第1章勾股定理全章复习与测试（原卷版）

第1章勾股定理全章复习与测试【知识梳理】一、勾股定理1．勾股定理如图，直角三角形两直角边分别为，，斜边为，那么．即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．注意：=1\*GB3①勾股定理的前提是直角三角形，对于非直角三角形的三边之间则不存在此种关系．=2\*GB3②利用勾股定理时，必须分清直角边，斜边．尤其在记忆时，此关系只有当是斜边时才成立．若是斜边，则关系式是；若是斜边，则关系式是．2．直角三角形斜边上的高=1\*GB3①已知两条直角边，通过勾股定理求出斜边．=2\*GB3②根据直角三角形的面积不变，即，求出h．要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的.（3）理解勾股定理的一些变式：，，.二、勾股定理的证明方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.图（1）中，所以.方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.图（2）中，所以.方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.，所以.三、勾股数满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形.熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：3、4、5；②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41……如果()是勾股数，当为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形四、如何判定一个三角形是否是直角三角形首先确定最大边（如）.验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形.要点诠释：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边.五.勾股定理的逆定理1．勾股定理逆定理如果三角形的三边长分别为，且，那么这个三角形是直角三角形．注意：=1\*GB3①不能说在直角三角形中，因为还没确定直角三角形，当然也不能说斜边和直角边．=2\*GB3②当满足时，是斜边，是直角．=3\*GB3③利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否为直角三角形的思路是：先确定最长边，算出最长边的平方及另两边的平方和，如果最长边的平方与另两边的平方和相等，则此三角形为直角三角形．【考点剖析】一．勾股定理（共8小题）1．（2022秋•两江新区期末）如图，在△ABC中，∠A＝90°，DE⊥BC，AB＝3，BC＝5，BD是∠ABC的角平分线，则△CDE的周长是（）A．6 B．7 C．8 D．92．（2022秋•巴中期末）如图，是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是（）A．10 B．13 C．15 D．263．（2022秋•辉县市校级期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，分别以△ABC的边AB、BC、AC向外作等腰Rt△ABF，等腰Rt△BEC和等腰Rt△ADC，记△ABF、△BEC，△ADC的面积分别是S1，S2，S3，则S1、S2、S3之间的数量关系是（）A．S1＜S2+S3 B．S1＝S2+S3 C．S1＞S2+S3 D．S1＝S2+S34．（2023春•渝北区校级期中）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝150°，BD平分∠ABC，过A点作AE∥BC交BD于点E，EF⊥BC于点F．若AB＝7，则EF的长为．5．（2022秋•阳城县期末）如图，已知Rt△ABC的三边长分别为6、8、10，分别以它们的三边作为直径向外作三个半圆，则图中阴影部分的面积为．6．（2022秋•秦淮区期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD平分∠BAC，AB＝4，AC＝3，则BD的长是．二．勾股定理的证明（共6小题）7．（2022秋•和平区期末）下面图形能够验证勾股定理的有（）A．0 B．1 C．2 D．38．（2022秋•郸城县期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中．汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．现在勾股定理的证明已经有400多种方法，下面的两个图形就是验证勾股定理的两种方法，在验证著名的勾股定理过程，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．在验证过程中它体现的数学思想是（）A．函数思想 B．数形结合思想 C．分类思想 D．方程思想9．（2022秋•巴中期末）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图是由弦图变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNPQ的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝4，则S2的值是．10．（2022秋•宝山区期末）如图，直角三角形ACB，直角顶点C在直线l上，分别过点A、B作直线l的垂线，垂足分别为点D和点E．（1）求证：∠DAC＝∠BCE；（2）如果AC＝BC．①求证：CD＝BE；②若设△ADC的三边分别为a、b、c，试用此图证明勾股定理．11．（2022秋•金牛区期末）如图是“赵爽弦图”，△ABH，△BCG，△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和四边形EFGH都是正方形，如果AB＝15，AH＝9，则四边形GFEH的面积为．三．勾股定理的逆定理（共3小题）12．（2022秋•丹徒区期末）若三角形的边长分别为5cm、12cm、13cm，则它的最长边上的中线为cm．四．勾股数（共2小题）13．（2022秋•平昌县期末）在下列四组数中，不是勾股数的一组数是（）A．3、4、5 B．6、8、10 C．5、12、13 D．3、5、714．（2022秋•望花区校级期末）下列各组数中，是勾股数的一组是（）A．1，2，2 B．32，42，52 C．5，12，13 D．6，6，6五．勾股定理的应用（共6小题）15．（2022秋•成都期末）河滨公园有一块长方形的草坪如图所示，有少数的人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条“路”，他们仅仅少走了米，却踩伤了花草！青青绿草地，悠悠关我心，请大家文明出行，足下留“青”！16．（2022秋•婺城区期末）图1表示一双开门关闭时的状态图，图2表示打开双门过程中，某一时刻的示意图，其中AB为门槛宽度．（1）当∠CAB＝∠DBA＝60°时，双门间隙CD与门槛宽度AB的比值为．（2）若双门间隙CD的距离为2寸，点C和点D距离AB都为1尺（1尺＝10寸），则门槛宽度AB是寸．17．（2022秋•内乡县期末）如图，甲乙两船同时从A港出发，甲船沿北偏东35°的方向，航速是12海里/时，2小时后，两船同时到达了目的地．若C、B两岛的距离为30海里，问乙船的航速是多少？六．平面展开最短路径问题（共3小题）18．（2022秋•东明县校级期末）空心玻璃圆柱的底面圆的周长是24，高是5，内底面的点A有一只飞虫，要吃到B点的食物，最短路径的长是（）A．6 B．7 C．13 D．1019．（2022秋•郫都区期末）如图，圆柱形玻璃杯高为22cm，底面周长为30cm，在杯内壁离杯上沿3cm的点B处粘有一粒面包渣，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯底5cm与面包渣相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为cm（杯壁厚度不计）．【过关检测】一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）△ABC三边长分别为a，b，c，且a：b：c＝3：4：5，则△ABC是（）A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形2．（3分）在Rt△ABC中，∠A＝90°，BC＝13cm，AC＝5cm，则第三边AB的长为（）A．18cm B．12cm C．8cm D．6cm3．（3分）下列各组线段中，能构成直角三角形的一组是（）A．7，12，13 B．5，9，12 C．3，4，6 D．40，50，304．（3分）将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，能组成直角三角形的是（）A．1、2、3 B．2、3、4 C．3、4、5 D．4、5、65．（3分）连接旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，若把绳子的下端拉开距旗杆底部端5米，则绳子下端刚好接触地面，则旗杆的高度是（）A．3米 B．4米 C．12米 D．13米6．（3分）已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（）A．25 B．7 C．5和7 D．25或77．（3分）下列条件能确定三角形ABC是直角三角形的是（）A．∠A＝∠B＝∠C B．∠A＝40°，∠B＝50° C．AB＝AC D．AB＝2，AC＝3，BC＝48．（3分）如图，一梯子AB斜靠在一竖直墙AC上，测得梯子的顶端到地面的距离为8m，若梯子的顶端A沿墙下滑2m到点E，此时梯子的底端B滑到了D处，测得BD＝2m，则梯子AB的长度为（）A．16m B．14m C．12m D．10m9．（3分）将三个大小不同的正方形如图放置，顶点处两两相接，若正方形的边长为4，正方形的边长为3，则正方形的面积为（

）A．25 B．5 C．16 D．1210．（3分）如图所示的一块地，已知，，，，，则这块地的面积为（

）．A． B． C． D．二．填空题（共7小题，满分28分，每小题4分）11．（4分）禅城区某一中学现有一块空地ABCD如图所示，现计划在空地上种草皮，经测量，，若每种植1平方米草皮需要300元，总共需投入______元12．（4分）已知一个三角形的三边长分别是12cm，16cm，20cm，则这个三角形的面积为cm2．13．（4分）如图，有一段楼梯AC长为15米，由于这段楼梯较陡，为了方便行人通行，现准备新修一条楼梯AD．已知AD＝20米，CD＝7米，则楼梯的高度AB为米．14．（4分）于，有下列条件：①；②；③；④．其中能确定是直角三角形的是_________．15．（4分）如图，在正方形方格纸中，∠α与∠β的度数和为．16．（4分）如图，标有“长”“街”“镇”三字的三个正方形围成一个直角三角形，正方形“长”“街”的面积分别为81、400，则图中标有“镇”字的正方形面积是．17．（4分）如图，将直角三角形ABC沿BC方向平移到直角三角形DEF的位置，DE交AC于点O，已知AB＝6，BE＝4，OD＝2，则四边形OCFD的面积为．三．解答题（共3小题，满分18分，每小题6分）18．（6分）如图，在△ABC中，AD⊥BC，AD＝12，BD＝16，CD＝5．求：△ABC的周长．19．（6分）如图，在四边形ABCD中，，，，，，求证：∠C=90°．20．（6分）在甲村至乙村的公路旁有一块山地需要开发，现有一C处需要爆破，已知点C与公路上的停靠点A的距离为800米，与公路上另一停靠点B的距离为600米，且CA⊥CB，如图，为了安全起见，爆破点C周围半径450米范围内不得进入，问在进行爆破时，公路AB段是否有危险需要暂时封锁？请通过计算进行说明．四．解答题（共3小题，满分24分，每小题8分）21．（8分）如图，铁路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，于A，于B，已知，现在要在铁路上建一个土特产品收购站E，使得C、D两村到E站的距离相等，则E站应建在距A站多少千米处？22．（8分）如图是“弦图”的示意图，“弦图”最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，它标志着中国古代的数学成就．它由4个全等的直角三角形与一个小正方形组成，恰好拼成一个大正方形，每个直角三角形的两条直角边分别为a、b，斜边为c．请你运用此图形证明勾股定理：a2+b2＝c2．23．（8分）如图，在△ABC中，∠C＝60°，AB＝7，AC＝8，AD⊥BC于D，求BC的长．五．解答题（共2小题，满分20分，每小题10分）24．（10分）如图，在△ABC中，AB＝30cm，BC＝35cm，∠B＝60°，有一动点E自A向B以2cm/s的速度运动，动点F自B向C以4cm/s的速度运动，若E、F同时分别从A、B出发．（1）试问出发几秒后，△BEF为等边三角形？（2）填空：出发