2024-2025学年新教材高中数学第八章立体几何初步8.5.3平面与平面平行素养检测含解析新人教A版必修第二册

PAGE课时素养检测二十八平面与平面平行(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共30分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)1.已知平面α∥平面β,过平面α内的一条直线a的平面γ,与平面β相交,交线为直线b,则a,b的位置关系是 ()A.平行 B.相交 C.异面 D.不确定【解析】选A.两平行平面α,β被第三个平面γ所截,则交线a,b平行.2.已知α∥β,a⊂α,B∈β,则在β内过点B的全部直线中 ()A.不肯定存在与a平行的直线B.只有两条与a平行的直线C.存在多数条与a平行的直线D.存在唯一一条与a平行的直线【解析】选D.由直线a与点B确定一个平面,记为γ,设γ∩β=b,因为α∥β,a⊂α,所以a∥β.所以a∥b.只有一条.3.下列说法正确的个数是 ()①两平面平行,夹在两平面间的相等的线段平行;②假如一条直线和两个平行平面中的一个平行,那么它和另一个平面也平行;③平行直线被三个平行平面截得的线段对应成比例.A.1 B.2 C.3 【解析】选A.①错误,这两条相等的线段可能相交或异面;②错误,直线可能在另一个平面内;③正确.4.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别为棱A1B1,BB1,CC1,C1D1A.AD1∥平面EFGHB.BD1∥GHC.BD∥EFD.平面EFGH∥平面A1BCD1【解析】选D.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别为棱A1B1,BB1,CC1,C1D1的中点,在A中,BC1与平面EFGH相交,又AD1∥BC1,故AD1在B中,BD1∩CD1=D1,CD1∥GH,故BD1不行能平行于GH,故B错误;在C中,BD∩A1B=B,A1B∥EF,故BD与EF不行能平行,故C错误;在D中,EF∥A1B,FG∥BC,A1B∩BC=B,EF∩FG=F,所以平面EFGH∥平面A1BCD1,故D正确.5.如图,在三棱台A1B1C1-ABC中,点D在A1B1上,且AA1∥BD,点M是△A1B1C1内的一个动点(含边界),且有平面BDM∥平面AA.平面B.直线C.线段,但只含1个端点D.圆【解析】选C.因为平面BDM∥平面A1C,平面BDM∩平面A1B1C1=DM,平面A1C∩平面A1B1C1所以DM∥A1C1,过D作DE1∥A1C1交B1C1于E16.(多选题)如图是正方体的平面绽开图,在这个正方体中,以下说法正确的是 ()A.BM∥平面ADEB.CN∥平面BAFC.平面BDM∥平面AFND.平面BDE∥平面NCF【解析】选ABCD.以ABCD为下底还原正方体,如图所示,则易判定四个说法都正确.二、填空题(每小题5分,共10分)7.设平面α∥β,A∈α,C∈α,B∈β,D∈β,直线AB与CD交于点S,且AS=8,BS=9,CD=34,当点S在平面α,β之间时,CS等于________.

【解析】如图,由题意知,△ASC∽△BSD,因为CD=34,所以SD=34-CS.由AS∶BS=CS∶(34-CS)知,8∶9=CS∶(34-CS),所以CS=16.答案:168.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,与BC平行的平面是________;与平面A1B1C1D1和平面A1B1BA都平行的棱是【解析】视察图形,依据直线与平面平行的判定定理可知,与BC平行的平面是平面A1B1C1D1与平面ADD1A1;因为平面A1B1C1D1与平面A1B1BA的交线是A1答案:平面A1B1C1D1与平面ADD1A三、解答题(每小题10分,共20分)9.如图所示,B为△ACD所在平面外一点,M,N,G分别为△ABC,△ABD,△BCD的重心.(1)求证:平面MNG∥平面ACD.(2)求S△MNG∶S△ADC.【解析】(1)连接BM,BN,BG并延长分别交AC,AD,CD于P,F,H;因为M,N,G分别为△ABC,△ABD,△BCD的重心,所以QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE,且P,H,F分别为AC,CD,AD的中点.连接PF,FH,PH,有MN∥PF.又PF⊂平面ACD,MN⊄平面ACD,所以MN∥平面ACD.同理MG∥平面ACD,MG∩MN=M,所以平面MNG∥平面ACD.(2)由(1)可知QUOTE=QUOTE=QUOTE,所以MG=QUOTEPH.又PH=QUOTEAD,所以MG=QUOTEAD;同理NG=QUOTEAC,MN=QUOTECD.所以△MNG∽△DCA,其相像比为1∶3,所以S△MNG∶S△ACD=1∶9.10.如图,平面α∥平面β,A,C∈α,B,D∈β,点E,F分别在线段AB,CD上,且QUOTE=QUOTE.求证:EF∥平面β.【证明】(1)若直线AB和CD共面,因为α∥β,平面ABDC与α,β分别交于AC,BD,所以AC∥BD.又QUOTE=QUOTE,所以EF∥AC∥BD.所以EF∥平面β.(2)若AB与CD异面,如图所示,连接BC并在BC上取一点G,使得QUOTE=QUOTE,则在△BAC中,EG∥AC,而AC⊂平面α,EG⊄平面α,所以EG∥α.又α∥β,所以EG∥β.同理可得GF∥BD,而BD⊂β,GF⊄β,所以GF∥β.又EG∩GF=G,所以平面EGF∥β.又EF⊂平面EGF,所以EF∥平面β.综合(1)(2)得EF∥平面β.【补偿训练】在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N,P分别是AD1,BD和B1(1)MN∥平面CC1D1D.(2)平面MNP∥平面CC1D1D.【证明】(1)连接AC,CD1.因为四边形ABCD为正方形,N为BD中点,所以N为AC中点.又因为M为AD1中点,所以MN∥CD1.因为MN⊄平面CC1D1D,CD1⊂平面CC1D1D,所以MN∥平面CC1D1D.(2)连接BC1,C1D.因为四边形BB1C1C为正方形,P为B1C中点,所以P为BC1中点,又因为N为BD中点,所以PN因为PN⊄平面CC1D1D,C1D⊂平面CC1D1D,所以PN∥平面CC1D1D,由(1)知MN∥平面CC1D1D,又MN∩PN=N,所以平面MNP∥平面CC1D1D.(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)1.设α,β是两个不同的平面,m是直线且m⊂α,m∥β,若使α∥β成立,则需增加条件 ()A.n是直线且n⊂α,n∥βB.n,m是异面直线,n∥βC.n,m是相交直线且n⊂α,n∥βD.n,m是平行直线且n⊂α,n∥β【解析】选C.要使α∥β成立,须要其中一个面的两条相交直线与另一个面平行,n,m是相交直线且n⊂α,n∥β,m⊂α,m∥β,由平面和平面平行的判定定理可得α∥β.2.设平面α∥平面β,A∈α,B∈β,C是AB的中点,当点A,B分别在平面α,β内运动时,动点C ()A.不共面B.当且仅当点A,B分别在两条直线上移动时才共面C.当且仅当点A,B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面D.无论点A,B如何移动都共面【解析】选D.无论点A,B如何移动,其中点C到α,β的距离始终相等,故点C在到α,β距离相等且与两平面都平行的平面上.3.下列命题:①一条直线与两个平行平面中的一个平面相交,必与另外一个平面相交;②假如一个平面平行于两个平行平面中的一个平面,必平行于另一个平面;③夹在两个平行平面间的平行线段相等.其中正确的命题的个数为 ()A.1 B.2 C.3 D.0【解析】选C.依据面面平行的性质知①②③正确.4.(多选题)已知平面α∥平面β,直线m⊂α,直线n⊂β,下列结论中正确的是 ()A.m∥β B.n∥αC.m∥n D.m与n不相交【解析】选ABD.由平面α∥平面β,直线m⊂α,直线n⊂β知:在A中,m∥β,故A正确;在B中,n∥α,故B正确;m,n平行或异面,肯定不相交.故C错误,D正确.二、填空题(每小题5分,共10分)5.如图,已知S是平行四边形ABCD平面外一点,M,N分别是SA,BD上的点,且QUOTE=QUOTE,则MN__________平面SBC.

【解析】过N作NG∥AD,交AB于G,连接MG,可得QUOTE=QUOTE,由已知条件QUOTE=QUOTE,得QUOTE=QUOTE,所以MG∥SB.因为MG⊄平面SBC,SB⊂平面SBC,所以MG∥平面SBC.又AD∥BC,所以NG∥BC,NG⊄平面SBC,BC⊂平面SBC,所以NG∥平面SBC,NG∩MG=G,所以平面SBC∥平面MNG,因为MN⊂平面MNG,所以MN∥平面SBC.答案:∥6.棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是棱AA1的中点,过C,M,D1作正方体的截面,则截面的面积是________【解析】如图,由面面平行的性质知截面与平面AA1B1B的交线MN是△AA1B的中位线,所以截面是梯形CD1MN,易求其面积为QUOTE.答案:QUOTE三、解答题(每小题10分,共30分)7.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,D1,D分别为B1C求证:平面A1D1B∥平面ADC1.【证明】连接D1D.因为D1DB1BA1A,所以四边形A1ADD1为平行四边形,所以A1D1∥AD.因为A1D1⊄平面ADC1,AD⊂平面ADC1,所以A1D1∥平面ADC1.因为BD1∥DC1,BD1⊄平面ADC1,DC1⊂平面ADC1,所以BD1∥平面ADC1,又因为A1D1∩BD1=D1,所以平面A1D1B∥平面ADC1.8.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为底面ABCD的中心,P是DD1的中点,设Q是CC1上的点,问:当点Q在什么位置时,平面D1【解析】当Q为CC1的中点时,平面D1BQ∥平面PAO.因为Q为CC1的中点,P为DD1的中点,所以QB∥PA.连接DB,因为P,O分别为DD1,DB的中点,所以D1B∥PO,又因为D1B⊄平面PAO,QB⊄平面PAO,所以D1B∥平面PAO,QB∥平面PAO,又因为D1B∩QB=B,所以平面D1BQ∥平面PAO.【补偿训练】如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为直角梯形,AD∥BC,∠BAD=90°,BC=2AD,AC与BD交于点O,点M,N分别在线段PC,AB上,QUOTE=QUOTE=2.求证:平面MNO∥平面PAD.【证明】在梯形ABCD中,因为AD∥BC,所以QUOTE=QUOTE=2,又QUOTE=2,所以ON∥BC∥AD.因为AD⊂平面PAD,ON⊄平面PAD,所以ON∥平面PAD.在△PAC中,QUOTE=QUOTE=2,所以OM∥AP,因为AP⊂平面PAD,OM⊄平面PAD,所以OM∥平面PAD,因为OM⊂平面OMN,ON⊂平面OMN,且OM∩ON=O,所以平面MNO∥平面PAD.9.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1(1)若E为A1C1的中点,求证:DE∥平面ABB1A(2)若E为A1C1上一点,且A1B∥平面B1DE,求QUOTE的值.【解析】(1)取B1C1则EG∥A1B1,DG∥BB1,又EG∩DG=G,A1B1∩BB1=B1,所以平面DEG∥平面ABB1A1又DE⊂平面DEG,所以DE∥平面ABB1A1(2)设B1D交BC1于点F,连接EF,则平面A1BC1∩平面B1DE=EF.因为A1B∥平面B1DE,A1B⊂平面A1BC1,所以A1B∥EF.所以QUOTE=QUOTE.又因为△BDF∽△C1B1F所以QUOTE=QUOTE=QUOTE,所以QUOTE=QUOTE.【补偿训练】如图所示,平面α∥平面β,△ABC,△A′B′C′分别在α,β内,线段AA′,BB′,CC′共点于O,O在α,β之间,若AB=2,AC=1,∠BAC=90°,OA∶OA′=3∶2.求△A′B′C′的面积.【解析】相交直线AA′,BB′所在平面和两平行平面α,β分别相交于AB,A′B′,由面面平行的性质定理可得AB∥A′B′.同理相交直线BB′,CC′确定的平面和平行平面α,β分别相交于BC,B′C′,从而BC∥B′C′.同理:AC∥A′C′.所以∠BAC与∠B′