2025届安徽省安庆市达标名校数学高二上期末质量跟踪监视模拟试题含解析

2025届安徽省安庆市达标名校数学高二上期末质量跟踪监视模拟试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．给出命题：若函数是幂函数，则函数的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是（）A.3 B.2C.1 D.02．曲线在点处的切线方程是（）A. B.C. D.3．抛物线的焦点到其准线的距离是（）A.4 B.3C.2 D.14．已知双曲线上的点到的距离为15，则点到点的距离为（）A.7 B.23C.5或25 D.7或235．已知双曲线的离心率为5，则其标准方程为()A. B.C. D.6．已知双曲线右顶点为，以为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线交于，两点，若，则的离心率为（）A.2 B.C. D.7．关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为A. B.C. D.8．设是双曲线的一个焦点，，是的两个顶点，上存在一点，使得与以为直径的圆相切于，且是线段的中点，则的渐近线方程为A. B.C. D.9．设圆：和圆：交于A，B两点，则线段AB所在直线的方程为（）A. B.C. D.10．双曲线：的一条渐近线与直线垂直，则它的离心率为（）A. B.C. D.11．若实数x，y满足不等式组，则的最小值为（）A. B.0C. D.212．若直线与平行，则实数m等于（）A.0 B.1C.4 D.0或4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为则该圆锥的侧面积为________.14．已知等比数列满足：，，，则公比______.15．已知圆被轴截得的弦长为4，被轴分成两部分的弧长之比为1∶2，则圆心的轨迹方程为______，若点，，则周长的最小值为______16．已知函数，有且只有一个零点，则实数的取值范围是_______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知等差数列的前n项和为，等比数列的前n项和为，且，，（1）求，；（2）已知，，试比较，的大小18．（12分）已知函数.（1）求的单调区间；（2）求函数在区间上的最大值与最小值.19．（12分）某校在全体同学中随机抽取了100名同学，进行体育锻炼时间的专项调查．将调查数据按平均每天锻炼时间的多少（单位：分钟）分成五组：，，，，，得到如图所示的频率分布直方图．将平均每天体育锻炼时间不少于60分钟的同学定义为锻炼达标，平均每天体育锻炼时间少于60分钟的同学定义为锻炼不达标（1）求a的值，并估计该校同学平均每天体育锻炼时间的中位数；（2）在样本中，对平均每天体育锻炼时间不达标的同学，按分层抽样的方法抽取6名同学了解不达标的原因，再从这6名同学中随机抽取2名进行调研，求这2名同学中至少有一名每天体育锻炼时间（单位：分钟）在内的概率20．（12分）如图，在四棱锥中，底面满足，，底面，且，.（1）证明平面；（2）求平面与平面的夹角.21．（12分）已知椭圆的焦点为，且长轴长是焦距的倍（1）求椭圆的标准方程；（2）若斜率为1的直线与椭圆相交于两点，已知点，求面积的最大值22．（10分）甲乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束，设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响（1）求甲乙各投球一次，比赛结束的概率；（2）求甲获胜的概率

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】若函数是幂函数，则函数的图象不过第四象限，原命题是真命题，则其逆否命题也是真命题；其逆命题为：若函数的图象不过第四象限，则函数是幂函数是假命题，所以原命题的否命题也是假命题.故它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题有一个．选C2、B【解析】求导，得到曲线在点处的斜率，写出切线方程.【详解】因为，所以曲线在点处斜率为4，所以曲线在点处的切线方程是，即，故选：B3、C【解析】由抛物线焦点到准线的距离为求解即可.【详解】因为抛物线焦点到准线的距离为,故抛物线的焦点到其准线的距离是2.故选：C【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程中的几何意义,属于基础题型.4、D【解析】根据双曲线的定义知，，即可求解.【详解】由题意，双曲线，可得焦点坐标，根据双曲线的定义知，，而，所以或故选：D【点睛】本题主要考查了双曲线的定义及其应用，其中解答中熟记双曲线的定义，列出方程是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.5、D【解析】双曲线离心率公式和a、b、c的关系即可求得m，从而得到双曲线的标准方程.【详解】∵双曲线，∴，又，∴，∵离心率为，∴，解得，∴双曲线方程.故选：D.6、B【解析】，得出到渐近线的距离为，由此可得的关系，从而求得离心率【详解】因为，而，所以是等边三角形，到直线的距离为，又，渐近线方程取，即，所以，化简得故选：B7、B【解析】设，解集为所以二次函数图像开口向下，且与交点为，由韦达定理得所以的解集为，故选B.8、C【解析】根据图形的几何特性转化成双曲线的之间的关系求解.【详解】设另一焦点为，连接，由于是圆的切线，则，且，又是的中点，则是的中位线，则，且，由双曲线定义可知，由勾股定理知，，，即，渐近线方程为，所以渐近线方程为故选C.【点睛】本题考查双曲线的简单的几何性质，属于中档题.9、A【解析】将两圆的方程相减，即可求两圆相交弦所在直线的方程.【详解】设，因为圆：①和圆：②交于A，B两点所以由①-②得：,即，故坐标满足方程，又过AB的直线唯一确定，即直线的方程为.故选：A10、A【解析】先利用直线的斜率判定一条渐近线与直线垂直，求出，再利用双曲线的离心率公式和进行求解.【详解】因为直线的斜率为，所以双曲线的一条渐近线与直线垂直，所以，即，则双曲线的离心率.故选：A.卷II（非选择题11、A【解析】画出可行域，令，则，结合图形求出最小值，即可得解；【详解】解：画出不等式组，表示的平面区域如图阴影部分所示，由，解得，即，令，则．结合图形可知当过点时，取得最小值，且，即故选：A12、A【解析】由两条直线平行的充要条件即可求解.【详解】解：因为直线与平行，所以，解得，故选：A.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】利用体积公式求出圆锥的高，进一步求出母线长，最终利用侧面积公式求出答案.【详解】∵∴∴∴.故答案为：.14、【解析】根据等比数列的通项公式可得，结合即可求出公比.【详解】设等比数列的公式为q，则，即，解得，又，所以，所以.故答案为：.15、①.②.【解析】设，圆半径为，进而根据题意得，，进而得其轨迹方程为双曲线，再根据双曲线的定义，将周长转化为求的最小值，进而求解.【详解】解：如图1，因为圆被轴截得的弦长为4，被轴分成两部分的弧长之比为1∶2，所以，，所以中点，则，，所以，故设，圆半径为，则，，，所以，即所以圆心的轨迹方程为，表示双曲线，焦点为，，如图2，连接，由双曲线的定义得，即，所以周长为，因为，所以周长的最小值为故答案为：；.16、【解析】由题知方程，，有且只有一个零点，进而构造函数，利用导数研究函数单调性与函数值得变化情况，作出函数的大致图像，数形结合求解即可.【详解】解：因为函数，，有且只有一个零点，所以方程，，有且只有一个零点，令，则，，令，则所以为上的单调递减函数，因为，所以当时，；当时，；所以当时，；当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，因为当趋近于时，趋近于，当趋近于时，趋近于，且，时，，故的图像大致如图所示，所以方程，，有且只有一个零点等价于或.所以实数的取值范围是故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1），；（2）.【解析】(1)设等差数列的公差，等比数列的公比，由已知列式计算得解.(2)由(1)的结论，用等比数列前n项和公式求出，用裂项相消法求出，再比较大小作答.【小问1详解】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，依题意，，整理得：，解得，所以，.【小问2详解】由(1)知，，数列是首项为，公比为的等比数列，则，，，则，用数学归纳法证明，，①当时，左边，右边，左边>右边，即原不等式成立，②假设当时，不等式成立，即，则，即时，原不等式成立，综合①②知，，成立，因此，，即，所以.18、（1）单调递增区间为；单调减区间为和；（2）；.【解析】（1）求出导函数，令，求出单调递增区间；令，求出单调递减区间.（2）求出函数的单调区间，利用函数的单调性即可求解.【详解】1函数的定义域是R，，令，解得令，解得或，所以的单调递增区间为，单调减区间为和；2由在单调递减，在单调递增，所以，而，，故最大值是.19、（1），中位数为64；（2）.【解析】（1）由频率和为1求参数a，根据中位数的性质，结合频率直方图求中位数.（2）首先由分层抽样求6名同学的分布情况，再应用列举法求概率.【详解】（1）由题设，，可得，∴中位数应在之间，令中位数为，则，解得.∴该校同学平均每天体育锻炼时间的中位数为64.（2）由题设，抽取6名同学中1名在，2名在，3名在，若1名在为，2名在为，3名在为，∴随机抽取2名的可能情况有共15种，其中至少有一名在内的共12种，∴这2名同学中至少有一名每天体育锻炼时间（单位：分钟）在内的概率为.20、（1）证明见解析（2）【解析】（1）由已知结合线面平行判定定理可得；（2）建立空间直角坐标系，由向量法可解.【小问1详解】∵，，∴，又平面，平面，∴平面；【小问2详解】∵平面且、平面，∴，，又∵，故分别以所在直线为轴，轴、轴，建立如图空间直角坐标系，如图所示：由，，可得：，，，，，由已知平面，平面，，，，，平面，所以平面，为平面的一个法向量，且；设为平面的一个法向量，则，，，，，，，令，则，，，设平面与平面的夹角大小为，，由得：平面与平面的夹角大小为21、（1）；（2）1.【解析】(1)根据给定条件求出椭圆半焦距c，长短半轴长a，b即可得解.(2)设出直线的方程，再与椭圆C的方程联立，求出弦AB长及点P到直线的距离，然后求出面积的表达式并求其最大值即得.【小问1详解】设椭圆的标准方程为，依题意，半焦距，，即，所以椭圆的标准方程为.【小问2详解】依题意，设直线，，由消去y并整理得：，由，解得，则有，，于是得，而点到直线的距离为，因此，的面积，当且仅当，即时取“=”，所以面积最大值为1.【点睛】结论点睛：直线l：y=kx+b上两点间的距离；直线l：x=my+t上两点间的距离.22、（1）（2）【解析】（1）设事件“甲在第次投篮投中”，设事件“乙在第次