江苏省盐城市2025届高三数学下学期第三次模拟考试试题含解析

PAGE26-江苏省盐城市2025届高三数学下学期第三次模拟考试试题（含解析）第I卷（必做题，共160分）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上.）1.已知集合M＝，N＝，则M与N的并集MN＝_______.【答案】(﹣1，2)【解析】【分析】先化简集合M，再利用并集运算求解.【详解】∵集合M＝，∴M＝(0，2)，又∵N＝，∴MN＝(﹣1，2).故答案为：(﹣1，2)【点睛】本题主要考查集合并集运算，属于基础题.2.设复数(a＞0)，若，则正实数a的值为_______.【答案】1【解析】【分析】依据，得到，再利用求解.【详解】∵，∴，又∵a＞0，∴a＝1故答案为：1【点睛】本题主要考查复数的概念及运算，还考查了运算求解的实力，属于基础题.3.某电视台对一节目的宠爱程度进行网络调查，共有12000人参与调查，宠爱、一般、不宠爱的人分别为6000人、5000人、1000人，为进一步了解被调查人的详细想法，现利用分层抽样的方法抽取60人，则抽取不宠爱的人数为_______.【答案】5【解析】【分析】依据不宠爱的人在总体中的比例求解.【详解】抽取不宠爱的人数为：.故答案为：5【点睛】本题主要考查分层抽样，还考查了理解辨析的实力，属于基础题.4.某校志愿者小组有2名男生和1名女生，现从中任选2人参与活动，则女生入选的概率是_______.【答案】【解析】【分析】先列出从中任选2人参与活动的种数，再找出女生入选的状况种数，代入公式求解.【详解】2名男生用a，b表示1名女生用A表示，则从中任选2人参与活动有共3种，其中女生入选的状况有2种，故女生入选的概率是.故答案为：【点睛】本题主要考查古典概型的概率，还考查了理解辨析的实力，属于基础题.5.一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最终输出的S的值为________．【答案】8【解析】分析：先推断是否成立，若成立，再计算，若不成立，结束循环，输出结果.详解：由伪代码可得，因为，所以结束循环，输出点睛：本题考查伪代码，考查考生的读图实力，难度较小.6.若双曲线(a＞0，b＞0)的离心率为2，则其两条渐近线所成的锐角为_______.【答案】【解析】【分析】依据离心率为2，得到，从而得到两条渐近线方程即可.【详解】∵，∴，故，所以，∴两条渐近线方程为：，∴两条渐近线所成的锐角为.故答案为：【点睛】本题主要考查双曲线的简洁几何性质，还考查了理解辨析的实力，属于基础题.7.设三棱锥P—ABC的体积为V1，点M，N分别满足，，记三棱锥A—BMN的体积为V2，则＝_______.【答案】【解析】【分析】依据，，得到S△BMN与S△PBC的关系，再由点A到平面BMN与点A到平面PBC的距离相等求解.【详解】如图所示：因为，所以S△BMN＝S△PBC，又因为点A到平面BMN与点A到平面PBC的距离相等，故＝.故答案为：【点睛】本题主要考查三棱锥的体积，还考查了转化化归的思想和理解辨析的实力，属于基础题.8.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则cosA＝_______.【答案】【解析】【分析】依据，利用正弦定理转化为，再由，然后利用余弦定理求解.【详解】∵，∴，把代入得，，∴.故答案为：【点睛】本题主要考查正余弦定理，余弦定理，还考查了运算求解的实力，属于中档题.9.已知数列、满足，且数列是等差数列，若，，则数列的前n项和＝_______.【答案】【解析】【分析】依据是等差数列，且，，利用“”法，求得，再由，求得，利用等比数列前n项和公式求解.【详解】∵是等差数列，且，，∴，解得，∴，∴，故是的前n项和.故答案为：【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，等比数列的前n项和，还考查了运算求解的实力，属于中档题.10.若函数关于直线对称，则的最小正值为_______.【答案】【解析】【分析】依据函数关于直线对称，得到求解.【详解】因为若函数关于直线对称，所以，kZ，则，kZ，所以的最小正值为.故答案为：【点睛】本题主要考查三角函数的对称性，还考查了运算求解的实力，属于中档题.11.若存在实数x(0，4)，使不等式成立，则实数a的取值范围是_______.【答案】(6，)【解析】【分析】依据存在x(0，4)，使不等式成立，转化为存在x(0，4)，使成立，令，用导数法求其最小值即可.【详解】∵x(0，4)，使不等式成立，存在x(0，4)，使成立∴，令，则，当x(0，2)，，单调递减，当x(2，4)，，单调递增，故，所以，故.故答案为：(6，)【点睛】本题主要考查函数与不等式存在性问题，还考查了运算求解的实力，属于中档题.12.在锐角△ABC中，已知AH是BC边上的高，且满足，则的取值范围是_______.【答案】(，1)【解析】【分析】依据AH是BC边上的高，得到AH⊥BC，再依据，得到CH＝BC，在Rt△ACH中，由余弦函数定义得到，在△ABC中，由余弦定理得到，两者联立，再依据△ABC是锐角三角形，有求解.最终取交集.【详解】如图所示：已知AH是BC边上的高所以AH⊥BC，又因为，所以CH＝BC，在Rt△ACH中，，在△ABC中，，所以，化简得，得，∵△ABC锐角三角形，∴，得，∴，即的取值范围是(，1).故答案为：(，1)【点睛】本题主要考查平面对量与解三角形，还考查了运算求解的实力，属于中档题.13.设函数，若函数与函数都有零点，且它们的零点完全相同，则实数a的取值范围是_______.【答案】(﹣2，0]【解析】【分析】设既是的零点，也是的零点，即，，从而，得到b＝0，得到，然后依据与函数都有零点，且零点完全相同求解.【详解】假设既是的零点，也是的零点，则，，即，则b＝0，∴，令，解得，，∴，解得或，①当a＝0时，符合题意；②当a≠0时，方程无解，即方程无解，∴，解得，综上所述，﹣2＜a≤0.故答案为：【点睛】本题主要考查函数与方程，还考查了转化化归的思想和运算求解的实力，属于中档题.14.若圆C1：与圆C2：相交，点P为其在x轴下方的交点，且mn＝﹣8，则点P到直线x＋y﹣1＝0距离的最大值为_______.【答案】【解析】【分析】依据圆C1：与圆C2：的特征，点P为其在x轴下方的交点，则，代入圆C1依据mn＝﹣8化简得到，然后利用点P的轨迹求解.【详解】由题意可知，代入圆C1得，∵mn＝﹣8，∴，所以点P在圆上，其中，求得圆心O到直线x＋y﹣1＝0的距离是，故点P到直线x＋y﹣1＝0的距离的最大值是.故答案为：【点睛】本题主要考查直线与圆，圆与圆的位置关系，还考查了数形结合的思想和运算求解的实力，属于中档题.二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.若＝(，)，＝(，)，设.（1）求函数在[0，π]上的单调减区间；（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，求sinB的值.【答案】（1）单调减区间为[，π]（2）【解析】【分析】（1）依据，利用平面对量的数量积和三角恒等变换得到，再利用正弦函数的性质求解.（2）由（1）知，当x[0，π]，对称轴方程为，由，得到，再由，利用正弦定理得到，从而有求解.【详解】（1）∵＝(，)，＝(，)，∴，，，，.由，kZ，解得，kZ，又∵x[0，π]，∴解得，∴函数在[0，π]的单调减区间为[，π]，（2）由（1）知，其对称轴为，kZ，当x[0，π]，对称轴方程为，∵，，即，∴，，∴，，∴，即，∵，且B为锐角，sinB＞0，解得【点睛】本题主要考查平面对量与三角恒等变换以及三角函数的性质，还考查了数形结合的思想和运算求解的实力，属于中档题.16.如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1＝AC，A1B⊥AC1，设O为AC1与A1C的交点，点P为BC的中点.求证：（1）OP∥平面ABB1A1；（2）平面ACC1⊥平面OCP.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）依据平面ACC1A1是平行四边形，则O为A1C的中点，又P为BC的中点，依据三角形中位线得到OP∥A1B，再利用线面平行的判定定理证明.（2）依据AA1＝AC，得到平面ACC1A1是菱形，从而AC1⊥OC，再由A1B⊥AC1，OP∥A1B，得到AC1⊥OP，由线面垂直的判定定理得到AC1⊥平面OCP，然后用面面垂直的判定定理证明.【详解】（1）∵在三棱柱中，平面ACC1A1是平行四边形，∴O为A1C的中点，又∵P为BC的中点，∴OP∥A1B，∵A1B平面ABB1A1，OP平面ABB1A1，∴OP∥平面ABB1A1，（2）∵平面ACC1A1是平行四边形，且AA1＝AC，∴平面ACC1A1是菱形，∴AC1⊥A1C，即AC1⊥OC，∵A1B⊥AC1，且OP∥A1B，∴AC1⊥OP，又AC1⊥OC，OPOC＝O，∴AC1⊥平面OCP，∵AC1平面ACC1，∴平面ACC1⊥平面OCP.【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理，线面垂直，面面垂直的判定定理，还考查了转化化归的思想和逻辑推理的实力，属于中档题.17.如图1是淋浴房示意图，它的底座是由正方形截去一角得到，这一角是一个与正方形两邻边相切的圆的圆弧（如图2）.现已知正方形的边长是1米，设该底座的面积为S平方米，周长为l米（周长是指图2中实线部分），圆的半径为r米.设计的志向要求是面积S尽可能大，周长l尽可能小，但明显S、l都是关于r的减函数，于是设，当的值越大，满足度就越高.试问r为何值时，该淋浴房底座的满足度最高？（解答时π以3代入运算）【答案】当时，该淋浴房底座的满足度最高【解析】【分析】依据底座的面积与周长的定义，分别用r表示，然后建立函数，利用导数求其最大值即可.【详解】，，所以，，，令，解得r(0，)(，1)＋0－递增极大值递减故时，取得最大值.答：当时，该淋浴房底座的满足度最高.【点睛】本题主要考查函数的实际应用以及导数与函数的最值，还考查了运算求解的实力，属于中档题.18.如图，A、B为椭圆C：短轴的上、下顶点，P为直线l：y＝2上一动点，连接PA并延长交椭圆于点M，连接PB交椭圆于点N，已知直线MA，MB的斜率之积恒为.（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线MN与x轴平行，求直线MN的方程；（3）求四边形AMBN面积的最大值，并求对应的点P的坐标.【答案】（1）（2）（3）四边形AMBN面积的最大值为，对应的点P的坐标为(，2)【解析】【分析】（1）依据题意有A(0，1)，B(0，﹣1)，设M(x，y)，依据直线MA，MB的斜率之积恒为，即求解.（2）依据题意设M(m，n)，则N(﹣m，n)，，联立求解，令求解.（3）设P(t，2)，t≠0，与椭圆联立得，求得的坐标，同理求得的坐标，然后由S四边形AMBN求解.【详解】（1）A(0，1)，B(0，﹣1)，设M(x，y)，则，因此，椭圆C的标准方程为：；（2）设M(m，n)，则N(﹣m，n)，则，联立解得，所以，故直线MN的方程为：；（3）设P(t，2)，t≠0，与椭圆联立得解得或，，同理或所以S四边形AMBN令，则S四边形AMBN，，故在上递减，故，即，即时，，即S四边形AMBN的最大值为因此，四边形AMBN面积的最大值为，对应的点P的坐标为(，2).【点睛】本题主要考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系以及面积问题，还考查了数形结合的思想和运算求解的实力，属于难题.19.已知数列满足.（1）若数列的首项为，其中，且，，构成公比小于0的等比数列，求的值；（2）若是公差为d(d＞0)的等差数列的前n项和，求的值；（3）若，，且数列单调递增，数列单调递减，求数列的通项公式.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）依据，令，再依据，，构成公比小于0的等比数列，得到，联立求解.（2）依据是公差为d(d＞0)的等差数列的前n项和，则由通项与前n项和的关系，得到，，再依据对随意均成立，令联立求解.（3）依据数列单调递增，数列单调递减，则有，，所以时，，时，，两者联立求解.【详解】（1）由题意知：，所以，解得：；（2）由题意知：，，所以对随意均成立，其中d＞0，所以，解得，所以.此时，对随意均成立，故；（3）由题意知：，，故时，，时，，则：，故，即n为奇数时，，又n为奇数时，，所以，即n为偶数时，，综上，.【点睛】本题主要考查等差数列，等比数列的综合应用，还考查了特别与一般的思想和运算求解的实力，属于难题.20.设函数，，其中恒不为0.（1）设，求函数在x＝1处的切线方程；（2）若是函数与的公共极值点，求证：存在且唯一；（3）设，是否存在实数a，b，使得在(0，)上恒成立？若存在，恳求出实数a，b满足的条件；若不存在，请说明理由.【答案】（1）（2）证明见解析（3）存在；a＝0，b≠0符合题意【解析】【分析】（1）依据，得到，求导，得到，，写出切线方程.（2）依据是函数与的公共极值点，则有，解得，令，用导数法探讨只有一个零点即可.（3）依据在上无零点，分当a＝0，b≠0，，三种状况探讨求解.【详解】（1）因为，所以，，，，故在x＝1处的切线方程为：；（2），，由题意知，解得，令，x＞0，，时，；时，，故在递减，递增，又时，，故在(0，1)上无零点，，，故，又在递增，因此，在(1，e)上存在唯一零点，∴存在且唯一；（3）由题意知：在上无零点当a＝0时，则b≠0，，符合题意；又，则b(a＋b)＞0，故b≠0.当a≠0时，要使在上无零点，明显ab＞0在上恒成立，即在上恒成立，令，，，时，时，，时，，，故，因此，时，，与题意不符，舍去；时，时，，时，，，故，因此，时，，与题意不符，舍去；综上，存在a＝0，b≠0符合题意.【点睛】本题主要考查导数的几何意义，导数与函数的零点以及导数与不等式恒成立问题，还考查了转化化归，分类探讨的思想和运算求解的实力，属于难题.第II卷（附加题，共40分）【选做题】本题包括A，B，C三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤.A.选修4—2：矩阵与变换21.直线l经矩阵M＝(其中(0，))作用变换后得到直线l′：y＝2x，若直线l与l′垂直，求的值.【答案】【解析】【分析】在l上任取一点P(x，y)，设P经矩阵M变换后得到点P′(x′，y′)，依据矩阵变换运算得到x′，y′，代入直线l′：y＝2x，得到直线l方程，再由两直线垂直求解.【详解】在l上任取一点P(x，y)，设P经矩阵M变换后得到点P′(x′，y′)故，又P′直线l′：y＝2x上，即y′＝2x′则即直线l：因为l与l′垂直，故又，故.【点睛】本题主要考查矩阵变换探讨两直线的位置关系，还考查了运算求解的实力，属于中档题.B.选修4—4：坐标系与参数方程22.已知在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数).以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，求直线l被曲线C截得的弦长.【答案】【解析】【分析】消去参数t得到直线l的直角坐标方程，依据得到曲线C的直角坐标方程，再利用“r，d”法求弦长.【详解】因为直线l的参数方程为，消去参数t得：直线l的直角坐标方程为：，因为曲线C的极坐标方程为，由得曲线C的直角坐标方程为：，圆心为C(0，0)，半径r＝，所以圆心C到直线l的距离所以直线l被曲线C截得的弦长为.【点睛】本题主要考查参数方程，极坐标方程，直角坐标方程的转化以及直线与圆的位置关系，还考查了运算求解的实力，属于中档题.C.选修4—5：不等式选讲23.若正数a，b，c满足，求的最小值.【答案】【解析】【分析】依据正数a，b，c满足，即有，再利用“1”的代换，转化为，用基本不等式求解.【详解】因为正数a，b，c满足，所以，所以，当且仅当，，时，取等号.所以最小值为.【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，还考查了运算求解的实力，属于中档题.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤.24.已知某高校综合评价有两步：第一步是材料初审，若材料初审不合格，则不能进入其次步面试；若材料初审合格，则进入其次步面试.只有面试合格者，才能获得该高校综合评价的录用资格，现有A，B，C三名学生报名参与该高校的综合评价，假设A，B，C三位学生材料初审合格的概率分别是，，；面试合格的概率分别是，，.（1）求A，B两位考生有且只有一位考生获得录用资格的概率；（2）记随机变量X为A，B，C三位学生获得该高校综合评价录用资格的人数，求X的概率分布与数学期望.【答案】（1）（2）详见解析【解析】【分析】（1）记“A，B两位考生有且只有一位考生获得录用资格”为事务M，分别算出A，B考生获得录用资格的概率，再分两类求解.（2）随机变量X可能的取值