2021年高中数学第2章推理与证明 学案新人教A版选修1-2

2.1合情推理与演绎推理

2.1.1合情推理

学习目标核心素养

1.了解合情推理的含义.（易混点）

1.通过学习归纳推理和类比推理，培养数

2.理解归纳推理和类比推理的含义，并能利

学逻辑推理的素养.

用归纳和类比推理进行简单的推理.（重点、

2.借助合情推理，培养抽象概括的素养.

难点）

迷西包生生？自主预习。探新知顼旦素养图史

匚新理眼二

1.归纳推理与类比推理

归纳推理类比推理

由某类事物的部分对象具有某些特征，推出由两类对象具有某些类似特征和

该类事物的全部对象都具有这些特征的推其中一类对象的某些已知特征，

定义

理,或者由个别事实概括出一般结论的推理，推出另一类对象也具有这些特征

称为归纳推理（简称归纳）的推理称为类比推理（简称类比）

归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的

特征类比推理是由特殊到特殊的推理

推理

思考：归纳推理和类比推理的结论一定正确吗？

［提示I归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然

性的，而是或然性的，结论不一定正确.类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征，推测

正在被斫究中的事物的特征，所以类比推理的结果具有猜测性，不一定可靠.

2.合情推理

从具

问

归纳推理体经过观察、分析、比较、联想

----------------提出

出

题再进行归纳、奥七|猜想|

类比推理发

m试身

i.鲁班发明锯子的思维过程为：带齿的草叶能割破行人的腿，“锯子”能“锯”开木

材，它们在功能上是类似的.因此，它们在形状上也应该类似，“锯子”应该是齿形的.该

过程体现了（）

A.归纳推理B.类比推理

C.没有推理D.以上说法都不对

B［推理是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程，上述过程是

推理，由性质类比可知是类比推理.]

2.已知扇形的弧长为/,半径为r,类比三角形的面积公式5=”广，可推知扇形的

面积SB=()

,2/27»-

A.yB.]C.yD.不可类比

C[结合类比推理可知S产与」

3.如图所示，由若干个点组成形如三角形的图形,每条边(包括两个端点)有

个点，每个图形总的点数记为斯，则％=，an=(能>1,N").

O

ooo

oooo0

OoooOOO

oooooOOOOOOOOO

71=2n=3n=4n=5

153”-3[依据图形特点，可知第5个图形中三南形各边上各有6个点，因此恁=

3X6—3=15.由w=2,3,4,5,6的图形特点归纳得斯=3〃-3(〃>1,nSN*).]

暴辩网题解惑合作探究。释疑难至杜木旅受圆…

RBI数、式中的归纳推理

【例1】(1)观察下列等式:

产=1,

12-22=-3,

12-22+32=6,

12-22+32-42=-10,

照此规律，第"个等式可为.

Y

(2)已知：>U)=H，设力(x)=/(x),4x)=/；_(/；Li(x))(〃>l,且”WN*),则力(x)的表达

式为，猜想力(x)(〃GN*)的表达式为.

(3)已知数列｛斯｝的前〃项和为S”0=3,满足S”=6-2a“+i(〃GN*).

①求。2，43,。4的值；

②猜想知的表达式.

(1)12—22+32—42+,•,+(—1),,+'n2=(—1)"i"。[।)

VV

=2=

(2.(x)=]_41.fM\—2"iv[(1)11，

l2-22=-(l+2),

l2-22+32=l+2+3,

12-22+32-42=-(1+2+3+4),

12-22+32-42+•••+(-l),,+ln2

=(一1严(1+2+…+〃)

=(一1严七〜

X

⑵・・・段)=厂:

・77ia)=e^・

又・・/。)=/；1仿-1。))，

x

1-XX

・・•拉(x)=力(/iW)=-=-j7Z

x

1—2%

方a）=^sa））=

__x_1一4£

1-2X

\~2x

x

1-4xx

力。）=力仍（九））=

xl—8x'

1-4X

1—4x

x

1—8xx

/5U)=/W))=

.rl-16x,

1-8X

l-8x

x

根据前几项可以猜想f„(x)=^~

rvl

(3)解:①因为0=3,且S.=6-2a”+i(〃WN*),

所以5i=6—2a2=ai=3,解得。2=彳，

3

-

又§2=6—2〃3=。1+〃2=3+,，解得3=4

又§3=6—2。4=。1+。2+。3=3+1+不

3

解得«4=0.

o

4工〜-33333

②由①知0=3=即，。2=]=初，。3=^=了,

333

〃4=W=手，",猜想a"=^r(〃GN").

厂.......规WcT5法..........................

进行数、式中的归纳推理的一般规律

(1)已知等式或不等式进行归纳推理的方法,①要特别注意所给几个等式(或不等式)中

项数和次数等方面的变化规律；

②要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形式的特征；

③提炼出等式(或不等式)的综合特点；

④运用归纳推理得出一般结论.

(2)数列中的归纳推理，在数列问题中，常常用到归纳推理猜测数列的通项公式或前n

项和公式.

①通过已知条件求出数列的前几项或前〃项和；

②根据数列中的前几项或前〃项和与对应序号之间的关系求解；

③运用归纳推理写出数列的通项公式或前〃项和公式.

I)

［跟进训练］

1.(1)数歹U5,9,17,33,x,…中的x等于.

(2)已知下列各式：

1>1.

1+2+3+4+5+6+7>2'

1+：+；-!---F太>2,

请你归纳出一般性结论：.

(1)65(2)l+|+|d----［⑴因为4+1=5,8+1=9,16+1=17,32+1=33,

猜测x=64+l=65.

(2)观察不等式左边，各项分母从1开始依次增加1,且终止项为2"-1,不等式右边依

次为3，…，从而归纳得出一般结论：1+；+"卜,J］〉?」

RM2几何图形中的归纳推理

［例2］(1)黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案，则第n

个图案中有黑色地面砖的块数是.

第一个图案第二个图案

(2)根据图中线段的排列规则，试猜想第8个图形中线段的条数为

(l)5n+l(2)509[(1)观察图案知，从第一个图案起，每个图案中黑色地面砖的个数

组成首项为6,公差为5的等差数列，从而第"个图案中黑色地面砖的个数为6+(〃-1)X5

=5/?+1.

(2)图形①到④中线段的条数分别为1,5,13,29,因为1=22-3,5=23—3,13=2’-3,29=

25-3,因此可猜想第8个图形中线段的条数应为29—3=509.]

利用归纳推理解决几何问题的两个策略

(1)通项公式法：数清所给图形中研究对象的个数，列成数列，观察所得数列的前几项,

探讨其变化规律，归纳猜想通项公式.

(2)递推公式法：探究后一个图形与前一个图形中研究对象的个数之间的关系，把各图

形中研究对象的个数看成数列，列出递推公式，再求通项公式.

[跟进训练J

2.如图所示，由火柴棒拼成的一列图形中，第八个图形中由八个正方形组成:

通过观察可以发现：第5个图形中，火柴棒有根；第〃个图形中，火柴棒有

________根.

163〃+1[数一数可知各图形中火柴的根数依次为：4,7,10/3,…，可见后一个图形

比前一个图形多3根火柴，它们构成等差数列，故第5个图形中有火柴棒16根，第"个图

形中有火柴棒(3〃+1)根.]

类比推理及其应用

三角形与四面体有下列相似性质:

(1)三角形是平面内由直线段围成的最简单的封闭图形；四面体是空间中由三角形围成

的最简单的封闭图形.

(2)三角形可以看作是由一条线段所在直线外一点与这条线段的两个端点的连线所围成

的图形；四面体可以看作是由三角形所在平面外一点与这个三角形三个顶点的连线所围成的

图形.

通过类比推理，根据三角形的性质推测空间四面体的性质，完成下列探究点：

［探究问题］

1.在三角形中，任意两边之和大于第三边，那么，在四面体中，各个面的面积之间有

什么关系？

提示：四面体中的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积.

2.三角形的面积等于底边与高乘积的;，那么在四面体中，如何表示四面体的体积？

提示：四面体的体积等于底面积与高的乘积的;.

【例3】(1)在等差数列｛斯｝中，对任意的正整数〃，有"'+'"+；；♦；+—=如•类

比这一性质，在正项等比数列｛儿｝中，有.

(2)在平面几何里有射影定理：设△ABC的两边ABA.AC,。是4点在8c上的射影，

则A82=BZ>BC.拓展到空间，在四面体A—BCD中，D4_L平面ABC,点。是A在平面BCD

内的射影，类比平面三角形射影定理，写出△ABC、△BOC、△8OC三者面积之间的关系，

并给予必要证明.

思路探究：(1)类比等差数列及等比数列的性质求解.

(2)将直角三角形的一条直角边长类比到有一侧棱AO与一侧面ABC垂直的四棱锥的侧

面ABC的面积，将此直角边A8在斜边上的射影及斜边的长，类比到AABC在底面的射影

△08C及底面△BCD的面积可得%ABC=S&OBCSdDBC.

［解］⑴由〃］+42H------卜—类比成也•历也・・・aT,除以2〃一1,即商类比成开2〃一

2>7—1____________________

=

1次方，即在正项等比数列｛/?〃｝中，有^bvbybyb2n-\bn.

(2)AABC.△BOC、ABDC三者面积之间关系为SiABc=

S^OBC-SADBC.

证明如下：如图，设直线0Q与3c相交于点E,

•・・AO_L平面ABE,

：.AD±AEfADLBC,

又・.・AO_L平面BCD,

：.AO.LDE,AO.LBC.

u

\ADQAO=Af

，8。_1平面4。，

J.BC1AE,BCA.DE.

SAABC=]BC,AE,

SA80C=］BCOE,SABCD=：BCDE.

在Rt/^ADE中，由射影定理知AE2=OE-DE,：.8ABC=S&BOCSABCD.

［母题探究］

1.(变条件)把本例(2)中的射影定理的表示换为"a=/>・cosC+c-cosB,其中a,b,c

分别为角A,B,C的对边”.类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想.

［解］如图所示，在四面体P-ABC中，S,S2,S3,S分别表示p

△PBC,△PCA,AMC的面积，a,£,y依次表示平面PAB,平面PBC,

平面PCA与底面A8C所成二面角的大小.

B

我们猜想射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为s=

Si-cos«+S2-cos/i+Sycosy.

2.(变条件)把本例(2)条件换为“在RtZVIBC中，ABLAC,ADL8C于点。，有方=

志+志成立”.那么在四面体A—BCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说

明猜想是否正确及理由.

［解］猜想：类比ABA.AC,ADLBC,可以猜想四面体A-BCD

IlliA

中，AB,AC,A。两两垂直，AEJ_平面8CD则定=病+苑+彷.

下面证明上述猜想成立B\?

如图所示，连接8E,并延长交CD于点E连接AE

C

VAB1AC,AB1AD,ACnAD=Af

・・・A8_L平面ACD

而AFU平面ACD,:.AB±AF.

在RtZXAB/中，AE1BF,

•_L_L._L

^AE2~=AB2^~AF2-

在RtZ\AC。中，AFLCD,

"'AF2~AC2^AD2-

‘探=志+力+力，故猜想正确，

厂........规律c方法..........................

类比推理的一般步骤

.)

课受知识港•实课堂小结。提素养双底盲虔担峻

匚逢备素养三］

1.合情推理主要包括归纳推理和类比推理.

2.合情推理的过程概括为：

从具体问题出发一观察、分析、比较、联想一

归纳、类比一提出猜想

匚学以致用」

1.判断正误

(1)利用合情推理得出的结论都是正确的.()

(2)类比推理得到的结论可以作为定理应用.()

(3)由个别到一般的推理为归纳推理.()

|答案I(1)X⑵X(3)7

2.把3,6,10,15,21,…这些数叫作三角形数，如图所示,则第六个三角形数是()

△

361015

A.27B.28

C.29D.30

B「第一个三角形数是1+2=3,

第二个三角形数是1+2+3=6,

第三个三角形数是1+2+3+4=10.

因此，归纳推理得第〃个三角形点数是1+2+3+4+…+〃+1=。*中+2）（个）.由

此可以得出第六个三角形点数是28.］

3.等差数列｛斯｝中有2斯=斯T+斯+】（〃》2,且“GN"）,类比以上结论，在等比数列｛与｝

中类似的结论是.

忌="।儿+i（"22,旦"GN*）［类比等差数列，可以类比出结论成=仇-仍“+1（〃》2,

且"6N*）］

4.在RtZXABC中，若NC=90。，则COS24+COS2B=1,在空间中，给出四面体性质的

猜想.

［解］如图，在RlZXABC中，

于是把结论类比到四面体「一A'B'C'中，我们猜想，三棱锥「一A'8'C'中，若三个侧面

PA'B',PB'C,PC4两两互相垂直，且分别与底面所成的角为a,尸，人则cos2«+cos2/?+cos2y

=1.

2.1.2演绎推理

学习目标核心素养

1.理解演绎推理的含义.（重点）1.通过学习演绎推理，提升逻辑推理的

2.掌握演绎推理的模式，会利用三段论进行素养.

简单的推理.（重点、易混点）2.借助三段论，提升数学运算素养.

课前自主学习自主预习。探新知预习素养感知

「7新知初探m

1.演绎推理

（1）含义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论,我们把这种推理称为演

绎推理.

（2）特点：演绎推理是由一般到特殊的推理.

2.三段论

一般模式常用格式

大前提已知的一般原理M是P

小前提所研究的特殊情况S是M

结论根据一般原理，对特殊情况做出的判断S是P

思考：如何「分清大前提、小前提和结论？

[提示]在演绎推理中，大前提描述的是一般原理，小前提描述的是大前提里的特殊情

况，结论是根据一般原理对特殊情况作出的判断，这与平时我们解答问题中的思考是一样的，

即先指出一般情况，从中取出一个特例，特例也具有一般意义.例如，平行四边形对角线互

相平分，这是一般情况；矩形是平行四边形，这是特例；矩形对角线互相平分，这是特例具

有一般意义.

E初试身亲「

1.“四边形ABC。是矩形，所以四边形A8C。的对角线相等”，补充该推理的大前提

是()

A.正方形的对角线相等

B.矩形的对角线相等

C.等腰梯形的对角线相等

D.矩形的对边平行且相等

B[得出“四边形ABC。的对角线相等”的大前提是“矩形的对角线相等”.]

2.三段论：

“①小宏在2018年的高考中考入了重点本科院校；②小宏在2018年的高考中只要正

常发挥就能考入重点本科院校；③小宏在2018年的高考中正常发挥”中，“小前提”是

(填序号).

③[在这个推理中，②是大前提，③是小前提，①是结论.]

3.下列几种推理过程是演绎推理的是.

①两条平行直线与第三条直线相交，内错角相等，如果NA和是两条平行直线的内

错角，则NA=/8；②金导电，银导电，铜导电，铁导电，所以一切金属都导电；③由圆

的性质推测球的性质；④科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇.

①[①是演绎推理；②是归纳推理；③④是类比推理.]

疑难问题解惑合作探究。释疑难学科索养形成

印《1把演绎推理写成三段论的形式

【例1】将下列演绎推理写成三段论的形式.

(1)平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分;

(2)等腰三角形的两底角相等，NA,NB是等腰三角形的底角，则/A=NB；

⑶通项公式为&=2〃+3的数列｛%｝为等差数列.

I解I(1)大前提：平行四边形的对角线互相平分，小前提：菱形是平行四边形，

结论：菱形的对角线互相平分.

(2)大前提：等腰三角形的两底角相等，

小前提：ZA,N8是等腰三角形的底角，

结论：ZA=ZB.

(3)大前提:数列｛m｝中，如果当〃22时，斯一斯-I为常数，则｛斯｝为等差数列，

小前提：通项公式为。”=2〃+3时，若〃》2,

则如一%-|=2〃+3—[2("-1)+3]=2(常数)，

结论：通项公式为a,,=2n+3的数列｛斯｝为等差数列.

1........规法..........................

把演绎推理写成“三段论”的一般方法

(1)用“三段论”写推理过程时，关键是明确大、小前提，三段论中大前提提供了一个

一般性原理，小前提提供了一种特殊情况，两个命题结合起来，揭示一般性原理与特殊情况

的内在联系.

(2)在寻找大前提时，要保证推理的正确性，可以寻找一个使结论成立的充分条件作为

大前提.

I)

[跟进训练]

1.下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是()

A.大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：无是无理数；结论：兀是无限不循环

小数

B.大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：兀是无限不循环小数；结论：兀是无

理数

C.大前提：兀是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论：兀是无

理数

D.大前提：无是无限不循环小数；小前提：兀是无理数；结论：无限不循环小数是无

理数

B[对于A,小前提与大前提之间逻辑错误，不符合演绎推理三段论形式；对于B,

符合演绎推理三段论形式且推理正确；对于C,大小前提颠倒，不符合演绎推理三段论形式；

对于D,大小前提及结论颠倒，不符合演绎推理三段论形式.]

用三段论证明几何问题

【例2】如图所示，D,E,F分别是BC,CA,AB边上的点，NBFD=NA,DE//BA,

求证：写出“三段论”形式的演绎推理.

A

E

|解|（1）同位角相等，两直线平行，（大前提）

和/A是同位角，且/BF£>=NA,（小前提）

所以。F〃AE.（结论）

（2）两组对边分别平行的四边形是平行四边形，（大前提）

DE//BAJLDF//EA,（小前提）

所以四边形AFZJE为平行四边形.（结论）

（3）平行四边形的对边相等，（大前提）

OE和AF为平行四边形的对边，（小前提）

所以OE=4F.（结论）

1.......规法...........

1.用“三段论”证明命题的格式

XX义XXX（大前提）

XXXXXX（小前提）

XXXXXX（结论）

2.用“三段论”证明命题的步骤

①理清楚证明命题的一般思路；

②找出每一个结论得出的原因；

③把每个结论的推出过程用“三段论”表示出来.

［跟进训练］

2.如图所示，在空间四边形A8C。中，E,F分别是A8,的中点.求证：EF〃平

面BCD.

［证明］三角形的中位线平行于第三边，（大前提）

点、E、尸分别是48、的中点，（小前提）

所以EF〃BD.（结论）

若平面外一条直线平行于平面内一条直线,

则这条直线与此平面平行，（大前提）

平面BCD,BDU平面BCD,EF//BD,（小前提）

EF〃平面BCD（结论）

用三段论证明代数问题

I探究问题］

1.数的大小比较常见方法有哪些？

提示：作差法、作比法、函数性质法（单调性、奇偶性等）、图象法、中间量法（常取0

或1作为媒介）等.

2.证明函数性质（单调性、奇偶性、周期性）的依据是什么？试以函数单调性给予说明.

提示：证明函数性质（单调性、奇偶性、周期性）的依据是函数性质的相关定义及有关的

知识原理.如函数单调性的证明，常依据函数单调性的定义及单调性与导数的关系给予证明.

【例3】⑴设x,y,z为正数,且2』=3>'=5=，则（）

A.2x<3y<5zB.5z<2x<3y

C.3)<5z<2xD.3y<2x<5z

（2）已知函数兀t）=^+；言（“>1）,

证明：函数yu）在（-i,+8）上为增函数.

思路探究：（1）借助于指数函数、对数函数互化及不等式大小的比较方法求解；（2）利用

函数的单调性或导数法求解.

(1)D[法一：取对数：xln2=yln3=zln5,十牛等卷,-'•2x>3y;

Ain2=zln5,贝畤=^~|<楙，；.2x<5z,

：.3y<2x<5z,故选D.

法二：令2x=3>'=5z=h

则x=log2^,y=log3%,z=log5k

.2x21gklg3恒9而…

,,3<lg2-31gJl-lg8>b12x3y,

2X_21«J_l£5__k25^.而,不找*□]

5z~lg2,5Igfc-lg32胴2r<5z,故选D.]

(2)解：法一：(定义法)任取xi,%2^(-1,+8),

且X]<X2,

X2,X2~2XIXI-2&xiX2~~2x\-2

=a+^+\~a一而="一十(而一雨

-

Xi,X2-X1_((X|+1)(X22)—(X|-2)(X2+1)

=a(aT)+S+1)(M+1)

即，X2~X\_,3(X2-Xi)

一伍一】)+(及+1)3+1)-

因为及一汨>0,且a>l,

所以尸">i,

而-

所以为+1>0,x2+l>0,

所以於2)一/1)>0,

所以y(x)在(一i,+8)上为增函数.

x-|-1-33

法二：(导数法次t)=a'+x+］=升+1一市•

3

所以f(x)=a'lna+(r+］/

因为x>-l,所以(x+l)2>0,

3

所以两产。

又因为〃>1,所以lna>0,0V>0,

所以"Ina>0.所以/(x)>0.

于是得7(x)=a，+*^在(-1,+8)上是增函数.

［母题探究］

1.(变条件)把本例(1)的条件变换如下：

"已知2"=3,2'=6,2。=12”,则a,h,c的关系是()

A.成等差数列但不成等比数列

B.成等差数列且成等比数列

C.成等比数列但不成等差数列

D.不成等比数列也不成等差数列

A［由条件可知a=Iog23,

Z>=log26,C=log212.

因为tz+c=log23+log212

=log236=21og26=26,

所以a,b,c成等差数列.

又因为«c=log231og212W(log26)2=〃，

所以a,b,c不成等比数列.故选A」

21—12'—1

2.（变条件）把本例（2）的函数换成“〉=歼7”，求证：函数），=汴■是奇函数，且在

定义域上是增函数.

（2'+1）—22

1X

［证明Iy-2.<+|-2+1,

所以大x）的定义域为R

y（—x）+y（x）=

品+等）=2-品+蜀

2(2A+1)

=2-2=0.

2r+l

即人一幻=~/（九），

所以«x）是奇函数.

任取乃，JQWR,且

则人项）一於2）=（1_谓［）_（1一言）

=/_!------!__V9新-2X2

Z_Z,

■-<2X2+12XI+M,（2X2+1）（2XI+1）

由于Xl<%2,从而2XI〈2X2,2XI—2%2<0,

所以於|）勺也），故式X）为增函数.

......规律（方法......

五类代数问题中的三段论

（1）函数类问题：比如函数的单调性、奇偶性、周期性和对称性等.

（2）导数的应用：利用导数研究函数的单调区间，求函数的极值和最值，证明与函数有

关的不等式等.

（3）三角函数问题：利用三角函数公式进行三角恒等变换，证明三角恒等式.

（4）数列问题：数列的通项公式，前〃项和公式的应用，证明等差数列和等比数列.

（5）不等式类问题：如不等式恒成立问题，线性规划以及基本不等式的应用问题.

I）

课堂知识夯实课堂小结。提素养双基盲点扫除

匚F必备素养二

1.三段论的形式:

大前提：M是P；

小前提：S是M；

结论：S是P.

2.应用三段论证明问题时，要充分挖掘题目外在和内在条件（小前提），根据需要引入

相关的适用的定理和性质（大前提），并保证每一步的推理都是正确的，严密的，才能得出正

确的结论.

F以致用K1

1.判断正误

（1）“三段论”就是演绎推理.（）

（2）演绎推理的结论是一定正确的.（）

（3）演绎推理是由特殊到一般再到特殊的推理.（）

（4）演绎推理得到结论的正确与否与大前提、小前提和推理形式有关.

（）

［答案］（1）X（2）X（3）X（4）J

2.若大前提是：任何实数的平方都大于0,小前提是：a&R,结论是：/>0,那么

这个演绎推理出错在（）

A.大前提B.小前提

C.推理过程D.没有出错

A［要分析一个演绎推理是否正确，主要观察所给的大前提、小前提和结论及推理形

式是否都正确，若这几个方面都正确，才能得到这个演绎推理正确.因为任何实数的平方都

大于0,又因为a是实数，所以/>0,其中大前提是：任何实数的平方都大于0,它是不

正确的.］

3.函数y=2x+5的图象是一条直线，用三段论表示为：

大前提：.

小前提：.

结论：.

一次函数的图象是一条直线y=2x+5是一次函数函数y=2x+5的图象是一条直

线［本题忽略了大前提和小前提.大前提为：一次函数的图象是一条直线.小前提为：函

数y=2x+5为一次函数.结论为：函数y=2x+5的图象是一条直线.］

4.用三段论证明：直角三角形两锐角之和为90。.

|证明I因为任意三角形内角之和为180。，（大前提）

而直角三角形是三角形，（小前提）

所以直角三角形内角之和为180。.（结论）

设直角三角形两个锐角分别为2月、NB,则有/4+48+90。=180。，因为等量减等量

差相等，（大前提）

（Z>1+ZB+90°）-90°=180°-90°,（小前提）

所以ZA+NB=90°.（结论）

2.2直接证明与间接证明

2.2.1综合法和分析法

学习目标核心素养

1.理解综合法、分析法的意义，掌握综合法、

通过学习综合法和分析法体现了数学逻

分析法的思维特点.（重点、易混点）

辑推理的素养，提升学生的数学运算的素

2.会用综合法、分析法解决问题.（重点、

养.

难点）

迷的省里登另自主预习。探新知理习一素先感史

二新知初探二

1.综合法

定义推证过程特点

利川。知条件和某味数学定

_I@=QI-a=Q

义、公理、定理等,经过一顺推证法

系列的推理论证,最后推导一一|。“=。|或由因导

出所要证明的结论成立，这（P表示已知条件、已有的定义、公理、果法

种证明方法叫做综合法定理等,。表示所要证明的结论）

2.分析法

定义框图表示特点

一般地，从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充

逆推证法

分条件,直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明

或执果索

显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止.这

因法

种证明方法叫做分析法

思考：综合法与分析法有什么区别？

［提示］综合法是从已知条件出发，逐步寻找的是必要条件，即由因导果：分析法是从

待求结论出发，逐步寻找的是充分条件，即执果索因.

m试身罢f

I.命题”对于任意角0,cos40—sin40=cos20"的证明：acos40—sin40=（cos20—

sin^Xcos^+sin^^cos2^—sin20=cos20'',其过程应用了（）

A.分析法

B.综合法

C.综合法、分析法综合使用

D.间接证法

B[从证明过程来看，是从已知条件入手，经过推导得出结论，符合综合法的证明思

路.]

2.要证明A>2,若用作差比较法，只要证明.

A-B>0]要证只要证4一B>0.]

2_i_122I>2

3.将下面用分析法证明七一》H的步骤补充完整：要证匕一》外，只需证+

b2^2ab,也就是证,即证,由于显然成立，因此原不等式成立.

〃2+/?2

a2+b2-2ab^0（a-b）2^0（。一/疔》。[用分析法证明一7—》"的步滕为：

2

要证—^ah成立，只需证cr+b^2abf

也就是证层十从一2。620,

即证（〃一6）22。.由于3一份22。显然成立，所以原不等式成立.]

疑难问卷解喜合作探究。释疑难学科素养形成

"型1综合法的应用

【例1】在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sinAsin8+sinBsin

C+cos28=1.求证：a,b,c成等差数列.

［证明］因为sinAsin3+sinBsinC+cos2B=1,

所以sin8(sinA+sinC)+(cos2B-1)=0,

即sinB(sinA+sinC)—2sin2B=0,

所以sin8(sinA+sinC_2sin8)=0,

由于在△ABC中，sinBWO,

因此sinA+sinC_2sin8=0,

由正弦定理可得

ac2b

)+示F=o,

于是a+c=2bf

故a,b,c成等差数列.

规律c方法

综合法的解题步骤

I)

［跟进训练］

1.设数列｛斯｝的前n项和为S〃,且(3-/n)$+2〃2a〃=m+3(〃eN*),其中m为常数，

且加W—3.

(1)求证：｛斯｝是等比数列；

(2)若数列｛斯｝的公比为4=/(胆)，数列｛与｝满足"=m，6=，b,i)("eN*,”，2),求

证：局为等差数列.

［证明］(1)由(3—ni)Sn+2〃2斯=〃2+3,

得(3—ni)Stl+1+2inan+i=/n+3,

两式相减，得(3+m)an+1=2manf

又加为常数，・•・{〃〃}为等比数列.

⑵:（3—m）Sn+2man=m+3f

/.（3—tn）a\+2tna\=m+39又mW—3,

••a\=\,**•b\=ci\=1,

由（1）,可得4=4团）=言不相£-3）,

oo0A

且“22时，儿=和"-1）=*:

bnbn-\+3bn=3bn-\,又易知b“W0,

._L__!_=1

"bnbn-\~y

数列尚是首项为1,公差为:的等差数列.

铲型2分析法的应用

【例2】设“，6为实数，求证：后话》乎他+办

|证明I当a+bWO时，"."-\la2+b2^0,

yJa2+b2'等(a+b)成立.

当a+b>0时,

用分析法证明如下：要证3a2+从，坐(a+份,

2(a+b)

即证岸+序》/(/+/+2ah),即证a2+h2^2ah.

'Jcr+lr^lab对一切实数恒成立,

.,.yja2+b2^22(a+b)成立.

综上所述，不等式得证.

用分析法证明不等式的三个关注点

(1)分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质、基本不等式、已知的重要不等式等.

(2)分析法是综合法的逆过程，即从“未知”看“需知”，执果索因，逐步靠拢“已知”，

其逐步推理，实际上是要寻找它的充分条件或充要条件.

(3)分析法为逆推证明，因此在使用时要注意逻辑性与规范性.其格式一般为“要

证……，只要证……，只需证……，……显然成立，所以……成立”.

［跟进训练］

2.已知a,〃是正实数，求证：令+名之也+也.

[证明]要证金+金》也+或，

只要证a\[a+b\[b^y[ab-(y[a+y[b).

即证(a+Z?-y[ab)(y[a+y[b)2y[ab(y[a+y[b),

因为。，。是正实数，

即证a+b-^y[ab^y[abf

也就是要证a+b^2\[ahf

即(g—也A20.

坟*3综合法和分析法的综合应用

［探究问题］

1.在实际解题时，综合法与分析法是否可以结合起来使用？

提示：在实际解题时，常常把分析法和综合法结合起来使用，即先利用分析法寻找解

题思路，再利用综合法有条理地表述解答过程.

2.你会用框图表示综合法与分析法交叉使用时的解题思路吗？

提示：用框图表示如下：

Pn=P'

匕=匕uQ尸Qi

Q'=Q

。尸。

其中p表示已知条件、定义、定理、公理等，。表示要证明的结论.

【例3】已知。、6、c是不全相等的正数，且04<1.