第02讲三角形的高线中线和角平分线（原卷版）-2022年八年级数学暑假预习课（人教版）

第02讲三角形的高线、中线和角平分线【学习目标】1.掌握三角形中三条重要的线段的概念;2.了解三角形的稳定性在日常生活中的应用.【基础知识】知识点01三角形的高线1、三角形的高线定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线,之间的线段叫做三角形的高线；文字叙述线段AD是△ABC的边BC上的高AD⊥BC,垂足为D点D在BC上,且∠ADB=∠ADC=90°2、三角形高的画法：过顶点向对边或对边的作垂线段即可.三角形作高图形高线位置高线（高线延长线）交点O的位置锐角三角形三条高线在三角形在三角形直角三角形有两条高线与重合，有一条高线在三角形在三角形钝角三角形由两条高线在三角形，有一条高线在三角形在三角形【注意】（1）三角形的高线是；（2）作钝角三角形中钝角所在两边上的高,要先把这两条边再作高,如图所示.（3）直角三角形的两直角边为a和b，斜边为c，则斜边上的高为；知识点02三角形的中线1、三角形的中线定义：三角形中,连接一个顶点和它对边的线段，叫做三角形的中线；2、三角形中线的描述：图形文字叙述线段AD是BC边上的中线D是BC边的中点BD=CD=BC3、三角形的重心（1）三角形的三条中线交于三角形内部一点,这个点叫做三角形的.（2）三角形具有.4、三角形中线的性质：三角形的一条中线，平分三角形的；如图，AF⊥BC于点F，所以知识点03三角形的角平分线1、定义：三角形一个内角的平分线与它的对边相交,这个角的之间的线段叫做三角形的角平分线；图形文字叙述线段AD是△ABC的角平分线∠1=∠2=∠BAC,且点D在BC上AD平分∠BAC,交BC于点D【注意】三角形的角平分线的特征：（1）三角形的角平分线把三角形的一个内角分成两个相等的角，一般和三角形角的计算相关联;（2）任何三角形都有三条角平分线,这三条角平分线相交于一点,这个点在三角形.知识点04三角形的稳定性三角形的稳定性四边形的不稳定性将3根木条用钉子钉成三角形后，三角形木架的形状不会改变,说明三角形具有用4根木条用钉子钉成四边形后,四边形木架的形状会改变,说明四边形具有三角形稳定性的应用四边形不稳定性的应用【考点剖析】考点一：三角形的高线例1．过△ABC的顶点A,作BC边上的高,以下作法正确的是（）【总结】判断高线方法：一看顶点:三角形的高一定过顶点;二看垂足:三角形的高的垂足在顶点的对边或对边延长线上.只要满足这两个原则,就能判断某条线段是否为三角形的高.考点二：三角形的中线例2．如图,在△ABC中,D,E分别是BC,AD的中点,AABC的面积是4cm2,则△BEC的面积是( )A.2.5cm2 B.2cm2 C.1.5cm2 D.1cm2考点三：三角形的角平分线例3．下列说法正确的是（）①平分三角形内角的射线叫做三角形的角平分线;②三角形的中线、角平分线都是线段,而高是直线;③每个三角形都有三条中线、三条高和三条角平分线;④三角形的中线是经过顶点和对边中点的直线.A.③④ B.③ C.②③ D.①④考点四：三角形的稳定性例4．以下不是利用三角形稳定性的是（）A、在门框上斜钉一根木条B、高架桥的三角形结构C、伸缩衣挂D、屋顶的三角形钢架【总结】三角形的稳定性的实质是三角形的各边的长度被确定后,其形状不会再发生改变.现实生活中常常利用这一性质,将原本不稳定的形状转化为三角形,使之稳定.考点五：三角形高线的计算例5．如图,在△ABC中,AB=AC=10，BC=12,AD,BE分别是边BC,AC上的高﹐且AD=8,求BE的长.考点六：三角形的高线例6．如图所示,CD是△ABC的中线，AC=9cm，BC=3cm，求△ACD和BCD的周长差.【总结】中线应用(1)根据中线平分对边得两条相等的线段，一般用于求解与三角步的周长有关的问题;(2)根据中线分三角形得面积相等的两部分,用于求解与面积有关的问题.考点七：三角形的高线例7．【例3】如图,∠1=∠2=∠3=∠4.(1)AD是△和△的角平分线;(2)试判断∠EAF与∠BAC的关系.考点八：三角形稳定性的应用例8．如图,李师傅用4根木条钉成一个四边形木架,要使这个木架不变形,他至少还要再钉上的木条数量是（）A、0根 B、1根 C、2根 D、3根考点九：三角形的概念判断例9．下列说法正确的是（）A.三角形的角平分线、中线和高都在三角形的内部B.直角三角形的高只有一条C.钝角三角形的三条高都在三角形外D.三角形的高至少有一条在三角形内【即学即练】1．下列图形具有稳定性的是（）A． B． C． D．2．下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（）A． B．C． D．3．如图，△ABC的面积为3，BD：DC＝2：1，E是AC的中点，AD与BE相交于点P，那么四边形PDCE的面积为（）A． B． C． D．4．如图，AD是△ABC的中线，CE是△ACD的中线，DF是△CDE的中线，若S△DEF=2，则S△ABC等于A．16 B．14 C．12 D．105．不一定在三角形内部的线段是（）A．三角形的角平分线 B．三角形的中线C．三角形的高 D．以上皆不对6．如图，AD，CE是△ABC的两条高，已知AD=10，CE=9，AB=12，则BC的长是（）A．10 B．10.8 C．12 D．157．如图，在中，，分别是边上的中线和高，，，则的长是（

）A． B． C． D．8．如图，CM是的中线，的周长比的周长大，，则AC的长为（

）A． B． C． D．9．若线段分别是边上的高线和中线，则（

）A． B．C． D．10．三角形的重心是（）A．三角形三条边上中线的交点B．三角形三条边上高线的交点C．三角形三条边垂直平分线的交点D．三角形三条内角平行线的交点11．如图所示，平分，平分，不能判定的条件是（

）A． B． C． D．12．如图，已知AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点E、F，FG平分∠EFD交AB于点G，若∠BEF＝70°，则∠AGF的度数为（

）A．35° B．45° C．55° D．65°13．已知△ABC，如图，过点A画△ABC的角平分线AD、中线AE和高线AF．14．如图，已知AD，AE分别是△ABC的高和中线，AB＝3cm，AC＝4cm，BC＝5cm，∠CAB＝90°，求：（1）AD的长；（2）△ACE和△ABE的周长的差．【课后巩固】1．为了使一扇旧木门不变形，木工师傅在木门的背面加钉了一根木条，这样做的道理是（

）

A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短C．三角形具有稳定性 D．两直线平行，内错角相等2．如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（

）A． B．C． D．3．如图，在△ABC中，点D是BC边上的一点，E，F分别是AD，BE的中点，连结CE，CF，若S△CEF＝5，则△ABC的面积为（）A．15 B．20 C．25 D．304．如图，在中，点在上，点在上，如果，，，那么（

）A． B． C． D．5．给出下列命题：①三条线段组成的图形叫三角形；②三角形相邻两边组成的角叫三角形的内角；③三角形的角平分线是射线；④三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外；⑤任何一个三角形都有三条高、三条中线、三条角平分线；⑥三角形的三条角平分线交于一点，且这点在三角形内.正确的命题有(

)A．1个 B．2个 C．3个 D．4个6．如图，在中，，分别是边上的中线与高，，的面积为，则的长为（

）A． B． C． D．7．如图，在△ABC中，AD、AE分别是边BC上的中线与高，AE=4，△ABC的面积为12，则CD的长为（

）A．2 B．3 C．4 D．58．如图，AD是△ABC的中线，△ABD比△ACD的周长大6cm，则AB与AC的差为(

)A．2cm B．3cm C．6cm D．12cm9．下列说法正确的是（

）A．三角形的角平分线是射线B．过三角形的顶点，且过对边中点的直线是三角形的一条中线C．锐角三角形的三条高交于一点D．三角形的高、中线、角平分线一定在三角形的内部10．下列说法错误的是(

)A．三角形的三条高一定在三角形内部交于一点B．三角形的三条中线一定在三角形内部交于一点C．三角形的三条角平分线一定在三角形内部交于一点D．三角形的三条高可能相交于外部一点11．如图，ABC中，AB＝7，AC＝5，BC＝10，OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，MN经过点O，与AB，AC相交于点M，N，且MNBC，则AMN的周长等于（

）A．17 B．15 C．12 D．1112．如图所示，，，则下列结论正确的有（

）①平分；②平分；