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文档简介
2025届上海市同济大学一附中数学高三第一学期期末联考试题注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.1777年,法国科学家蒲丰在宴请客人时,在地上铺了一张白纸,上面画着一条条等距离的平行线,而他给每个客人发许多等质量的,长度等于相邻两平行线距离的一半的针,让他们随意投放.事后,蒲丰对针落地的位置进行统计,发现共投针2212枚,与直线相交的有704枚.根据这次统计数据,若客人随意向这张白纸上投放一根这样的针,则针落地后与直线相交的概率约为()A. B. C. D.2.如图,平面四边形中,,,,,现将沿翻折,使点移动至点,且,则三棱锥的外接球的表面积为()A. B. C. D.3.已知向量,且,则等于()A.4 B.3 C.2 D.14.运行如图程序,则输出的S的值为()A.0 B.1 C.2018 D.20175.设、,数列满足,,,则()A.对于任意,都存在实数,使得恒成立B.对于任意,都存在实数,使得恒成立C.对于任意,都存在实数,使得恒成立D.对于任意,都存在实数,使得恒成立6.已知集合A={y|y},B={x|y=lg(x﹣2x2)},则∁R(A∩B)=()A.[0,) B.(﹣∞,0)∪[,+∞)C.(0,) D.(﹣∞,0]∪[,+∞)7.设实数x,y满足条件x+y-2⩽02x-y+3⩾0x-y⩽0则A.1 B.2 C.3 D.48.已知命题:任意,都有;命题:,则有.则下列命题为真命题的是()A. B. C. D.9.已知双曲线的一条渐近线倾斜角为,则()A.3 B. C. D.10.若点(2,k)到直线5x-12y+6=0的距离是4,则k的值是()A.1 B.-3 C.1或 D.-3或11.已知函数,若函数在上有3个零点,则实数的取值范围为()A. B. C. D.12.已知函数,若函数有三个零点,则实数的取值范围是()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.函数的图像如图所示,则该函数的最小正周期为________.14.抛物线上到其焦点的距离为的点的个数为________.15.已知集合,则_______.16.一个袋中装着标有数字1,2,3,4,5的小球各2个,从中任意摸取3个小球,每个小球被取出的可能性相等,则取出的3个小球中数字最大的为4的概率是__.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知,.求C;若,求,的面积18.(12分)在直角坐标系中,圆的参数方程为:(为参数),以坐标原点为极点,以轴的正半轴为极轴建立极坐标系,且长度单位相同.(1)求圆的极坐标方程;(2)若直线:(为参数)被圆截得的弦长为,求直线的倾斜角.19.(12分)已知数列满足且(1)求数列的通项公式;(2)求数列的前项和.20.(12分)已知函数.(1)当时,试求曲线在点处的切线;(2)试讨论函数的单调区间.21.(12分)已知函数(,)满足下列3个条件中的2个条件:①函数的周期为;②是函数的对称轴;③且在区间上单调.(Ⅰ)请指出这二个条件,并求出函数的解析式;(Ⅱ)若,求函数的值域.22.(10分)已知,,分别为内角,,的对边,且.(1)证明:;(2)若的面积,,求角.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】
根据统计数据,求出频率,用以估计概率.【详解】.故选:D.【点睛】本题以数学文化为背景,考查利用频率估计概率,属于基础题.2、C【解析】
由题意可得面,可知,因为,则面,于是.由此推出三棱锥外接球球心是的中点,进而算出,外接球半径为1,得出结果.【详解】解:由,翻折后得到,又,则面,可知.又因为,则面,于是,因此三棱锥外接球球心是的中点.计算可知,则外接球半径为1,从而外接球表面积为.故选:C.【点睛】本题主要考查简单的几何体、球的表面积等基础知识;考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力及创新意识,属于中档题.3、D【解析】
由已知结合向量垂直的坐标表示即可求解.【详解】因为,且,,则.故选:.【点睛】本题主要考查了向量垂直的坐标表示,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平,属于基础题.4、D【解析】
依次运行程序框图给出的程序可得第一次:,不满足条件;第二次:,不满足条件;第三次:,不满足条件;第四次:,不满足条件;第五次:,不满足条件;第六次:,满足条件,退出循环.输出1.选D.5、D【解析】
取,可排除AB;由蛛网图可得数列的单调情况,进而得到要使,只需,由此可得到答案.【详解】取,,数列恒单调递增,且不存在最大值,故排除AB选项;由蛛网图可知,存在两个不动点,且,,因为当时,数列单调递增,则;当时,数列单调递减,则;所以要使,只需要,故,化简得且.故选:D.【点睛】本题考查递推数列的综合运用,考查逻辑推理能力,属于难题.6、D【解析】
求函数的值域得集合,求定义域得集合,根据交集和补集的定义写出运算结果.【详解】集合A={y|y}={y|y≥0}=[0,+∞);B={x|y=lg(x﹣2x2)}={x|x﹣2x2>0}={x|0<x}=(0,),∴A∩B=(0,),∴∁R(A∩B)=(﹣∞,0]∪[,+∞).故选:D.【点睛】该题考查的是有关集合的问题,涉及到的知识点有函数的定义域,函数的值域,集合的运算,属于基础题目.7、C【解析】
画出可行域和目标函数,根据目标函数的几何意义平移得到答案.【详解】如图所示:画出可行域和目标函数,z=x+y+1,即y=-x+z-1,z表示直线在y轴的截距加上1,根据图像知,当x+y=2时,且x∈-13,1时,故选:C.【点睛】本题考查了线性规划问题,画出图像是解题的关键.8、B【解析】
先分别判断命题真假,再由复合命题的真假性,即可得出结论.【详解】为真命题;命题是假命题,比如当,或时,则不成立.则,,均为假.故选:B【点睛】本题考查复合命题的真假性,判断简单命题的真假是解题的关键,属于基础题.9、D【解析】
由双曲线方程可得渐近线方程,根据倾斜角可得渐近线斜率,由此构造方程求得结果.【详解】由双曲线方程可知:,渐近线方程为:,一条渐近线的倾斜角为,,解得:.故选:.【点睛】本题考查根据双曲线渐近线倾斜角求解参数值的问题,关键是明确直线倾斜角与斜率的关系;易错点是忽略方程表示双曲线对于的范围的要求.10、D【解析】
由题得,解方程即得k的值.【详解】由题得,解方程即得k=-3或.故答案为:D【点睛】(1)本题主要考查点到直线的距离公式,意在考查学生对该知识的掌握水平和计算推理能力.(2)点到直线的距离.11、B【解析】
根据分段函数,分当,,将问题转化为的零点问题,用数形结合的方法研究.【详解】当时,,令,在是增函数,时,有一个零点,当时,,令当时,,在上单调递增,当时,,在上单调递减,所以当时,取得最大值,因为在上有3个零点,所以当时,有2个零点,如图所示:所以实数的取值范围为综上可得实数的取值范围为,故选:B【点睛】本题主要考查了函数的零点问题,还考查了数形结合的思想和转化问题的能力,属于中档题.12、B【解析】
根据所给函数解析式,画出函数图像.结合图像,分段讨论函数的零点情况:易知为的一个零点;对于当时,由代入解析式解方程可求得零点,结合即可求得的范围;对于当时,结合导函数,结合导数的几何意义即可判断的范围.综合后可得的范围.【详解】根据题意,画出函数图像如下图所示:函数的零点,即.由图像可知,,所以是的一个零点,当时,,若,则,即,所以,解得;当时,,则,且若在时有一个零点,则,综上可得,故选:B.【点睛】本题考查了函数图像的画法,函数零点定义及应用,根据零点个数求参数的取值范围,导数的几何意义应用,属于中档题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】
根据图象利用,先求出的值,结合求出,然后利用周期公式进行求解即可.【详解】解:由,得,,,则,,,即,则函数的最小正周期,故答案为:8【点睛】本题主要考查三角函数周期的求解,结合图象求出函数的解析式是解决本题的关键.14、【解析】
设抛物线上任意一点的坐标为,根据抛物线的定义求得,并求出对应的,即可得出结果.【详解】设抛物线上任意一点的坐标为,抛物线的准线方程为,由抛物线的定义得,解得,此时.因此,抛物线上到其焦点的距离为的点的个数为.故答案为:.【点睛】本题考查利用抛物线的定义求点的坐标,考查计算能力,属于基础题.15、【解析】
由可得集合是奇数集,由此可以得出结果.【详解】解:因为所以集合中的元素为奇数,所以.【点睛】本题考查了集合的交集,解析出集合B中元素的性质是本题解题的关键.16、【解析】
由题,得满足题目要求的情况有,①有一个数字4,另外两个数字从1,2,3里面选和②有两个数字4,另外一个数字从1,2,3里面选,由此即可得到本题答案.【详解】满足题目要求的情况可以分成2大类:①有一个数字4,另外两个数字从1,2,3里面选,一共有种情况;②有两个数字4,另外一个数字从1,2,3里面选,一共有种情况,又从中任意摸取3个小球,有种情况,所以取出的3个小球中数字最大的为4的概率.故答案为:【点睛】本题主要考查古典概型与组合的综合问题,考查学生分析问题和解决问题的能力.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1).(2).【解析】
由已知利用正弦定理,同角三角函数基本关系式可求,结合范围,可求,由已知利用二倍角的余弦函数公式可得,结合范围,可求A,根据三角形的内角和定理即可解得C的值.由及正弦定理可得b的值,根据两角和的正弦函数公式可求sinC的值,进而根据三角形的面积公式即可求解.【详解】由已知可得,又由正弦定理,可得,即,,,,即,又,,或舍去,可得,.,,,由正弦定理,可得,,.【点睛】本题主要考查了正弦定理,同角三角函数基本关系式,二倍角的余弦函数公式,三角形的内角和定理,两角和的正弦函数公式,三角形的面积公式等知识在解三角形中的应用,考查了计算能力和转化思想,属于中档题.18、(1);(2)或【解析】
(1)消去参数可得圆的直角坐标方程,再根据,,即可得极坐标方程;(2)写出直线的极坐标方程为,代入圆的极坐标方程,根据极坐标的意义列出等式解出即可.【详解】(1)圆:,消去参数得:,即:,∵,,.∴,.(2)∵直线:的极坐标方程为,当时.即:,∴或.∴或,∴直线的倾斜角为或.【点睛】本题主要考查了参数方程化为普通方程,直角坐标方程化为极坐标方程以及极坐标的几何意义,属于中档题.19、(1);(2)【解析】
(1)根据已知可得数列为等比数列,即可求解;(2)由(1)可得为等比数列,根据等比数列和等差数列的前项和公式,即可求解.【详解】(1)因为,所以,又所以数列为等比数列,且首项为,公比为.故(2)由(1)知,所以所以【点睛】本题考查等比数列的定义及通项公式、等差数列和等比数列的前项和,属于基础题.20、(1);(2)见解析【解析】
(1)对函数进行求导,可以求出曲线在点处的切线,利用直线的斜截式方程可以求出曲线的切线方程;(2)对函数进行求导,对实数进行分类讨论,可以求出函数的单调区间.【详解】(1)当时,函数定义域为,,所以切线方程为;(2)当时,函数定义域为,在上单调递增当时,恒成立,函数定义域为,又在单调递增,单调递减,单调递增当时,函数定义域为,在单调递增,单调递减,单调递增当时,设的两个根为且,由韦达定理易知两根均为正根,且,所以函数的定义域为,又对称轴,且,在单调递增,单调递减,单调递增【点睛】本题考查了曲线切线方程的求法,考查了利用函数的导数讨论函数的单调性问题,考查了分类思想.21、(Ⅰ)只有①②成立,;(Ⅱ).【解析】
(Ⅰ)依次讨论①②成立,①③成立,②③成立,计算得到只有①②成立,得到答案.(Ⅱ)得到,得到函数值域.【详解】(Ⅰ)由①可得,;由②得:,;由③得,,,;若①②成立,则,,,若①③成立,则,,不合题意,若②③成立,则,,与③中的矛盾,所以②③不成立,所
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