第06讲实数的运算（4大考点）

第06讲实数的运算（4大考点）考点考点考向一、实数大小的比较正实数大于0，负实数小于0.两个正数，绝对值大的数较大；两个负数，绝对值大的数较小.从数轴上看，右边的点所表示的数总比左边的点所表示的数大.二、实数的运算有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数.当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用.考点考点精讲题型一：实数的混合混算一、填空题1．（2021·浙江·杭州市青春中学七年级期中）计算：（1）＝___.（2）4+＝___．（3）的立方根为___．（4）如果的平方根是±3，则＝___．【答案】

4

8

3

4【分析】（1）根据立方根的定义求解即可；（2）根据平方根的定义先化简，然后求解即可；（3）根据平方根的定义先化简，再求立方根即可；（4）根据平方根的定义先求出，然后代入求解即可．【详解】解：（1）；（2）；（3）∵，∴的立方根即为8的立方根，8的立方根为3，∴的立方根为3；（4）∵的平方根是±3，∴，∴，∴；故答案为：4；8；3；4．【点睛】本题考查平方根，算术平方根以及立方根的相关计算，理解平方根与立方根的相关基本概念是解题关键．2．（2021·浙江温州·七年级期中）如图边长为2的正方形，则图中的阴影部分面积是______．【答案】【分析】由图可知阴影部分的面积等于正方形面积减去圆的面积，由此求解即可．【详解】解：根据题意可得：S阴影＝＝．故答案为：．【点睛】此题主要考查了实数的运算，解题的关键是熟知正方形、圆的面积公式．3．（2022·浙江宁波·七年级期末）计算：________．【答案】1【分析】先化简绝对值，再加减运算即可求解．【详解】解：∵3＜π＜4，∴=1，故答案为：1．【点睛】本题考查化简绝对值、实数的加减运算，会利用绝对值的性质化简绝对值是解答的关键．4．（2021·浙江·台州市书生中学七年级期中）若与互为相反数，则________．【答案】1【分析】根据题意，可得：，所以，据此求出的值是多少，再应用代入法，求出的值是多少即可．【详解】解：与互为相反数，，，解得：，，故答案为：1．【点睛】此题主要考查了实数的混合运算，相反数的性质，立方根的性质，根据两个数的立方根互为相反数得到关于x的方程是关键点．二、解答题5．（2021·浙江台州·七年级期末）计算：|﹣|﹣．【答案】【分析】先逐项化简，再算加减即可．【详解】解：原式=，故答案为：．【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握立方根和算术平方根的定义是解答本题的关键．6．（2021·浙江台州·七年级期末）计算：．【答案】【分析】先计算算术平方根、立方根、实数的乘方，再计算加减法即可得．【详解】解：原式．【点睛】本题考查了算术平方根、立方根、实数的运算，熟练掌握运算法则是解题关键．7．（2022·浙江金华·七年级期末）计算：(1)(2)【答案】(1)1(2)35【分析】（1）原式先化简立方根，再计算除法，最后计算减法即可得到答案；（2）原式先计算乘方和化简算术平方根，再计算乘法，最后计算加法即可得到答案．(1)==1(2)===【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．8．（2022·浙江台州·七年级期中）计算：(1)；(2)．【答案】(1)12(2)【分析】（1）直接利用立方根以及算术平方根的性质化简得出答案；（2）直接利用绝对值以及二次根式的性质化简得出答案．(1)解：原式；(2)解：原式．【点睛】本题主要考查了实数运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．9．（2022·浙江台州·七年级期中）计算【答案】【分析】直接根据算术平方根、立方根以及绝对值的意义将原式进行化简，然后根据实数的运算法则进行计算即可．【详解】解：＝＝．【点睛】本题考查了实数的运算，熟练掌握算术平方根、立方根以及绝对值的非负性是解本题的关键．10．（2021·浙江台州·七年级期末）计算：【答案】【分析】首先计算开方和绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．【详解】解：===【点睛】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．11．（2021·浙江·七年级期中）计算：（1）

（2）【答案】（1）8；（2）1【分析】（1）先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减；（2）先化简各数，再作加减法．【详解】解：（1）===8；（2）==1【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则和运算顺序是解本题的关键．12．（2022·浙江台州·七年级期中）计算：(1)；(2)．【答案】(1)1(2)【分析】（1）根据算术平方根和立方根化简后计算即可；（2）去绝对值后计算即可．（1）解：；（2）．【点睛】本题考查了实数的运算，熟练掌握算术平方根、立方根的定义和绝对值的性质是解题关键．题型二：程序设计与实数运算一、填空题1．（2021·浙江温州·七年级期末）按如图所示的程序计算，若开始输入的x为，则输出的结果为________．【答案】15．【分析】根据输入的为，按照运算程序，计算结果即可．【详解】解：∵输入的为，是无理数，∴以为边长的正方形的面积是：，故答案是：15．【点睛】本题考查有理数的运算，读懂题目，掌握计算法则是解题的关键．2．（2020·浙江温州·七年级期中）如图所示是计算机程序计算，若开始输入x＝﹣3，则最后输出的结果是____．【答案】2．【分析】读懂计算程序，把x=－3代入，按计算程序计算，直到结果是无理数即可．【详解】当输入x，若＝2的结果是无理数，即为输出的数，当x＝﹣3时，2＝2，不是无理数，因此，把x＝2再输入得，2＝2，故答案为：2．【点睛】本题考查实数的混合运算，掌握计算法则是关键．3．（2021·浙江温州·七年级期中）如图，是一个计算程序，若输入a的值为，则输出的结果应为______________．【答案】【分析】根据计算程序列出算式，并根据求解即可．【详解】解：根据题意，得，故答案为：．【点睛】本题考查实数的混合运算，理解计算程序，正确列出算式并求解是解答的关键．二、解答题4．（2022·浙江台州·七年级期中）如图是一个无理数筛选器的工作流程图．(1)当x为9时，y值为；(2)如果输入0和1，（填“能”或“不能”）输出y值；(3)当输出的y值是时，请写出满足题意的x值：．（写出两个即可）【答案】(1)(2)不能(3)5或25（答案不唯一）【分析】（1）根据运算流程图，即可求解；（2）根据0的算术平方根是0，1的算术平方根是1，即可判断；（3）根据运算法则，进行逆运算即可得到满足题意的x值．（1）解：当输入x=9时，9的算术平方根为3，不是无理数，3的算术平方根为，即；故答案为：（2）解：当输入x=0或1时，因为0的算术平方根是0，始终是有理数，1的算术平方根是1，也始终是有理数，所以不能输出y；故答案为：不能（3）解：当时，，此时x=5；当时，，，此时x=25；故答案为：5或25（答案不唯一）【点睛】本题考查了无理数以及算术平方根，正确理解工作流程图是解题的关键．5．（2020·浙江·七年级期末）有一个数值转换器．原理如图．（1）当输入的为81时，输出的是多少？（2）是否存在输入有效的值后，始终输不出值？如果存在．请写出所有满足要求的的值；如果不存在，请说明理由；（3）小明输入数据，在转换器运行程序时，屏幕显示“该操作无法运行”，请你推算输入的数据可能是什么情况？（4）若输出的是，试判断输入的值是否唯一？若不唯一，请写出其中的两个．【答案】（1）；（2）0或1；（3）见解析；（4）不唯一，5和25【分析】（1）根据运算规则即可求解；（2）根据0和1的算术平方根即可判断；（3）根据算术平方根的定义，被开方数是非负数即可求解；（4）找到使得输出值为的两个数即可．【详解】解：（1）当x=81时，=9，=3，是无理数，故y=；（2）当x=0或1时，始终输不出y值．因为0，1的算术平方根是0，1，一定是有理数；（3）∵负数没有算术平方根，∴输入的数据可能是负数；（4）25的算术平方根是5，5的算术平方根是，故输入的值不唯一，例如5和25．【点睛】此题主要考查了算术平方根，正确把握数值转换器的原理是解题关键．题型三：新定义下的实数运算一、单选题1．（2022·浙江台州·七年级期中）设表示小于的最大整数，如，，则下列结论中正确的是（

）A． B．的最小值是0 C．的最大值是1 D．不存在实数，使【答案】C【分析】根据新定义，逐项判断即可求解．【详解】解：A、，故本选项错误，不符合题意；B、因为表示小于的最大整数，所以，故本选项错误，不符合题意；C、因为表示小于的最大整数，所以的最大值是1，故本选项正确，符合题意；D、存在实数，使，如，则，故本选项错误，不符合题意；故选：C.【点睛】本题主要考查了实数的大小比较和新定义运算，正确理解表示小于的最大整数是解题的关键．2．（2021·浙江·七年级期末）任何实数a，可用表示不超过a的最大整数，如，现对72进行如下操作，，这样对72只需进行3次操作即可变为1，类似地，对81只需进行（

）次操作后即可变为1．A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】根据新运算依次求出即可．【详解】解：，，，共3次操作，故选B．【点睛】本题考查了估算无理数的大小，能求出每次的值是解此题的关键．3．（2021·浙江台州·七年级阶段练习）定义新运算“⊕”：a⊕b=+（其中a、b都是有理数），例如：2⊕3=+=，那么3⊕（﹣4）的值是（）A．﹣ B．﹣ C． D．【答案】C【详解】试题解析：3⊕（4）=.故选C．4．（2022·浙江·宁波市鄞州区咸祥镇中心初级中学七年级阶段练习）现规定一种运算：，其中，为有理数，则等于(

)A．a2－b B．b2－b C．b2 D．b2－a【答案】B【详解】故选：B.5．（2021·浙江·高照实验学校七年级阶段练习）对于任意不相等的两个实数a，b，定义运算：a※b＝a2﹣b2+1，例如3※2＝32﹣22+1＝6，那么（﹣5）※4的值为（）A．﹣40 B．﹣32 C．18 D．10【答案】D【分析】直接利用题中的新定义给出的运算公式计算得出答案．【详解】解：(5)※4＝(﹣5)2﹣42+1＝10．故选：D．【点睛】本题主要考查了实数运算，以及定义新运算，正确运用新定义给出的运算公式是解题关键．二、填空题6．（2022·浙江杭州·七年级期中）用“”定义新运算：对于任意实数a，b，都有．例如：，那么20225＝________；当m为实数时，＝________．【答案】

26

26【分析】首先用5的平方加上1，求出2022⊗5的值；然后用2的平方加上1，求出m⊗2的值，进而求出m⊗（m⊗2）的值即可．【详解】解：∵对于任意实数a，b，都有a⊗b=b2+1，∴2022⊗5=52+1=26；当m为实数时，m⊗（m⊗2）=m⊗（22+1）=m⊗5=52+1=25+1=26．故答案为：26、26．【点睛】此题主要考查了实数的运算，以及定义新运算，解答此题的关键是要明确“⊗”的运算方法．7．（2021·浙江·七年级期末）用“△”“·”定义新运算：对于任意有理数a，b，都有和，例如，．则_____．【答案】【分析】仿照定义新运算：a△b=a；a*b=b进行计算即可．【详解】解：==故答案为：．【点睛】本题考查了有理数的混合运算，本题是一种新定义的题目：先理解新定义的含义，然后根据新定义的运算法则进行运算．8．（2021·浙江·七年级期末）对于两个不相等的实数a、b，定义一种新的运算如下，，如：，那么___________．【答案】【分析】先根据已知条件求出4*5的值，再求出6*（4*5）的值即可求出结果．【详解】解：∵，∴4*5==3，∴6*（4*5）=6*（3）==.故答案为：．【点睛】本题主要考查了实数的运算，在解题时要先明确新的运算表示的含义是本题的关键．9．（2021·浙江·七年级期末）对实数、，定义运算☆如下：☆，例如2☆3=.计算[2☆()][()☆()]=_____【答案】1【详解】先判断算式a☆b中，a与b的大小，转化为对应的幂运算，再进行乘法运算．[2☆（4）]×[（4）☆（2）]，=24×（4）2==1．故答案为1．10．（2022·浙江·七年级专题练习）观察下列等式（式子中的“！”是一种数学运算符号）1!=1，2!=2×1，3!=3×2×1，4!=4×3×2×1，…，那么计算：=__．【答案】【分析】根据“！”的运算方式列式计算即可．【详解】解：．【点睛】本题考查了有理数的乘法，有理数的除法，理解新定义运算“！”是解题的关键．11．（2022·浙江绍兴·七年级期末）如，我们叫集合M．其中1，2，x叫做集合M的元素，集合中的元素具有确定性（如x必然存在），互异性（如，），无序性（即改变元素的顺序，集合不变）．若集合，我们说．已知集合，集合，若，则的值是______．【答案】【分析】根据集合的定义和集合相等的条件即可判断．【详解】∵，，∴，，∴，即，∴，或，，∴或（舍去），∴，故答案为：．【点睛】本题以集合为背景考查了代数式求值，关键是根据集合的定义和性质求出和的值．12．（2021·浙江宁波·七年级期中）材料：一般地，n个相同因数a相乘：记为．如，此时3叫做以2为底的8的对数，记为（即）．那么_____，_____．【答案】

3；

．【分析】由可求出，由，可分别求出，，继而可计算出结果．【详解】解：（1）由题意可知：，则，（2）由题意可知：，，则，，∴，故答案为：3；．【点睛】本题主要考查定义新运算，读懂题意，掌握运算方法是解题关键．三、解答题13．（2021·浙江·杭州市十三中教育集团（总校）七年级期中）定义新运算：对于任意实数a，b，都有，例如．（1）求的值．（2）求的平方根．【答案】（1）21；（2）±4【分析】（1）根据定义新运算即可求的值；（2）根据定义新运算求的值，再计算平方根即可得出答案．【详解】（1）由定义新运算得：；（2）由定义新运算得：，∴的平方根为．【点睛】本题考查新定义的有理数运算，掌握新定义的运算法则是解题的关键．14．（2021·浙江·杭州市弘益中学七年级期中）任何实数a，可用[a]表示不超过a的最大整数，如[4]=4，[]=1．现对72进行如下操作：72第一次[]=8，第二次[]=2，第三次[]=1，这样对72只需进行3次操作变为1．（1）对10进行1次操作后变为_______，对200进行3次作后变为_______；（2）对实数m恰进行2次操作后变成1，则m最小可以取到_______；（3）若正整数m进行3次操作后变为1，求m的最大值．【答案】（1）3；1；（2）；（3）的最大值为255【详解】解：（1）∵，∴，∴，∴对10进行1次操作后变为3；同理可得，∴，同理可得，∴，同理可得，∴，∴对200进行3次作后变为1，故答案为：3；1；（2）设m进行第一次操作后的数为x，∵，∴．∴．∴．∵要经过两次操作．∴．∴．∴．故答案为：．（3）设m经过第一次操作后的数为n，经过第二次操作后的数为x，∵，∴．∴．∴．．∴．∵要经过3次操作，故．∴．∵是整数．∴的最大值为255．【点睛】本题考查取整函数及无理数的估计，正确理解取整含义是求解本题的关键．15．（2021·浙江台州·七年级期末）我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．例如：9，4，1这三个数，，，，其结果6，3，2都是整数，所以1，4，9这三个数称为“完美组合数”．(1)18，8，2这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由．(2)若三个数3，m，12是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为12，求m的值．【答案】(1)是，理由见解析(2)m的值为48或12【分析】（1）根据新定义进行计算，即可得到答案；（2）根据新定义的运算法则进行计算，即可求出答案．(1)解：∵，，，∴18，8，2这三个数是“完美组合数”．(2)解：①当时，解得：；②当时，解得：综上所述，m的值为或．【点睛】本题考查了新定义的运算法则，解题的关键是掌握新定义的运算法则进行计算．16．（2021·浙江·七年级期中）数学中有很多的可逆的推理．如果，那么利用可逆推理，已知n可求b的运算，记为，如，则，则．①根据定义，填空：_________，__________．②若有如下运算性质：．根据运算性质填空，填空：若，则__________；___________；③下表中与数x对应的有且只有两个是错误的，请直接找出错误并改正．x1.5356891227错误的式子是__________，_____________；分别改为__________，_____________．【答案】①1，3；②0.6020；0.6990；③f（1.5），f（12）；f（1.5）=3ab+c1，f（12）=2b2c．【分析】①根据定义可得：f（10b）=b，即可求得结论；②根据运算性质：f（mn）=f（m）+f（n），f（）=f（n）f（m）进行计算；③通过9=32，27=33，可以判断f（3）是否正确，同样依据5=，假设f（5）正确，可以求得f（2）的值，即可通过f（8），f（12）作出判断．【详解】解：①根据定义知：f（10b）=b，∴f（10）=1，f（103）=3．故答案为：1，3．②根据运算性质，得：f（4）=f（2×2）=f（2）+f（2）=2f（2）=0.3010×2=0.6020，f（5）=f（）=f（10）f（2）=10.3010=0.6990．故答案为：0.6020；0.6990．③若f（3）≠2ab，则f（9）=2f（3）≠4a2b，f（27）=3f（3）≠6a3b，从而表中有三个对应的f（x）是错误的，与题设矛盾，∴f（3）=2ab；若f（5）≠a+c，则f（2）=1f（5）≠1ac，∴f（8）=3f（2）≠33a3c，f（6）=f（3）+f（2）≠1+abc，表中也有三个对应的f（x）是错误的，与题设矛盾，∴f（5）=a+c，∴表中只有f（1.5）和f（12）的对应值是错误的，应改正为：f（1.5）=f（）=f（3）f（2）=（2ab）（1ac）=3ab+c1，f（12）=f（）=2f（6）f（3）=2（1+abc）（2ab）=2b2c．∵9=32，27=33，∴f（9）=2f（3）=2（2ab）=4a2b，f（27）=3f（3）=3（2ab）=6a3b．【点睛】本题考查了幂的应用，新定义运算等，解题的关键是深刻理解所给出的定义或规则，将它们转化为我们所熟悉的运算．题型四：实数运算的实际应用一、单选题1．（2021·浙江·高照实验学校七年级阶段练习）有下列说法：①在1和2之间的无理数有且只有这两个；②实数与数轴上的点一一对应；③两个无理数的积一定是无理数；④是分数．其中正确的为（

）A．①②③④ B．①②④ C．②④ D．②【答案】D【分析】根据无理数的定义与运算、实数与数轴逐个判断即可得．【详解】①在1和2之间的无理数有无限个，此说法错误；②实数与数轴上的点一一对应，此说法正确；③两个无理数的积不一定是无理数，如，此说法错误；④是无理数，不是分数，此说法错误；综上，说法正确的为②，故选：D．【点睛】本题考查了无理数的定义与运算、实数与数轴，熟练掌握运算法则和定义是解题关键．二、填空题2．（2020·浙江温州·七年级期中）如图，在纸面上有一数轴，点A表示的数为﹣1，点B表示的数为3，点C表示的数为．若子轩同学先将纸面以点B为中心折叠，然后再次折叠纸面使点A和点B重合，则此时数轴上与点C重合的点所表示的数是_______．【答案】4+或6﹣或2﹣．【分析】先求出第一次折叠与A重合的点表示的数，然后再求两点间的距离即可；同理再求出第二次折叠与C点重合的点表示的数即可．【详解】解：第一次折叠后与A重合的点表示的数是：3+（3+1）＝7．与C重合的点表示的数：3+（3﹣）＝6﹣．第二次折叠，折叠点表示的数为：（3+7）＝5或（﹣1+3）＝1．此时与数轴上的点C重合的点表示的数为：5+（5﹣6+）＝4+或1﹣（﹣1）＝2﹣．故答案为：4+或6﹣或2﹣．【点睛】本题主要考查了数轴上的点和折叠问题，掌握折叠的性质是解答本题的关键．3．（2020·浙江杭州·七年级期中）若，则______________．【答案】【分析】由题意根据实数运算法则化简原式，变形后即可得出答案.【详解】解：，可知，解得.故答案为：.【点睛】本题考查实数的运算，熟练掌握并利用幂运算法则变形是解题的关键.4．（2020·浙江·翠苑中学七年级期中）设x，y是有理数，且x，y满足等式，则的平方根是___________.【答案】±1【分析】因为x、y为有理数，所以x+2y也是有理数，根据二次根式的性质，只有同类二次根式才能合并，所以x、2y都不能与进行合并，根据实数的性质列出关系式，分别求出x、y的值再代入计算即可求解．【详解】解：∵x、y为有理数，∴x+2y为有理数，∴解得∴=54=1，1的平方根是±1．故答案为±1．【点睛】本题考查了实数的运算，解答本题的关键是明确题意，熟悉合并同类项的法则，求出相应的x、y的值．三、解答题5．（2021·浙江·宁波市第七中学七年级期中）某高速公路规定汽车的行驶速度不得超过100千米/时，当发生交通事故时，交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆的行驶速度，所用的经验公式是v＝16，其中v表示车速（单位：千米/时，d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：米），f表示摩擦系数．在一次交通事故中，经测量d＝32米，f＝2，请你判断一下，肇事汽车当时是否超速了．【答案】肇事汽车当时的速度超出了规定的速度．【分析】先把d=32米，f=2分别代入v=16，求出当时汽车的速度再和100千米/时比较即可解答．【详解】解：把d=32，f=2代入v=16，v=16=128（km/h），∵128＞100，∴肇事汽车当时的速度超出了规定的速度．【点睛】本题考查了实数运算的应用，读懂题意是解题的关键，另外要熟悉实数的相关运算．6．（2021·浙江绍兴·七年级期末）已知小正方形的边长为1，在4×4的正方形网中．（1）求_______________．（2）在5×5的正方形网中作一个边长为的正方形．【答案】（1）10；（2）见解析【分析】（1）用大正方形的面积减去四个小三角形的面积即可得出阴影部分面积；（2）边长为的正方形，则面积为，则每个三角形的面积为，据此作图即可．【详解】解：（1），故答案为：10；（2）边长为的正方形，则面积为，则每个三角形的面积为，则作图如下：.【点睛】本题主要考查了作图应用与设计作图，解决本题的关键是利用网格求出周围四个小三角形的边长．7．（2020·浙江·七年级期末）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．小白在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究：操作一：（1）折叠纸面，若使表示的点1与﹣1表示的点重合，则﹣2表示的点与表示的点重合；操作二：（2）折叠纸面，若使1表示的点与﹣3表示的点重合，回答以下问题：①表示的点与数表示的点重合；②若数轴上A、B两点之间距离为8（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，则A、B两点表示的数分别是__________________；操作三：（3）在数轴上剪下9个单位长度（从﹣1到8）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图）.若这三条线段的长度之比为1：1：2，则折痕处对应的点所表示的数可能是_________________________.【答案】（1）2(2)①②5，3（3）【分析】（1）根据对称性找到折痕的点为原点O，可以得出2与2重合；（2）根据对称性找到折痕的点为1，①设表示的点与数a表示的点重合，根据对称性列式求出a的值；②因为AB=8，所以A到折痕的点距离为4，因为折痕对应的点为1，由此得出A、B两点表示的数；（3）分三种情况进行讨论：设折痕处对应的点所表示的数是x，如图1，当AB：BC：CD=1：1：2时，所以设AB=a，BC=a，CD=2a，得a+a+2a=9，a=，得出AB、BC、CD的值，计算也x的值，同理可得出如图2、3对应的x的值．【详解】操作一，（1）∵表示的点1与1表示的点重合，∴折痕为原点O，

则2表示的点与2表示的点重合，操作二：（2）∵折叠纸面，若使1表示的点与3表示的点重合，则折痕表示的点为1，

①设表示的点与数a表示的点重合，则（1）=1a，a=2；②∵数轴上A、B两点之间距离为8，∴数轴上A、B两点到折痕1的距离为4，∵A在B的左侧，则A、B两点表示的数分别是5和3；操作三：（3）设折痕处对应的点所表示的数是x，如图1，当AB：BC：CD=1：1：2时，设AB=a，BC=a，CD=2a，a+a+2a=9，a=，∴AB=，BC=，CD=，x=1++=，如图2，当AB：BC：CD=1：2：1时，设AB=a，BC=2a，CD=a，a+a+2a=9，a=，∴AB=，BC=，CD=，x=1++=，如图3，当AB：BC：CD=2：1：1时，设AB=2a，BC=a，CD=a，a+a+2a=9，a=，∴AB=，BC=CD=，x=1++=，综上所述：则折痕处对应的点所表示的数可能是或或．题型五：与实数运算相关的规律题一、单选题1．（2019·浙江湖州·七年级期中）如图将1、、、按下列方式排列．若规定表示第排从左向右第个数，则与表示的两数之积是（

）．A．1 B． C． D．【答案】B【分析】首先从排列图中可知：第1排有1个数，第2排有2个数，第3排有3个数，然后抽象出第5排第4个数，第15排第8个数，然后可以得到答案．【详解】解：表示第5排从左往右第4个数是，表示第15排第8个数，从上面排列图中可以看出奇数行1排在最中间，所以第15行最中间是1，且为第8个，所以1和的积是．故本题选B．【点睛】本题是规律题的呈现，考查学生的从具体情境中抽象出一般规律，考查学生观察与归纳能力．2．（2019·浙江·绍兴市袍江中学七年级期中）如图，是按一定规律排成的三角形数阵，按图中数阵的排列规律，第9行从左至右第5个数是()A．2 B． C．5 D．【答案】B【分析】根据三角形数列的特点，归纳出每一行第一个数的通用公式，即可求出第9行从左至右第5个数.【详解】根据三角形数列的特点，归纳出每n行第一个数的通用公式是，所以，第9行从左至右第5个数是=.故选B【点睛】本题主要考查归纳推理的应用，根据每一行第一个数的取值规律，利用累加法求出第9行第五个数的数值是解决本题的关键，考查学生的推理能力．二、填空题3．（2020·浙江·七年级单元测试）将实数按如图所示的方式排列，若用表示第m排从左向右数第n个数，则与表示的两数之积是________1（第1排）

（第2排）

1

（第3排）

1

（第4排）

1

（第5排）【答案】2【分析】所给一系列数是4个数一循环，看（5，4）与（11，7）是第几个数，除以4，根据余数得到相应循环的数即可．【详解】解：∵第4排最后一个数为第10个数（1+2+3+4=10），∴（5，4）表示第14个数（10+4=14），∵14÷4=3…2，∴（5，4）表示的数为，∵第10排最后一个数为第55个数1+2+3+4+…+10==55，∴（11，7）表示第62个数（55+7=62），∵62÷4=15…2，∴（11，7）表示的数为，则（5，4）与（11，7）表示的两数之积是×=2．故答案为：2．【点睛】此题考查数字的变化规律与二次根式的运算，找出数字循环的特点，发现规律，解决问题．4．（2020·浙江宁波·七年级期末）若|a﹣1|+（ab﹣2）2＝0，则…＝_____．【答案】【分析】先由|a﹣1|+(ab﹣2)2＝0，利用非负数的性质得出a、b的值，代入原式后，再利用裂项求和可得．【详解】解：∵|a﹣1|+(ab﹣2)2＝0，∴a﹣1＝0且ab﹣2＝0，解得a＝1，b＝2，则原式＝＝＝＝，故答案为：．【点睛】本题主要考查了绝对值和平方的非负性，分式的化简求值，观察式子特征用裂项的方法，相抵消是解题的关键．5．（2018·全国·七年级课时练习）借助计算器计算下列各题：(1)＝_____；(2)＝_____；(3)＝______；(4)＝______；(5)根据上面计算的结果，发现＝______________．(用含n的式子表示)【答案】(1)1；(2)3；(3)6；(4)10；(5)【分析】由计算器计算得：(1)＝1；(2)可看做被开方数中每个加数底数的和，即1+2；(3)=6可看做被开方数中每个加数底数的和，即1+2+3；(4)=10可看做被开方数中每个加数底数的和，即1+2+3+4…所以由以上规律可得（5）=1+2+3+…+n=【详解】解：(1)＝1；(2)(3)=6(4)=10（5）=1+2+3+…+n=故答案是：1，3，6，10，【点睛】此题主要考查了算术平方根的一般规律性问题，解题的关键是认真观察给出的算式总结规律．6．（2017·浙江杭州·七年级期中）计算=______，=_____，再计算，…，猜想的结果为______________.【答案】

【详解】试题解析：=1+1==1+==1+==1+=∴=三、解答题7．（2018·浙江杭州·七年级开学考试）已知：，求的值．【答案】．【分析】先根据绝对值的非负性、偶次方的非负性求出a、b的值，再代入分解，加减抵消即可得．【详解】由绝对值的非负性、偶次方的非负性得：解得则原式．【点睛】本题考查了绝对值的非负性、偶次方的非负性、与实数运算有关的规律型问题，将所求式子进行分解，结合加减抵消法是解题关键．巩固巩固提升一．选择题（共5小题）1．（2021秋•鄞州区校级期中）化简﹣|﹣1|的值是（）A．2 B．1 C．2 D．﹣1【分析】原式利用绝对值的代数意义化简，合并即可得到结果．【解答】解：原式＝﹣+1＝1，故选：B．【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．2．（2021秋•江干区校级期中）下列说法正确的个数是（）①最小的负整数是﹣1；②所有无理数都能用数轴上的点表示；③当a≤0时，|a|＝﹣a成立；④两个无理数的和可能为有理数．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】直接利用绝对值的性质以及实数与数轴、无理数的定义分别分析得出答案．【解答】解：①最大的负整数是﹣1，故此选项不合题意；②所有无理数都能用数轴上的点表示，此选项符合题意；③当a≤0时，|a|＝﹣a成立，此选项符合题意；④两个无理数的和可能为有理数，此选项符合题意．故选：C．【点评】此题主要考查了绝对值的性质以及实数与数轴、无理数的定义，正确掌握相关定义是解题关键．3．（2020秋•奉化区校级期末）下列运算正确的是（）A． B． C． D．【分析】直接利用二次根式的性质分别化简得出答案．【解答】解：A、＝3，故此选项错误；B、＝3，故此选项错误；C、＝2﹣，故此选项错误；D、﹣＝﹣3，正确．故选：D．【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．4．（2021秋•西湖区校级期中）按如图所示的运算程序，能使输出的结果为3的是（）A．a＝0，b＝3 B．a＝1，b＝2 C．a＝4，b＝1 D．a＝9，b＝0【分析】对于每个选项，先判断a，b的大小，若a＜b，结果＝+；若a＞b，结果＝﹣．【解答】解：A选项，∵0＜3，∴+＝，故该选项不符合题意；B选项，∵1＜2，∴+＝1+，故该选项不符合题意；C选项，∵4＞1，∴﹣＝2﹣1＝1，故该选项不符合题意；D选项，∵9＞0，∴﹣＝3，故该选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查了实数的运算，体现了分类讨论的数学思想，掌握若a＜b，结果＝+；若a＞b，结果＝﹣是解题的关键．5．（2020秋•奉化区校级期末）实数a、b，c在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（）A．﹣3b B．﹣2a﹣b C．a﹣2b D．﹣b【分析】首先根据数轴判断出a、b的正负性，然后利用绝对值的性质进行计算即可．【解答】解：原式＝b+|a+b|﹣|a﹣b|＝b+（﹣a﹣b）﹣（b﹣a）＝b﹣a﹣b﹣b+a＝﹣b，故选：D．【点评】此题主要考查了实数的运算，以及数轴，关键是掌握绝对值的性质．二．填空题（共8小题）6．（2022秋•鄞州区校级月考）可以作为“两个无理数的和仍为无理数”的反例的是﹣+＝0．【分析】直接利用实数的加减运算法则举例得出答案．【解答】解：可以作为“两个无理数的和仍为无理数”的反例的是：﹣+＝0．故答案为：﹣+＝0．【点评】此题主要考查了实数的运算，正确掌握无理数的定义是解题关键．7．（2021秋•柯桥区期末）根据图示的对话，则代数式3a+3b﹣2c+2m的值是19．【分析】直接利用互为相反数以及算术平方根、倒数的定义得出a+b＝0，c＝﹣，m＝9，进而计算得出答案．【解答】解：由题意可得：a+b＝0，c＝﹣，m＝9，故原式＝3（a+b）﹣2c+2m＝3×0﹣2×（﹣）+2×9＝0+1+18＝19．故答案为：19．【点评】此题主要考查了互为相反数以及算术平方根、倒数的定义，正确掌握相关定义是解题关键．8．（2021秋•东阳市期末）若a与b互为相反数，m与n互为倒数，k的算术平方根为，则2022a+2021b+mnb+k2的值为4．【分析】根据题意得a+b＝0，mn＝1，k＝2，整体代入求值即可．【解答】解：∵a与b互为相反数，m与n互为倒数，k的算术平方根为，∴a+b＝0，mn＝1，k＝2，∴原式＝2021（a+b）+a+b+4＝0+0+＝4．故答案为：4．【点评】本题考查了实数的运算，考查了整体思想，整体代入求值是解题的关键．9．（2021秋•越城区期末）计算：+＝﹣1．【分析】先化简各数，然后再进行计算即可．【解答】解：+＝﹣3+2＝﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题考查了实数的运算，准确熟练地化简各数是解题的关键．10．（2020秋•钱塘区期末）＝2．【分析】原式利用平方根、立方根定义计算即可求出值．【解答】解：原式＝4﹣2＝2，故答案为：2【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．11．（2020秋•奉化区校级期末）化简（﹣）2+|1﹣|+的结果为﹣1．【分析】根据实数的混合运算顺序和运算法则计算可得．【解答】解：原式＝2+﹣1﹣2＝﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题主要考查实数的运算，解题的关键是掌握实数的混合运算顺序和运算法则．12．（2020秋•奉化区校级期末）对于任意不相等的两个数a，b，定义一种运算*如下：a*b＝，如3*2＝＝，那么12*（3*1）＝．【分析】先依据定义列出算式，然后再进行计算即可．【解答】解：∵3*1＝＝＝＝1，∴12*（3*1）＝12*1＝＝，故答案为：．【点评】此题主要考查了实数运算，正确理解计算公式是解题关键．13．（2021秋•西湖区校级期中）定义新运算“☆”：a☆b＝，则12☆（3☆4）＝13．【分析】直接利用已知运算公式进而化简得出答案．【解答】解：12☆（3☆4）＝12☆＝12☆5＝＝13．故答案为：13．【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简原式是解题关键．三．解答题（共