3.4圆周角和圆心角的关系（分层练习）

第三章圆3.4圆周角和圆心角的关系精选练习基础篇基础篇一、单选题1．（2022·北京市朝阳区人大附中朝阳分校东坝校区九年级阶段练习）已知A、B、C是上的三个点，且，那么的度数是（

）A．30° B．120° C．30°或120° D．30°或150°【答案】D【分析】本题有两种情况，一种情况是点位于优弧上，此时根据圆周角定理可知，当点位于劣弧上，此时，即可得出的度数．【详解】解：如图1，当点位于弧上时，和是弧所对的角，，，；如图2，当点位于劣弧上，．故选：D．【点睛】本题主要考查圆周角定理，解题的关键是掌握在同圆或等圆中同弧所对的圆周角是圆心角的一半．2．（2022·浙江·杭州市文晖中学九年级期中）如图，A，B，C是上的点，，则的度数为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】在优弧上取一点D，连接、，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半求出，再根据圆内接四边形对角互补即可求出．【详解】解：如图，在优弧上取一点D，连接、，∵，∴，∵四边形是的内接四边形，∴，故选：D．【点睛】本题考查了圆周角定理和圆内接四边形的性质，熟知同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，圆内接四边形对角互补是解题的关键．3．（2022·河南·信阳市平桥区龙井乡中心学校九年级期中）如图，四边形是的内接四边形，连接，，，，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由平行线的性质可得，然后根据圆周角定理可得，进而根据圆内接四边形可进行求解．【详解】解：∵，，∴，∴，∵四边形是圆内接四边形，∴；故选C．【点睛】本题主要考查圆周角定理及圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形及圆周角定理是解题的关键．4．（2022·河南·信阳市平桥区龙井乡中心学校九年级期中）如图，在中，已知是直径，是弦，若，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据是的直径，可得，再由圆周角定理可得，即可求解．【详解】解：∵是的直径，∴，∵，∴．故选：A【点睛】本题主要考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．5．（2022·黑龙江·哈尔滨市第四十九中学校九年级阶段练习）如图，四边形ABCD内接于，若，则等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用圆周角定理及圆内接四边形的性质即可完成．【详解】解：，；，；故选：C．【点睛】本题考查了圆周角定理及圆内接四边形的性质，掌握这两个性质是关键．6．（2022·海南华侨中学模拟预测）如图，AB是的弦，半径于点D，，点P在圆周上，则等于（）A．27° B．30° C．32° D．36°【答案】A【分析】由垂径定理得到，根据圆周角定理得到，由半径于点推出是直角三角形，即可求得，即可得到．【详解】解：半径于点，，，∴是直角三角形，，．故选：A．【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，熟练掌握定理是解题的关键．二、填空题7．（2022·黑龙江·哈尔滨市第一一三中学校九年级阶段练习）四边形是的内接四边形，连接、，，则___________．【答案】或##或【分析】分两种情况，当在劣弧上时，当在优弧上时，再根据圆周角定理以及圆内接四边形的性质即可解决问题．【详解】解：如图，当在劣弧上时，∵四边形内接于，∵，∴，∴，当在优弧上时，如图∴，故答案为：或．【点睛】本题考查圆内接四边形的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．8．（2022·辽宁大连·九年级期中）如图，点C在以为直径的上，，则的长为____．【答案】【分析】根据为的直径，可得，再由直角三角形的性质可得，再由勾股定理，即可求解．【详解】解：∵为的直径，∴，∵，∴，∴．故答案为：【点睛】本题主要考查了圆周角定理，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握圆周角定理，直角三角形的性质，勾股定理是解题的关键．9．（2022·新疆·乌鲁木齐市第十一中学九年级阶段练习）如图，是的外接圆，是的直径，点在上，若，则的度数是________．【答案】##50度【分析】根据直径所对的圆周角是直角得到，进而求出，再根据圆周角定理解答即可．【详解】解：是的直径，，，，，由圆周角定理得：，故答案为：．【点睛】本题考查的是圆周角定理，解题的关键是掌握直径所对的圆周角是直角．10．（2022·湖北·武汉二中广雅中学九年级阶段练习）如图，四边形内接于，、的延长线相交于点E，、的延长线相交于点F．若，，则______°．【答案】##40度【分析】利用圆内接四边形的外角等于内对角，得到，根据对顶角相等，得到，利用三角形内角和定理，求出的度数，再利用外角的性质，即可得到的度数．【详解】解：∵，，∴，，∵，∵，即：，∴；故答案为：．【点睛】本题考查圆内接四边形，三角形内角和以及外角的性质．熟练掌握圆内接四边形的外角等于内对角，是解题的关键．三、解答题11．（2022·湖南·长沙县湘郡未来实验学校九年级阶段练习）如图，是的直径，弦于点，点在上，恰好过圆心，连接．(1)若，，求的半径．(2)若，求的度数．【答案】(1)的半径为10；(2)．【分析】（1）设，利用勾股定理构建方程求解；（2）证明，可得结论．【详解】（1）解：设，∵，是直径，∴，在中，，∴，∴，∴的半径为10；（2）解：∵，∴，∵，，∴，∴，∴．【点睛】本题考查圆周角定理，垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．12．（2022·湖南·明德华兴中学九年级阶段练习）如图所示：、分别与圆O交于A、B、C、D四点，连接、，(1)证明：(2)若，，，求的长.【答案】(1)见解析(2)的长为6【分析】（1）根据A、B、C、D四点共圆得，根据得，即可得；（2）根据相似三角形的性质得，进行计算即可得．【详解】（1）证明：∵A、B、C、D四点共圆，∴，∵，∴，∵，∴；（2）解：∵，∴，∵，，，∴，即的长为6．【点睛】本题考查了圆的性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握这些知识点，正确计算．提升篇提升篇一、填空题1．（2022·江苏·泰州市第二中学附属初中九年级期中）如图，线段上一点，以为圆心，为半径作圆，上一点，连结交于点，连结，若，且，则__________．【答案】##15度【分析】设与相交于点E，连接，根据等腰三角形的性质可得，从而可得，然后根据直径所对的圆周角是直角可得，从而可得，进而利用圆内接四边形对角互补可得，最后利用三角形外角的性质进行计算即可解答．【详解】解：设CD与相交于点E，连接BE，∵，∴，∴，∵是的直径，∴，，∵四边形是的内接四边形，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，三角形外角的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．2．（2022·江苏·苏州市振华中学校模拟预测）如图，为的直径，，、分别交于点、，于点，于点，，下列结论：；；；；上述结论中正确的是______填上所有正确结论的序号【答案】①②③④【分析】先利用等腰三角形的性质求出、的度数，即可求的度数，根据垂径定理即可判断①③，再运用弧、弦、圆心角的关系即可判断②④.【详解】解：如图，连接，∵为的直径，，∴，∵，，∴，∴，，故①正确，∵，∴，故②正确，∴，∵，∴∴，故④正确∵∴∵∴，故③正确，在中，，∵，∴，故⑤不正确，故答案为：①②③④【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，垂径定理，三角形内角和定理，圆心角，弦，弧的关系．构造合适的辅助线是解题的关键．3．（2022·浙江·杭州绿城育华学校九年级期中）如图，是的直径，点C是半圆的中点，且．点D是上的一个动点．连接，过C点作于H，连接．（1）的半径为_____；（2）在点D的运动过程中，长度的最小值是_____．【答案】

【分析】连接，取的中点T，连接，利用勾股定理即可求出直径，进而求出半径，再求出，，再利用三边关系列出不等式即可得结论．【详解】解：连接，取BC的中点T，连接，．是直径，，点C在半圆的中点，，，的半径是的中点，，，∴，∴点H在以BC为直径的圆上运动，，，，的最小值为，故填：，．【点睛】本题考查圆周角定理，勾股定理、点与圆的位置关系，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是判断出点H的运动轨迹，属于中考填空题中的压轴题．4．（2022·江苏·泰州市第二中学附属初中九年级期中）如图，在圆内接四边形在中，弦，，连接对角线，、分别是和上的两点，且，连接、相交于点，已知，，则的面积为__________．【答案】【分析】过点作，交于点，根据圆内接四边形的对角互补，得到，推出是等边三角形，证明，得到，推出，进而求出，利用三角形面积公式进行求解即可．【详解】解：过点作，交于点，∵在圆内接四边形在中，，∴，∵，∴是等边三角形，∴，又∵，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴；故答案为：．【点睛】本题考查圆内接四边形，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．熟练掌握圆内接四边形的内对角互补，证明三角形全等，是解题的关键．5．（2022·浙江·宁波市鄞州区中河街道宋诏桥初级中学九年级阶段练习）如图，四边形内接于，是直径，，，，则的直径等于________．【答案】【分析】首先根据题意得到，然后得到，根据同弧所对的圆周角相等得到，然后列方程求出，最后根据勾股定理求解即可．【详解】∵∴∵∴∴∴，即∵∴∵是直径，∴，∴∴设∴，解得∴∴．故答案为：．【点睛】此题考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，圆周角的性质，三角函数的运用，解题的关键是熟练掌握以上知识点．二、解答题6．（2022·河南·信阳市平桥区龙井乡中心学校九年级期中）如图，以为直径作半圆，是半圆上一点，是的角平分线，平分，交于点，延长交半圆于点，连接．(1)求证：为等腰直角三角形．(2)若，，求的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）先由角平分线的定义和等腰三角形的性质得到，再由圆周角定理证明即可；（2）连接，，，交于点，先得到，根据垂直平分线的判定和性质得到，，然后根据三角函数求出，设，根据勾股定理求解即可．【详解】（1）证明：平分，平分，，．，，，．为直径，，是等腰直角三角形．（2）如图，连接，，，交于点．，．，垂直平分，，．是等腰直角三角形，，．，．设，则．在和中，，解得，，．【点睛】本题考查了角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质，圆周角定理，垂直平分线的判定和性质，三角函数，勾股定理，正确构造辅助线是解题的关键．7．（2022·福建·福州市马尾区三牧中学九年级阶段练习）如图，已知是的外角的平分线，交BC的延长线于点D，延长交的外接圆于点F，连接．(1)求证：；(2)若为的外接圆直径，，求的长．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据角平分线的定义得，圆内接四边形的性质得，进而可证明结论成立；（2）证明为等边三角形，得到，根据余弦的定义求出，再证明，得到答案．【详解】（1）证明：∵是的外角的平分线，∴，∵，∴，∵四边形为圆内接四边形，∴．∵，∴，∴；（2）解：∵，∴，∴，∴为等边三角形，∴，∵为的外接圆直径，∴，，∴，∵，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，圆内接四边形的性质，等边三角形的判定和性质，以及锐角的知识，灵活运用