安徽省合肥一中、安庆一中等六校教育研究会2025届高二上数学期末达标检测模拟试题含解析

安徽省合肥一中、安庆一中等六校教育研究会2025届高二上数学期末达标检测模拟试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．准线方程为的抛物线的标准方程为（）A. B.C. D.2．圆和圆的位置关系是（）A.内含 B.内切C.相交 D.外离3．阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积，已知在平面直角坐标系中，椭圆的面积为，两焦点与短轴的一个端点构成等边三角形，则椭圆的标准方程是（）A. B.C. D.4．设抛物线C:的焦点为，准线为．是抛物线C上异于的一点，过作于，则线段的垂直平分线（）A.经过点 B.经过点C.平行于直线 D.垂直于直线5．已知，若，则（）A. B.C. D.6．已知数列是等比数列，，是函数的两个不同零点，则（）A.16 B.C.14 D.7．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点P是椭圆上的动点，，，则的最小值为（）A. B.C D.8．设等差数列，的前n项和分别是，，若，则（）A. B.C. D.9．在正方体中，为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为A. B.C. D.10．如图，是对某位同学一学期次体育测试成绩（单位：分）进行统计得到的散点图，关于这位同学的成绩分析，下列结论错误的是（）A.该同学的体育测试成绩总的趋势是在逐步提高，且次测试成绩的极差超过分B.该同学次测试成绩的众数是分C.该同学次测试成绩的中位数是分D.该同学次测试成绩与测试次数具有相关性，且呈正相关11．“”是“直线与圆相切”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件12．青少年视力被社会普遍关注，为了解他们的视力状况，经统计得到图中右下角名青少年的视力测量值（五分记录法）的茎叶图，其中茎表示个位数，叶表示十分位数．如果执行如图所示的算法程序，那么输出的结果是（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知在时有极值0，则的值为____14．已知命题p：若，则，那么命题p的否命题为______15．若存在实常数k和b，使得函数F（x）和G（x）对其公共定义域上的任意实数x都满足：F（x）≥kx+b和G（x）≤kx+b恒成立，则称此直线y＝kx+b为F（x）和G（x）的“隔离直线”，已知函数f（x）＝x2（x∈R），g（x）（x＜0），h（x）＝2elnx，有下列命题：①F（x）＝f（x）﹣g（x）内单调递增；②f（x）和g（x）之间存在“隔离直线”，且b的最小值为﹣4；③f（x）和g（x）之间存在“隔离直线”，且k的取值范围是（﹣4，0]；④f（x）和h（x）之间存在唯一的“隔离直线”y＝2x﹣e其中真命题为_____（请填所有正确命题的序号）16．已知数列{}的前n项和为，则该数列的通项公式__________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）请你设计一个包装盒，如图所示，是边长为的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得四个点重合于图中的点，正好形成一个长方体形状的包装盒，、在上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设（1）求包装盒的容积关于的函数表达式，并求出函数的定义域；（2）当为多少时，包装盒的容积最大？最大容积是多少？18．（12分）如图，在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知b＝3，c＝6，，且AD为BC边上的中线，AE为∠BAC的角平分线（1）求及线段BC的长；（2）求△ADE的面积19．（12分）在△中，已知、、分别是三内角、、所对应的边长,且（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若，且△的面积为，求.20．（12分）如图，已知正方体的棱长为2，，，分别为，，的中点（1）求直线与直线所成角余弦值；（2）求点到平面的距离21．（12分）如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，平面底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC的中点，，，（1）求证：；（2）求直线PB与平面MQB所成角的正弦值22．（10分）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）任意，恒成立，求的取值范围.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】的准线方程为.【详解】的准线方程为.故选：D.2、C【解析】根据两圆圆心的距离与两圆半径和差的大小关系即可判断.【详解】解：因为圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，所以两圆圆心的距离为，因为，即，所以圆和圆的位置关系是相交，故选：C.3、A【解析】由椭圆的面积为和两焦点与短轴的一个端点构成等边三角形，得到求解.【详解】由题意得，解得，所以椭圆的标准方程是.故选：A4、A【解析】依据题意作出焦点在轴上的开口向右的抛物线，根据垂直平分线的定义和抛物线的定义可知，线段的垂直平分线经过点，即可求解.【详解】如图所示：因为线段的垂直平分线上的点到的距离相等，又点在抛物线上，根据定义可知，，所以线段的垂直平分线经过点.故选：A.5、B【解析】先求出的坐标，然后由可得，再根据向量数量积的坐标运算求解即可.【详解】因为，，所以，因为，所以，即，解得.故选：B6、B【解析】由题意得到，根据等比数列的性质得到，化简，即可求解.【详解】由，是函数的两个不同零点，可得，根据等比数列的性质，可得则.故选：B.7、A【解析】由椭圆的定义可得；利用基本不等式，若，则，当且仅当时取等号.【详解】根据椭圆的定义可知，，即，因为，，所以，当且仅当，时等号成立.故选：A8、B【解析】利用求解.【详解】解：因为等差数列，的前n项和分别是，所以.故选：B9、C【解析】利用正方体中，，将问题转化为求共面直线与所成角的正切值，在中进行计算即可.【详解】在正方体中，，所以异面直线与所成角为，设正方体边长为，则由为棱的中点，可得，所以，则.故选C.【点睛】求异面直线所成角主要有以下两种方法：（1）几何法：①平移两直线中的一条或两条，到一个平面中；②利用边角关系，找到（或构造）所求角所在的三角形；③求出三边或三边比例关系，用余弦定理求角；（2）向量法：①求两直线的方向向量；②求两向量夹角的余弦；③因为直线夹角为锐角，所以②对应的余弦取绝对值即为直线所成角的余弦值.10、C【解析】根据给定的散点图，逐一分析各个选项即可判断作答.【详解】对于A，由散点图知，8次测试成绩总体是依次增大，极差为，A正确；对于B，散点图中8个数据的众数是48，B正确；对于C，散点图中的8个数由小到大排列，最中间两个数都是48，则次测试成绩的中位数是分，C不正确；对于D，散点图中8个点落在某条斜向上的直线附近，则次测试成绩与测试次数具有相关性，且呈正相关，D正确.故选：C11、A【解析】根据题意，结合直线与圆的位置关系求出，即可求解.【详解】根据题意，由直线与圆相切，知圆心到直线的距离，解得或，因此“”是“直线与圆相切”的充分不必要条件.故选：A.12、B【解析】依题意该程序框图是统计这12名青少年视力小于等于的人数，结合茎叶图判断可得；【详解】解：根据程序框图可知，该程序框图是统计这12名青少年视力小于等于的人数，由茎叶图可知视力小于等于的有5人，故选：B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、11【解析】由题知，且，所以，得或，①当时，，此时，，所以函数单调递增无极值，舍去②当时，，此时，是函数的极值点，符合题意，∴14、若，则【解析】直接利用否命题的定义，对原命题的条件与结论都否定即可得结果【详解】因为命题：若，则，所以否定条件与结论后，可得命题的否命题为若，则，故答案为若，则，【点睛】本题主要考查命题的否命题，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题15、①②④【解析】①求出F（x）＝f（x）﹣g（x）的导数，检验在x∈（，0）内的导数符号，即可判断；②、③设f（x）、g（x）的隔离直线为y＝kx+b，x2≥kx+b对一切实数x成立，即有△1≤0，又kx+b对一切x＜0成立，△2≤0，k≤0，b≤0，根据不等式的性质，求出k，b的范围，即可判断②③；④存在f（x）和g（x）的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为k．则隔离直线，构造函数，求出函数函数的导数，根据导数求出函数的最值【解答】解：①∵F（x）＝f（x）﹣g（x）＝x2，∴x∈（，0），F′（x）＝2x0，∴F（x）＝f（x）﹣g（x）在x∈（，0）内单调递增，故①对；②、③设f（x）、g（x）的隔离直线为y＝kx+b，则x2≥kx+b对一切实数x成立，即有△1≤0，k2+4b≤0，又kx+b对一切x＜0成立，则kx2+bx﹣1≤0，即△2≤0，b2+4k≤0，k≤0，b≤0，即有k2≤﹣4b且b2≤﹣4k，k4≤16b2≤﹣64k⇒﹣4≤k≤0，同理⇒﹣4≤b≤0，故②对，③错；④函数f（x）和h（x）的图象在x处有公共点，因此存在f（x）和g（x）的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为k．则隔离直线方程为y﹣e＝k（x），即y＝kx﹣ke，由f（x）≥kx﹣ke（x∈R），可得x2﹣kx+ke≥0当x∈R恒成立，则△≤0，只有k＝2，此时直线方程为：y＝2x﹣e，下面证明h（x）≤2x﹣e，令G（x）＝2x﹣e﹣h（x）＝2x﹣e﹣2elnx，G′（x），当x时，G′（x）＝0，当0＜x时，G′（x）＜0，当x时，G′（x）＞0，则当x时，G（x）取到极小值，极小值是0，也是最小值所以G（x）＝2x﹣e﹣g（x）≥0，则g（x）≤2x﹣e，当x＞0时恒成立∴函数f（x）和g（x）存在唯一的隔离直线y＝2x﹣e，故④正确故答案为：①②④【点睛】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查新定义，关键是对新定义的理解，考查函数的求导，利用导数求最值，属于难题.16、2n+1【解析】由计算，再计算可得结论【详解】由题意时，，又适合上式，所以故答案为：【点睛】本题考查由求通项公式，解题根据是，但要注意此式不含，三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1），定义域为；（2）当时，包装盒的容积最大是.【解析】（1）设出包装盒的高和底面边长，利用长方体的表面积得到等量关系，再利用长方体的体积公式求出表达式，再利用实际意义得到函数的定义域；（2）求导，利用导函数的符号变化得到函数的极值，即最值.小问1详解】解：设包装盒的高为，底面边长为，则，，所以=其定义域为；【小问2详解】解：由（1）得：，，因为，所以当时，；当时，；所以当时，取得极大值，即当时，包装盒的容积最大是18、（1），BC＝6（2）【解析】（1）利用正弦定理、二倍角公式化简已知条件，求得，结合余弦定理求得，也即.（2）求得三角形的面积，结合角平分线、中线的性质求得三角形的面积.小问1详解】∵，∴，∴，∴由余弦定理得（负值舍去），即BC＝6.【小问2详解】∵，，∴，∴，∵AE平分∠BAC，，由正弦定理得：，其中，∴，∵AD为BC边的中线，∴，∴.19、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）利用余弦定理和得到关于角A的关系式，求解A（II）再结合正弦面积公式得到三角形的边长的求解【详解】解：（Ⅰ）在△ABC中，（Ⅱ）由，得20、（1）（2）【解析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法由求解；（1）建立空间直角坐标系，先取得平面的一个法向量，，，然后由求解【小问1详解】解：以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系.则，0，，，2，，，2，，，0，，，0，，，0，，，2，，所以，2，，，2，，则直线与直线所成角的余弦值为；【小问2详解】，2，，，2，，设平面的一个法向量，，，则，取，得，1，，又，点到平面的距离21、（1）证明见解析（2）【解析】（1）根据等腰三角形可得，再由面面垂直的性质得出线面垂直，即可求证；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角.【小问1详解】因为Q为AD的中点，，所以，又因为平面底面ABCD，平面底面，平面PAD，所以平面ABCD，又平面ABCD，所以【小问2详解】由题可知QA、QB、QP两两互相垂直，以QA为x轴、QB为y轴、QP为z轴建立空间坐标系，如图，根据题意，则，，，，，由M是棱PC的中点可知，，设平面