专项09相似三角形种A字型（2种类型）

专项09相似三角形种A字型（2种类型）有一个公共角（图①、图②）或角有公共部分（图③，∠BAC及∠DAE有公共部分∠DAF），此时需要找另一对角相等，另外若题中未明确相似三角形对应顶点，则需要分类讨论，如图③中可找条件∠D＝∠C或∠D＝∠B.【类型1：平行类A字型】【典例1】如图，在△ABC中，DE∥BC，DE＝2，BC＝5，则S△ADE：S△ABC的值是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：∵DE∥BC，∴S△ADE∽S△ABC，∵DE＝2，BC＝5，∴S△ADE：S△ABC的值为，故选：B．【变式11】如图，在△ABC中，点E、F分别在AB、AC上，EF∥BC，＝，四边形BCFE的面积为21，则△ABC的面积是（）A． B．25 C．35 D．63【答案】B【解答】解：∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴＝（）2，∵＝，∴＝，∴＝（）2＝（）2＝，∵四边形BCFE的面积为21，S△ABC＝S△AEF+S四边形BCFE，∴S△ABC＝4+21＝25，故选：B．【变式12】如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，若△ADE的面积是4cm2，则四边形BDEC的面积为（）A．4cm2 B．8cm2 C．12cm2 D．16cm2【答案】C【解答】解：∵点D，E分别是AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE＝BC，DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，∴△ADE∽△ABC，∴＝（）2＝（）2＝，∵△ADE的面积是4cm2，∴△ABC的面积是16cm2，∴四边形BDEC的面积＝△ABC的面积﹣△ADE的面积＝16﹣4＝12（cm2），故选：C．【变式13】如图，已知每个小方格的边长均为1，则△ABC与△CDE的面积比为（）A．2：1 B．3：2 C．8：1 D．4：1【答案】D【解答】解：如图：由题意得：∠AMB＝∠END＝90°，AM＝4，BM＝2，EN＝2，DN＝1，∴＝＝2，∴△ABM∽△EDN，∴＝＝2，∠ABM＝∠EDN，∴AB∥ED，∴∠ABC＝∠CED，∠BAC＝∠CDE，∴△ABC∽△DEC，∴＝（）2＝4，∴△ABC与△CDE的面积比为4：1，故选：D．【典例2】如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成矩形零件，使一边在BC上，其余两个顶点分别在边AB、AC上，若这个矩形的长PN是宽PQ的2倍，求长、宽各是多少？【解答】解：∵四边形PNMQ为矩形，∴MN∥PQ，PN∥BC，∴△APN∽△ABC，设边宽PQ＝xmm，则长PN＝2xmm，∵四边形PNMQ为矩形，∴PN∥BC，∵AD⊥BC，∴AD⊥PN，∴DH＝PQ＝xmm，∵AD＝80mm，∴AH＝（80﹣x）mm，∵PN∥BC，∴△APN∽△ABC，∴，∵BC＝120mm，∴，解得x＝，2x＝．即长为mm，宽为mm．【变式21】如图，有一块三角形余料ABC，BC＝120mm，高线AD＝90mm，要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在BC上，点P、M分别在AB，AC上，若满足PM：PQ＝2：1，则PQ的长为（）A．36mm B．40mm C．50mm D．120mm【答案】A【解答】解：如图，设AD交PN于点K．∵PM：PQ＝2：1，∴可以假设MP＝2kmm，PQ＝kmm．∵四边形PQNM是矩形，∴PM∥BC，∴△APM∽△ABC，∵AD⊥BC，BC∥PM，∴AD⊥PN，∴＝，∴＝，解得k＝36，∴PQ＝36mm．故选：A．【变式22】如图，在△ABC，BC＝30，高AD＝20，正方形EFGH一边在BC上，点E，F分别在AB，AC上，AD交EF于点N，则AN的长为（）A．8 B．10 C．12 D．15【答案】A【解答】解：设正方形EFGH的边长EF＝EH＝x，∵四边形EFGH是正方形，∴∠HEF＝∠EHG＝90°，EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∵AD是△ABC的高，∴∠HDN＝90°，∴四边形EHDN是矩形，∴DN＝EH＝x，∵△AEF∽△ABC，∴（相似三角形对应边上的高的比等于相似比），∵BC＝30，AD＝20，∴AN＝20﹣x，∴，解得：x＝12，∴AN＝20﹣x＝20﹣12＝8．故选：A．【类型2：不平行A字型】【典例3】已知如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，∠AED＝∠B，AD＝3，AB＝8，AE＝4．求AC的长度．【解答】解：∵∠AED＝∠B，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB，∴，∵AD＝3，AB＝8，AE＝4，∴，∴AC＝6．【变式31】已知：如图，在△ABC中，∠ADE＝∠C，则下列等式成立的是（）A．＝ B．＝ C．＝ D．＝【答案】B【解答】解：∵在△ABC中，∠ADE＝∠C，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB，∴．故选：B．【变式32】如图，D、E分别为△ABC的边AB、AC上的点，若∠1＝∠B，＝，△ADE的面积等于2，则△ABC的面积为（）A．4 B．8 C．10 D．12【答案】B【解答】解：∵∠1＝∠B，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB，∵＝，∴＝，∵△ADE的面积等于2，∴△ACB的面积等于8．故选：B．【变式33】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，AB＝5，点D在AC上且AD＝3，DE⊥AB于点E，求AE的长．【解答】解：∵DE⊥AB于点E，∠C＝90°，∴∠AED＝∠C＝90°，∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC，∴，∵AB＝5，AD＝3，AC＝4，∴，∴AE＝．1．如图，在△ABC中，DE∥BC，，记△ADE的面积为s1，四边形DBCE的面积为s2，则的值是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，∴△ADE∽△ABC，∴＝（）2＝，∴＝，故选：D．2．如图，在平面直角坐标系中，将△OAB以原点为位似中心放大后得到△OCD，若A（1，0），C（3，0），则△OAB与△OCD的面积比为（）A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：9【答案】D【解答】解：∵A（1，0），C（3，0），∴OA＝1，OC＝3，∵△OAB以原点O为位似中心放大后得到△OCD，∴△OAB与△OCD的相似比是OA：OC＝1：3，∴△OAB与△OCD的面积的比是1：9．故选：D．3．如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，若，且△ADE的面积为9，则四边形BCED的面积为（）A．18 B．27 C．72 D．81【答案】C【解答】解：∵，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC，∴＝（）2＝（）2＝，∵△ADE的面积为9，∴△ABC的面积＝81，∴四边形BCED的面积＝△ABC的面积﹣△ADE的面积＝81﹣9＝72，故选：C．4．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC，DF分别交l1，l2，l3于点A，B，C和点D，E，F，连结AF，作BG∥AF，若＝，BG＝6，则AF的长为（）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】C【解答】解：∵l1∥l2∥l3，＝，∴＝＝，∴＝，∵BG∥AF，∴∠CGB＝∠CFA，∠CBG＝∠CAF，∴△CBG∽△CAF，∴＝，∴＝，∴AF＝10，故选：C．5．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，下列等式成立的是（）A．＝ B．＝ C．＝ D．＝【答案】A【解答】解：A、∵DE∥BC，EF∥AB，∴AD：DB＝AE：EC，AE：CE＝BF：CF，∴，所以A选项的等式成立；B、∵EF∥AB，∴，所以B选项的等式不成立；C、∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，所以C选项的等式不成立；D、∵DE∥BC，∴BD：AD＝CE：AE，∵EF∥AB，∴△CEF∽△CAB，∴＝，∴≠，所以D选项的等式不成立．故选：A．6．如图，点F是△ABC的角平分线AG的中点，点D、E分别在AB、AC边上，线段DE过点F，且∠ADE＝∠C，下列结论中，错误的是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：∵AG平分∠BAC，∴∠BAG＝∠CAG，∵点F是AG的中点，∴AF＝FG＝，∵∠ADE＝∠C，∠DAE＝∠BAC，∴△DAE∽△CAB，∴∠AEB＝∠B，又∵∠BAG＝∠CAG，∴△EAF∽△BAG，∴＝，∵∠ADE＝∠C，∠BAG＝∠CAG，∴△ADF∽△ACG，∴，故选：D．7．已知：如图，在△ABC中，AC＝6，BC＝8，AB＝10，点D位于边AB上，过点D作边BC的平行线交边AC于点E，过点D作边AC的平行线交边BC于点F，设AE＝x，四边形CEDF的面积为y，则y关于x的函数关系式是．（不必写定义域）【答案】y＝﹣x2+8x【解答】解：∵DE∥BC，DF∥AC，∴四边形DECF是平行四边形，在△ABC中，AC＝6，BC＝8，AB＝10，∵AC2+BC2＝62+82＝100，AB2＝102＝100，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，∴∠C＝90°，∴四边形DECF是矩形，∵DE∥BC，∴∠AED＝∠C＝90°，∵∠A＝∠A，∴△AED∽△ABC，∴＝，∴＝，∴DE＝x，∴矩形CEDF的面积＝DE•CE，∴y＝x（6﹣x）＝﹣x2+8x，故答案为：y＝﹣x2+8x．8．如图，E为▱ABCD的边CD延长线上的一点，连结BE交AC于点O，交AD点F．（1）求证：△AOB∽△COE；（2）求证：BO2＝EO•FO．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴△AOB∽△COE；（2）∵△AOB∽△COE，∴，∵AD∥BC，∴△AOF∽△COB．∴，∴，即OB2＝OF•OE．9．如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC上，DE∥AC，EF∥AB．（1）求证：△BDE∽△EFC．（2）若＝，△EFC的面积为9，求△ABC的面积．【解答】（1）证明：∵DE∥AC，∴∠BED＝∠ECF，∵EF∥AB，∴∠B＝∠FEC，∴△BDE∽△EFC；（2）∵EF∥AB，∴△ABC∽△FEC，∴，∵，∴，∴＝，又∵△EFC的面积为9，∴△ABC的面积为49．10．已知：如图，点D在三角形ABC的边AB上，DE交AC于点E，∠ADE＝∠B，点F在AD上，且AD2＝AF•AB．求证：（1）；（2）△AEF∽△ACD．【解答】证明：（1）∵∠ADE＝∠B，∴DE∥BC，∴；（2）∵AD2＝AF⋅AB，∴，由（1）得：，∴．∵∠A＝∠A，∴△AFE∽△ACD．11．如图，在菱形ABCD中，DE⊥BC交BC的延长线于点E，连结AE交BD于点F，交CD于点G，连结CF．（1）求证：AF＝CF；（2）求证：AF2＝EF•GF；（3）若菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，求FG的长．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∠ABF＝∠CBF，∵BF＝BF，∴△ABF≌△CBF（SAS），∴AF＝CF．（2）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴∠BAD＝∠BCD，AD∥BE，∴∠DAF＝∠FEC，∵△ABF≌△CBF，∴∠BAF＝∠BCF，