2021届 人教a版集合 单元测试 (一)

集合

评卷人得分

1.设u为全集，5,s?是U的两个非空子集，且SUS2=U,则下面论断必定正确的

是()

A.s,ns2=0B.S,c(^S2)

C.(枫)c(应)=0D.(桐)。(应)=。

【答案】C

【解析】

【分析】

根据公式期(ADB)=(uA)c(多可，即可推出正确的结论.

【详解】

因为U为全集，S「S2是U的两个非空子集，且gUS2=U,

所以药(gDS2)=a，u=0,

因为郴1ca2=%(5DS?”。，

所以(喇耳)c(05)=0，故选C.

【点睛】

本题主要考查集合交集、并集、补集的混合运算，属于中档题.

2.已知全集为R,集合A={x[x<-2或r>3},8={-2,0,2,4},则3加5=

()

A.{-2,0,2}B.{-2,2,4}C.{-2,0,3}D.{(),2,4}

【答案】A

【解析】

集合A={xk<—2或x>3},5={-2,0,2,4),

CRA={-M-2KxW3},[CR4)c8={-

故选A.

3.已知A={x|y=log2(3x-1)},8={y，+y2=4},则4nB=()

A.(0,3)B.[-2,§)C.(§,2]D.(—,2)

【答案】C

【解析】

由题意得：A=1x|x>|j,S={y|-2<y<2},

.•.(CMc3=W《}c{y|-2WyM2}=-2,1

故选A

4.设全集是R,集合A=]x|吉>0，，B={x|y=j4_%2},则Ap|金3=()

A.[-2,1]B.(2,M)C.(1,2]D.(-oo,-2)

【答案】B

【解析】

【分析】

化简集合A8,按补集和交集定义，即可求解.

【详解】

A={x|白>o}=(l,+oo),3={x|y=J4_f}=[_2,2]，

CRB=(-OO,-2)U(2,+OO),4口金8=(2,+00).

故选:B.

【点睛】

本题考查函数的定义域、集合间的运算，属于基础题.

5.设集合4={2,5},则集合4的子集个数是

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【解析】

试题分析：由于集合人={2,5},根据子集的概念，空集是任何集合的子集，那么其子集

为，。，{2},{5},{2,5}共4个，选D.

考点：本试题主要考查了集合的子集的求解。

点评:解决该试题的关键是理解子集的概念,对于一个非空集合而言，如果有n个元素，

其子集个数为2n个，真子集为21M个.

6.设集合U={123,4,5},若集合4={1,4,5},集合B=[1,2,3,4},贝！|(CM)CB=()

A.[1,2,3}B.{2,4}C.[2,3}D.{2,3,4}

【答案】C

【解析】

【分析】

首先根据集合补集的概念，求得C〃l={2,3},再根据交集中元素的特征，求得(Q4)n

B={2,3}.

【详解】

根据题意，可知GM={2,3},所以(C/)nB={2,3},

故选C.

【点睛】

该题考查的是有关集合的运算，属于简单题目.

7.已知集合4={》|/一3%-440},8={x忖0},则AD3=

A.[-l,O)U(O,+a))B.[—1,0)50,4]

C.(-oo,-UU(0,+oo)D.(-«,-1]0(0,4]

【答案】B

【解析】

易知A={X|X2-3X-4«0}={X|-14XW4},B={刈动。}={x|xn0},故

ACB=[-1,0)口(0,4].故选8

8.设集合A={—1,0,1,2,3},5={X|X2-2X>0},则AflB=()

A.{2,3}B.(2,3)C.{-1,3}D.(-1,3)

【答案】C

【解析】

试题分析：3=2x>0}={x|x<0处>2}.•.An6={-1,3}

考点：集合运算

9.若集合A={x|142，"8},B={x|log2(x2_x)>l},则4口3=()

A.(2,3]B.(fO)U(O,2]

c.[2,3]D.(F,-1)U[O,3]

【答案】A

【解析】

试题分析：因为

A=卜11W2"8}=[0,3],8=1|log?(V_*>1}=卜|/_%>2}=(-oo,-l)U(2,+oo)

,所以Ar)8=(2,3],选A.

考点：集合运算

【方法点睛】

1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确

集合类型，是数集、点集还是其他的集合.

2.求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解.

3.在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化.一般地，集

合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点

值的取舍.

10.设全集为R,集合A={x|0<x<2},fi={x|x>l},则An(\8)=

A.1x|0<x<B.{x[0<x<l}C.{x[14x<2}D.{x[0<x<2}

【答案】B

【解析】

分析：由题意首先求得然后进行交集运算即可求得最终结果.

详解：由题意可得：CR3={X|X<1},

结合交集的定义可得：Ac(C*)={0<%<1}.

本题选择8选项.

点睛：本题主要考查交集的运算法则，补集的运算法则等知识，意在考查学生的转化能

力和计算求解能力.

11.设全集U={1,3,5,7},集合A={1,5},则C°A的子集的个数是()

A.4B.3C.2D.1

【答案】A

【解析】

C〃A={3,7},故子集有4个.

点睛：集合的三要素是：确定性、互异性和无序性.研究一个集合，我们首先要看清楚

它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步.第二步

常常是解一元二次不等式，我们首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集.在解

分式不等式的过程中，要注意分母不能为零.子集的个数是2"个，真子集的个数是2"，

12.设集合U=R,集合4=卜,2一1>。},5={X|O<X<2},则集合(+A)nB=

()

A.(-1,1)B.[-L1]C.(0,1]D.[-1,2]

【答案】C

【解析】

【分析】

解不等式得A,求得q,A,进而可求(电A)c8

【详解】

因为集合A={x,_1>o}={X卜〈—1或x〉1},

所以0，A={H-14X<1},

所以A)CB={H0<X41}.

故选C.

【点睛】

本小题考查集合的基本运算，全集、补集、交集等基础知识：考查运算求解能力.

评卷人得分

二、填空题

13.下列命题：

①命题"HreR,%2+*+1=（），，的否定是，，玉€&%2+x+l声0”;

②若A={x|x>0},3={x|x4—l},则ADCRB=A；

③函数/(x)=sin+协(g>0)是偶函数的充要条件是(p=k*&kwz.；

④若非零向量3B满足汗==2万，则；1=1,

其中正确命题的序号有

【答案】②③

【解析】

分析：对于①，利用特称命题的否定判断.对于②，利用集合的运算判断.对于③，利用

正弦函数的图像和性质分析.对于④，利用共线向量的关系分析.

详解:对于①，命题“mceR，d+x+i=。”的否定是“VxeR,+

所以是错误的.

对于②，。*=卜旧一1},所以4口。*=人，所以是正确的.

对于③，函数/(x)=sin(5+0)3>O)是偶函数的充要条件是

冗

(p=k7r+—,kez,是正确的.

2

对于④，非零向量J,坂满足&=九瓦5=/1第则丸=±1,所以是错误的.

故正确命题的序号是②③.

故填②③.

点睛：本题主要考查特称命题的否定、集合的运算、三角函数的图像和性质、共

线向量等基础知识，属于基础题.

X

14.设集合A={x|x>l},B={x\--<0},则AC8=______

x-3

【答案】(1,3)

【解析】

【分析】

化简集合B,根据交集的定义写出ACB.

【详解】

JQ

集合A二B={x\----<0}(x-3)<0)={x|0<x<3},

x-3

：.则An8={x|lVxV3}.

故答案为(1,3).

【点睛】

本题考查交集的求法,考查交集定义、分式不等式求解等基础知识，考查运算求解能力，

是基础题.

15.设非空集合5=卜帆W》乏/}满足：当xeS时，有feS,给出如下四个命题：

①若机=1,则S={1}；②若m=一!，则③若/=1，则—也WmWO；

32422

④若/=1,则一iW/nVO或/”=1；

其中正确命题的序号为

【答案】①②③④

【解析】

【分析】

由题分析：若xeS则*24k区/,对每个选项列不等式组分析.

【详解】

非空集合5={%|加W1・4满足：当xwS时，有VeS，

若/>1,则『史s，所以/W1,

若7?2<-1,则“>|网>1,/£S，所以1,

所以—IWmW/Wl,

且当xeS时，有一1Wl,x2<k|W/Wl,

非空集合5=[4〃式》忘4满足：当xeS时，有/GS，

①若机=1,根据一lW/nW/Wl,贝"=1,所以5={1}；

②若机=—工，m2=-e5,则

244

m<—

2

I1F)

③若/=±,/M2<-,解得：—在WmWO；

2,22

m2>m

m<\

④若/=1,—/4I,解得：一14m40或6=1;

m>tn

故答案为：①②③④

【点睛】

此题考查集合中元素特征的辨析，其中涉及解不等式及相关知识辨析.

16.已知集合人={幻》21},8={x|xNa},若A=则实数”的取值范围是

【答案】(-00,1]

【解析】

【分析】

根据子集的定义和不等式的性质，即可求得答案.

【详解】

集合A={x|xNl},3={x|xNa},A=8,

a<\.

：.实数。的取值范围是」］.

故答案为

【点睛】

本题考查了根据集合的包含关系求解参数,在集合运算比较复杂时,可以使用数轴来辅

助分析问题.

评卷人得分

三、解答题

17.已知集合4={x|log5（ac+l）<l}（a工0）,B=|x|2x2—3%-2<o1.

(1)求集合8；

(2)求证：A=B的充要条件为a=2：

(3)若命题p:xeA,命题且〃是q的充分不必要条件，求实数。的取值范

围.

【答案】(1)B=(--,2)(2)证明见解析(3)。〉2,或。4一8

2

【解析】

试题分析：(1)解一元二次不等式得所求集合B=(-g,2)(2)先证充分性当a=2时，

A={x|log5(2x+l)<l}={x|0<2x+l<5}=(—g,2),所以当a=2时A=8.再证必

要性，分a<0,a>0,(3)p=q=AuB,当。>0时，a>2,当a<0时，

4141

—>———N——

41

A=<x一<x<——则j2或.a=>«<-8,故实数。的取值范围是

aa--<2--<2

.aa

a>2,或aW—8

试题解析：解：(1)2X2-3X-2<0,(2X+1)(X-2)<0,所以—g<x<2,

所以B=(-；,2)

(2)证明：充分性:当a=2时，A={x|log5(2x+l)<l}={x|0<2x+l<5}=(-p2),

所以当a=2时A=8.

必要性：A=|x|log5(a¥+l)<1}={x|0<ar+1<5}=1x|-l<ax<^

[4]—o

当。>0时4=〈》--<x<-\,又A=B,a/=a=2,

aa4.

i)—=2

a

」=2L—l

41

当〃<0时，A=<x—<x<——a=><2，无解，Aw3,

aa41

—=——a=-6o

、a2

故A=5时，。=2.

所以，A=8的充要条件为。=2

(3)p=q=AuB

由(2)知

14

当a〉0时，A=<x——<x<—>,则

aa

—>——

/2或a2解得a>2

-<2-<2

a

4141

—>———>——

当a<0时,则<a.2或.a2=>a<-8

—K2--<2

综上p是4的充分不必要条件，实数a的取值范围是a>2,或aW-8.

考点：集合的运算以及充分必要条件.

18.已知全集为R,函数/(x)=lg(l-x)的定义域为集合A,集合

3={x|x(x—l)>6}.

(1)求AUB；

(2)若。={%|加一1<X<〃2+1},C求实数，"的取值范围.

【答案】(1)AUB={x[x<l如>3}(2)[-1,0]

【解析】

【分析】

(1)解不等式得到集合A,B,利用并集定义求解4U8；

(2)先求解08,再求解An(OB),利用C=(AI(伞8)),列出不等关系，求解即可.

【详解】

(1)由i-x>0得，函数“力=怆(1一力的定义域4={泪兀<1},

x2-x-6>0.(x-3)(x+2)>0,得3={x|x>3或r<-2},

/.AU6={x[jc<l^tx>3}.

(2)={x|-2<x<3},二AI&3)={X|-24X<1},

、m—lN—2

Cc{(x|-2<x<l},则<=>-1<m<0,

故实数机的取值范围为

【点睛】

本题考查了集合运算综合，考查了学生综合分析，数学运算能力，属于中档题.

19.已知全集内凡集合Z={M*-11A+18<0},氏{424烂5}.

(1)求ZD5；BL)(【必)；

(2)已知集合G={M*延a+2},若SC“B=C,求实数a的取值范围.

【答案】(1){M2<止5};{必后5或栏9}(2)(-8,-4)U(5,+<»)

【解析】

【分析】

(1)化简集合A,根据补集与并集和交集的定义计算即可：(2)根据题意，利用集合

的定义与运算性质，列不等式组求出a的取值范围.

【详解】

(1)集合力={必*-11*+18<0}={必2Vx<9},

全集8A,贝比必=0后2或49}；

又氏{M-2s烂5},则力C632〈烂5}；

••.5U([〃/)={M三5或应9}；

(2)集合会{MW在a+2},B—[^-2<x<S},

则：[〃而{M*<-2或x>5},

••,cn[uB=c,

二皿血

二需满足：a+2<-2或a>5,

解得：a<-4或a>5,

所以实数a的取值范围是(-00,-4)U(5,+00).

【点睛】

本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题.

20.设集合A={x]-1<x+1<6},B-{x\m—\<x<2m+1}.

(D当xeZ时，求4的非空真子集的个数；

(2)若求机的取值范围.

【答案】(1)254；(2){川—1W—K2或犯，—2}.

【解析】

【分析】

对于(1)，根据x的取值范围，可确定集合A中所含元素，根据其元素的个数可判断出

其子集的个数，若集合含有〃个元素时，则有2〃的子集，当〃>1时，其非空真子集的

个数为2"-2,即可得到答案;

对于(2),由于空集是任何非空集合的子集，故对于3集合是否为空集需分情况讨论：

①集合8为空集，即加一122〃?+1；②集合B为非空集合，即加一1<2相+1.

【详解】

由题意得A={x|-2<x<5}.

(1)VXGZ,AA={-2,-1,0,1,2,3,4,5},即A中含有8个元素，

，A的非空真子集的个数为28-2=254.

(2)①当加一122/77+1,即机<一2时，B=0=A；

②当相一1<2〃?+1,即桃〉一2时，B^{x\m-\<x<2m+\],

因此，要使8=A,

则\=>一掇物2.

2/〃+L,5

综上所述，m的取值范围{机|-1<加〈2或〃，一2}.

【点睛】

本题主要考查的是非空子集和真子集的定义，集合的包含关系及应用，考查不等式的解

法，考查学生的计算能力，考查的核心素养是数学运算、逻辑推理，误区警示：(1)确

定方程的解的集合或不等式的解集之间的关系时，当其含有参数时，注意要分类讨论，

不讨论易导致误判.(2)月£氏3。0)包含三种可能，①A为0；②A不为必0,

且AB；③A不为0,且A=B.只写其中一种是不全面的，如果A,B是确定的，

就只有一种可能，此时只能写出一种形式.是基础题.

21.已知集合4={%|号>0},B—{x\x2—2x—a2—2a<0]

(1)当a=4时，求AnB；

(2)若力£B,求实数a的取值范围.

【答案】(1)(1,6)；(2)U[5,+00).

【解析】

试题分析：(1)本题就是解简单分式不等式及一元二次不等式S={%[1<x<7},当。=

4时，B=[x\x2-2x-24<0}={x|-4<x<6},.•.力CB=(1,6).(2)根据集合B

的解集情况，讨论满足4UB的实数a的取值范围.因为B={x[(x+a)(x-a-2)<0},

所以①当a=—1时，F=0,AQB不成立；②当a+2>—a,即a>—1时，B=(-a,a+

2),•••AQB,，解得a>5;③当a+2<-a,即a<一1时，B=(a+2,-a),

IQ+2N7

・•・AUB".2Ml解得。3―7;综上，当A£B,实数a的取值范围是(一8,—7]U

[5,+8).

法一：

解：(1)4={%|1<%<7},——2分

当a=4时，B={x\x2—2%—24<0}={%|-4<%<6},-----4分

：.AQB=(1,6).——6分

(2)B={x|(x+a)(x—a—2)<0},------7分

①当Q=-1时，8=0,・♦・AGB不成立；——9分

②当Q+2>—Q,即Q>—1■时，B=(-Cl,CL+2),

•••AQB,{a；12Ml7，解得&-5；--11分

③当Q+2V—a,即a<—1时，B=(a+2,—a),

a

•••AQB,.­,f+2JJ解得。<_7;——13分

l-a>7

综上，当AUB,实数a的取值范围是(一8,-7]U[5,+8).——14分(缺等号扣2分)

法二：

解：（1）4=｛x|l<x<7）,——2分

当a=4时，B=｛x|x2—2%-24<0｝=｛x|-4<x<6｝,---4分

.'.AC\B=（1,6）.---6分

（2）记/（%）=X2—2x—a2—2a

"AQB：.f（7）<0即:72-2x7-a2-2a<0——10分

整理得：a2+2a-35>0解得a>5^a<-7

二实数a的取值范围是（—8,-7]U[5,+«>）.--14分（缺等号扣2分）

考点：解不等式

22.对于正整数集合4=｛6，4,…,a“｝（〃eN*,〃N3）,如果任意去掉其中一个元素

a,（i=1,2,…,之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，

且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A为“可分集合”.

（1）判断集合｛1,2,3,4,5｝和｛1,3,5,7,9,11,13｝是否是“可分集合”（不必写过程）；

（2）求证：五个元素的集合人=｛4，%,生,。4M5｝一定不是“可分集合”；

⑶若集合4=｛4，的，…,凡｝（〃€川,〃23）是“可分集合”.

①证明：”为奇数；

②求集合A中元素个数的最小值.

【答案】⑴集合｛1,2,3,4,5｝不是“可分集合”，集合｛1,3,5,7,9,11,13｝是“可分集

合”；（2）见解析；（3）①见解析；②最小值是7

【解析】

【分析】

（1）根据定义直接判断即可得到结论；

（2）不妨设4<4<4<4，若去掉的元素为％，则有q+%=%+4①，或

者%=4+。3+。4②；若去掉的元素为生，则有。2+。5=“3+。4③，或者

%=4+4+4④，求解四个式子可得出矛盾，从而证明结论；

（3）①设集合人=｛4，%,所有元素之和为M,由题可知，

M-q（i=l,2,…均为偶数，因此0