工程力学- 材料力学之能量法

材料力学刘鸿文主编(第5版)高等教育出版社目录13.14a、13.15、13.17、夏学期作业11：材料力学第十三章能量法(Chapter13

EnergyMethod)MechanicsofMaterials3

组合变形应变能的计算

变形能的普遍表达式-克拉贝隆原理

变形能的应用1、计算变形能2、利用功能原理计算变形知识要点回顾知识要点回顾

单位荷载法-摩尔定理

互等理论功的互等定理位移互等定理桁架：三、使用莫尔定理的注意事项⑤莫尔积分必须遍及整个结构.①M(x)：结构在原载荷下的内力;③所加广义单位力与所求广义位移之积，必须为功的量纲;——去掉主动力，在所求广义位移点，沿所求广义位移的方向加广义单位力时，结构产生的内力;M④与M(x)的坐标系必须一致，每段杆的坐标系可自由建立;M(x)6A例题5抗弯刚度为EI的等截面简支梁受均布荷载作用，用单位载荷法求梁中点的挠度fc和支座A截面的转角.剪力对弯曲的影响不计.qBCll/2ql/2ql/2解：在实际荷载作用下，任一x

截面的弯矩为7AAB11/21/2C(1)求C

截面的挠度在C点加一向下的单位力，任一x

截面的弯矩为xqBCll/2ql/2ql/28ql/2AAB11/l1/lx(2)求A截面的转角在A截面加一单位力偶引起的x截面的弯矩为qCll/2（顺时针）ql/29B例题6图示外伸梁，其抗弯刚度为EI.用单位载荷法求C点的挠度和转角.ACqF=qaa2a10BAABCa2a1解：xAB:（1）求截面的挠度（在c

处加一单位力“1”）CqF=qaa2aRAx1/211BC:BAABCa2aCqF=qaa2aRA1/2xx112BABC:AB:(2)求C

截面的转角(在c

处加一单位力偶）1xxABCa2axCqF=qaa2aRAx1/2（）13例题7刚架的自由端A作用集中力F.刚架各段的抗弯刚度已于图中标出.不计剪力和轴力对位移的影响.计算A点的垂直位移及B截面的转角.aABCFlEI1EI214解：(1)计算A点的垂直位移，在A点加垂直向下的单位力AB:BC:aABCFlEI1EI2xxABC1lEI1EI2xxa15(2)计算B截面的转角，在B上加一个单位力偶矩AB:BC:ABCFlEI1EI2xxaABClEI1EI2xxa（）116例题9图示为一水平面内的曲杆，B

处为一刚性节点,

ABC=90°在C

处承受竖直力F，设两杆的抗弯刚度和抗扭刚度分别是

EI

和GIp，求C

点竖向的位移.ABCFab17xx解：在C点加竖向单位力BC:ABCFabABC1abxxAB:18xxABCFabABC1abxx19例题10由三杆组成的刚架，B，C为刚性节点，三杆的抗弯刚度都是EI，试用单位载荷法求A1，A2两点的相对位移.A1A2BCllFF20x解：在A1，A2处加一对水平单位力.B，C

两支座的反力均为零.A1B：BC：CA2：xxA1A2BCllFFxxxA1A2BCll1121例题11刚架受力如图，求A截面的垂直位移，水平位移及转角.ABCllq22AB：BC：解：求A点铅垂位移（在A点加竖向单位力）xxxxABCllqABCllq123xx求A点的转角（在A点加一单位力偶）AB：BC：xxABCllqABCllq1（）24例题12图示为一简单桁架，其各杆的EI相等.在图示荷载作用下，A，C两节点间的相对位移.FaaFABCDE132456789a25FaaABCDE132456789aFaaFABCDE132456789a桁架求位移的单位荷载法为112612345678杆件编号90-F-F-FF-2F010000aaaaaaa02Fa0000A，C两点间的距离缩短.27例题13计算图（a）所示开口圆环在F力作用下切口的张开量ΔAB.EI=常数.BAORFF(a)28BARPF(b)BARP1(c)解：OO29

第十三章能量法

(EnergyMethods)§13-1

概述（Introduction)§13-2

杆件变形能的计算(Calculationofstrainenergyforvarioustypesofloading)§13-3

互等定理（Reciprocal

theorems)§13-4

单位荷载法

莫尔定理

(Unit-loadmethod&mohr’stheorem)§13-5

卡氏定理(Castigliano’sTheorem)§13-6

计算莫尔积分的图乘法

(Themethodofmomentareasformohr’sintegration)30

2

1

3设弹性结构在支座的约束下无任何刚性位移.作用有外力：F1，F2，，Fi，

相应的位移为：

1，

2，

，

i

，

§13-5卡氏定理(Castigliano’sTheorem)F1F2F3结构的变形能31只给Fi一个增量

Fi.引起所有力的作用点沿力方向的位移增量为

2

1

3F1F2F3在作用

Fi的过程中，

Fi完成的功为原有的所有力完成的功为结构应变能的增量为32如果把原来的力看作第一组力，而把

Fi

看作第二组力.根椐互等定理略去高阶微量或者当

Fi

趋于零时，上式为这就是卡氏第二定理(Castigliano’sSecondTheorem)（卡氏定理）

(Castigliano’sTheorem)33(1)卡氏第二定理只适用于线性弹性体(Applyingonlytolinearlyelasticbodies).说明

(Directions)

(2)Fi

为广义力（generalizedforce)

i

为相应的位移(displacementcorrespondingtoforceFi).一个力一个力偶一对力一对力偶一个线位移一个角位移相对线位移相对角位移34卡氏第二定理的应用(Applicationofcastigliano’ssecondtheorem)

轴向拉、压(Axialtensionandcompression)

扭转(Torsion)

弯曲

(Bending)35

平面桁架

(Planetruss)

组合变形(Combineddeformation)36

例题14外伸梁受力如图所示，已知弹性模量EI.梁材料为线弹性体.求梁C截面的挠度和A截面的转角.FABCMelaRA37AB：BC：ABClaRAFx1x2解：Me38ABClaRAFx1x2Me（）39例题15刚架结构如图所示.弹性模量EI已知。材料为线弹性.不考虑轴力和剪力的影响，计算C截面的转角和D截面的水平位移.ABCDaa2aMe解:在C截面虚设一力偶

Mc

,

在D截面虚设一水平力F.FRDFRAxFRAyMcF40CD:CB:AB:xxABCDaa2aMexFRDFRAxFRAy412axxABCDaaMeFRDFRAxFRAy（）McF42例题16圆截面杆ABC，（

ABC=90°）位于水平平面内，已知杆截面直径d

及材料的弹性常数E,G.求C

截面处的铅垂位移.不计剪力的影响.ABCllq43BC：弯曲变形ABlQMBxABCllqFxxAB：弯曲与扭转的组合变形（扭转变形）（弯曲变形）4445例题17图示刚架各段的抗弯刚度均为EI.不计轴力和剪力的影响.用卡氏第二定理求截面D

的水平位移

D

和转角

D

.MeF1xFFABCDll2l解：在点虚设一力偶矩MeCD：弯曲变形46但是轴力不计，因此横截面上的内力只计弯矩.FF1ABCF2FlM