数学（文）一轮教学案：第十章第3讲 抛物线及其性质 含解析

第3讲抛物线及其性质

/-----------------\Z--------------------------------------------------------------------、

考点展示考纲要求高考命题探究

.内容探究：抛物线的定义、标准方程、几何性质（主要是准线

抛物线的标准方程掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程.1

的应用），利用定义确定轨迹形状，解决与交点准线距离有关的

计算问题，常与直线、椭圆、双曲线交汇命题.

抛物线的几何性质掌握抛物线的简单性质.2.形式探究：本讲内容在高考中多以选择题或解答题形式出现.

1___）

肥考点一抛物线的标准方程

避房基础点重难点

1抛物线的定义

平面内与一个定点厂和一条定直线/（/不经过点F）的距离相等的

点的轨迹叫做抛物线.点尸叫做抛物线的焦点，直线/叫做抛物线的

准线.

2抛物线的标准方程

顶点在坐标原点，焦点在％轴正半轴上的抛物线的标准方程为:

y2=2〃x（〃〉0）；

顶点在坐标原点，焦点在x轴负半轴上的抛物线的标准方程为:

顶点在坐标原点，焦点在y轴正半轴上的抛物线的标准方程为:

顶点在坐标原点，焦点在y轴负半轴上的抛物线的标准方程为:

%2=—2八（〃>0）.

M注意点定义的理解和方程中p的意义

（1）定义的实质可归纳为“一动三定”，一个动点，设为M-,一

个定点尸，叫做抛物线的焦点；一条定直线/,叫做抛物线的准线；

一个定值，即点M到点下的距离和它到直线/的距离的比值等于1.

（2）〃的几何意义是焦点到准线的距离.

ute小题快版

1.思维辨析

（1）平面内与一个定点下和一条定直线/的距离相等的点的轨迹一

定是抛物线.()

(2)方程y=a?3wo)表示的曲线是焦点在工轴上的抛物线，且其

焦点坐标是号准线方程是X=—/()

(3)抛物线就是一元二次函数的图象.()

答案(1)X(2)X(3)X

2.经过点P(16,—4)的抛物线的标准方程为()

A.或/=-64yB.或产=一64%

D._/=%D.-64y

答案A

解析当抛物线的开口向右时，抛物线的方程为y2=2px(p>0),

代入点尸(16,—4)得：p=；,...》2=%；当抛物线的开口向下时，抛

物线的方程为x2=-2py(p>Q),代入点P(16,—4)得：p=32,.,.x2

=-64y；综上所述，y2=%或％2=~64y.

3.设抛物线的顶点在原点，准线方程为％=—2,则抛物线的方

程是()

A.B.y2=8x

C.y2=—4xD.y2=4x

答案B

解析由准线方程％=—2得一］=—2,且抛物线的开口向右(或

焦点在％轴的正半轴)，所以y=2〃%=8%.

加［考法综述］四种不同的抛物线的标准方程形式是考查重点,

一种是求抛物线的方程，另一种是根据抛物线的方程研究它的几何性

质.与抛物线定义有关的最值、轨迹问题及焦点弦问题.

典例(1)点M(5,3)到抛物线y=ax2的准线的距离为6,那么抛

物线的标准方程是()

A.x2=y^yB./=万＞或％2=—荻

C.%2=一表＞D.或/=-36＞

(2)抛物线y2=2x上的两点A、5到焦点的距离之和是5,则线段

AB的中点到y轴的距离是.

［解析］(1)将y=a%2化为X2=，，

当«＞0时，准线y=—今，

由已知得3+汇=6,所以二=12,所以。=方.

IC/-JL乙^

当。＜0时，准线y=一今，由已知得3+焉=6,

所以。=一后或。=记(舍).

所以抛物线方程为f=12y或/=—36y,故选D.

(2)抛物线产=2%的焦点为优，o1,准线方程为％=一；,设4(%i，

yi)、B(X2,y2),则|AF|+|BF|=%I+；+%2+；=5,解得XI+%2=4,故

线段A5的中点横坐标为2.故线段A5的中点到y轴的距离是2.

［答案］(1)D(2)2

【解题法】抛物线方程的求法

(1)定义法：根据条件确定动点满足的几何特征，从而确定p的

值，得到抛物线的标准方程.

(2)待定系数法：根据条件设出标准方程，再确定参数p的值，

这里要注意抛物线标准方程有四种形式.从统一角度出发，焦点在工

轴上，设为y2=Q%(qW0),焦点在y轴上，设为X2=8yswo).

1.已知抛物线C：_/=%的焦点为尸，4(沏，州)是。上一点，\AF\

=1则％0=()

A.1B.2

C.4D.8

答案A

解析由产=%得2p=l,即p=；,因此焦点小，o],准线方

程为/：%=-；,设A点到准线的距离为d,由抛物线的定义可知d

=\AF\,从而％o+；="o,解得/o=l,故选A.

2.如果抛物线的顶点在原点，对称轴为％轴，焦点在直线3%—

4y—12=0上，那么抛物线的方程是()

A.y2=—16xB.>2=12%

C.>2=16%D.9=一12%

答案C

解析由题设知直线3%—4y—12=0与％轴的交点(4,0)即为抛物

线的焦点，故其方程为V=16%.

3.若抛物线>2=2»(/?〉0)的准线经过双曲线％2—>2=1的一个焦

点，贝!Jp=.

答案2正

解析产=2川的准线方程为％=一岁又p〉0,所以%=甘必经

过双曲线/一产=1的左焦点(一色，0),所以—3=一啦，p=2y/2.

4.已知B、尸2分别是双曲线3X2—>2=3层m>0)的左、右焦点，

尸是抛物线>2=8以与双曲线的一个交点，若|Pr1|十|PF2|=12,则抛

物线的准线方程为.

答案％=—2

22

解析将双曲线方程化为标准方程得a一七=1,则其焦点坐标

为Fi(-2a,0),F2(2a,0),且(2a,0)与抛物线的焦点重合,联立抛物线

22

Cx_y_1

与双曲线方程得r层3层—'，X=3a,即点尸的横坐标为3a.而

l,y2=8ax

tf|PFi|+|PF2|=12,

由⑦。IDrl。今|尸尸2|=6—a,...|PB|=3a+2a=6—a,得a

[\PFi\—\PF2\=2a

=1,...抛物线的方程为丁=8%,其准线方程为％=—2.

5.如图，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a,b（a＜b）,

.h

原点0为AD的中点，抛物线＞2=2〃加＞0）经过c,F两点，则£=

答案1+^2

解析由题意，知器，一，，

又。，尸在抛物线产=22%（p〉0）上，

a2=2pX^,①

所以（、由②♦①，得・=牛，

即b2—2ba—a2=0,

解得负值舍去）.故£=i+理.

6.已知抛物线C：》2=2*。＞0）的焦点为尸，直线y=4与y轴的

交点为尸，与。的交点为。且I。/1=1尸Q.

(1)求。的方程；

(2)过尸的直线/与。相交于A,5两点，若AB的垂直平分线/

与。相交于M,N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求/的

方程.

Q

解(1)设。(%。,4)，代入_/=2Px得x0=~.

所以|尸。|=\|。.=,+%0=卜+,

由题设得3+：=|x：,解得p=一2(舍去)或p=2.

乙P气P

所以。的方程为/=4x

(2)依题意知/与坐标轴不垂直，故可设/的方程为W0).

代入y2=4x得y2—Amy—4=0.

设A(2+l,2m),

\AB\=^m2+l|yi—y21=4(m2+1).

又/，斜率为一机，所以/，的方程为％=—5+2/+3.

4

将上式代入y2=4x,并整理得V+浸一4(2m2+3)=0.

、4

设M(%3,券)，N(X4,丁4),则/+丁4=一浣，y3y4=—4(2根2+3).

故MN的中点为£(A+2m2+3,

III/III/\lIII/

4(-2+1)d2土2+I

—)V4I1=m2.

由于MN垂直平分45,故A,M,B,N四点在同一圆上等价于

\AE\=\BE\=^\MN\,从而:|A5|2+|DE|2=1|MAq2,

即4(m2+l)2+f2m+4+B+2}

4(m2+l)2(2m2+1)

m4

化简得加2—1=0,解得机=1或加=-1.

所求直线/的方程为%—y—1=0或x+y—1=0.

魄考点二抛物线的几何性质

扫一扫•”片老讦散谭

拒基础点重难点

对称轴•r轴，轴

2

标准y=—2pjcJ=2pyJC2=~2py

方程(p>0)(P>0)(p>0)(P>0)

焦点F（S。）«F。）F(T)尸（。「名）

准线T——P

2"2

2抛物线焦点弦的性质

焦点弦：线段A5为抛物线丁=2川初>0)的焦点弦，A(xi,"),

B(X2,丁2),则

(1)X1X2=4；

(2)”V2=—p2；

(4)弦长/=%i+%2+p.当弦ABLx轴时，弦长最短为2p,此时的

弦又叫通径；

(5)弦长1=黑和为AB的倾斜角).

C7

M注意点解抛物线问题的注意事项

(1)注意四种不同的方程下，焦点与顶点以及准线的对应位置.

(2)注意定义的应用：将到焦点的距离与到准线的距离进行灵活

转化.

ute小题快做；

1.思维辨析

(1)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形.()

(2)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的

线段叫做抛物线的通径，那么抛物线X2=—2"3〉0)的通径长为

2a.()

(3)AB为抛物线y2=2川S>0)的过焦点电，0卜勺弦，若A(xi,y),

/、

B(X2,yi),贝！)即%2=丁，yiy2=—p2,弦长|AB|=%i+%2+p.()

(4)若AB是焦点弦，则以AB为直径的圆与抛物线的准线相

切.()

答案(1)X(2)V(3)V(4)7

2.过抛物线产=8%的焦点尸作倾斜角为135。的直线交抛物线于

A,5两点，则弦A3的长为()

A.4B.8

C.12D.16

答案D

解析抛物线y2=8x的焦点下的坐标为(2,0),直线AB的倾斜角

为135。，故直线的方程为y=—%+2,代入抛物线方程/2=8%,

得%2—12%+4=0.设A(%i,yi),B(X2,yi),则弦AB的长+%2

+4=12+4=16.

3.设抛物线y2=8x上一点尸到焦点的距离是4,则尸点坐标为

答案(2,±4)

解析设一=8%的焦点为上则下(2,0).设尸(%,y).\PF\=x+2

=4,：.x=2,代入抛物线得y=±4.，P点坐标为(2,±4).

嫩达命题法解题法

典例(1)过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A,B

两点，O为坐标原点.若|A/|=3,则△A05的面积为()

A.孚B.正

D.2A/2

(2)已知抛物线y2=8x的焦点为F,直线＞=左(%—2)与此抛物线相

交于尸，。两点，则尚十嵩=()

A.；B.1

C.2D.4

［解析］(1)焦点/(1,0),设A,5分别在第一、四象限，则点A

到准线Z：%=—1的距离为3,得A的横坐标为2,纵坐标为2啦，

AB的方程为y=2诲(%—1),与抛物线方程联立可得2/—5%+2=0,

所以5的横坐标为;,纵坐标为一也,&AQB=；X1X(2啦+啦)=^^.

(2)设尸(%1,力),2(X2,冲)，由题意可知，|PF|=xi+2,\QF\=X2

+2,

]J1L%1+%2+4

则联立直线与抛

\FP\\FQ\xi+2X2+2X1X2+2(xi+%2)+45

物线方程消去y得^2X2—(4^2+8)X+4^2=0,可知xiX2=4,故

41+检+4xi+%2+41,,、养

x\X22(xi+%2)42(»+%2)+82'*

［答案］(1)C(2)A

Q【解题法】抛物线的性质应用技巧及焦点弦问题解题策略

(1)用抛物线几何性质的技巧

涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观

地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结

合思想解题的直观性.

(2)抛物线焦点弦问题求解策略

求解抛物线焦点弦问题时，除灵活运用焦点弦的有关性质外，还

要灵活应用抛物线的定义及数形结合思想求解.

震髭对点题必刷题

1.如图，设抛物线产=4%的焦点为R不经过焦点的直线上有

三个不同的点A,B,C,其中4,5在抛物线上，点。在y轴上，则

ABCF与尸的面积之比是()

\BF\-1IW-1

A,|AF|-1B，|AF|2-1

m+iiw+i

C-|AF|+1U'|AF|2+1

答案A

解析由题可知抛物线的准线方程为％=—1.如图所示，过A作

轴于点A2,过5作B&Ly轴于点丛,则¥"=鬻!

SAACF|AC||AAz|

出厂1—1

\AF\-V

2.已知抛物线C：9=8%的焦点为尸，准线为/,尸是/上一点，

—>—>

。是直线尸尸与。的一个交点.若FP=4FQ,则|。尸|=()

7

A，2B.3

C.|D.2

答案B

解析如图，由抛物线的定义知焦点到准线的距离p=|户M|=4.

过。作I于H,则|0"|=\QF\.

由题意，得△PHQS^PMF,

则有牖=脚岩，••也QE.

，1。尸1=3.

3.已知点人（一2,3）在抛物线。：_/=2内的准线上，记。的焦点

为F,则直线A尸的斜率为（）

4

A.—gB.-1

_3_1

Cr.4Dn-2

答案C

解析由点A（—2,3）在抛物线。：V=2口的准线上,得焦点厂（2,0）,

3

一不故选c

4.设〃（%。,州）为抛物线C|为半径的圆和抛物线C的准线相交,

则州的取值范围是（）

(0,2)[0,2]

(2,+°°[2,+8)

答案C

解析设圆的半径为厂，因为尸（0,2）是圆心，抛物线。的准线方

程为y=—2,由圆与准线相交知4<r,因为点M（%o,州）为抛物线C:

|=yo+2>4,所以yo>2.故选C.

5.平面直角坐标系％。y中，双曲线G：/一%=1（。>0,b>0）的

渐近线与抛物线。2：%2=2py（p〉0）交于点o,A,A若△。46的垂心

为。2的焦点，则C1的离心率为.

答案1

A

解析由题意，双曲线的渐近线方程为y=±~x,抛物线的焦点

坐标为rfo,乩不妨设点A在第一象限，由［尸下,解得

［,x2=2py

2Pb2〃一口

“熊或忆:‘故樗,哨.所以与萨

J—a2a

由已知方为△OAB的垂心，所以直线A厂与另一条渐近线垂直，故

WPV-1,即当/又［—詈=—1,整理得按=肘，所以°2=

933

屋+廿=1小,故c=/〃，即e=£c=1.

22

6.若抛物线尸2川的焦点与椭圆/方=1的右焦点重合，则

该抛物线的准线方程为.

答案x=-2

22

解析，.72=9—5=4,，c=2..,.椭圆方■十方=1的右焦点为（2,0）,

..或=2,...抛物线的准线方程为％=—2.

7.已知A是抛物线产=4%上一点，尸是抛物线的焦点，直线刚

交抛物线的准线于点B（点、3在入轴上方），^\AB\=2\AF\,则点A的

坐标为.

答案（3,—23）或g,^

解析依题意，①若点A位于入轴上方，过点A作抛物线的准

线的垂线,垂足记为Ai,则有|A5|=2|AE=2|A4i|,ZBAAi=60°,直

线A尸的倾斜角为120。.又点尸(1,0),因此直线ARy=一小(x—1).

1

尸f(x-1)x=3

由',此时点A的坐标是

j2=4x(y>0)2s

y—3

②若点A位于入轴下方，则此时点尸(1,0)是线段的中点，又点5

的横坐标是一1,故点A的横坐标是2X1—(—1)=3,相应的纵坐标

是尸一、4X3=—2小,点A的坐标是(3,一2小).综上所述，点A

的坐标是(3,—25)或［

—>

8.已知^人刀尸的三个顶点都在抛物线。：为A5的中点，PF

—>

3FM.

(1)若小下|=3,求点M的坐标；

(2)求尸面积的最大值.

解(1)由题意知焦点尸(0,1),准线方程为y=-1.

设尸(%o,yo),由抛物线定义知|P尸|=州+1,得到yo=2,所以尸(2啦,

2)或尸(一2隹2).

—>—>(2^22V2^22

由尸尸=3/分别得ML3，潸、3，牙

(2)设直线AB的方程为丁=丘+机，点A(xi,")，Bgyi),尸(%o,

yo).

y=kx-\-m,

得=0.

、%2=4y

于是/=16左2+16加>0,).

—>—>

由尸尸=3尸河，得(一一1),

%o=-6k,14

所以.力2c由高=4泗得左2=一彳机+衣.

Lyo=4-6^-3m.515

14

由/>0,得一

又因为\AB\=4yjl+心,

\m-l\

点尸(0,1)到直线A3的距离为d=、h」-/•

、(14)

iEXm)=3m3—5m2+/«+11—

令/(m)=9m2—10m+1=0,解得加=§,冽2=1.

可得大⑼在［一；,目上是增函数，在61］上是减函数，在［1,D

上是增函数•又>(3=111411

所以，当机=：时，加W)取到最大值普，此时左=±』^.

7乙什J_LJ

所以，AABP面积的最大值为2；；

9.设点P(%,y)(y20)为平面直角坐标系10,j的距离比点尸到工

轴的距离大去

(1)求点P的轨迹方程；

(2)若直线/：y=kx+1与点P的轨迹相交于4、B两点，且|A5|

=2#,求上的值；

(3)设点尸的轨迹是曲线C,点。(1,州)是曲线。上的一点，求

以。为切点的曲线。的切线方程.

解⑴过尸作|—[PN]=；,、^+'一

化简得％2=2y(y20),即为所求.

(2)设A(xi,6)，Bg丁2)，

=

ykx~\~19

联立＜化简得x2—2kx—2=0,

j2=2y

••%i+X2~~2klX\X2~~2,

\AB\=11+42y（X1+%2）2—4%1%2=11+左2由442+8=2\l~6,/.左4+

33—4=0,又左22。，：.e=l9：.k=±l.

⑶因为。(1,州)是曲线。上一点，/.12=2y(),.,./()=；,

切点为由丁=/2,求导得y，=%,

当x=l时，k=l.

则切线方程为1,即2%—2y—1=0.

学霸错题警示忽视隐含条件致错

如图所示，过点尸(0,-2)的直线/交抛物线_/=45的顶点

"的轨迹方程.

[错解]

设饴/,/），B（32,%），M（%夕），谡直刈

的方钱有3二（卜于0）.

苫抛场城方钝久艰支,消之多，

揩卜/一4（卜十/）升4二0.

由极与条数的关东

4（《十/）

可痛■勿十左二-4

■”一下，

衿区为十九二“打十的）F二11

k

又在牛竹8边的"W0中，船的中民有如的

中友.

八，1,“八十/）,4

衿从为十的二产下一，夕/十九二3二彳，

―—―2》力（升/）.

［错因分析］本题可以设出直线/的方程，通过参数法求解.容

易忽视的是直线/与抛物线交于不同两点时，直线的斜率上是有前提

条件的.首先，左wo；其次，消元后的一元二次方程的根的判别式大

于0.忽视这些限制条件就扩大了所求轨迹的范围.

［正解］设4（X1,》1）,5（（%,/）,设直线I的方程为y=fct—2（左W0）.

与抛物线方程V=4x联立，消去y,得女2/—4（左+1）X+4=0.（*）

由根与系数的关系，

讨洱।4（左+1）_4

口」行为十X2一k2，为x2—左2，

4

所以丁1+/2=k（xi+%2）—4=斤

又在平行四边形。4M5中，AB的中点为0M的中点.

所以为+%2=%=*，1),yi+j2=y=p消去左，得(y+2)2=4(x

+1).

又直线I与抛物线y2=4x交于不同的两点，

故对于(*),其/=［―4(左+1)『一16左2=32左+16>0,解得左>一；.

4

代入y=工,可得y<—8或y>0.

故点V的轨迹方程为(y+2)2=4(%+l)(y<—8或y>0).

［心得体会］

在沟用亭数泣求息的执透方短时，一定耍

汝童孝教的取值范国有没有泓相条件，尤属是

直戏与曲戏去孑不同两民时联幺港揩一九二

双方钝的

时间：45分钟

基础组

1.［衡水二中周测］若抛物线产=2〃%上一点PQ,声)到其准线的距

离为4,则抛物线的标准方程为()

A.1/=4%B.y2=6x

C.y2=8xD.y2=10%

答案C

解析:抛物线产=2明，.,.准线为x=—,点尸(2,州)到其准

线的距离为4,二.—2—2=4,，p=4.

抛物线的标准方程为产=8%,故选C.

2.［枣强中学仿真］已知双曲线Ci：，一£=1（。〉0,於0）的焦距

是实轴长的2倍.若抛物线C2：%2=2外3>0）的焦点到双曲线Ci的渐

近线的距离为2,则抛物线。2的方程为（）

A口o_16^3

A.Jr—3yB.片一3y

C.x2=8yD.%2=i6y

答案D

解析,/2c=4a,c=2a,又屋+Z?2=c2,.•%=小q,.•.渐近

线丁=±75%,又二抛物线Q的焦点［o,

E

2

••d=5=2,..p=8,..抛物线G的万程为x2=16y.

3.［衡水二中月考］如图，过抛物线9=2〃%。>0）的焦点厂的直线

交抛物线于点A,B,交其准线/于点C,若［5。|=2|5/且|A尸|=3,

则此抛物线的方程为（）

A.y2=9xB.y2=6x

C.y2=3xD.y2=yj3x

答案C

解析如图，分别过A,5作441_1_/于4,5a_1_/于51,由抛

物线的定义知，|AF|=|A4i|,\BF\=\BB!\,

V\BC\=2\BF\,

：.\BC\=2\BBi\,

：.ZBCBi=30°,

.•.乙4瓜=60。.连接A/,则△A4i尸为等边三角形，过尸作尸尸1

±AAi于则尸1为AAi的中点，设/交入轴于K,则|在|=向尸i|

113

=^\AAi\=^\AF\,即p=］,二.抛物线方程为产=3(—3,2)是坐标平面

内一定点，若抛物线俨=20|—I。尸|的最小值是()

7

A，2B.3

C.1D.2

答案C

解析抛物线的准线方程为％=一；,当MQ〃|—10尸|=3—；=|,

选C.

5.［衡水二中热身］已知抛物线关于(2,州).若点"到该抛物线

焦点的距离为3,则QM=()

A.2碑B.2小

C.4D.2巾

答案B

解析设抛物线方程为y2=2px(p>0),则焦点坐标为o|,准

线方程为％=一$

在抛物线上，到焦点的距离等于到准线的距离，

YQ-%+角=2+齐3.

解得：p=2,yo=±2'\［2.

...点M(2,±2y/2),根据两点距离公式有：

：.\OM\=,+(±2的2=2小.

6.［武邑中学期末］已知抛物线方程为y2=4x,直线I的方程为工

—y+4=0,在抛物线上有一动点尸到y轴的距离为"，到直线/的

距离为小，则di+d2的最小值为()

A.芈+2B.^+l

C,^-2D,^-l

答案D

解析因为抛物线的方程为V=4x,所以焦点为尸(1,0),准线方

程为％=—1,因为点尸到y轴的距离为4,所以到准线的距离为4

+1,又6/1+1=\PF\,所以di+d2=di+l+〃2—1=\PF\+d2—1,焦

点F到直线I的距离d='岩'=定=羊，而1尸尸1+"2三4=¥，

所以di+d2=|P『|+d2—1三岁一1,选D.

7.［衡水二中预测］已知抛物线产=22刈?>0),过其焦点且斜率为

—1的直线交抛物线于A,5两点，若线段A5的中点的横坐标为3,

则该抛物线的准线方程为()

A.x^~1B.

C.x=11D.x=12

答案c

解析设A(%i,yi),B(X2,》2),直线AB的方程为y=—1%—2)，

与抛物线方程联立得，］二一卜一"，消去y整理得：f—3川+?=

［_y2=2px

0,可得即十%2=3〃.根据中点坐标公式，有芋=3,p=2,因此抛物线

的准线方程为x=-l.

8.［枣强中学月考］过抛物线9=28。＞0)焦点F的直线I与抛物

—＞—＞

线交于5、C两点，/与抛物线的准线交于点A,且|A尸1=6,AF=2FB,

则|3。|=()

9

A.2B.6

13

C.yD.8

答案A

JT

解析不妨设直线/的倾斜角为6,其中0＜。＜/，点B(xi,")、

C(X2,竺)，则点5在入轴的上方.过点5作该抛物线的准线的垂线,

垂足为于是有==„=由此得p=2,抛物线

u21

2=

万程是y4x9焦点厂(1,0)，cos9=发尸|=不=1,

in。好产一)得8a

tan8=cos8=,直线Z：y—2yf2(x—1).由，

iy=4x

559

—1)2=4%,即2%2—5%+2=0,%I+%2=5,|3C|=%i+%2+p=2+2=5,

选A.

9.［衡水二中猜题］已知尸为抛物线V=4x上一个动点，。为圆

X2+(y—4)2=1上一个动点，那么点P到点。的距离与点P到抛物线

准线的距离之和的最小值是.

答案V17-1

解析由题意知，圆■?+0—4)2=1的圆心为C(0,4),半径为1,

抛物线的焦点为尸(1,0).根据抛物线的定义，点P到点。的距离与点

P到抛物线准线的距离之和即点P到点。的距离与点P到抛物线焦

点的距离之和，因此|尸Q+|Pb|2|PC|+|P/q—12ICFI—1=4行—1.

io.［衡水二中一轮检测］已知圆c：+|pq的最小值为.

答案回

解析由题意得圆。的方程为(%+3)2+(y+4)2=4,圆心。坐标

为(一3,-4).由抛物线定义知，当加十|PC|最小时，为圆心与抛物

线焦点间的距离，即(加十|PC|)min='(一3—2)2+(-4)2二#1.

11"冀州中学周测］已知直线I与抛物线>2=8%交于A、B两点，

且/经过抛物线的焦点F,A点的坐标为(8,8),则线段A5的中点到准

线的距离是.

答案f25

解析由y2=8x知2夕=8,

，p=4,则点尸的坐标为(2,0).

由题设可知，直线I的斜率存在，设/的方程为2),点A,

B的坐标分别为(%A,)A),(%B,JB).

4

又点A(8,8)在直线上，...8=4(8—2),解得左=不

4

...直线/的方程为y=g(%—2).①

17

将①代入>2=8%,整理得则％A+%B=3，...线

段的中点到准线的距离是必产+上,+2=冬

12.［冀州中学热身］已知过抛物线产=2XS>0)的焦点，斜率为

2陋的直线交抛物线于A(%i,9)，B(X2,竺)(%1<%2)两点，且|A5|=9.

(1)求该抛物线的方程；

—>—>―>

（2）0为坐标原点，。为抛物线上一点，若0。=。4+丸05求丸

的值.

解（1）直线A5的方程是丁=

与》2=2口联立，从而有4/一52%+p2=0,

所以％1+%2=普.

由抛物线定义得|AB|=%i+%2+p=9,

所以p=4,从而抛物线方程是y2=8x.

(2)由p=4,4X2—5〃x+p2=0可得%2―5%+4=0,

从而％1=1,及=4,?=—2媳，”=4诲，

从而A(l,一2碑)，5(4,4陋).

->

设0。=(X3,n)=(1,—2陋)+〃4,4建)

=(42+1,4^22-2^2),

又负=8%3,即[2/(27—1)]2=8(4丸+1),即(27—1)2=47+1,

解得7=0或2=2.

能力组

13.［枣强中学周测］设抛物线产