2022学年高二数学上学期期末高频考点专题03 椭圆（知识串讲解析版）

2022学年高二数学上学期期末高频考点

专题03椭圆

【知识梳理】

一、椭圆的几何性质

1.椭圆的定义

平面内到两定点尸1,尸2的距离的和等于常数(大于I尸I尸2|)的点的轨迹叫做椭圆.两定点尸“尸2叫做椭

圆的焦点.

集合曰如土也［£止述2］三叱基史心虹

(1)当2a>|入尸2I时，M点的轨迹是椭圆；

⑵当〃=田迅2|时，M点的轨迹是线段as；

(3)当2aV|Fi尸2I时，M点不存在.

2.椭圆的标准方程和几何性质

22

元2V2VX

标准方程_+_=1(a>,>0)AL3>Q。)

布

y

1

^1(^0

图形,守”

Bi

范围

x^[—a9a]9y^[—b9b]x^[—bfb]9y£[—。，a]

对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点

性

Ai(—«,0),A2(a,0)4(0,—a),41(0,a)

质顶点

51(0,一力)，B2(0,b)

离心率e=-f且e£(0,l)

a

a,b,c的关系c2=a2—b2

离心率表示椭圆的扁平程度.当e越接近于1时，c越接近于a,从而6=，/一。2越小,因此椭圆越

扁；当e越接近于0时，c越接近于0,从而b=G-c2越大,因此椭圆越接近圆；当e=0时，c=0,

a=b,两焦点重合，图形就是圆.

［熟记常用结论］

1.焦半径：椭圆上的点尸(X0,%)与左(下)焦点F1与右(上)焦点尸2之间的线段的长度叫做椭圆的焦半径,

分别记作ri=|PFi|,「2=10F2］.

x2y2,

(1)—H■—7—1(a>Z>>0),ri=a+ex。,r2=a-exo；

ab~

y2x2

(2)—+—=1(a>Z>>0),n=a+eyo,ri=a—ey^

a~b~

(3)焦半径中以长轴为端点的焦半径最大和最小(近日点与远日点).

2.焦点三角形：椭圆上的点P(xo,州)与两焦点构成的APF正2叫做焦点三角形，NBPF2=〃，△产人产2的

X2V2

面积为S,则在椭圆二+==13>5>0)中

ab'

(1)当尸为短轴端点时，夕最大.

1Q

2

(2)5=-|PFi||PF2|-sin0=btan一=加|,当阮|=/>时，即点P为短轴端点时，S取最大值，最大值

22

为be.

(3)焦点三角形的周长为2(a+c).

2b2

3.焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中以通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长.

a

为椭圆=1的弦，yi),弦中点y),则

4.A5KF(a>b>0)A(xi,ji),5(X2,M(xo,0

(1)弦长1=J1+攵2|X1—X2|=1+j回一及卜

(2)直线A3的斜率必B=一

二、直线与椭圆的位置关系

1.点与椭圆的位置关系

x2V2

点P（xo,刈）与椭圆r+r=l（。＞方＞0）的位置关系:

arb~

22

点尸在椭圆上台殍+冬=1

ao

点尸在椭圆内部台与+与＜1;

ab

22

点尸在椭圆外部今冬+冬＞1.

ab

2.直线与椭圆的位置关系

%2y2

直线丁=履+〃［与椭圆一~+K=l的位置关系:

ab“

y=kx+m,

联立x2,2消去y得一个关于X的一元二次方程.

、/+*1

位置关系解的个数A的取值

相交西解念0

相切二解/三0

相离无解J<0

【典型例题】

考点一：椭圆的方程

例1、椭圆的焦距为8,且椭圆上的点到两个焦点距离之和为10,则该椭圆的标准方程是

【答案】正+日=1或g+次=1

259259

解：由题意可知：焦距为2c=8,贝ijc=4,2a=10,则a=5,b2=a2—c2=9,

・・•当椭圆的焦点在X轴上时，椭圆的标准方程：应+竺=1,

259

当椭圆的焦点在y轴上时，椭圆的标准方程：,+?=1，

故椭圆的标准方程为(+3=1或《+9=1

训练1、椭圆3+?=1上一点P到焦点Fi的距离是6,那么P到焦点尸2的距离

【答案】4

解：根据题意，椭圆会+g=1中(1==5，

则有|PFi|+\PF2\=2a=10,

又由|P&|=6,则|PFz|=10—6=4,

即P到焦点尸2的距离为4;

故答案为：4

例2、已知F是椭圆5/+9y2=45的左焦点，P是此椭圆上的动点,4(1,1)是一定点,则山川+|PF|的最

大值是.

【答案】6+yj2

解：椭圆5M+9y2=45的标准方程为R9=l,a=3,c=2,

设椭圆的右焦点为尸2(2,0)，

根据椭圆的定义可知|PA|+|PF|=|PA|+2a-|PF2|,

.•.当|PA|-IPF2I取得最大值时，|PA|+|PF|最大,

如图所示：

22

因为|PA|+|PF|<2a+\AF2\=6+7(2-l)+(0-l)=6+0，

当且仅当P,A,F2三点共线，且尸2在线段PA上时，等号成立，

所以|PA|+|PF|的最大值为6+V2.

故答案为6+V2.

例3、已知△ABC的周长为20,且顶点8(0,—4),C(0,4),则顶点4的轨迹方程是

【答案】—+—=1(x^0)

解：由题意可得+\AC\=20-|BC|=20-8=12>\BC\,

所以点4的轨迹是以B,C为焦点，2a=12的椭圆，

则a=6,b=y/a2—c2=V36-16=2遍，

故顶点4的轨迹方程是式+日=l(x羊0).

2036''

故答案为5+1QW0).

ZU36

例4、椭圆立+g=1和椭圆三+=1(0<k<9)有()

A.等长的长轴B.相等的焦距C.相等的离心率D.等长的短轴

【答案】B

解：椭圆正+^=1的长轴长为2a=10,焦距2c=8,

259

离心率e=短轴长2b=6,

椭圆B+蓝=1(°<k<9)的长轴长2优=2V25-/C，

焦距2c'=8,

离心率以=^==,短轴长2b'=2V9-/C,

••.两椭圆有相等的焦距.

故选：B.

训练1、我们把由半椭圆盘+、=1(%20)与半椭圆,+,=1(%<0)合成

的曲线称作“果圆”(其中a?=从+02,a>6>00),如图所示，其中

点尸o,0,尸2是相应椭圆的焦点.若△&死尸2是边长为1的等边三角形，则a,

b的值分别为()

A.21

2

B.V3,1

C.5,3

D.5,4

【答案】A

解：|。尸2|=7b.z—c?=：,|Of0|—c-V3|OF2|=

12

・•・b=1,

222

Aa=b4-c=14--=

44

得a——)

2

故答案选:A.

考点二：离心率

例1、以椭圆的两个焦点为直径的端点的圆与椭圆交于四个不同的点，顺次连接这四个点和两个焦点恰好

组成一个正六边形，那么这个椭圆的离心率为()

A.yB.yC.V3-V2D.V3-1

【答案】D

解：如图，设椭圆的方程为、+，=l(a>b>0),焦距为2c,椭圆与圆的四个交点为4B,C,D,

所以+\AF2\=2a=(V3+l)c.

所以e=?=言=8-1・

故选D

训练1、过点作斜率为一加直线与椭圆C：g+g=l(a>fa>0)相交于AB,若M是线段4B的中

点，则椭圆C的离心率为_____

【答案】立

2

解：设8(%21力),则蚩+,=1①，置+诲=1②,

・・・M是线段48的中点，・・・七詈=1,空=1,

•••过点M(l,l)作斜率为一:的直线与椭圆C：W+l(a>b>0)相交于4B两点,M是线段AB的中点，

2222

・••①②两式相减可得红*+红泮=0,

即三+(-：)4=。3,Q=加瓦：・c=b,

a22b2-

c\[2

...e.

・•一a-2・

故答案为它.

2

例2、如图，Fi、尸2分别为椭圆C：5+，=l(a>b>0)的左、右焦点，P为椭圆C上「

的点，Q是线段P8上靠近&的三等分点，APQF2为正三角形，则椭圆C的离心率为

（）nJ

A*2

B.坦

4

jc-3

D.五

5

【答案】D

解：由椭圆的定义知，\PFX\+\PF2\=2a,Wi]||P（2|+\PF2\=2a,

因为△PQ4为正三角形,所以|PFZ|=£,|P&|=£.

在已PK6中，由余弦定理得4c2=^a2+||a2-2Xyxyxcos60°=|1a2>

则e?=/，...e=g

255

故答案选：D.

例3、已知4、B是椭圆C：捺+《=l(a>b>0)长轴的两个端点，P、Q是椭圆上关于x轴对称的两点,

直线ZP、BQ的斜率分别为自、k2,若含+含的最小值为4,则椭圆的离心率为()

1Kli\K2\

A.；B.更C.渔D.隹

2332

【答案】D

解：如图所示：

设「(曲，尢)，则芬+兽=1，则。(软,一%),4(—a,O),B(a,O),

所以自为=昔・且=—=!

xQ+ax0-a说—QNQ/

所以Ai+高》21品方与,当且仅当自=的时取等号，

又因为甚+丁［的最小值为4,

1^111^21

2a.

了=%

设Q=2,则8=1,

:、c=V3»

•••椭圆的离心率e=?=*

故选/).

例4、已知椭圆捻+《=1®>b>0)的左右焦点分别为Fi(—c,O),尸2(。，0)月力>c,若在椭圆上存在点P,

使得过点P可作以招尸2为直径的圆的两条互相垂直的切线，则椭圆离心率的范围为.

【答案】哼净

解：根据题目所给的条件可知，以F1F2为直径的圆存在两条相互垂直的切线；

因为两条切线均垂直于过切点的半径，且切线互相垂直，

则切线的交点P（Xo，y。）仍然构成以坐标原点为圆心，以鱼。为半径的一个圆，

设该圆的方程为就+韬=2,2,

由题意得诏+M42C2有解，

即（诏+据）min<2c2,

因为瑞+嬴=诏+炉一=g2+

xb2t

所以（诏+据）min=b2V2C2

2

即Q2—c<2c2,

所以e2>]

又1a2-c2>c2,

・•・e2<

2

故椭圆离心率e的取值范围是它（e<立.

32

故答案为日净.

考点三：新定义

例1、万众瞩目的北京冬奥会将于2022年2月4日正式开幕，继2008年北京奥运会之后，国家体育场（又名

鸟巢）将再次承办奥运会开幕式.在手工课上，王老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型，

其俯视图可近似看成是两个大小不同,扁平程度相同的椭圆，已知大椭圆的长轴长为40cm,短轴长为20cm,

小椭圆的短轴长为10cm,则小椭圆的长轴长为（）cm

A.30B.20C.10D.10V3

【答案】B

解：大小椭圆的扁平程度相同，即大小椭圆的离心率相等.

因为大椭圆的长轴长为40cm,短轴长为20cm,

所以2al=40,2瓦=20,

所以的=20,瓦=10,

所以商=400-100=300,

所以q=10\/3）

所以离心率6=鲸=3.

202

因为小椭圆的短轴长为10cm,即2b=10,

所以b=5,

因为e=立，

2

所以e2二=2=注=半，

4a1aza2

所以4（。2-25）=3a2,

解得a?=100,

所以a=10,

所以2a=20,

所以小椭圆的长轴长为20cm.

故选B.

训练1、如图，椭圆/与〃有公共的左顶点与左焦点，且椭圆〃的右顶点为椭圆/的中心，设椭圆/与〃的长半

轴长分别为由和。2,半焦距分别为G和C2,离心率分别为e1和02,则下列结论正确的是（）

A.%+q>2(a2+c2)

C.。2clD.20i=e2+1

【答案】ABD

解：由题可知%=2。2,。2+=G，且。1＞白＞0,a2＞c2＞0,

Q]+R＞2cl=2(a2+。2)，A正确;

Q]_q=2a2_(g2+C2)=。2—0，故3正确；

又，誓＞翁，即蓝〉春•,•年2＜。2c1，故C错误；

=^=空茨=-p,即2e1=e2+1,故。正确.

故选ABD.

训练2、17世纪法国数学家费马在怦面与立体轨迹引论》中证明，方程=4'2(卜＞0#中1,。片

0)表示椭圆，费马所依据的是椭圆的重要性质：若从椭圆上任意一点P向长轴(异于4B两点)引垂线,

垂足为Q，则凝为常数.据此推断，此常数的值为()

A.椭圆的离心率B.椭圆离心率的平方

C.短轴长与长轴长的比D.短轴长与长轴长比的平方

【答案】D

解：方程Cl?-/=4/心＞0#力l,a力0)表示椭圆，

X?y2

即7+言=1。＞°/片1片°)，

~k

当%＞1时-，设椭圆上任意一点P(x,y),

(2(x,0)M(a,0)B(-a,0),

则附产=k=一^

J|4Q||8Q||x-a||x+a||x2-a2|

\a2-ky2-a2\ka2

当0<k<1时，设椭圆上任意一点P(x,y),

则Q(0，y)，4(。，为B(o,一给，

|PQ『_#2

即两丽=陶陶

X-_a2-ky2_

\y2~r\P2-T|T"

故选D

考点四：周长、面积

例1、设点P为椭圆C：各?=l(a>2)上一点，&,尸2分别为C的左、右焦点，且N&PF2=60°,则4PFXF2

的面积为()

A.4V3B.2V3C.迪D.2

33

【答案】c

解：,••椭圆C：5+?=l(a>2),

b=2,c=Va2—4,

又为椭圆上一点，4&PF2=60°,FI、尸2为左右焦点，

二IRPI+IPF2I=2a,IF1F2I=2迎2-4,

：•1&尸2/=(|PFi|+|PF|)2-|PF21cos60。，

22\FXP\\PF2\-2\FXP\-

=4a2-3|FXP|■\PF2\,

即492-4)=4a2-3|FiP|•\PF2\,

•••1户丁卜仍尸21=冬

•・•SAP&FZ=：|FiP|,|P尸2|sin60。，

116V346

=-X-X—=--.

2323

故答案选：C.

训练1、设M为椭圆卷+?=1上的一个点，%F2为焦点，“泌尸2=60。，则△MF/2的周长和面积分别

为()

A.16,V3B,18,V3C.16,3gD.18,373

【答案】D

解：M是椭圆巳+?=1上的点，Fi，民是椭圆的两个焦点，“”f2=60°,

所以椭圆中Q=5,6=3,c=4,

设：IMF/=m,\MF2\=n,

根据余弦定理得：m24-n2—nm=(m4-n)2—3mn=64,

由于HI+TI=10,求得：mn=12,

所以△MFi&的周长=n4-Tn+8=18,西=；/〃・〃•sin仪r=3人.

故选：D.

考点五：椭圆综合应用

例1、已知椭圆9+9=1的左焦点为凡点P在椭圆上且在X轴的上方,若线段P尸的中点在以原点。为圆心，

|。川为半径的圆上，则直线PF的斜率是.

【答案】V15

解：椭圆会•+9=1的a=3,b=V5，c=2,

设椭圆的右焦点为尸'，连接PF',

线段PF的中点4在以原点。为圆心，2为半径的圆上,

连接4。,可得|PF'|=2|4。|=4,

△PFF'中，PF=6-PF'=2,FF'=4,PF'=4,

.♦・由余弦定理得8S“FF'="黑萨

42+22-421

2x2x44

・•・sinzPFF,=

tan/PFF，=V15.即直线PF的斜率为6.

故答案为6.

例2、已知P是椭圆E：9+3=1上一点，Fi，F2为其左右焦点，且AF】PF2的面积为3,则下列说法正确

的是（）

A.P点纵坐标为3

B.4乒2>Y

C.△F1PF2的周长为4(夜+1)

D.AFiPF2的内切圆半径为久夜一1）

【答案】CD

解:椭圆E：?+?=1中，a2=8,拄=4,c2=4,

则a=2^2,b=c=2.

S4&PF2=5x2cx\yp\=2x|yP|=3,解得|%)|=故A错误;

当P在短轴端点时，sin/OPF?=?=&=券，所以此时NF|P「2=*,

由4知Ml=I时，所以NFiPB<；,故8不正确;

△尸铲尸2的周长为2a+2c=4V2+4=4(V2+1),故C正确;

设AFiPB的内切圆半径为小

SgpFz=Ix(2a+2c)xr=(2V2+2)r=3,

解得「=康=|(a—1),故。正确.

故答案为CD.

训练1、设椭圆C:9+y2=i的左右焦点为Fi，F2,P是C上的动点，则下列结论正确的是()

A.\PFr\+\PF2\=2>/2

B.离心率e=—

2

C.4PF1a面积的最大值为企

D.以线段6尸2为直径的圆与直线x+y-&=0相切

【答案】AD

解：对于4选项，由椭圆的定义可知|PF/+IPF2I=2a=2VI，所以4选项正确.

对于8选项，依题意a=y[2,b=l,c=1，所以e=£=」-=心，所以8选项不正确.

«V22

时于C选项，|&F2l=2c=2,当P为椭圆短轴顶点时，4P&F2的面积取得最大值为92c=c-b=1,

所以C选项错误.

对于。选项，线段&&为直径的圆圆心为(。，0)，半径为c=1,圆心到直线x+y-V2=0的距离为*=1,

也即圆心到直线的距离等于半径，所以以线段尸1尸2为直径的圆与直线％+y-金=0相切，所以。选项正

确.

综上所述，正确的为71。.

故选AD.

例3、椭圆'+'=l(a>b>0)的左、右焦点分别为&,F2,椭圆上的点M

满足：4&"尸2=60。，且丽•丽=2,则b=()(

C.V3

D.2

【答案】C

解：设|丽|=?n,|丽|二九，因为研•祈河=2,

贝ijnmcos60。=2,可得nm=4,

又m+n=2a,(1),

在aMFiF2中，由余弦定理可得：

222o222

\F1F2\=m4-n-2mncos60=4c=4(a—b)(2),

(1)式平方减去(2)式得：b2=3,得：b=5

故选：C.

考点六：定值定点问题

22—

例1、已知椭圆C：今+1=l(a>b>0),右焦点尸的坐标为(2,0),且点(2,夜)在椭圆C上.

(1)求椭圆C的方程及离心率；

(2)过点F的直线交椭圆于4B两点(直线不与x轴垂直)，已知点4与点P关于x轴对称，证明：直线PB

恒过定点，并求出此定点坐标.

Ia2b2却

【答案】解：(1)由已知得=炉+。2,

Ic=2,

解得偿=A

=4,

••・椭圆C的标准方程为兰+工=1,

84

.,・椭圆C的离心率e=*=-4==它.

a2y22

(2)证明：设P(X1，%)，8(x2,y2),则4(%1，-

可设PB的直线方程为y=kx+m,

y=kx+m,

{T+T=1-

整理得(2/+l)%2+4kmx+2m2—8=0,

-4km27n2-8

•••/+&=许"62=诉，

'・•kAF=kFB,

..且=上

2—XiX2-2,

整理得2kxl冷+(m-2fc)(xx+x2)-4m=0,

27n2-8.ci、-4km.

・•・2k—；-(mf—2k)•—-----4m=0n,

2/C2+1')2k2+1

解得m=-4/c,

PB的直线方程为：y=kx-4k=k(x-4),

则直线PB恒过定点(4,0).

例2、已知点B是圆C：(x—l)2+y2=16上的任意一点，点F(一1,0),线段BF的垂直平分线交BC于点P.

(1)求动点P的轨迹E的方程；

(2)设曲线后与％轴的两个交点分别为公,A2,Q为直线x=4上的动点，且Q不在x轴上，Q①与E的另

一个交点为M，Q&与E的另一个交点为N,证明：AFMN的周长为定值.

【答案】解:(1)由题意可知|PF|+\PC\=\PB\+\PC\=4>2=\FC\,

所以动点P的轨迹是以F,C为焦点且长轴长为4的椭圆，

所以Q=2,c=1,b2=3,

因此E的方程为r+^=1.

43

(2)不妨设A(-2,0),4(2,0),Q(4,t)(t羊0)为直线x=4上一点，W(x2,y2),

直线4Q方程为y=*(x+2),直线4Q方程为y=1(x-2),

y=3)+2),

由，得(27+t2)x2+4t2x+4t2-108=0,

片+匕=1,

I43'

2

得(-2)■Xj_4t-108

27+t2

2

所以—54-2t

27+t2

所以也■，黑

)>

同理可得N(寝,言)，

所以直线MN的方程为y+言=一缶(x一密),

即y=_各+急=_悬(”1)，

故直线MN过定点(1,0)

所以△FMN的周长为定值=4a=8.

VU./I

__________

训练1、给定椭圆C：m+]=l(a>b>0),称圆心在原点。，半径为4。2+炉的圆是椭圆c的“卫星圆”

a2b2v/

若椭圆C的离心率当，点(2,或)在C上.

(1)求椭圆C的方程和其“卫星圆”方程；

(2)点P是椭圆C的“卫星圆”上的一个动点，过点P作直线。，办使得。，L，与椭圆C都只有一个交点，

且，1，%分别交其“卫星圆”于点M，N,证明：弦长|MN|为定值.

【答案】解：⑴由条件可得：|丁,解得a=2a,b=2

所以椭圆的方程为兰+日=1,

84

卫星圆的方程为"+y2=i2,

(2)①当，i/2中有一条无斜率时，不妨设h无斜率，

因为。与椭圆只有一个公共点，则其方程为X=2&或x=—2位，

当k方程为x=2或时,此时k与“卫星圆”交于点(2外2)和(2注，-2),

此时经过点(2夜,2)(2a,-2)且与椭圆只有一个公共点的直线是

丁=2或、=-2,即％为y=2或y=-2,1%

••・线段MN应为“卫星圆”的直径，二|MN|=4V3-

②当匕,2都有斜率时，设点「(340)，其中&2+九2=",

设经过点P(xo，y())与椭圆只有一个公共点的直线为y=t(x-x0)+y0,

(y=tx+(y-tx)玲

则，[X2,y2100消去y得到(1+2产)n％2o+4t(yo一坟o)x+2(%-50)2-8=0,

(7+T=1

2

A=(64—8%o)t+16x0yQt4-32-8.=0•

32-8弁32-8(12-诏)_

•■•tl-t2=64-8x2=-64-8.-=T，

所以t「t2=—1，满足条件的两直线5%垂直.二线段MN应为“卫星圆”的直径，|MN|=

4V3

综合①②知：因为h%经过点。(殉，先)，又分别交其卫星圆于点MN,且h%垂直，

所以线段MN为卫星圆与2+为2=12的直径，|MN|=46为定值,

例3、己知椭圆C：盘+5=1缶>6>0)的离心率为竽，左、右焦点分别为居，F2,过FI的直线交椭圆于

A,B两点.

(I)若以线段A&为直径的动圆内切于圆炉+、2=9,求椭圆的长轴长；

(n)当b=1时，问在x轴上是否存在定点T,使得方.历为定值？如果存在，求出定点和定值；如果不存

在，请说明理由.

【答案】解：(I)设Z0的中点M,连接OM,AF2,

在三角形4月尸2中，。为Fi&的中点，所以。M为中位线，名

所以|OM|=»F2l="2a-M&|)=a-：|*|,

又因为圆M与圆。内切，所以圆心距10Ml为两个半径之差，即|。必=3—登/{^\\少\x

所以=3-/44|,可得a=3,

所以椭圆的长轴长为2a=6；

(11)由0=£=*^,b=1,a?=+©2可得Q2=9,

a3

所以椭圆的方程为：?+y2=i；可得左焦点&(一2&,0),

当直线48的斜率不为0时，设直线AB的方程为：x=my-2V2，设4(%,%)，B(x2,y2)

22

联立直线AB与椭圆的方程。，整理可得(9+m)y-4y[2m-1=0,可得%+y2=黑,

%先=焉,

假设存在7(£,0)满足条件，则元?・TB=(石—t,yi)(%2-GW)=(打—亡)(%2—t)+=(m%—2^2—

2

t)(my2-2V2-t)+yry2=(1+-m(2a++y2)+(2/+t)=-

4企m2（2&£）+（2戊+02m2+9（2企+t）2

9+m29+m2

_m2［（2调+02—1-4友（2«+t）］+9（2企+t）2-l

9+m2

要使方•而为定值，则9G空）2-1=（2&+t）2一1一4&（2a+t），解得t=-半，即7（-9,0）,这

时_9（2四--产1=7,

981

当直线的斜率为0时，即直线48为万轴，与椭圆的交点4,B分别为：（一3,0）,（3,0）,

这时钢.方=（-3+萼,0）.（3+竽,0）=（呼>-9=一（，

综上所述：在x轴上存在定点了（一半,0）使得普.而为定值-高.

例4、如图所示，在平面直角坐标系xOy中，已知点P为椭圆6：/+?=1的上顶点.椭圆C2以椭圆G的长

轴为短轴，且与椭圆G有相同的离心率.

（1）求椭圆C2的标准方程；

（2）过点P作斜率分别为左1#2的两条直线1112,直线与椭圆G，C2分别交于点4B,直线%与椭圆C1，C2

分别交于点C,D.

①当丽=g可时，求点4的纵坐标；

②若4c两点关于坐标原点。对称，求证：普+得为定值.

【答案】解：回对于椭圆Ci：/+/=1,a/=2,瓦2=1,q2=］,

故长轴长为2近，离心率是且=义=4

QiV22

由图设椭圆的标准方程为，+，=l（a>b>0）；

则2b=2V2，—=a2=/?2+c2,

a2

解得a=2,b=&,即椭圆C2的标准方程为9+§=1；

团由（1）可得椭圆的：％2+?=1的上顶点为（0,夜）,

直线的方程分别为y=k]X+V2,y=k2x+

%2+5=1,ZM2伪C1

则①由2L得当=一赤；

1

y=fci%+V2f

兰+乃=

1伪

由42却得4=-4q

1+2好

y=/<!%+V2,

由丽=|两知，一喇=gx（—舞），解得好=2,

D工十/IC]D\4十/

故％=PA+V2=-+V2=0；

②同理可得益=—黑，

由4c两点关于坐标原点。对称知，一瞭+（—噜）=0,

/+昆1/+«2

则心+B=0或自⑥=-2.

当的+七=0时，A,C为椭圆好:/+?=1的短轴端点，不妨取4（-1,0）,C（L0），

则自=y/2,k2=—V2.

故"-舒=哼”小（却+凤寺

故IP川=«TW=H，/8|=］（0+,2+（混+¥）=号

故iX言，

\PA\\PC\_\PA\_5

\PB\十\PD\~L\PB\―4*

当k02=-2即心=F，

K1

zvzkt

-r：PA-2+可_1+2好

而而=

4、反与―2（2+烂），

1+2好

同理PC=1+2-_】+2（」产一好+8

，PD2（2+好）2（2+（券）2）4（好+2）'

斫以也4•匹1=1+2好.烂+8=5

"以市面十IPDI-2（2+好）+4（好+2）-4,

训练1、已知椭圆牡捻+5=19>6>0)的离心率为小且过点(2,夜).

(1)求椭圆M的方程；

(2)若4B分别为椭圆M的上，下顶点，过点B且斜率为k(k>0)的直线，交椭圆M于另一点N(异于椭圆的

右顶点)，交x轴于点P,直线4N与直线x=a相交于点Q.求证：直线PQ的斜率为定值.

【答案】⑴解：椭圆C：?+，=l(a>b>0)的离心率为当，且过点(2,。，

ra£

可4

--

a2=1'

2

匕2+c2

解得。2=8,〃=4,

•••椭圆方程为《+”=1；

84

(2)证明：易得4(0,2),B(0,-2),直线I的方程为y=h一2,则P《,0),

因为直线I不过点(2夜,0),所以kK日

将、=履一2代入椭圆方程<+些=1,

84

可得(1+2/c2)x2—8kx=0,

8k4k2-2、

<'-Xn=^77'所以N(2k2+1'2k2+1)

4H-2

直线AN的斜率为五铲=-±,故直线4N的方程为y=一如4-2

2^+1

令x=2我得<2(2式,一与+2)

-y+2_-y/2+2k_V2(V2k-l)_y[2

所以直线PQ的斜率/£时

2及-*―2>/2k-2~2(V2Zc-l)-2

所以直线PQ的斜率为定值号.

例5、椭圆E：2+3=l(a>b>())的离心率为右长轴端点和短轴端点的距离为夕.

(1)求椭圆E的标准方程；

(2)点P是圆/+、2=72&>0)上异于点4(一忆0)和8(>,0)的任一点，直线4P与椭圆E交于点M,N,直线

BP与椭圆E交于点S,7.设0为坐标原点，直线OM,ON,OS,。7的斜率分别为k0N,kos,/c0T.|«J：

是否存在常数r,使得岫财+1。'=右5+卜”恒成立?若存在，求r的值；若不存在，请说明理由.

【答案】解：(1)设椭圆焦距为2c(c>0),

fb2+c2=a2

Q1

由Ji=2，解得Q=2,b=K.

<y/a2+b2=小

•••椭圆E的标准方程为E+乃=1.

43

(2)由题意直线4P,BP斜率存在且均不为0,

设直线4P方程为y=々(％+r)MOi，%),N(x21yi)-

y—k(x+r)

{兰+乃=1'

43

得(3+4k2)%2+8k2rx+(4k2r2-12)=0.

-OKrr-ZT\

=

：•Xi4-X2---77，X1%2=-----ry--①

1z3+4/c21z3+4k27

又咤+污中+中

X1x2X1x2

_2收62+行(必+~2)⑨

xlx2

从而①代入②得+k0N=fc2rtl3,

又APLBP,以一律代匕以一r替代r,

同理可得kos+k0T=r2_zkz^

—6k6k

k2r2_3r2_3k2

2

A(k+1)("-3)=o对女工o恒成立，

解得r=b或r=-百(舍)，

经检验，此时4>0,

因此存在r=H，使得A。”+k0N=kos+k°T恒成立.

考点七：直线方程

例1、已知椭圆知,+J=l(a>b>0)经过点(一1,1,且焦距为2.

a'b''

(1)求椭圆E的方程；

(2)设4为椭圆E的左顶点，过右焦点尸2的直线，交椭圆E于P,Q两点，记直线AP、AQ的斜率分别为七,

卜2,若七+%2=-［，求直线，的方程.

【答案】解：(1)由焦距为2,可得2c=2,贝k=l,

由条件C?=a?—/)2=1,①

又椭圆E经过点(―1,|),则上+亲=1,②

联立解得Q=2,b=V3,

所以椭圆E的方程：=+?=1；

(2)由(1)可知，4(-2,0),尸2(1,0),

若/的斜率不存在，由对称性知的+七=0,不符合要求；

若I的斜率存在，设直线，的斜率为匕则直线，方程为y=k(x-l),

(y=k(x-1)

联立(//,W(4/c2+3)x2-8k2x+4/c2-12=0,

tT+T=1

设P01，yi)，Q(X2，y2)，则巧+^2=-^^,xrx2=累詈，

所以自+七=言+卷==+磊2

333(%I+%2+4)

=《一门1_-)=碓飞+2欣+2,

8k2

=k"途』=位-智)T

4k2+34k2+3

所以所以k=2,

所以直线［的方程为2x-y-2=0.

例2、己知椭圆C:捻+《=l(a>b>0)的离心率为手左、右焦点分别为&、F2,4为相圆C上一点，AF.

与y轴交于B,\AB\=\FB\,\OB\=—.

26

小

(I)求椭圆C的方程；

(11)过右焦点尸2的直线丫=以无一2)伏力0)交椭圆于P、Q两点若PQ的中点为N,。为原点，直线ON交

直线x=3于点M.求髭f的最大值.

【答案】解：(I)连接/尸2，由题意得|力切=\F2B\=\FyB\,则8。为△尸遇尸2的中位线，

其中e为椭圆E的离心率.

(1)求椭圆E的方程;

(2)设椭圆E的左、右顶点分别为4,B,过点Q(-2,2)的直线I与椭圆E分别交于点M,N,直线0Q与BM

交于点T,试问：直线47与8N是否一定平行？请说明理由.

【答案】解：⑴依题意，点(1,e)在椭圆E上，又e=£,

故2+且a2=b2+c2,解得/?2=1,

a2a2bz

又因为点(近,日)在椭圆E上，故总+表=1，

即卷+9=1，解得。2=4,

2

所以椭圆E的方程为?+V=i.

(2)结论：AT//BN.

证明如下：依题意，>4(-2,0),8(2,0),直线，不与x轴平行.

设直线，的方程为4+2=t(y-2),M(%i，yi),N(x2,y2)>

(x+2=t(y-2),

2

联立方程组］x21消去x可得，(t2+4)y2-4t(t+l)y+4t(t+2)=0,

I7+y=1，

所以/>o,且为+先=§翳，y^2=黑?■

直线8M的方程为y=热"-2),直线OQ的方程为y=-X,

2yr

{.已更即M洋「缶).

_2yl

记直线47,BN的斜率分别为心，k2,则自=雪