河北省永清一中2025届高二上数学期末质量检测模拟试题含解析

河北省永清一中2025届高二上数学期末质量检测模拟试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．椭圆的焦点坐标为（）A.， B.，C.， D.，2．已知条件，条件表示焦点在x轴上的椭圆，则p是q的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既非充分也非必要条件3．若数列的前n项和(n∈N*)，则=（）A.20 B.30C.40 D.504．已知曲线，则“”是“C为双曲线”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5．已知椭圆C：的一个焦点为（0，-2），则k的值为（）A.5 B.3C.9 D.256．已知向量，，则（）A. B.C. D.7．已知抛物线的焦点为，抛物线上的两点，均在第一象限，且，，，则直线的斜率为（）A.1 B.C. D.8．若等比数列的前n项和，则r的值为（）A. B.C. D.9．如图，在四面体中，，，，分别为，，，的中点，则化简的结果为（）A. B.C. D.10．已知点是椭圆方程上的动点，、是直线上的两个动点，且满足，则（）A.存在实数使为等腰直角三角形的点仅有一个B.存在实数使为等腰直角三角形的点仅有两个C.存在实数使为等腰直角三角形的点仅有三个D.存在实数使为等腰直角三角形的点有无数个11．在等差数列中，已知，则（）A.4 B.8C.3 D.612．椭圆的焦点为、，上顶点为，若，则（）A B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．某公司青年、中年、老年员工的人数之比为10∶8∶7，从中抽取100名作为样本，若每人被抽中的概率是0.2，则该公司青年员工的人数为__________14．已知正数、满足，则的最大值为__________15．设是椭圆上一点，分别是椭圆的左、右焦点，若，则的大小_____.16．若函数在处取得极小值，则a=__________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知梯形如图甲所示，其中，，，四边形是边长为1正方形，沿将四边形折起，使得平面平面，得到如图乙所示的几何体（1）求证：平面；（2）若点在线段上，且与平面所成角的正弦值为，求线段的长度.18．（12分）如图所示，圆锥的高，底面圆的半径为，延长直径到点，使得，分别过点、作底面圆的切线，两切线相交于点，点是切线与圆的切点（1）证明：平面；（2）若平面与平面所成锐二面角的余弦值为，求该圆锥的体积19．（12分）已知三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（1）求角B；（2）若，角B的角平分线交AC于点D，，求CD的长20．（12分）已知数列满足且.（1）证明数列是等比数列；（2）设数列满足，，求数列的通项公式.21．（12分）如图，在四棱锥P­ABCD中，PD⊥底面ABCD，AB∥CD，AB＝2，CD＝3，M为PC上一点，且PM＝2MC.（1）求证：BM∥平面PAD；（2）若AD＝2，PD＝3，∠BAD＝60°，求三棱锥P­ADM的体积22．（10分）在棱长为4的正方体中，点分别在线段上，点在线段延长线上，，，连接交线段于点.（1）求证平面；（2）求异面直线所成角的余弦值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】由题方程化为椭圆的标准方程求出c，则椭圆的焦点坐标可求【详解】由题得方程可化为，所以所以焦点为故选：A.2、A【解析】根据条件，求得a的范围，根据充分、必要条件的定义，即可得答案.【详解】因为条件表示焦点在x轴上的椭圆，所以，解得或，所以条件是条件q：或的充分不必要条件.故选：A3、B【解析】由前项和公式直接作差可得.【详解】数列的前n项和(n∈N*)，所以.故选：B.4、A【解析】根据充分必要条件的定义，以及双曲线的标准方程进行判断可得选项【详解】解：当时，表示双曲线，当表示双曲线时，则，所以“”是“C为双曲线”的充分不必要条件.故选A5、A【解析】由题意可得焦点在轴上，由，可得k的值.【详解】∵椭圆的一个焦点是，∴，∴，故选：A6、D【解析】按空间向量的坐标运算法则运算即可.【详解】.故选：D.7、C【解析】作垂直准线于，垂直准线于，作于，结合抛物线定义得出斜率为可求.【详解】如图：作垂直准线于，垂直准线于，作于，因为，，，由抛物线的定义可知：，，，所以，直线斜率为：.故选：C.8、B【解析】利用成等比数列来求得.【详解】依题意，等比数列的前n项和，，，所以.故选：B9、C【解析】根据向量的加法和数乘的几何意义，即可得到答案；【详解】故选：C10、B【解析】求出点到直线的距离的取值范围，对点是否为直角顶点进行分类讨论，确定、的等量关系，综合可得出结论.【详解】设点，则点到直线的距离为.因为椭圆与直线均关于原点对称，①若为直角顶点，则.当时，此时，不可能是等腰直角三角形；当时，此时，满足是等腰直角三角形的直角顶点有两个；当时，此时，满足是等腰直角三角形的直角顶点有四个；②若不是直角顶点，则.当时，满足是等腰直角三角形的非直角顶点不存在；当时，满足是等腰直角三角形的非直角顶点有两个；当时，满足是等腰直角三角形非直角顶点有四个.综上所述，当时，满足是等腰直角三角形的点有八个；当时，满足是等腰直角三角形的点有六个；当时，满足是等腰直角三角形的点有四个；当时，满足是等腰直角三角形的点有两个；当时，满足是等腰直角三角形的点不存在.故选：B.11、B【解析】根据等差数列的性质计算出正确答案.【详解】由等差数列的性质可知，得.故选:B12、C【解析】分析出为等边三角形，可得出，进而可得出关于的等式，即可解得的值.【详解】在椭圆中，，，，如下图所示：因为椭圆的上顶点为点，焦点为、，所以，，为等边三角形，则，即，因此，.故选：C.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、200【解析】先根据分层抽样的方法计算出该单位青年职工应抽取的人数，进而算出青年职工的总人数.【详解】由题意，从中抽取100名员工作为样本，需要从该单位青年职工中抽取（人）.因为每人被抽中的概率是0.2，所以青年职工共有（人）.故答案：200.14、【解析】直接利用均值不等式得到答案.【详解】，当即时等号成立.故答案为【点睛】本题考查了均值不等式，意在考查学生的计算能力.15、【解析】，，利用椭圆的定义、结合余弦定理、已知条件，可得，解得，从而可得结果【详解】椭圆，可得，设，，可得，化简可得：，，故答案为【点睛】本题主要考查椭圆的定义以及余弦定理的应用，属于中档题．对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.16、2【解析】对函数求导，根据极值点得到或，讨论的不同取值，利用导数的方法判定函数单调性，验证极值点，即可得解.【详解】由可得，因为函数在处取得极小值，所以，解得或，若，则，当时，，则单调递增；当时，，则单调递减；当时，，则单调递增；所以函数在处取得极小值，符合题意；当时，，当时，，则单调递增；当时，，则单调递减；当时，，则单调递增；所以函数在处取得极大值，不符合题意；综上：.故答案为：2.【点睛】思路点睛：已知函数极值点求参数时，一般需要先对函数求导，根据极值点求出参数，再验证所求参数是否符合题意即可.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明过程见解析；（2）.【解析】（1）根据面面垂直的性质定理进行证明即可；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.【小问1详解】∵平面平面，平面平面平面，，∴平面；【小问2详解】（2）建系如图：设平面的法向量，，，，，，则，设，，，解得或（舍），，∴.18、（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）由线面垂直、切线的性质可得、，再根据线面垂直的判定即可证结论.（2）若，构建为原点，、、为x、y、z轴的空间直角坐标系，求面、面的法向量，利用空间向量夹角的坐标表示及其对应的余弦值求R，最后由圆锥的体积公式求体积.【小问1详解】由题设，底面圆，又是切线与圆的切点，∴底面圆，则，且，而，∴平面.【小问2详解】由题设，若，可构建为原点，、、为x、y、z轴的空间直角坐标系，又，可得，∴，，，有，，若是面的一个法向量，则，令，则，又面的一个法向量为，∴，可得，∴该圆锥的体积19、（1）（2）【解析】（1）根据正弦定理边角互化得，进而得；（2）根据题意得，进而在中，由余弦定理即可得答案.【小问1详解】解：因为，所以由正弦定理可得，所以，即，因为，所以，故，因为，所以【小问2详解】解：由（1）可知，又；所以，，，所以，在，由余弦定理可得，即，解得20、（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）根据题意可得，根据等比数列的定义，即可得证；（2）由（1）可得，可得，利用累加法即可求得数列的通项公式.【详解】（1）因为，所以，即，所以是首项为1公比为3的等比数列（2）由（1）可知，所以因为，所以……，，各式相加得：，又，所以，又当n=1时，满足上式，所以21、（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）过M作MN∥CD交PD于点N，证明四边形ABMN为平行四边形，即可证明BM∥平面PAD.（2）过B作AD的垂线，垂足为E，证明BE⊥平面PAD，在利用VP-ADM＝VM-PAD求三棱锥P-ADM的体积.【详解】解：（1）证明：如图，过M作MN∥CD交PD于点N，连接AN.∵PM＝2MC，∴MN＝CD.又AB＝CD，且AB∥CD∴AB∥MN∴四边形ABMN为平行四边形∴BM∥AN.又BM⊄平面PAD，AN⊂平面PAD∴BM∥平面PAD.（2）如图，过B作AD的垂线，垂足为E.∵PD⊥平面ABCD，BE⊂平面ABCD∴PD⊥BE.又AD⊂平面PAD，PD⊂平面PAD，AD∩PD＝D∴BE⊥平面PAD.由（1）知，BM∥平面PAD∴点M到平面PAD的距离等于