dx<M

其中M与0无关。

(3)对一切。6d有

0〈E(需)：匚(蜉)，工"一

则在分布参数e的真值名为®的一个内点的情况下，其似然方程嚅=。有一

个解点存在，并对任给.e>0,随着"f8,有p(|石一4|>e)f0,且》渐近服

从正态分布

N(a,[回耨1%)

5.5三大分布

1.大分布

定义5.4.2如果X〜N(O,1),Y〜犬(“)，且X与Y独立，则

t=—^―(5.4.9)

的分布称为自由度为”的，分布，记为

图5.4.4几个，分布的密度函数与标准正态密度函数

方打的密度函数是偶函数，且是关于纵轴对称的单峰函数，形状与标准正太分布

相似，但其峰比N(O,1)大一些。随着自由度〃的增大力分布与N(O,1)之间的差别

就越来越小。自由度为10的%分布已经很接近N(O,1)了。

自由度为1的七分布是柯西分布，没有方差和期望。

2.五分布

定义5.4.3•如果X〜X(〃)，丫〜犬(相)，且X与Y独立，则

F=

Y/m

的分布称为自由度是〃与m的F分布，记为F(n,m)0

「分布是是一中偏态分布，F/(篦,徵)=-=--5----T

(7W»Zl)

5.5区间估计

定义5.4.1设。是总体的一个参数，其参数空间为8,X,,Xz,…，X”是来

自该总体的一个样本，对给定的“0<a<D,确定两个统计录％=%(X、,

X?，…，X")与%=%(Xi,X?，…,X"),若对任意0E。，有

P(4&。&诙)>1一叫0(5.4.1)

则称随机区间［尻，诙1是0的置信水平为1-a的置信区间，或简称［/，诙［是6

的1—a置信区间,反与。u分别称为1一。的置信区间的置信下限与置信上限。

(1)枢轴量法

(1)从。的一个点估计在出发，构造@与。的一个函数G出,6),使得G的分

布(在大样本场合，可以是G的渐近分布)是已知的，而且与6无关。通常称这种

函数GS,。)为枢轴量。

(2)适当选取两个常数c与d,使对给定的。有‘

P<c<G06)<d)》l-a(5.4.2)

这里的概率大于等于号是专门为离散分布而设置的，当G加,6)的分布是连续

分布时，应选。与d使(5.4.2)式中的等号成立，这样就能充足地使用置信水平

1—a。

(3)利用不等式运算，将不等式c《G(石进行等价变形，使得最后能

得到形如玩诙的不等式。若这一切可能，则［%，跖1就是。的1一。置信

区间。因为这时有

P(%464跖)=P(c4G.,6)&d),l-a

枢轴量的确定方法

(1)对称分布时，取d为&分位数，c=—d

1----

2

(2)非对称分布时

P(GVc)=a/2,P(G4d)=l-Q/2(5.4.4)

即取c为G的分布的a/2分位数"为G的分布的1一。/2分位数(见图

5.4.2(b)).

这样得到的置信区间称为等尾置信区间。

⑸正态均值的置信区间〃已知)

X一/“T，x+/k

7Ji22

当总体不是正态分布而总体标准差已知，那么在大样本场合(”>30),总

体均值;•■的置信区间仍可用(5.4.7)式求得，这是因为在大样本场合，样本均值

X的渐近分布为N(“,9)，从而

近似服从标准正态分布.

当b已知时，正态总体均值〃的置信区间长度时样本容量"的减函数，可以通过

增加样本容量n来达到提高精度的目的

(b)正态均值的置信区间〃(b未知)

枢轴量/=----夕

S/yJn

_S_S

置信区间X--『Ua，X+一尸”a

_7rl1-y7n1-y

定理5.4.1设X-Xz，…，X.是来自N(“,d)的一个样本,X、S分别为

样本均值与样本方差，则t=X二q服从自由度为"-1的t分布.

S/布

5.6样本量的确定

一是控制置信区间的长度2d(精确度)来确定样本量”，其中d为区间的半

径.

二是控制犯第二类错谩的概率F来确定样本景n.

(1)标准差b已知的场合〃之［皆产J

⑵标准差〃未知的场合

若有近期的样本可用的时候，”之(s°'-a/2("。—1)

1d

其中s0是根据容量为小的近期样本求得的。一个估计

⑶Stein的两步法

第一步:根据经验对。作一推测，譬如为/。根据此推测可用(D的方法确

亘一个样本量即

/=*)'

为一个比n小得多的整数3作为第一样本量。选择小的一个粗略的规则是：

当—260时，可取〃i>30；

当〃'V60时，可取=0.5/与0.In中某个整数。

第二步:从总体中随机取出容贵为小的样品，并逐个测5b获得小个数据，

由此可算得第一个样本的标准差、，自由度为2对给定的叫可查得分位数

l-«/2(W)一1)，然后算得

心(.j.-I),(5.4.15)

玄里也需要同前一样取为整数。由此可得第二个样本量如=〃一为。这两个样

本量之和便是我们所需要的样本量。

(C)正态方差02与标准差。的置信区间

X="2W〜/，_])(5.4.16)

从

斗(〃-1)&5号)W<x?_f(〃-1)(5.4.17)

可解得"的置信水平为1一。的置信区间是

r(〃一1对3-1对]

(5.4.18)

L尤_号(〃_1)，裤(”一1)J

故从(5.4.19)式可得。的1一a置信区间为

(5.4.20)

(d)两个正态均值差的置信区间

(1)已次口

此时可用X-y去估计出一小，由正态分布性质可知X-Y〜N5一也,

色+或)，从而

nm

u二EF上幼二也〜N(O,1)

置信区间又—

(2)o\=%但具体值未知

定理5.4.2设X,,Xa,…，X”是来自正态总体X〜N3，d)的一个样

本,Yi，K，…，匕.是来自正态总体丫〜N(“z，，)的一个样本，且两样本独立,

两个样本的均值分别记为x,y,两个样本的方差分别记为si与•，则

I=〜“”+吁2)

SwJi+m

c2(”一l)st+(m-l》sy

Sw=n+m-2(5.4.22)

置信区间X-丫±?_(«+-2)S.—I—

1a/2WVnm