专题03二次函数的定义(原卷版+解析)(重点突围)

专题03二次函数的定义考点一二次函数的识别考点二二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项考点三根据二次函数的定义求参数考点四列二次函数关系式考点一二次函数的识别例题：（2022·浙江·义乌市苏溪镇初级中学九年级阶段练习）下列各式中表示二次函数的是（）A． B． C． D．【变式训练】1．（2020·陕西·西安市大明宫中学三模）观察：①；②；③；④；⑤；⑥．这六个式子中二次函数有（

）个．A．2 B．3 C．4 D．52．（2022·山东·宁津县时集中学九年级阶段练习）下列函数是关于x的二次函数的有（）①②；③；④（a为任意实数）；⑤；⑥．A．2个 B．3个 C．4个 D．5个3．（2022·全国·九年级课时练习）下列函数①；②；③；④；⑤．其中是二次函数的是____________．考点二二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项例题：（2022·福建省福州外国语学校八年级期末）二次函数的一次项系数是（

）A．1 B．2 C． D．3【变式训练】1．（2022·全国·九年级）设a，b，c分别是二次函数y＝﹣x2＋3的二次项系数、一次项系数、常数项，则（

）A．a＝﹣1，b＝3，c＝0 B．a＝﹣1，b＝0，c＝3C．a＝﹣1，b＝3，c＝3 D．a＝1，b＝0，c＝32．（2022·全国·九年级课时练习）在二次函数y＝﹣x2+5x﹣2中，a、b、c对应的值为（）A．a＝1，b＝5，c＝﹣2 B．a＝﹣1，b＝5，c＝2C．a＝﹣1，b＝5，c＝﹣2 D．a＝﹣1，b＝﹣5，c＝﹣23．（2022·全国·九年级）已知二次函数y＝1﹣5x＋3x2，则二次项系数a＝___，一次项系数b＝___，常数项c＝___．考点三根据二次函数的定义求参数例题：（2022·全国·九年级课时练习）已知y＝+2x﹣3是二次函数式，则m的值为_____．【变式训练】1．（2021·黑龙江·塔河县第一中学校九年级期中）已知是关于的二次函数，那么的值____．2．（2021·广东广州·九年级期中）关于的函数是二次函数，则的值为__________．3．（2022·吉林市第五中学九年级阶段练习）若是关于x的二次函数，则a的值是_______．考点四列二次函数关系式例题：（2022·上海市青浦区教育局二模）为防治新冠病毒，某医药公司一月份的产值为1亿元，若每月平均增长率为，第一季度的总产值为（亿元），则关于的函数解析式为________________．【变式训练】1．（2021·山东滨州·九年级期中）某商店从厂家以每件元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价，若每件商品的售价为元，则可卖出件，那么卖出商品所赚钱元与售价元之间的函数关系为________．2．（2022·上海市格致初级中学九年级阶段练习）如图是一个矩形花圃的平面图，花圃由一堵旧墙（旧墙的长度不小于）和总长为的篱笆围成，中间用篱笆分隔成两个小矩形．设大矩形的垂直于旧墙的一边长为米，花圃总面积为平方米，求关于的函数解析式__________．（用二次函数一般式表示）3．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在长方形中，，，点，从点出发，点沿线段运动，点沿线段运动（其中一点停止运动，另一点也随之停止运动）．若设，阴影部分的面积为，则与之间的关系式为______．一、选择题1．（2022·全国·九年级单元测试）下列函数关系中，y是x的二次函数的是（

）A． B．C． D．2．（2022·安徽淮北·九年级阶段练习）二次函数的一次项系数是（

）A．1 B．2 C． D．53．（2022·安徽·利辛县汝集镇西关学校九年级阶段练习）若函数是关于的二次函数，则的值是（

）A． B．0 C．或 D．或4．（2022·江西·瑞金市第三中学九年级阶段练习）已知函数：①；②；③；④；⑤，⑥其中二次函数的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．45．（2022·山东·日照市北京路中学九年级阶段练习）对于关于x的函数，下列说法错误的是(

)A．当时，该函数为正比例函数 B．当时，该函数为一次函数C．当该函数为二次函数时，或 D．当该函数为二次函数时，6．（2022·重庆十八中两江实验中学一模）根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x的值为3或－4时，输出的y值互为相反数，则b等于（

）A．－30 B．－23 C．23 D．30二、填空题7．（2022·河南商丘·九年级阶段练习）若y关于x的函数是二次函数，则m的值是_____．8．（2022·四川·九年级期中）己知函数．若这个函数是二次函数，求的取值范围__________________9．（2023·山东·临沂沂州实验学校九年级阶段练习）若函数是关于的二次函数，则的值为______．10．（2022·广东·三模）二次函数y＝（m﹣1）x2+x+m2﹣1的图象经过原点，则m的值为_____．11．（2021·全国·八年级课时练习）如图，八一广场要设计一个矩形花坛，花坛的长、宽分别为、，花坛中有一横两纵的通道，横、纵通道的宽度分别为、，三条通道的总面积；则s与x之间的关系表达式为__________．12．（2022·全国·九年级课时练习）给出下列函数：①；②；③；④.其中是二次函数的有______，若把它写成的形式，则______，______，______.三、解答题13．（2022·陕西·九年级阶段练习）已知，当m为何值时，它是y关于x的二次函数．14．（2022·山东·庆云县尚堂镇大靳初级中学九年级阶段练习）已知．（1）当m为何值时，它是y关于x的一次函数；（2）当m为何值时，它是y关于x的二次函数．15．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12mm，BC＝24mm，动点P从点A开始沿边AB向点B以2mm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以4mm/s的速度移动．如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发，请求出△PBQ的面积S与出发时间t的函数解析式及t的取值范围．16．（2022·上海市民办文绮中学八年级阶段练习）已知等边的边长为10，是上一动点，且，是射线上一点，且，以、为边构造．

(1)当点是中点时，求的长；(2)设；的面积为，当点在线段上时，求出关于的函数关系式，并求出定义域；(3)联结，若是直角三角形，求的长．专题03二次函数的定义考点一二次函数的识别考点二二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项考点三根据二次函数的定义求参数考点四列二次函数关系式考点一二次函数的识别例题：（2022·浙江·义乌市苏溪镇初级中学九年级阶段练习）下列各式中表示二次函数的是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据二次函数的的定义，即可求解．【详解】解：A、是二次函数，故本选项符合题意；B、是一次函数，故本选项不符合题意；C、不是二次函数，故本选项不符合题意；D、不是二次函数，故本选项不符合题意；故选：A【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，熟练掌握形如（a，b，c是常数，）的函数，叫做二次函数是解题的关键．【变式训练】1．（2020·陕西·西安市大明宫中学三模）观察：①；②；③；④；⑤；⑥．这六个式子中二次函数有（

）个．A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】【分析】根据二次函数的定义判断即可．【详解】①是二次函数；②是二次函数；③是二次函数；④不是二次函数；⑤不是二次函数；⑥不是二次函数；这六个式子中二次函数有①②③故选：B．【点睛】本题考查二次函数的定义，即一般地，形如（a，b，c是常数，）的函数，叫做二次函数．2．（2022·山东·宁津县时集中学九年级阶段练习）下列函数是关于x的二次函数的有（）①②；③；④（a为任意实数）；⑤；⑥．A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】A【分析】根据二次函数的定义：一般地，形如（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数进行分析可得答案．【详解】解：①，是二次函数，故该选项正确，符合题意；②，不是二次函数，故该选项不正确，不符合题意；③，是二次函数，故该选项正确，符合题意；④（a为任意实数），当时，是一次函数，故该选项不正确，不符合题意；⑤，是一次函数，故该选项不正确，不符合题意；⑥，不是二次函数，故该选项不正确，不符合题意；∴是关于x的二次函数的有①③，故选：A．【点睛】此题主要考查了二次函数定义，判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．3．（2022·全国·九年级课时练习）下列函数①；②；③；④；⑤．其中是二次函数的是____________．【答案】②④##④②【解析】【分析】根据二次函数的定义，函数式为整式且自变量的最高次数为2，二次项系数不为0，逐一判断．【详解】解：①y=5x-5为一次函数；②y=3x2-1为二次函数；③y=4x3-3x2自变量次数为3，不是二次函数；④y=2x2-2x+1为二次函数；⑤y=函数式为分式，不是二次函数．故答案为②④．【点睛】本题考查二次函数的定义，熟记定义“函数式为整式且自变量的最高次数为2，二次项系数不为0”是解题关键．考点二二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项例题：（2022·福建省福州外国语学校八年级期末）二次函数的一次项系数是（

）A．1 B．2 C． D．3【答案】C【解析】【分析】根据二次函数的定义：一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项作答．【详解】解：二次函数y=x2－2x+3的一次项系数是－2；故选：C．【点睛】此题主要考查了二次函数的定义，关键是注意在找二次项系数，一次项系数和常数项时，不要漏掉符号．【变式训练】1．（2022·全国·九年级）设a，b，c分别是二次函数y＝﹣x2＋3的二次项系数、一次项系数、常数项，则（

）A．a＝﹣1，b＝3，c＝0 B．a＝﹣1，b＝0，c＝3C．a＝﹣1，b＝3，c＝3 D．a＝1，b＝0，c＝3【答案】B【解析】【分析】根据二次函数的一般形式可得答案．【详解】解：二次函数y＝﹣x2+3的二次项系数是a＝﹣1，一次项系数是b＝0，常数项是c＝3；故选：B．【点睛】此题主要考查了二次函数的一般形式，关键是注意在找二次项系数，一次项系数和常数项时，不要漏掉符号．2．（2022·全国·九年级课时练习）在二次函数y＝﹣x2+5x﹣2中，a、b、c对应的值为（）A．a＝1，b＝5，c＝﹣2 B．a＝﹣1，b＝5，c＝2C．a＝﹣1，b＝5，c＝﹣2 D．a＝﹣1，b＝﹣5，c＝﹣2【答案】C【分析】根据二次函数的相关定义进行辨别即可．【详解】解：∵y＝﹣x2+5x﹣2，∴a＝﹣1，b＝5，c＝﹣2，故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的相关定义，理解二次函数的定义是解题的关键．3．（2022·全国·九年级）已知二次函数y＝1﹣5x＋3x2，则二次项系数a＝___，一次项系数b＝___，常数项c＝___．【答案】

3

-5

1【解析】【分析】形如：这样的函数是二次函数，其中二次项系数为一次项系数为常数项为根据定义逐一作答即可．【详解】解：二次函数y＝1﹣5x+3x2，则二次项系数a＝3，一次项系数b＝﹣5，常数项c＝1，故答案为：3，﹣5，1．【点睛】本题考查了二次函数的定义，熟记二次函数的定义是解题关键．考点三根据二次函数的定义求参数例题：（2022·全国·九年级课时练习）已知y＝+2x﹣3是二次函数式，则m的值为_____．【答案】-1【解析】【分析】若y＝+2x﹣3是二次函数式，则二次项系数不等于零，可得答案；【详解】解：由题意得：，解得：m=-1，故答案为：-1．【点睛】本题考查了二次函数的定义，理解二次函数的定义是解题关键．【变式训练】1．（2021·黑龙江·塔河县第一中学校九年级期中）已知是关于的二次函数，那么的值____．【答案】【解析】【分析】根据二次函数的定义，中，未知数x的指数为2，系数不为0，列式计算即可．【详解】解：∵是关于的二次函数，∴且，∴．故答案为：．【点睛】本题考查的是二次函数的定义，熟练掌握形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）的函数，叫做二次函数是解题的关键．2．（2021·广东广州·九年级期中）关于的函数是二次函数，则的值为__________．【答案】2【解析】【分析】根据二次函数的定义：一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数，求出m的值即可解决问题．【详解】解：∵是关于x的二次函数，∴m2-m=2，m+1≠0，解得：m=2．故答案为：2．【点睛】本题主要考查了二次函数的定义及解一元二次方程；牢固掌握定义和方程的解法是解题的关键．3．（2022·吉林市第五中学九年级阶段练习）若是关于x的二次函数，则a的值是_______．【答案】【分析】根据二次函数的定义可得，且，求解即可得．【详解】解：由题意得：，且，解得，故答案为：．【点睛】本题考查了二次函数的定义，解题的关键是熟记二次函数的一般形式的结构特征：（1）函数的关系式是整式；（2）自变量的最高次数是2；（3）二次项系数不等于零．考点四列二次函数关系式例题：（2022·上海市青浦区教育局二模）为防治新冠病毒，某医药公司一月份的产值为1亿元，若每月平均增长率为，第一季度的总产值为（亿元），则关于的函数解析式为________________．【答案】【解析】【分析】根据题意分别求得每个月的产值，然后相加即可求解．【详解】解：∵某医药公司一月份的产值为1亿元，若每月平均增长率为，∴二月份的为三月份的为第一季度的总产值为（亿元），则故答案为：【点睛】本题考查了二次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键．【变式训练】1．（2021·山东滨州·九年级期中）某商店从厂家以每件元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价，若每件商品的售价为元，则可卖出件，那么卖出商品所赚钱元与售价元之间的函数关系为________．【答案】【解析】【分析】由题意分析出每件商品的盈利为：元，再根据：总利润等于每件商品的利润乘以销售的数量，再化简即可.【详解】解：由题意得：每件商品的盈利为：元，所以：故答案为：【点睛】本题考查的是列二次函数关系式，掌握“总利润等于每件商品的利润乘以销售的数量”是解题的关键.2．（2022·上海市格致初级中学九年级阶段练习）如图是一个矩形花圃的平面图，花圃由一堵旧墙（旧墙的长度不小于）和总长为的篱笆围成，中间用篱笆分隔成两个小矩形．设大矩形的垂直于旧墙的一边长为米，花圃总面积为平方米，求关于的函数解析式__________．（用二次函数一般式表示）【答案】【分析】根据矩形的面积公式，列出函数解析式，即可求解．【详解】解：根据题意得：关于的函数解析式为．故答案为：.【点睛】本题主要考查了列二次函数关系式，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．3．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在长方形中，，，点，从点出发，点沿线段运动，点沿线段运动（其中一点停止运动，另一点也随之停止运动）．若设，阴影部分的面积为，则与之间的关系式为______．【答案】y=-+48【解析】【分析】先求出，进而即可得到答案．【详解】由题意得：，∴阴影部分的面积=6×8-，即：y=-+48．故答案是：y=-+48．【点睛】本题主要考查列二次函数解析式，解题的关键是掌握割补法求面积．一、选择题1．（2022·全国·九年级单元测试）下列函数关系中，y是x的二次函数的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用二次函数定义进行分析即可．【详解】解：A、当时，不是二次函数，故此选项不合题意；B、自变量在分母上，不是二次函数，故此选项不合题意；C、是二次函数，故此选项符合题意；D、化简后，二次项系数为0，不是二次函数，故此选项不合题意；故选：C．【点睛】此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．2．（2022·安徽淮北·九年级阶段练习）二次函数的一次项系数是（

）A．1 B．2 C． D．5【答案】C【分析】根据二次函数的定义“一般地，形如（a、b、c是常数，）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项”作答即可．【详解】解：二次函数的一次项系数是．故选：C．【点睛】此题主要考查了二次函数的定义，关键是注意在找二次项系数，一次项系数和常数项时，不要漏掉符号．3．（2022·安徽·利辛县汝集镇西关学校九年级阶段练习）若函数是关于的二次函数，则的值是（

）A． B．0 C．或 D．或【答案】B【分析】根据二次函数的定义进行计算即可；【详解】解：由题意得：，解得：或，又∵，，∴．故选B．【点睛】本题考查二次函数的定义．解题的关键是熟练掌握二次函数的定义，注意二次项系数不能为0．4．（2022·江西·瑞金市第三中学九年级阶段练习）已知函数：①；②；③；④；⑤，⑥其中二次函数的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】根据二次函数的基本形式判断即可．【详解】解：①最高项是一次，不是二次函数，故①错误；②是二次函数，故②正确；③最高项是三次，不是二次函数，故③错误；④最高项是一次，不是二次函数，故④错误；⑤，没有告知，不一定是二次函数，故⑤错误；⑥，x不能在分式里，故⑥错误；故选A．【点睛】本题主要考查了二次函数的基本形式为，准确判断是解题的关键．5．（2022·山东·日照市北京路中学九年级阶段练习）对于关于x的函数，下列说法错误的是(

)A．当时，该函数为正比例函数 B．当时，该函数为一次函数C．当该函数为二次函数时，或 D．当该函数为二次函数时，【答案】C【分析】根据正比例函数、一次函数、二次函数的定义判断即可．【详解】、当时，该函数为正比例函数，故不符合题意；、当时，，即，该函数为一次函数，故不符合题意；、当时，该函数为正比例函数，故符合题意；、当该函数为二次函数时，，故不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了一次函数、正比例函数、二次函数的定义，熟练掌握相关定义是解题的关键．6．（2022·重庆十八中两江实验中学一模）根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x的值为3或－4时，输出的y值互为相反数，则b等于（

）A．－30 B．－23 C．23 D．30【答案】D【分析】先分别求解当时，当时，再利用相反数的含义列方程，再解方程可得答案．【详解】解：当时，当时，结合题意可得：故选：【点睛】本题考查的是求解一次函数值与二次函数值，相反数的含义，掌握以上知识是解题的关键．二、填空题7．（2022·河南商丘·九年级阶段练习）若y关于x的函数是二次函数，则m的值是_____．【答案】【分析】根据二次函数的定义求解即可．【详解】解：∵是二次函数，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，一般地，形如a、b、c是常数的函数叫做二次函数．8．（2022·四川·九年级期中）己知函数．若这个函数是二次函数，求的取值范围__________________【答案】且【分析】根据二次函数的定义，即可得不等式，解不等式即可求得．【详解】解：函数是二次函数，，解得，故答案为：且．【点睛】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握和运用二次函数的定义是解决本题的关键．9．（2023·山东·临沂沂州实验学校九年级阶段练习）若函数是关于的二次函数，则的值为______．【答案】1【分析】根据二次函数的定义可得且，求解即可．【详解】解：函数是关于的二次函数，且，解得，故答案为：1．【点睛】本题考查了二次函数的定义及绝对值的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键．10．（2022·广东·三模）二次函数y＝（m﹣1）x2+x+m2﹣1的图象经过原点，则m的值为_____．【答案】-1【分析】将原点坐标（0，0）代入二次函数解析式，列方程求m即可．【详解】解：∵点（0，0）在抛物线y＝（m﹣1）x2+x+m2﹣1上，∴m2﹣1＝0，解得m1＝1或m2＝﹣1，∵m＝1不合题意，∴m＝1，故答案为：﹣1．【点睛】本题考查利用待定系数法求解二次函数解析式，能够熟练掌握待定系数法是解决本题的关键．11．（2021·全国·八年级课时练习）如图，八一广场要设计一个矩形花坛，花坛的长、宽分别为、，花坛中有一横两纵的通道，横、纵通道的宽度分别为、，三条通道的总面积；则s与x之间的关系表达式为__________．【答案】【分析】用两条长为120m,宽为2xm长方形面积与一条长为（200-2个道宽2x）m,宽为3xm长方形面积和来求三条通道的总面积即可．【详解】解：，则s与x之间的关系表达式为．故答案为．【点睛】本题考查列三条通道的总面积的二次函数，掌握长方形面积公式是解题关键．12．（2022·全国·九年级课时练习）给出下列函数：①；②；③；④.其中是二次函数的有______，若把它写成的形式，则______，______，______.【答案】

④

1

0【分析】根据二次函数的概念：逐一进行判断即可.①②③都不满足二次函数的形式，④是二次函数【详解】①不满足二次函数的形式，所以不是二次函数；②，是一次函数，也不满足要求；③不满足二次函数的形式，所以不是二次函数；④是二次函数所以二次函数只有④其中故答案为④

1

0【点睛】本题主要考查二次函数的概念，掌握二次函数的概念是解题的关键.三、解答题13．（2022·陕西·九年级阶段练习）已知，当m为何值时，它是y关于x的二次函数．【答案】或【分析】一般地，把形如的函数叫做二次函数，据此可得到，求解即可．【详解】由题意得，，，解得或，所以，当或时，是y关于x的二次函数．【点睛】本题考查了二次函数的定义及解一元二次方程，熟练掌握知识点是解题的关键．14．（2022·山东·庆云县尚堂镇大靳初级中学九年级阶段练习）已知．（1）当m为何值时，它是y关于x的一次函数；（2）当m为何值时，它是y关于x的二次函数．【答案】（1）；（2）4或或或0或1【分析】（1）根据形如y=kx+b

（k≠0）是一次函数，可得答案；（2）根据形如y=ax2+bx+c

（a≠0）是二次函数，可得答案．【详解】（1）由是关于x的一次函数，得解得．所以当时，它是y关于x的一次函数．（2）由是关于x的二次函数，得①，解得；②，解得；③解得；④，解得或．综上所述，当m的值为4或或或0或1时，它是y关于x的二次函数．【点睛】本题考查了二次函数和一次函数的定义，二次函数的一般形式中，二次项系数，解此类题易出现只关注满足指数的要求，而忽略对二次项系数的限制，从而导致错误．15．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12mm，BC