第5讲图形的相似（二）（相似三角形）（题型精讲）（原卷版）

第5讲图形的相似（一）（相似三角形）（精讲）目录第一部分：知识点精准记忆第二部分：课前自我评估测试第三部分：典型例题剖析题型一：相似三角形的判定角度1：证明两个三角形相似角度2：选择或补充条件使两个三角形相似题型二：相似三角形的性质角度1：利用相似三角形的性质求解角度2：证明相似三角形对应线段成比例角度3：利用相似求坐标角度4：在网格中画与已知三角形相似的三角形角度5：相似三角形中的动点问题题型三：相似三角形的判断与性质的综合应用题型四：相似三角形应用举例第四部分：中考真题感悟第一部分：知识点精准记忆知识点一：相似三角形1、如果两个三角形的各角对应相等各边对应成比例,那么这两个三角形相似.2、图示3、数学语言如图：在和中，如果,,,,我们就说与相似，记作.就是它们的相似比，“”读作“相似于”.知识点二：相似三角形的判定1、判定定理1：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交,所构成的三角形与原三角形相似.1.1图示：1.2数学语言2、判定定理2：两角分别相等的两个三角形相似.2.1图示：2.2数学语言,3、判定定理3：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.3.1图示：3.2数学语言且4、判定定理4：三边成比例的两个三角形相似.4.1图示：4.2数学语言5、判定定理5：在直角三角形中，斜边和一直角边成比例的两个直角三角形相似.5.1图示：5.2数学语言且知识点三：相似三角形的常见模型模型1：字型——有一个公共角1如图，在中，点在上，点在上，，则，．2拓展1：斜交A字型条件：为公共角，，图2结论：；3拓展2：如图，．模型2：8字型——有一组对顶角1如图1，；2如图2，．3模型拓展：如图3，．模型3：母子型——有一个公共角且该角的一边为公共边1如图1：,（或）2如图2：，,模型4：一线三等角型——三个角相等且这三个角的顶点在同一条直线上1如图1：2如图2：3如图3：知识点四：相似三角形的性质性质1：相似三角形的对应角相等，对应边对应成比例性质2：相似三角形中的重要线段的比等于相似比.相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.说明：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段.性质3：相似三角形周长的比等于相似比如图一：，则,由比例性质可得性质4：相似三角形面积的比等于相似比的平方如图二，，则分别作出与的高和，则第二部分：课前自我评估测试1．（2023秋·安徽亳州·九年级统考期末）两个相似三角形的相似比是，则其面积之比是（

）A． B． C． D．2．（2023秋·江苏扬州·九年级校考期末）如图，已知，下列式子错误的是（

）A． B． C． D．3．（2023秋·上海闵行·九年级统考期末）如图，某零件的外径为，用一个交叉卡钳（两条尺长和相等）可测量零件的内孔直径．如果，且量得，则零件的厚度x为（

）A． B． C． D．4．（2023·上海静安·统考一模）如图，已知与，下列条件一定能推得它们相似的是（

）A． B．C． D．5．（2023秋·上海闵行·九年级统考期末）已知、分别是的边、上的点（不与端点重合），要使得与相似，那么添加一个条件可以为___________（只填一个）．6．（2023秋·江苏泰州·九年级统考期末）如图，矩形中，，，点在边上从向点运动，速度为，同时点在边上从向点运动，速度为．连接、，设、交于点，取的中点，则的最小值为_____________．第三部分：典型例题剖析题型一：相似三角形的判定角度1：证明两个三角形相似典型例题例题1．（2023秋·上海黄浦·九年级统考期末）下列条件中，不能判定与相似的是（

）A．，B．，，C．，，，，D．，，，，例题2．（2023秋·广东广州·九年级校考期末）如图，，分别是的边，上的点，，，，(1)求证：；(2)若，求的长．例题3．（2023·江苏·九年级专题练习）如图，中，是斜边上的高，，．(1)求证；(2)求的长．例题4．（2022秋·河南周口·九年级校考期中）动感单车是一种新型的运动器械，是经过科学地实验设计，它不仅不劳损腰部，还能使得健身达到最大的效果．图①是一辆动感单车的实物图，图②是它的侧面示意图，为主车架，为调节管，点，，在一条直线上，其中，，点在线段上，的延长线与交于点，．(1)求证：．(2)已知的长为，，当的长度调节至时，求点到的距离（参考数据：，，）．例题5．（2022秋·四川成都·九年级成都外国语学校校考期中）问题背景:如图，(1)已知，求证：；(2)尝试应用:如图，在和中，，，与相交于点，点在边上，，求的值；(3)拓展创新:如图，是内一点，，，，，直接写出的长．同类题型归类练1．（2023秋·山东济南·九年级统考期末）如图，矩形为台球桌面，，球目前在E点位置，，如果小丁瞄准BC边上的点F将球打过去，经过反弹后，球刚好弹到D点位置．(1)求证：；(2)求的长．2．（2023秋·上海嘉定·九年级校考期末）如图，已知点在△的外部，，点在边上，．(1)求证：；(2)在边取一点，如果，，求证：．3．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在中，，点在边上，满足，且点，分别在边，上．求证：．4．（2022秋·北京顺义·九年级统考期末）如图，将等边三角形折叠，使点A落在边上的点D处（不与B、C重合），折痕为．(1)求证：；(2)若，，分别求，的周长；(3)在（2）的条件下，求BE的长．5．（2022秋·江苏苏州·九年级校考阶段练习）如图，在中，已知，且，将与重合在一起，不动，运动，并满足：点E在边上沿B到C的方向运动，且始终经过点A，与交于M点.(1)求证：；(2)当点E运动到边的中点时，求的长；(3)在运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形，请直接写出的长.角度2：选择或补充条件使两个三角形相似典型例题例题1．（2023秋·河北唐山·九年级校考期末）如图，在四边形中，已知，那么补充下列条件后不能判定和相似的是（

）A．平分 B． C． D．例题2．（2023·江苏·九年级专题练习）如图，如果，那么添加下列一个条件后，仍不能确定与相似的是（）A． B．C． D．例题3．（2022秋·甘肃兰州·九年级校考期中）如图，在中，点、分别在边、上，在下列五个条件中：①；②；③；④；⑤，能使得以，，为顶点的三角形与相似的条件有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个例题4．（2022秋·北京石景山·九年级校考期中）如图，标记了与边、角的一些数据，如果再添加一个条件使，那么这个条件可以是______．（只填一个即可）例题5．（2022秋·河北邢台·九年级校联考期中）如图所示，，，：，点从点出发，沿向点以的速度移动，点从点出发沿向点以的速度移动，如果、分别从、同时出发，过多少秒时，以、、为顶点的三角形恰与相似？同类题型归类练1．（2023秋·安徽亳州·九年级统考期末）如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（

）A． B． C． D．2．（2023秋·四川成都·九年级统考期末）如图，点在的边上，要判断，添加下列一个条件，不正确的是（）A． B．C． D．3．（2023秋·湖南湘潭·九年级湘潭凤凰初级中学校考期末）如图所示，若，则需满足（

）A． B． C． D．4．（2023·江苏·九年级专题练习）如图，在中，，是上一点且，当________时，使得与相似．5．（2022秋·九年级课时练习）在①，②，③这三个条件中选择其中一个，补充在下面的问题中，使命题正确，并证明．问题：如图，四边形的两条对角线交于点，若（填序号）求证：．题型二：相似三角形的性质角度1：利用相似三角形的性质求解典型例题例题1．（2023秋·四川成都·九年级统考期末）已知，若，，则的度数是（

）A．35° B．65° C．80° D．100°例题2．（2023·上海静安·统考一模）已知，与的相似比为，与的相似比为，那么与的相似比为_________．例题3．（2023·江苏·九年级专题练习）从三角形(不是等腰三角形)的一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中，一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．(1)如图①，在中，为角平分线，，求证：为的完美分割线；(2)在中，，是的完美分割线，且为等腰三角形，求的度数；(3)如图②，在中，，是的完美分割线，且是以为底边的等腰三角形，求完美分割线的长．同类题型归类练1．（2023秋·上海嘉定·九年级校考期末）如果∽，且的三边长分别为3、4、5，的最短边长为6，那么的周长等于________．2．（2023秋·九年级统考期末）如图，在平行四边形中，点E在边上，交对角线于F，若，的面积等于，那么的面积等于_____．3．（2023·江苏·九年级专题练习）如图，在矩形中，P是上的动点，连接，若上存在三个不同位置的点P，使与相似，设，则d的取值范围是____________．角度2：证明相似三角形对应线段成比例典型例题例题1．（2022秋·广东深圳·九年级校考期末）已知与相似，且，那么下列结论中，一定成立的是（

）A． B． C．相似比为 D．相似比为例题2．（2022春·江苏·九年级专题练习）如下图所示，在中，点在线段上，且，则下列结论一定正确的是(

)A． B．C． D．例题3．（2022秋·全国·九年级专题练习）在中，为上的一点，E为延长线上的一点，交于．求证：同类题型归类练1．（2022秋·甘肃天水·九年级统考期末）如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成的两部分面积相等，则为（

）A． B． C． D．2．（2022秋·九年级课时练习）如图，点F是矩形ABCD的边CD上一点，射线BF交AD的延长线于点E，则下列结论错误的是（

）A． B． C． D．3．（2023·江苏·九年级专题练习）如图，平行四边形ABCD中，CE是∠DCB的角平分线，且交AB于点E，DB与CE相交于点O，（1）求证：△EBC是等腰三角形；（2）已知：AB=7，BC=5，求的值．角度3：利用相似求坐标典型例题例题1．（2022秋·福建漳州·九年级漳州实验中学校考期中）如图，中，、两点在轴的上方，点的坐标是，以点为位似中心，把的边长缩小为原来的，所得的位似图形为，设的对应点的横坐标为，则的横坐标为（

）A． B． C． D．例题2．（2022·九年级单元测试）如图，在平面直角坐标系中，点，，，则点坐标为___________．例题3．（2023秋·四川成都·九年级统考期末）如图，一次函数与反比例函数的图像交于点和点，与轴，轴分别交于，两点，(1)求一次函数和反比例函数的表达式；(2)点为反比例函数（）上一点（不与点，重合），过点作轴，垂足为点，当时，求点坐标．同类题型归类练1．（2022·全国·九年级专题练习）在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的点A在函数的图象上，点C在函数的图象上，若点B的横坐标为，则点A的坐标为（

）A． B． C． D．2．（2022秋·河南三门峡·九年级统考期末）如图，在直角坐标系xOy中，，，连接AB并延长到点C，连接CO，若，则点C的坐标为______．3．（2023·江西·九年级专题练习）图，直线与反比例函数的图象相交于点，与轴交于点．(1)求，，的值．(2)是轴上一点，若，求点的坐标．角度4：在网格中画与已知三角形相似的三角形典型例题例题1．（2023·江苏·九年级专题练习）在的网格中，格点的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．(1)填空：的面积为___________．(2)请利用网格再画一个格点，且面积最小，并将此三角形涂上阴影．（注：标上字母）例题2．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在的网格中，的三个顶点都在格点上．（1）在图1中画出一个以为边的平行四边形，顶点，在格点上；（2）在图2中画出以为边且与相似的，使顶点D在格点上（不与全等）．例题3．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在的方格纸中，点，，均为格点，请按要求在方格纸内作图．(1)在图1中作出与相似的格点；(2)在图2中作出与相等的，点为格点且不与点重合．同类题型归类练1．（2022秋·浙江金华·九年级义乌市绣湖中学教育集团校联考期中）如图在6×5的正方形网格中，每一个正方形的顶点都称为格点，的三个顶点都是格点．请按要求完成下列作图．(1)在图1网格中作格点三角形，使与相似，且相似比不等于1；(2)如图2，将绕点逆时针旋转得到，画出．2．（2022秋·浙江·九年级专题练习）如图，在的正方形方格中，的顶点都在边长为的小正方形的顶点．(1)填空：__________，__________；(2)请在图中的两个的正方形方格中各画一个和相似但不全等的格点三角形．3．（2022秋·山东·九年级校联考期中）小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图形叫做格点图形．如图，在7×7的正方形网格中，画出符合要求的格点三角形．(1)在图1中画出以为边的三角形，且与相似（不全等）；(2)在图2中画出以为边的三角形，且与相似（不全等）．角度5：相似三角形中的动点问题典型例题例题1．（2023秋·云南楚雄·九年级校考期中）如图，在锐角三角形中，，，动点从点出发到点停止，动点从点出发到点停止，点运动的速度为，点运动的速度为，如果两点同时开始运动，那么以点，，为顶点的三角形与相似时的运动时间为（

）A．或 B． C． D．或例题2．（2023·全国·九年级专题练习）如图（1）所示，为矩形的边上一点，动点，同时从点出发，点沿折线运动到点时停止，点沿运动到点时停止，它们运动的速度都是1cm/秒．设、同时出发秒时，的面积为cm2．已知与的函数关系图像如图（2）（曲线OM为抛物线的一部分），则下列结论：①；②；③当时，；④当秒时，；其中正确的结论是（）A．①②③ B．②③ C．①③④ D．②④例题3．（2023秋·上海·九年级校考期末）如图，在中，，是边上的中线，，，点是延长线上的一动点，过点作，交的延长线于点．(1)当点为的中点时，求的长；(2)设，，求关于的函数关系式，并写出的取值范围；(3)过点作交于，当和相似时，求的长．同类题型归类练1．（2023·江苏·九年级专题练习）如图，在△ABC中，BA＝BC＝20cm，AC＝30cm，点P从点A出发，沿AB以4cm/s的速度向点B运动，同时点Q从点C出发，沿CA以3cm/s的速度向点A运动，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动时间为xs．(1)当时，求x的值．(2)△APQ与△CQB能否相似？若能，求出AP的长；若不能，请说明理由．2．（2023秋·河北邯郸·九年级邯郸市翰光学校校考期末）如图，在中，，，点从点开始沿边向点以2cm/s的速度移动，点从点开始沿边向点以4cm/s的速度移动，如果点、分别从点、同时出发，经几秒钟与相似？试说明理由．3．（2023春·九年级单元测试）如图，△ABC中，AB＝AC＝10cm．BC＝16cm，动点P从点C出发沿线段CB以2cm/s的速度向点B运动，同时动点Q从点B出发沿线段BA以1cm/s的速度向点A运动，当其中一个动点停止运动时另一个动点也停止运动，设运动时间为t（单位：s），以点Q为圆心，BQ长为半径的⊙Q与射线BA、线段BC分别交于点D，E，连接DP．(1)当t为何值时，线段DP与⊙Q相切；(2)若⊙Q与线段DP只有一个公共点，求t的取值范围；(3)当△APC是等腰三角形时，直接写出t的值．题型三：相似三角形的判断与性质的综合应用典型例题例题1．（2023秋·江苏盐城·九年级统考期末）如图，在中，于点，如果，那么__________．例题2．（2023秋·陕西西安·九年级西安市铁一中学校联考期末）《九章算术》中记载着这样的一个问题：今有邑方，不知大小，各中开门．出北门二十步有木，出南门一十四步，折而西行一千七百七十五步见木，问邑方几何？大意如下：如图，、为正方形一组对边的中点，中，、、、四点共线，，、、三点共线，且，，，，设正方形的边长为，请根据题意列方程，并将方程整理成一元二次方程的一般形式：______．例题3．（2023秋·四川成都·九年级统考期末）在中，点，分别在边，上，连接，交于点，且，(1)求证：：(2)当为边的中点时，且，①若，求；②若为等腰直角三角形，且，求四边形的面积．例题4．（2023秋·浙江衢州·九年级校联考期末）综合实践课上，小慧用两张如图1所示的直角三角形纸片：，斜边重合拼成四边形，接着在，上取点，,连，，使．(1)若拼成的四边形如图2所示：则______________﹔(2)如图3，连接对角线，相交于点O，分别交，于点，，若平分，①判断的形状并说明理由．②，求的长．同类题型归类练1．（2023秋·湖北武汉·九年级校考期末）如图，平行四边形的三个顶点A、B、D均在上，且对角线经过点O，与相切于点B，已知的半径为6，则平行四边形的面积为_____．2．（2023·上海静安·统考一模）如图，在梯形ABCD中，，DF分别交对角线AC、底边BC于点E、F，且．(1)求证：；(2)点G在底边BC上，，，连接，如果与的面积相等，求的长．3．（2023秋·河北唐山·九年级校考期末）如图，矩形中，，，点P为边上一动点，交于点Q．(1)求证：；(2)P点从A点出发沿边以每秒2个单位长度的速度向B点移动，移动时间为t秒．当t为何值时，？4．（2023秋·河北保定·九年级校考期末）如图，已知，分别是的边，上的高．(1)求证：；(2)连接，若，试判断与之间的数量关系，并说明理由．题型四：相似三角形应用举例典型例题例题1．（2023秋·山东枣庄·九年级校考期末）古代一位数学家想出了一种测量金字塔高度的方法：如图，为了测量金字塔的高度，先竖一根已知长度的木棒，比较木棒的影长与金字塔的影长，即可近似计算出金字塔的高度．若米，米，米，则金字塔的高度___________米．例题2．（2023秋·四川成都·九年级统考期末）为了测试成都熊猫基地观光瞭望塔“竹笋”建筑物的高度，小军同学采取了如下方法：在地面上点处平放一面镜子，并在镜子上做一个标记，然后人向后退，直至站在点处恰好看到建筑物的顶端在镜子中的像与镜子上的标记重合（如图所示）.其中，，三点在同一条直线上.已知小军的眼睛距离地面的高度的长约为，和的长分别为和，求建筑物的高度.（说明：由物理知识，可知）例题3．（2023·全国·九年级专题练习）如图，己知直角三角形的铁片的两直角边、的长分别为3cm和4cm，分别采用（1）、（2）两种剪法，剪出一块正方形铁片，为使所得的正方形面积最大，问哪一种剪法好？为什么？例题4．（2023·全国·九年级专题练习）某中学数学实践小组决定利用所学知识去测量一古建筑的高度（如图1）．如图2，在地面上取，两点，分别竖立两根高为的标杆和，两标杆间隔为，并且古建筑，标杆和在同一竖直平面内，从标杆后退到处（即），从处观察点，、、三点成一线；从标杆后退到处（即），从处观察点，、、三点也成一线．已知、、、、在同一直线上，，请根据以上测量数据，帮助实践小组求出该古建筑的高度．同类题型归类练1．（2023秋·河南南阳·九年级校考期末）如图是用杠杆撬石头的示意图，点C是支点，当用力压杠杆的A端时，杠杆绕C点转动，另一端B向上翘起，石头就被撬动．现有一块石头，要使其滚动，杠杆的B端必须向上翘起，已知，要使这块石头滚动，至少要将杠杆的A端向下压___________．2．（2023秋·湖北武汉·九年级武汉一初慧泉中学校考阶段练习）如图，为了估计河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点A，在近岸取点B，使与河岸垂直，在近岸取点C，E，使，与交于点D．已测得米，米，米，求河宽．3．（2023秋·陕西西安·九年级校联考期末）已知有一块三角形材料，其中，高，现需要在三角形上裁下一个正方形材料做零件，使得正方形的顶点、分别在边，上，、在上，裁下的正方形的边长是多少？4．（2023秋·山西太原·九年级山西大附中校考期末）小彬做了探究物体投影规律的实验，并提出了一些数学问题请你解答：(1)如图1，白天在阳光下，小彬将木