黑龙江省哈尔滨市第九中学2024-2025学年高一数学上学期期中试题含解析

PAGE16-黑龙江省哈尔滨市第九中学2024-2025学年高一数学上学期期中试题（含解析）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：由题意知，故选B.【考点定位】本题考查集合的基本运算，属于简单题.2.化简的值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用根式的运算性质即可得出．【详解】解：．故选．【点睛】本题考查了根式的运算性质，考查了推理实力与计算实力，属于基础题．3.如图所示的图形中，表示的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】依据子集的定义进行解答即可．【详解】解：由于，故对随意的，必有则它们之间的关系是：故选．【点睛】本题考查的是子集的定义，娴熟驾驭相关的定义是解答此题的关键，属于基础题．4.设集合A={1，2}，则满意的集合B的个数是A.1 B.3 C.4 D.8【答案】C【解析】试题分析：因，，所以,,,,故选C.考点：并集及其运算；集合的包含关系推断及应用点评：此题考查了并集及其运算，以及集合的包含关系推断及应用，娴熟驾驭并集的定义是解本题的关键．5.函数且的图象必经过定点A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】函数图象过定点，即无论参数取何值，当时，y总等于b，由此可利用代入验证的方法找到正确答案【详解】当时，无论a取何值，函数且的图象必经过定点故选D．【点睛】本题考查了指数函数的图象性质，含参数的函数图象过定点问题的解决方法，代入验证的方法解选择题6.下列函数中，与函数相同的函数是（）.A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】通过分析函数的定义域、值域和对应关系，由此确定正确选项.【详解】函数的定义域和值域都为.对于A选项，函数的定义域为，故与不相同.对于B选项，，定义域、值域都为，对应关系为，故与相同.对于C选项，函数的定义域为，故与不相同.对于D选项，函数的定义域为，故与不相同.故选B.【点睛】本小题主要考查两个函数相等的概念，考查函数的定义域、值域、对应关系，属于基础题.7.设，则a，b，c的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用指数函数、对数函数的单调性干脆求解．【详解】解：，，，，，的大小关系是．故选．【点睛】本题考查三个数的大小的推断，解题时要仔细审题，留意指数函数、对数函数的单调性的合理运用，属于基础题．8.下列函数中，在区间上为增函数的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依据题意，依次分析选项中函数的单调性，综合即可得答案．【详解】解：依据题意，依次分析选项：对于，，函数为指数函数，则上为增函数，则在上为减函数，不符合题意；对于，，令，，则函数在上为增函数，在为增函数，则在区间上为增函数，符合题意；对于，为二次函数，开口向下且对称轴为，在区间上为减函数，不符合题意；对于，为对数函数，在区间上为减函数，不符合题意；故选．【点睛】本题考查函数单调性的判定，关键是驾驭常见函数的单调性．9.一旅社有100间相同的客房，经过一段时间的经营实践，发觉每间客房每天的定价与住房率有如下关系：每间客房定价100元90元80元60元住房率65％75％85％95％要使每天的收入最高，每间客房的定价应为（）A.100元 B.90元 C.80元 D.60元【答案】C【解析】【分析】求出4个不同房价对应的收入，然后找出最大值对应的房价即可得到答案.【详解】当定价元时：收入为；当定价元时：收入为；当定价元时：收入为；当定价元时：收入为.对比知：当定价元时，收入最高.故选C.【点睛】本题考查了利用函数求收入的最大值，意在考查学生的计算实力.10.若函数是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围是（）A. B.（1,8） C.（4,8） D.【答案】D【解析】【分析】依据分段函数单调性列不等式，解得结果.【详解】因为函数是R上的单调递增函数，所以故选：D【点睛】本题考查依据分段函数单调性求参数，考查基本分析推断实力，属中档题.11.函数的值域为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用换元法转化为二次函数求解值域即可．【详解】由题意：函数y=x+，令t=，则函数t的值域为[0，+∞），可得：x=2﹣t2，那么：函数y=x+转化f（t）=2﹣t2+t，开口向下，对称轴t=，∵t≥0，∴当t=时，函数f（t）取得最大值为=，即函数y=x+的最大值为．∴函数y=x+的值域为（﹣∞，]．故选C．【点睛】本题考查了函数值域的求法．中学函数值域求法有：1、视察法，2、配方法，3、反函数法，4、判别式法；5、换元法，6、数形结合法，7、不等式法，8、分别常数法，9、单调性法，10、利用导数求函数的值域，11、最值法，12、构造法，13、比例法．要依据题意选择．12.已知函数，若存在a，b同时满意和，则实数t的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】分析可得函数为奇函数，则，故有解，即有解，令，则在，上有解，进而求得的取值范围．【详解】解：函数的定义域为，，所以函数为奇函数，存在，满意，，有解，即有解，令，则在上有解，在上有解，，即的取值范围为．故选．【点睛】本题考查函数奇偶性的运用，难点在于找到，的关系，进而把问题转化为两函数有交点问题，考查转化思想及分析问题解决问题的实力，属于中档题．二、填空题（共4小题，每题5分，共20分）13.化简，可得_____．【答案】2【解析】【分析】利用商的对数的运算性质解答．【详解】解：原式；故答案为2．【点睛】本题考查了对数的运算，利用，，属于基础题.14.设函数，若，则实数a的值为是_____．【答案】或2【解析】【分析】通过分段函数以及，即可求解的值．【详解】解：函数，若，当时，，，成立．当时，，解得，综上的值为：或．故答案为或．【点睛】本题考查分段函数的应用，函数的零点，基本学问的考查．15.函数的定义域是_____．【答案】【解析】【分析】利用开偶次方，被开方数非负，得到指数不等式，求解即可得到函数的定义域．【详解】解：要使函数有意义，必需，即，由指数函数的单调性可得，解得．所以函数的定义域为：．故答案为．【点睛】本题考查函数定义域的求法，指数不等式的求法，考查计算实力．16.已知函数，且，则_____．【答案】4048【解析】【分析】依据肯定值的几何意义去掉肯定值符号，再依据所求的特点，求出；即可求出结论．【详解】解：函数，且，当或时，．．．故答案为4046．【点睛】本题主要考查肯定值的几何意义以及首尾相加求和，属于综合性题目，难度不大．三、解答题（共6小题，共70分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知全集为R，，求：（1）；（2）．【答案】（1）或或；（2）或.【解析】【分析】（1）可以求出集合，，然后进行交集的运算即可；（2）进行补集、并集的运算即可．【详解】解：（1）或或，或，或或；（2），或．【点睛】本题考查了描述法的定义，肯定值不等式和分式不等式的解法，交集、并集和补集的运算，考查了计算实力，属于基础题．18.已知函数.（1）推断并用定义证明函数在区间上的单调性；（2）求该函数在区间[1，4]上的最大值和最小值．【答案】（1）递增，证明见解析；（2）最小值为，最大值为.【解析】【分析】（1）利用函数单调性的定义来证明函数的单调性；（2）依据函数的单调性来求函数在给定区间上的最值问题．【详解】解：（1）在上为增函数，证明如下：任取，则；，，；，；所以，在上为增函数．（2）：由（1）知在，上单调递增，的最小值为，最大值．【点睛】本题主要考查了函数单调性定义、函数的最值问题，属于基础题．19.设函数，且．（1）求的解析式；（2）画出函数的图象，并依据图象写出函数具有的性质（至少两个，不用证明）．【答案】（1）；（2）图象见解析，定义域，值域.【解析】【分析】（1）依据条件列方程组求解析式；（2）画出图象得到性质．【详解】解：（1）由，得，由，得，联立解方程得：，，所以（2）函数图象如图所示，定义域为：，值域为：函数的单调递增区间为：单调递减区间为：和【点睛】考查分段函数求值和分段函数图象和性质，基础题．20.已知函数（1）若在区间上是单调函数，求实数的取值范围.（2）求函数在上的最大值和最小值；【答案】（1）；（2）见解析.【解析】【分析】（1）由二次函数的性质，可得使得函数在区间上是单调函数，则满意或，即可求解；（2）由（1），依据二次函数的图象与性质，分类探讨，即可求解函数的最大值和最小值，得到答案.【详解】（1）由题意，函数表示开口向上的抛物线，且对称轴为，若使得函数在区间上是单调函数，则满意或，解得或，即实数的取值范围.（2）由（1）可知，①当时，即时，函数的最大值为；当时，即时，函数的最大值为；②当时，即时，函数在区间上单调递增，所以函数的最小值为；当时，即时，函数在区间上单调递减，在单调递增，所以函数的最小值为；当时，即时，函数在区间上单调递减，所以函数的最小值为.综上所述：当时，最小值为；最大值为；当时，最小值为，函数的最大值为；当时，最小值为，函数的最大值为；当时，最小值为，函数最大值为；【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记二次函数的图象与性质，合理分类探讨是解答的关键，着重考查了分类探讨思想，以及推理与运算实力，属于中档试题.21.解关于x的不等式．【答案】详见解析【解析】【分析】可探讨与1的关系：时，原不等式可变成，然后再探讨与的关系，这样即可得出原不等式的解，同样探讨和时，得出原不等式的解．【详解】解：（1）时，由原不等式得，，①当时，即时，原不等式的解集为；②当时，即，原不等式的解集为；③当时，原不等式的解集为；（2）时，原不等式变成，原不等式的解集为；（3）时，由原不等式得，，当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为．【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法，分类探讨的思想，考查了计算实力，属于基础题．22.定义在R上的奇函数，当时，.（1）求函数的解析式；（2）当时，关于x的不等式恒成立，求λ的取值范围；（3）当时，的值域是，求s与t的值．【答案】（1）；（2）；（3），.【解析】【分析】（1）依据题意，由奇函数的性质可得，当时，则，结合函数的奇偶性，可得解析式；（